2022-2023学年河北省邢台市高一（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年河北省邢台市高一（上）期末数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知集合A＝{x|﹣6＜2﹣x＜﹣2}，B＝{y|yx，x∈A}，则A∩B＝（ ）
A．（3，6）B．（4，6）C．（3，8）D．（4，8）
2．（5分）已知函数，则函数y＝f（x）﹣f（13﹣x）的定义域为（ ）
A．（2，11）B．（2，13）C．（2，15）D．（4，11）
3．（5分）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（﹣2，3），则cs2α＝（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）在定义域内存在x1，x2（x1≠x2），使得f（x1）＝﹣f（x2）成立的幂函数称为“亲幂函数”，则下列函数是“亲幂函数”的是（ ）
A．B．f（x）＝2x
C．D．f（x）＝x﹣2
5．（5分）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．B．
C．D．
6．（5分）下列是“”的一个充分不必要条件的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（5分）已知正实数a，b满足2a+b＝1，则的最小值为（ ）
A．3B．9C．4D．8
8．（5分）设函数f（x）＝2|sinx|+1，若，则（ ）
A．b＜c＜aB．b＜a＜cC．a＜b＜cD．c＜a＜b
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）已知命题p：“∀x∈R，x2+2x3+x4≥0”，则（ ）
A．¬p：∃x∈R，x2+2x3+x4＜0
B．¬p：∀x∈R，x2+2x3+x4＜0
C．p是假命题
D．p是真命题
（多选）10．（5分）将的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移φ（φ＞0）个单位长度得到f（x）的图象（ ）
A．若f（x）为奇函数，则φ的值可能为
B．若f（x）为奇函数，则φ的值可能为
C．若f（x）为偶函数，则φ的值可能为
D．若f（x）为偶函数，则φ的值可能为
（多选）11．（5分）对于函数f（x），若在区间D上存在x0，使得f（x0）＝x0，则称f（x）是区间D上的“稳定函数”．下列函数中，是区间D上的“稳定函数”的有（ ）
A．
B．f（x）＝lg7（x﹣1）+2，D＝（1，+∞）
C．
D．
（多选）12．（5分）已知函数f（x），g（x）的定义域均为 R，且，．若f（x）的图象关于点对称，则（ ）
A．为奇函数
B．g（x）是以为周期的周期函数
C．g（x）的图象关于点（0，﹣2）对称
D．g（0）+g（1）+g（2）+⋯+g（100）＝﹣202
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．（5分）已知某扇形的周长为27，其圆心角为1，则该扇形的面积为 ．
14．（5分）某游泳馆实行计时收费，若游泳爱好者在馆内2小时以内（含2小时），则按每分钟0.4元收费；若游泳爱好者在馆内2小时以上，则按每分钟0.3元收费．已知某游泳爱好者在该游泳馆内共消费了49.2元，则该游泳爱好者在馆内的时间为 分钟．
15．（5分）写出一个同时具有下列性质①②的函数f（x）： ．
①f（x）在R上单调递增；
②对任意的实数x，y，都有f（x+y）＝f（x）f（y）+f（x）+f（y）．
16．（5分）定义一种运算：a⊗b令函数f（x）＝（2sin2x+kcsx﹣3）⊗（csx），且．若f（x）有三个零点x1，x2，x3，则k＝ ，x1+x2+x3＝ ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）（1）已知α，β均为第二象限角，，求cs（α﹣β）；
（2）已知tanα＝2，求sin2α+2cs2α．
18．（12分）已知集合A＝{x|ln（x﹣2）≤ln2}，B＝{x|x2﹣1≤8}，C＝{x|3a﹣1＜x＜8﹣3a}．
（1）若a＝1，求A∪B，∁RC；
（2）若C⊆（A∪B），求a的取值范围．
19．（12分）已知函数g（x）＝ax的图象经过点，函数f（x）＝mx2﹣2（m﹣1）x+4．
（1）若f（x）为偶函数，求在（0，+∞）上的最小值；
（2）若，求函数y＝2mlg8g（1﹣4m）的最大值．
20．（12分）某地农业检测机构统计发现：该地区近几年的活鸡收购价格（元/斤）每年四个季度会重复出现，但活鸡养殖成本（元/斤）逐季递增．下表是该地区今年四个季度的统计情况：
现打算从以下两个函数模型：①y＝Acs（ωx+φ）+B，（A＞0，ω＞0，﹣π≤φ≤0）；②y＝lg2（x+a）+b中选择适当的函数模型，分别来拟合今年活鸡收购价格与第x（x∈N*）季度之间的函数关系、养殖成本与第x（x∈N*）季度之间的函数关系（从今年第1季度为第1个季度开始计算）．
（数据参考：取．）
（1）请你选择适当的函数模型，分别求出这两个函数模型的解析式；
（2）若活鸡的收购价格高于养殖成本，则该地区活鸡养殖户盈利，若活鸡的收购价格低于养殖成本，则该地区活鸡养殖户亏损．按照你选定的函数模型，帮助该机构估计一下，明年四个季度该地区活鸡养殖户是盈利还是亏损？
21．（12分）已知函数．
（1）判断f（x）的单调性，并用定义证明；
（2）若关于x的方程f（2f（x））+f（t﹣4x）＝0有解，求t的取值范围．
22．（12分）已知函数，且函数g（x）的图象与f（x）的图象关于直线对称．
（1）求g（x）的解析式；
（2）若函数p（x）＝mf（x）+n（m＞0），当时，p（x）的值域为[﹣4，2]，求m，n的值；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求a的取值范围．
2022-2023学年河北省邢台市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A＝{x|﹣6＜2﹣x＜﹣2}，B＝{y|yx，x∈A}，则A∩B＝（ ）
A．（3，6）B．（4，6）C．（3，8）D．（4，8）
【分析】化简集合A，B，利用交集的运算可求得答案．
【解答】解：A＝{x|﹣6＜2﹣x＜﹣2}＝{x|4＜x＜8}，
B＝{y|yx，x∈A}＝{y|3＜y＜6}，
∴A∩B＝{x|4＜x＜6}＝（4，6），
故选：B．
【点评】本题主要考查了交集的运算，属于基础题．
2．（5分）已知函数，则函数y＝f（x）﹣f（13﹣x）的定义域为（ ）
A．（2，11）B．（2，13）C．（2，15）D．（4，11）
【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
【解答】解：∵函数，
∴函数的定义域为（2，+∞），
∴函数y＝f（x）﹣f（13﹣x）的x需满足：，即2＜x＜11，
故选：A．
【点评】本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题目．
3．（5分）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（﹣2，3），则cs2α＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用三角函数的定义求出角α的余弦值，再由二倍角公式计算出结果．
【解答】解：由已知可得，csα，
则cs2α＝2cs2α﹣1＝21，
故选：D．
【点评】本题考查任意角三角函数的定义，考查二倍角公式的应用，属于基础题．
4．（5分）在定义域内存在x1，x2（x1≠x2），使得f（x1）＝﹣f（x2）成立的幂函数称为“亲幂函数”，则下列函数是“亲幂函数”的是（ ）
A．B．f（x）＝2x
C．D．f（x）＝x﹣2
【分析】根据函数的范围即可判断AD项，B项不是幂函数；求出f（﹣x）＝﹣f（x），判断C．
【解答】解：在定义域内存在x1，x2（x1≠x2），使得f（x1）＝﹣f（x2）成立的幂函数称为“亲幂函数”，
对于A，f（x）0，故A项错误；
对于B，f（x）＝2x不是“亲幂函数”，故B项错误；
对于C，f（﹣x）＝（﹣x）xf（x），
只要x1＝﹣x2即可，故C正确；
对于D，f（x）＝x﹣20恒成立，故D项错误．
故选：C．
【点评】本题考查“亲幂函数”的求法，考查“亲幂函数”的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．（5分）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据函数图象求出A，ω 和φ的值即可求出函数的解析式．
【解答】解：由图象知A＝2，3，得周期T＝4，即T，得ω，
则f（x）＝2sin（x+φ），
由五点对应法得（）+φ＝0，得φ，
即f（x）＝2sin（x），
故选：D．
【点评】本题主要考查三角函数解析式的求解，根据图象求出A，ω和φ的值是解决本题的关键，是基础题．
6．（5分）下列是“”的一个充分不必要条件的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】直接利用三角不等式及充分条件和必要条件判断结论．
【解答】解：不等式的充要条件是：（k∈Z），
根据选项A、B、C、D，故“”的一个充分不必要条件的是．
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：三角不等式，充分条件和必要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．
7．（5分）已知正实数a，b满足2a+b＝1，则的最小值为（ ）
A．3B．9C．4D．8
【分析】由2a+b＝a+a+b＝1可得，展开后利用基本不等式即可求解．
【解答】解：因为正实数a，b满足2a+b＝a+a+b＝1，
则59，
当且仅当a+b＝2a且2a+b＝1，即a＝b时取等号．
故选：B．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
8．（5分）设函数f（x）＝2|sinx|+1，若，则（ ）
A．b＜c＜aB．b＜a＜cC．a＜b＜cD．c＜a＜b
【分析】由对数的运算，结合三角函数的性质求解即可．
【解答】解：因为函数f（x）＝2|sinx|+1在（0，）为增函数，
又（）﹣2，
则，
又f（π﹣lg32）＝f（lg32），
又29＜38，
即，
即，
又，
则，
即c＜a＜b，
故选：D．
【点评】本题考查了对数的运算，重点考查了三角函数的性质，属中档题．
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）已知命题p：“∀x∈R，x2+2x3+x4≥0”，则（ ）
A．¬p：∃x∈R，x2+2x3+x4＜0
B．¬p：∀x∈R，x2+2x3+x4＜0
C．p是假命题
D．p是真命题
【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为：∃x∈R，x2+2x3+x4＜0，故A对，B错，
令f（x）＝x2+2x3+x4，
则f′（x）＝2x+6x+4x3＝2x（1+3x+2x2）＝2x（1+x）（1+2x），
∴当x＜﹣1或x＜0时，f′（x）＜0，故f（x）＝x2+2x3+x4单调递减，
当x＞0或﹣1＜x时，f′（x）＞0，故f（x）＝x2+2x3+x4单调递增，
又f（﹣1）＝1﹣2+1＝0，f（0）0+0+0＝0，
故f（x）＝x2+2x3+x4≥0恒成立，
故P真，
故选：AD．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
（多选）10．（5分）将的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移φ（φ＞0）个单位长度得到f（x）的图象（ ）
A．若f（x）为奇函数，则φ的值可能为
B．若f（x）为奇函数，则φ的值可能为
C．若f（x）为偶函数，则φ的值可能为
D．若f（x）为偶函数，则φ的值可能为
【分析】由题意，利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得f（x）的解析式，再根据三角函数的图象和性质，得出结论．
【解答】解：将的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，可得y＝sin（）的图象；
再向左平移φ（φ＞0）个单位长度得到f（x）＝sin（）的图象．
若f（x）为奇函数，则kπ，k∈Z，即φ＝2kπ，k∈Z，
∴φ可取，不可能取，故A错误、B正确．
若f（x）为偶函数，则kπ，k∈Z，即φ＝2kπ，k∈Z，
∴φ可取，不能取，故C正确、D错误，
故选：BC．
【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象和性质，属于中档题．
（多选）11．（5分）对于函数f（x），若在区间D上存在x0，使得f（x0）＝x0，则称f（x）是区间D上的“稳定函数”．下列函数中，是区间D上的“稳定函数”的有（ ）
A．
B．f（x）＝lg7（x﹣1）+2，D＝（1，+∞）
C．
D．
【分析】利用在区间I上存在x0，使得f（x0）＝x0，则称f（x）是区间I上的“稳定函数”．逐项计算判断即可．
【解答】解：对于A：由D，f（x）＝﹣tanx＜0，在区间D上不存在x0，使得f（x0）＝x0，故A不正确；
对于B：f（x）＝lg7（x﹣1）+2，D＝（1，+∞），当x＝2时，f（2）＝2，满足题意，故B正确；
对于C：∵，x＝0时，f（0）＝0，对称轴为x，
f（），∴存在x0∈（0，）使得f（x0）＝x0，故C正确；
对于D：，csx∈（0，1]，lncsx+1∈（﹣∞，1]，
由x∈（0，），f（x）是减函数，f（0）＝1，当x→时，f（x）→﹣∞，
∴存在x0∈（0，）使f（x0）＝x0，故D正确；
故选：BCD．
【点评】本题考查新定义的题，考查运算求解能力，属中档题．
（多选）12．（5分）已知函数f（x），g（x）的定义域均为 R，且，．若f（x）的图象关于点对称，则（ ）
A．为奇函数
B．g（x）是以为周期的周期函数
C．g（x）的图象关于点（0，﹣2）对称
D．g（0）+g（1）+g（2）+⋯+g（100）＝﹣202
【分析】由已知可推得，，即可判断A项；由已知f（x）+f（3﹣x）＝0，代入可推出，进而推得g（x﹣2）＝g（x），即可判断B项；由已知可推得，结合已知可得g（x）+g（﹣x）＝﹣4，即可判断C项；根据前面求出的周期，只要求出g（0）和g（1）即可得出．
【解答】解：对于A，因为，
所以，．
又，所以，
则为奇函数，故A正确；
对于B，因为f（x）的图象关于点对称，
所以f（x）+f（3﹣x）＝0，则，
即，．
又，两式相减得g（x﹣2）＝g（x），
故g（x）是以2为周期的周期函数，故B错误；
对于C，因为，所以，
所以g（x）+g（﹣x）＝﹣4，所以g（x）关于点（0，﹣2）对称，故C正确；
对于D，因为，，所以g（0）＝﹣2．
又因为，，所以g（1）＝﹣2．
又g（x）的周期为2，
所以g（0）+g（1）+g（2）+⋯+g（100）＝51g（0）+50g（1）＝101×（﹣2）＝﹣202，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查抽象函数及其应用，考查函数的对称性与周期性，考查运算求解能力，属于中档题．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．（5分）已知某扇形的周长为27，其圆心角为1，则该扇形的面积为 ．
【分析】由扇形的面积公式求解即可．
【解答】解：设扇形的半径为R，
由扇形的周长为27，其圆心角为1，
则2R+1×R＝27，
即R＝9，
则该扇形的面积为，
即该扇形的面积为，
故答案为：．
【点评】本题考查了扇形的面积公式，属基础题．
14．（5分）某游泳馆实行计时收费，若游泳爱好者在馆内2小时以内（含2小时），则按每分钟0.4元收费；若游泳爱好者在馆内2小时以上，则按每分钟0.3元收费．已知某游泳爱好者在该游泳馆内共消费了49.2元，则该游泳爱好者在馆内的时间为 164 分钟．
【分析】根据题意，分段计算即可得解．
【解答】解：设该游泳爱好者在馆内的时间为x分钟，若0.4x＝49.2，解得x＝123＞120，不符合题意；
若0.3x＝49.2，解得x＝164＞120，满足题意，故该游泳爱好者在馆内的时间为164分钟．
故答案为：164．
【点评】本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．
15．（5分）写出一个同时具有下列性质①②的函数f（x）： f（x）＝2x﹣1（答案不唯一） ．
①f（x）在R上单调递增；
②对任意的实数x，y，都有f（x+y）＝f（x）f（y）+f（x）+f（y）．
【分析】根据指数函数的性质以及题意即可得解．
【解答】解：根据题意以及指数函数的性质可知，函数f（x）＝ax﹣1（a＞1）满足条件①②，
故答案为：f（x）＝2x﹣1（答案不唯一）．
【点评】本题考查函数性质的运用，考查数学抽象思维，属于基础题．
16．（5分）定义一种运算：a⊗b令函数f（x）＝（2sin2x+kcsx﹣3）⊗（csx），且．若f（x）有三个零点x1，x2，x3，则k＝ 3 ，x1+x2+x3＝ 6π ．
【分析】由已知可得2sin2x+kcsx﹣3＜csx，即可得出f（x）＝﹣2cs2x+kcs﹣1，换元令t＝csx，0＜t≤1，可得y＝﹣2t2+kt﹣1．作出函数t＝csx，x∈（，）的图象，根据函数图象、二次函数的图象与性质以及已知可得﹣2t2+kt﹣1＝0有零点1，代入可得k＝3．然后根据函数的对称性，即可求出x1+x2+x3．
【解答】解：因为x∈（，），则0＜csx≤1，又2sin2x+kcsx﹣3＝2﹣2cs2x+kcsx﹣3＝﹣2（csx）21，
所以，有2sin2x+kcsx﹣3＜csx，
所以f（x）＝﹣2cs2x+kcs﹣1，
令t＝csx，0＜t≤1，y＝﹣2t2+kt﹣1，
作出函数t＝csx，x∈（，）的图象，
由图象可知，当0＜t≤1时，函数t＝csx，x∈（，），最多有两个零点，
因为f（x）在区间（，）上有三个零点，
所以﹣2t2+kt﹣1＝0有两个不等实根t1，t2，
设0＜t1＜1，则t2＝1，
所以﹣2+k﹣1＝0，即k＝3，
设x1＜x2＜x3，
由t2＝csx＝1，得x2＝2π，
由t1＝csx，根据函数的对称性可得2π，
所以x1+x3＝4π，
所以，x1+x2+x3＝2π+4π＝6π．
故答案为：3；6π．
【点评】本题属于新概念题，考查了转化思想、数形结合思想、函数的单调性、三角函数的性质，作出图象是关键，属于中档题．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）（1）已知α，β均为第二象限角，，求cs（α﹣β）；
（2）已知tanα＝2，求sin2α+2cs2α．
【分析】（1）由同角三角函数的关系，结合两角差的余弦公式求解即可；
（2）由二倍角公式，结合同角三角函数的关系求解即可．
【解答】解：（1）已知α，β均为第二象限角，
又，
则，，
则cs（α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；
（2）已知tanα＝2，
则sin2α+2cs2α．
【点评】本题考查了诱导公式，重点考查了二倍角公式，属基础题．
18．（12分）已知集合A＝{x|ln（x﹣2）≤ln2}，B＝{x|x2﹣1≤8}，C＝{x|3a﹣1＜x＜8﹣3a}．
（1）若a＝1，求A∪B，∁RC；
（2）若C⊆（A∪B），求a的取值范围．
【分析】（1）先求出集合A，B，再利用集合的基本运算求解即可，
（2）分类讨论当C＝∅和C≠∅，再列出不等式求解即可．
【解答】解：（1）∵0＜x﹣2≤2，∴2＜x≤4，
∴A＝{x|ln（x﹣2）≤ln2}＝{x|2＜x≤4}，
B＝{x|x2﹣1≤8}＝{x|﹣3≤x≤3}，
若a＝1，则C＝{x|2＜x＜5}，
∴A∪B＝{x|﹣3≤x≤4}，∁RC＝{x|x≤2或x≥5}；
（2）∵C⊆（A∪B），
①当C＝∅时，则3a﹣1≥8﹣3a，∴a，
②当C≠∅时，则，∴a，
综上，a的取值范围为[，+∞）．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，集合间的基本关系，属于中档题．
19．（12分）已知函数g（x）＝ax的图象经过点，函数f（x）＝mx2﹣2（m﹣1）x+4．
（1）若f（x）为偶函数，求在（0，+∞）上的最小值；
（2）若，求函数y＝2mlg8g（1﹣4m）的最大值．
【分析】（1）根据题意求出f（x），g（x）的解析式，再化简得，当x＞0时，结合基本不等式求解即可；
（2）由可得m，化简得y＝4m（1﹣4m），结合二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）因为f（x）为偶函数，
所以f（﹣x）＝f（x），
即mx2+2（m﹣1）x+4＝mx2﹣2（m﹣1）x+4，
解得m＝1，
所以f（x）＝x2+4，
又因为g（x）＝ax的图象经过点，
所以8，解得a＝64，
所以g（x）＝64x，
所以（x≠0），
所以当x＞0时，
2，
当且仅当，即x＝2时，等号成立；
（2）因为，所以﹣m+6，解得m，
又因为g（1﹣4m）＝641﹣4m＝82﹣8m，
所以y＝2mlg8g（1﹣4m）＝2mlg882﹣8m＝2m（2﹣8m）＝4m（1﹣4m），
由二次函数的性质可知：y＝4m（1﹣4m）在（﹣∞，]上单调递增，
所以ymax＝﹣2，
所以函数y＝2mlg8g（1﹣4m）的最大值为：﹣2．
【点评】本题考查了对数的基本运算，偶函数的性质、二次函数的性质、幂函数的性质，属于中档题．
20．（12分）某地农业检测机构统计发现：该地区近几年的活鸡收购价格（元/斤）每年四个季度会重复出现，但活鸡养殖成本（元/斤）逐季递增．下表是该地区今年四个季度的统计情况：
现打算从以下两个函数模型：①y＝Acs（ωx+φ）+B，（A＞0，ω＞0，﹣π≤φ≤0）；②y＝lg2（x+a）+b中选择适当的函数模型，分别来拟合今年活鸡收购价格与第x（x∈N*）季度之间的函数关系、养殖成本与第x（x∈N*）季度之间的函数关系（从今年第1季度为第1个季度开始计算）．
（数据参考：取．）
（1）请你选择适当的函数模型，分别求出这两个函数模型的解析式；
（2）若活鸡的收购价格高于养殖成本，则该地区活鸡养殖户盈利，若活鸡的收购价格低于养殖成本，则该地区活鸡养殖户亏损．按照你选定的函数模型，帮助该机构估计一下，明年四个季度该地区活鸡养殖户是盈利还是亏损？
【分析】（1）分析表中数字变化情况，即可得出函数模型．模型①中，根据表中数据可得出T＝4，．进而由最值解出A、B的值，代入点可求出φ；模型②中，将表中的两个点的坐标代入，联立即可得出；
（2）根据（1）中求出的函数解析式，将x＝5、x＝6、x＝7、x＝8，分别代入即可得出明年各个季度的养殖成本与收购价格，比较大小即可得出答案．
【解答】解：（1）由表中数据可知，收购价格随月份变化上下波动，应选择模型①；
由表中数据可知，收养殖成本随月份缓慢上升，应选择模型②．
对于模型①，由点（1，8）及（3，8）可得该函数周期为T＝2×（3﹣1）＝4，
则由，可得．
又该函数最大值为10以及最小值为6可得，，解得，
所以，
将（1，8）代入可得，
所以φ＝﹣π+2kπ，k∈Z，
又﹣π≤φ≤0，所以φ＝﹣π，所以模型①为；
对于模型②，y＝lg2（x+a）+b的图象过点（1，3），（3，4），
所以，解得，
所以模型②为．
（2）由（1）设，
若y1＞y2，则盈利，若y1＜y2，则亏损．
当x＝5时，y1＝8，y2＝lg26+2＜5＜8，则y1＞y2；
当x＝6时，y1＝10，y2＝lg27+2＜5＜10，则y1＞y2；
当x＝7时，y1＝8，y2＝lg28+2＝5＜8，则y1＞y2；
当x＝8时，y1＝6，y2＝lg29+2＜6，则y1＞y2，
这说明明年四个季度的收购价格都高于养殖成本，所以估计明年四个季度该地区活鸡养殖户都会盈利．
【点评】本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．
21．（12分）已知函数．
（1）判断f（x）的单调性，并用定义证明；
（2）若关于x的方程f（2f（x））+f（t﹣4x）＝0有解，求t的取值范围．
【分析】（1）由f（﹣x）+f（x）＝0可得f（x）为奇函数，且为R上的增函数，利用定义可证明其单调性；
（2）运用f（x）为奇函数，且为R上的增函数的性质，可将f（2f（x））+f（t﹣4x）＝0有解转化为2f（x）＝4x﹣t有解，分离参数t，利用指数型函数的性质可求得t的取值范围．
【解答】解：（1）∵的定义域为R，，
且f（﹣x）+f（x）＝﹣2x1+2x12＝0，
∴f（x）为奇函数，且为R上的增函数，证明如下：
令x1＜x2，
则2（x1﹣x2）＜0，0，即﹣2（）＜0，
∴f（x1）﹣f（x2）＝2x11﹣（2x21）＝2（x1﹣x2）0，
∴f（x）为R上的增函数；
（2）由（1）知f（x）为奇函数，
∴f（2f（x））+f（t﹣4x）＝0有解⇔f（2f（x））＝﹣f（t﹣4x）＝f（4x﹣t）有解，
又f（x）为R上的增函数，
∴2f（x）＝4x﹣t有解，可化为t＝4x﹣2f（x）＝4x﹣2（2x1）2有解，
∵ex＞0，
∴ex+1＞1，04，﹣22＜2，
∴﹣2＜t＜2，即t∈（﹣2，2）．
【点评】本题考查函数恒成立问题，考查函数单调性的性质与判断，考查等价转化思想与综合运算能力，属于中档题．
22．（12分）已知函数，且函数g（x）的图象与f（x）的图象关于直线对称．
（1）求g（x）的解析式；
（2）若函数p（x）＝mf（x）+n（m＞0），当时，p（x）的值域为[﹣4，2]，求m，n的值；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求a的取值范围．
【分析】（1）由三角恒等变换化简f（x），再由对称性可知g（x）＝f（x），由此能求出g（x）的解析式；
（2）根据所给自变量范围，利用正弦函数的性质求出值域，列出方程能求出m，n的值；
（3）化简不等式后，分a＝0，a＞0，a＜0三种情况讨论，利用函数的单调性求出函数最小值，由此能求出a的取值范围．
【解答】解：（1）2cs2x+2sinxcsx﹣1
＝cs2xsin2x＝2sin（2x），
∵g（x）的图象与f（x）的图象关于直线x对称，
则g（x）＝2sin（）＝2sin（）＝﹣2cs2x．
（2）依题意可得p（x）＝2msin（2x）+n，
∵，∴，
∴，∴﹣m+n≤p（x）≤2m+n，
∵p（x）的值域为[﹣4，2]，∴，
解得m＝2，n＝﹣2．
（3）由不等式，
可得sin（x）+2acs（x），
∴sin（x）+2asin（x），
当x∈[，]时，0，，
若a＝0，∵0，即sin（x）＞﹣1恒成立，∴a＝0符合题意，
若a＞0，∵y＝sin（x）在[，]上单调递增，
∴当x时，sin（x）+2asin（x）取得最小值，
原不等式恒成立可转化为sin（）+2asin（）＞2a﹣1恒成立，
即﹣2a，∴0＜a，
若a＜0，当x时，sin（x）+2asin（x）取得最小值，
则原不等式恒成立可转化为sin（）+2asin（）恒成立，即a，
∴，
综上，a的取值范围是（，）．
【点评】本题考查三角恒等变换、对称性、正弦函数的性质、值域、函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
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第1季度
第2季度
第3季度
第4季度
收购价格
8
10
8
6
养殖成本
3
3.6
4
4.3
季度
第1季度
第2季度
第3季度
第4季度
收购价格
8
10
8
6
养殖成本
3
3.6
4
4.3