河北省邢台市2023-2024学年高二(上)期末联考数学试卷(解析版)

这是一份河北省邢台市2023-2024学年高二(上)期末联考数学试卷(解析版)，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 在长方体中，下列向量与是相等向量的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图所示的长方体中，
A：向量与方向相反，
所以这两个向量不相等，因此本选项不正确；
B：向量与大小相等，方向相同，
所以这两个向量相等，因此本选项正确；
C：向量与方向相反，
所以这两个向量不相等，因此本选项不正确；
D：显然向量与向量方向相反，
所以这两个向量不相等，因此本选项不正确，
故选：B

2. 如图,在中,点分别是棱的中点,则化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图所示，连接，
因为分别是棱的中点，
所以.
故选：C.
3. 过两点的直线的倾斜角为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设直线斜率为，则，
故选：D.
4. 已知，直线l过且与线段相交，则直线l斜率k的取值范围是（ ）
A. 或B.
C. D. 以上都不对
【答案】A
【解析】由题意得，，
若直线l过点且与线段相交，则或,故选：A.

5. 直线与直线平行，则的值为（ ）
A. 或B.
C. 或D.
【答案】B
【解析】因为直线与直线平行，
则，解得或，
当时，两直线方程都是，则两直线重合，不满足题意；
当时，两直线方程分别为：，，满足题意；
综上，.
故选：B
6. 圆关于直线对称的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意得圆的圆心为，半径为，
设点关于直线对称的点为，
故，解得，
故关于直线对称点为，
所以所求的圆的方程为．
故选：C
7. 已知为等差数列的前项和，，则（ ）
A. 240B. 60C. 180D. 120
【答案】D
【解析】因为数列为等差数列，所以，
所以，
所以．
故选：D．
8. 已知双曲线的左，右焦点分别是，，点在双曲线上，且，则双曲线的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意可知，，解得，，
所以双曲线的方程是．
故选：D．
二、选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】ACD
【解析】对于A，因为，故三个向量共面，故A符合题意；
对于B，假设，，共面，
则，使得，
故有，方程组无解，故假设不成立，即，，不共面；
故B不符合题意；
对于C，，故三个向量共面，故C符合题意；
对于D，，故三个向量共面，故D题意符合．
故选：ACD．
10. 已知圆与直线，下列选项正确的是（ ）
A. 直线与圆必相交
B. 直线与圆不一定相交
C. 直线与圆相交且所截最短弦长为
D. 直线与圆可以相切
【答案】AC
【解析】直线过定点，
又，所以点在圆内，所以直线与圆必相交，
所以A正确，B，D错误，
因为圆心与点间的距离为，圆半径为2.
所以最短弦长为，故C正确，

故选：AC.
11. 已知点，，直线：，则下列结论正确的是（ ）
A. 当时，点，到直线距离相等
B. 当时，直线的斜率不存在
C. 当时，直线在轴上的截距为
D. 当时，直线与直线平行
【答案】CD
【解析】对于A：当时，直线为，
此时，，显然不满足题意，故A错误；
对于B：时，直线为，直线斜率为，故B错误；
对于C：时，直线为，取，则，故C正确；
对于D：时，直线为，，不过A点，
而，，所以直线与直线平行，故D正确；
故选：CD.
12. 已知点是抛物线上一点，是抛物线的焦点，直线与抛物线相交于不同于的点，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】将点的坐标代入抛物线的方程，可得，可得，A对；
所以，抛物线的方程为，其准线方程为，故，B对；
易知点，直线斜率为，直线的方程为，
联立，解得或，即点，
所以，，C对；
，故、不垂直，D错.
故选：ABC.
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.
13. 过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的长轴长为______.
【答案】
【解析】椭圆的半焦距，其焦点坐标为，
由椭圆的定义得所求长轴长
.
故答案：
14. 抛物线的准线方程为______.
【答案】
【解析】由题意抛物线的标准方程为，其准线方程为.
故答案为：.
15. 已知数列满足，则__________.
【答案】
【解析】因为，所以，
所以，故.
故答案为：4
16. 已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】由；
由.
综上：且.
故答案为：.
四、解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知直线：，直线：
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值．
解：（1）由，则，即，
所以或，
当，，，两线重合，不合题设；
当，，，符合题设；
综上，
（2）由，则，即，
所以，即或.
18. 已知圆过点和．
（1）求圆的方程；
（2）求与垂直且被圆截得弦长等于的直线的方程．
解：（1）设圆的一般方程为：，
分别代入点和.
，
解得,
故圆的方程为：.
（2）因为、
所以直线的方程为：，
故设直线的方程为：.
由题意可知，圆心，
被圆截得弦长等于
则可知到直线与直线的距离相等.
故有，
解得或
所以直线的方程：或
19. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，半焦距为1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的左焦点，且斜率为1的直线交椭圆于两点，求的面积．
解：（1）由题意，设所求椭圆标准方程为：，
因为焦距为，，
又离心率，，；
再由，
所以椭圆标准方程为：；
（2）由（1）知：左焦点为，直线的方程为：
则，
设，
则，
由弦长公式，
到直线的距离，
.
20. 已知数列满足：，数列为等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）求和：．
解：（1）因为，，数列为等比数列，
所以，，则，即是以为首项，为公比的等比数列，
所以，则.
（2）
.
21. 如图，在三棱台中，，平面，，，，且D为中点.求证：平面；
解：由题意，以点为坐标原点，，,分别为，，轴，建立空间直角坐标系，

则，
则，
故，
，
即，
又平面，
故平面.
22. 已知抛物线E：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，为坐标原点.
（1）求面积的最小值；
（2）设直线交抛物线的准线于点，求证：平行于轴.
解：（1）由得，，∴，
依题意得的斜率存在，设直线的方程，，，
由得：，
∴，，
∴，
又O到的距离，
.
（2）由（1）得直线的方程，的横坐标为，
又由得的横坐标为，
因为，的横坐标相同，所以平行于轴.