山西省朔州市朔城区2024-2025学年八年级(上)期中考试数学试卷（解析版）

这是一份山西省朔州市朔城区2024-2025学年八年级(上)期中考试数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史，2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaG进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】A、是中心对称图形，符合题意；
B、不是中心对称图形，故不符合题意；
C、不是中心对称图形，故不符合题意；
D、不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：A．
2. 下列实例中，没有应用到“三角形稳定性”的是（ ）
A. 三角支架 B. 钢架桥 C. 起重机 D. 活动挂架
【答案】D
【解析】A、三角支架应用到三角形的稳定性，不符合题意；
B、钢架桥应用到三角形的稳定性，不符合题意；
C、起重机应用到三角形的稳定性，不符合题意；
D、活动挂架没有应用到三角形的稳定性，符合题意；故选：D．
3. 下列整式乘法能用平方差公式计算的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A、第一个因式是两数的和，第二个因式不是这两个数的差，故不能用平方差公式计算；
B、第一个因式是两数的和，第二个因式是这两个数的差，故能用平方差公式计算；
C、第一个因式是两数的差，第二个因式不是的和，而是这两个数的差，故不能用平方差公式计算；
D、第一个因式是两数的差，第二个因式是的差，不是这两个数的和，故不能用平方差公式计算；
故选：B．
4. 由于木质衣架没有柔性，所以在挂置衣服的时候不太方便操作．嘉嘉设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后松开即可，如图1，衣架杆，若衣架收拢时，（如图2），则此时A，B两点之间的距离是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】连接，如图，

∵衣架收拢时，，且，
∴是等边三角形，
∴；
故选：C．
5. 已知，则“★”所表示的单项式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意得：；
故选：C．
6. 如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据图形，小明所画的三角形与原来三角形全等，
∴这两个三角形全等的依据，
故选：B．
7. 如果是一个完全平方式，那么k的值是（ ）
A. 6B. C. 12D.
【答案】D
【解析】是一个完全平方式，
，
即：，
故选：．
8. 下面是小丽同学计算的过程：
解：…①
…②
…③，则步骤①②③依据的运算性质分别是（ ）
A. 积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法
B. 幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法
C. 同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方
D. 幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方
【答案】A
【解析】…①
…②
…③，
则步骤①②③依据的运算性质分别是积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法．
故选：A．
9. 为了响应国家节能减排的号召，某城市大力推广新能源汽车，并计划在市区内新建一批新能源汽车充电站，小王需要在一条城市主干道附近选一个地点建一个充电站C，为附近的两个居民小区A和B的新能源汽车用户提供充电服务，要使两个居民小区的车主到充电站C的行驶距离之和最小，则充电站C的选址正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】选项C中：，
∴当，，三点共线时，的值最小，满足题意；
故选：C．
10. 在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是如对于多项式，因式分解的结果是，若取当，时，则各个因式的值是，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式取，时，用上述方法产生的密码不可能是（ ）
A. 113212B. 111232C. 123211D. 123011
【答案】D
【解析】，且，，
各个因式的值是，，，
组成的密码应包含11，12，32，
组成密码共有6种：111232，113212，121132，123211，321112，321211，
不能组成的密码为123011．
故选：D．
二、填空题
11. 计算：______．
【答案】1
【解析】；
故答案为：1．
12. 因式分解：=______．
【答案】
【解析】，
故答案为：．
13. 《红楼梦》是我国四大名著之一，文学社团的同学在搜集相关资料时发现一张如图所示的《红楼梦》纪念币图案（将纪念币的正面图案和背面图案拼到一起），这个图案可以抽象成有公共边的两个正八边形，如图，则的度数是_____．
【答案】
【解析】∵正八边形的外角和是，共八个外角且每个外角都相等，
∴每个外角都是，
∴正八边形的两个外角的和，
故答案为：．
14. 如图，在一个长为，宽为的长方形木板的四个角上各裁去一个边长为n的正方形木板，则剩下部分的木板（即阴影部分）的面积为______．（化简）
【答案】
【解析】∵，
剩下部分的木板（即阴影部分）的面积为．
故答案为：．
15. 如图，为等边三角形，D，G为边上两点，，连接，，，过点D作，交的延长线于点E，F为延长线上一点，连接，且，若，，则______．
【答案】13
【解析】为等边三角形，
，，
，，
，
∵，
，
，
，
，，
，，
，
，
如图，过点G作于点H，则，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
故答案为：13．
三、解答题
16. 计算：
（1）；
（2）．
解：（1）原式
；
（2）原式
．
17. 先化简，再求值：，其中，．
解：
，
当，时，
原式．
18. 已知a，b，c是的三边长，且，试判断的形状．
解：∵，
∴，
∴．
∵，，，
∴，，．
∴，，，
∴，，，
∴为等边三角形．
19. 在信息传递的过程中，信息的发送方甲方，为了保护传输的数据信息不被第三方窃取，采用一个密钥将要发送的信息进行加密并形成密文发送给乙方，信息的接收方乙方用另一把密钥对密文进行解密，得到明文信息，这种完成信息通信目的的方法称为密钥加密．若某种加密规则如图所示，当发送方发出，，求解密后m，n的值．
解：由题意可知，，
；
将，代入，得，
；
∴，．
20. 将幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．
（1）已知，，求：①的值；②的值；
（2）已知，求x的值．
解：（1）①，，
；
②，，
；
（2），
，解得：．
21. 下面是小芳同学的部分数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务．
2024年10月11日星期五，今天参加课外兴趣小组活动时，老师提出了一个问题：如图1，在中，若，，则BC边上的中线AD的取值范围是多少？
小组内的同学们经过讨论发现，如果在条件中出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的结果转化到同一个三角形中，这样就可以找到解题方法：如图1，延长AD至点E，使，连接BE，可证得，进而可求得中线AD的取值范围．该小组在求解下面的拓展题时，发现也可以用这种方法解决．
拓展题：如图2，以的边AB，AC为边分别向外作等腰和等腰，其中，，，F是的中点，连接，，当时，求的长．
任务：
（1）图1中与的数量关系是______；
（2）图1中，的取值范围是______；
（3）求图2中的长．
解：（1）如图1，延长至点E，使，连接，
∵为中线，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
（2）如图，延长至点E，使，连接．
∵，，，
∴，
∴．
在中，，
∴，
∴．
故答案为；
（3）如图，延长至点G，使，连接．
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴．
∵，
∴
∴．
∵，
∴．
和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴．
22. 综合与实践
主题：制作“回形”正方形．
素材：一张长方形纸板（长为，宽为b）．
步骤1：如图1，将长方形纸板的长四等分，画出相同的小长方形，并按虚线剪开；
步骤2：如图2，把剪好的四块小长方形纸板拼成一个“回形”大正方形纸板．
（1）图2中小正方形（阴影部分）的边长为______；（用含a，b的式子表示）
（2）根据图2，请直接写出，，ab之间的等量关系；
（3）若，，求的值．
拓展与应用：
（4）若，求的值．
解：（1）由题意可得，图2中小正方形（阴影部分）的边长为；
故答案为：
（2）根据图2，大正方形的面积可以表示为，还可以表示为，
∴；
（3）∵，，
∴；
（4）∵，，
∴，
∴，
解得．
23. 综合与探究
如图，在中，以， 为边分别作等边和等边，连接和．
（1）如图1，写出和之间的数量关系，并证明．
（2）如图2，若与相交于点M，求证：．
（3）如图3，取，的中点Q，P，连接，，，得到，试猜想的形状，并证明你的猜想．
证明：（1），
∵和都是等边三角形，
∴， ，，
∴，
∴，
∴．
（2）∵，
∴．
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴；
（3）是等边三角形．理由如下：
∵，
∴，，
∵，的中点为Q，P．
∴，．
∵，
∴．
∵．
∴，
∴， ，
∴，
∴是等边三角形．