重难点05 二次函数的图形变化类-2025年中考数学一轮复习讲义及试题（含答案）

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与二次函数有关的创新类问题
（2种命题预测+7种题型汇总+专题训练+3种解题方法）
【题型汇总】
类型一 涉及二次函数的图形变化类问题
题型01 平移变换
1．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+3图象的对称轴是直线x=−1，图象与x轴交于A，B两点，点B坐标为1,0，直线y=x+n经过点B，且与y轴交于点C．
(1)填空：a=____；b=____；n=_____．
(2)将该二次函数图象向右平移m个单位，使抛物线顶点M落在直线BC上，试求m的值．
(3)在（2）的条件下，设Pt,0是x轴上的一动点，若△MBP外接圆的圆心落在平移后的抛物线内部，试求t的取值范围．
2．（2023·山东青岛·中考真题）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨OA，OB的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，OA，OB关于y轴对称．OC=1分米，点A到x轴的距离是0.6分米，A，B两点之间的距离是4分米．

(1)求抛物线的表达式；
(2)分别延长AO，BO交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离；
(3)以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S1，将抛物线向右平移mm>0个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S2．若S2=35S1，求m的值．
3．（2024·山东泰安·中考真题）如图，抛物线C1:y=ax2+43x−4的图象经过点D1,−1，与x轴交于点A，点B．
(1)求抛物线C1的表达式；
(2)将抛物线C1向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线C2，求抛物线C2的表达式，并判断点D是否在抛物线C2上；
(3)在x轴上方的抛物线C2上，是否存在点P，使△PBD是等腰直角三角形．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2023·湖南岳阳·中考真题）已知抛物线Q1:y=−x2+bx+c与x轴交于A−3,0,B两点，交y轴于点C0,3．

(1)请求出抛物线Q1的表达式．
(2)如图1，在y轴上有一点D0,−1，点E在抛物线Q1上，点F为坐标平面内一点，是否存在点E,F使得四边形DAEF为正方形？若存在，请求出点E,F的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，将抛物线Q1向右平移2个单位，得到抛物线Q2，抛物线Q2的顶点为K，与x轴正半轴交于点H，抛物线Q1上是否存在点P，使得∠CPK=∠CHK？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
题型02 旋转变换
5．（2022·四川资阳·中考真题）已知二次函数图象的顶点坐标为A(1,4)，且与x轴交于点B(−1,0)．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点P(m,0)旋转180°，此时点A、B的对应点分别为点C、D．
①连结AB、BC、CD、DA，当四边形ABCD为矩形时，求m的值；
②在①的条件下，若点M是直线x=m上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得以点B、C、M、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2024·山东烟台·中考真题）如图，抛物线y1=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OC=OA，AB=4，对称轴为直线l1:x=−1，将抛物线y1绕点O旋转180°后得到新抛物线y2，抛物线y2与y轴交于点D，顶点为E，对称轴为直线l2．
(1)分别求抛物线y1和y2的表达式；
(2)如图1，点F的坐标为−6,0，动点M在直线l1上，过点M作MN∥x轴与直线l2交于点N，连接FM，DN．求FM+MN+DN的最小值；
(3)如图2，点H的坐标为0,−2，动点P在抛物线y2上，试探究是否存在点P，使∠PEH=2∠DHE？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
7．（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图， 已知抛物线C1经过原点，且与直线l交于A−2,0和B1,3两点．
(1)求抛物线C1的解析式和tan∠BAO的值．
(2)若D是抛物线C1上的一个动点（在点 A 和点 B之间），作 DE⊥l于点 E， DF∥y轴交l于点 F，在点D运动的过程中，是否存在某一位置，使得△DEF的面积最大？若存在，请求出此时点D的坐标及△DEF面积的最大值；若不存在，请说明理由．
(3)将抛物线C1绕顶点旋转 180°后，再平移使其顶点在直线l上，且经过点 A，得到抛物线C2，试问在抛物线C2上是否存在点P，使△ABP是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
8．（2024·山东济宁·一模）如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为M2,−2，与x轴的交点为A和B（其中点A与原点重合），将抛物线y=ax2+bx+c绕点B逆时针方向旋转90°，点M1，A1为点M，A旋转后的对应点．
(1)求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；
(2)求证：点A，M，A1在同一条直线上；
(3)若点P是原抛物线上的一动点，点Q是旋转后的图形的对称轴上一点，E为线段AM的中点，是否存在点P，使得以P，Q，E，B为顶点的四边形是平行四边形；若存在请求出点P坐标，若不存在，请说明理由．
题型03 翻折变换
二次函数的翻转问题的解题思路：
①根据二次函数上特殊点的坐标值求得二次函数的表达式；
②根据翻转后抛物线与原抛物线的图像关系，确定新抛物线的表达式；
③在直角坐标系中画出原抛物线及翻转后抛物线的简易图，根据图像来判断题目中需要求解的量的各种可能性；
④根据图像及相关函数表达式进行计算，求得题目中需要求解的值.
9．（2023·四川德阳·中考真题）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A(−4,0)，B(2,0)，与y轴交于点C(0,−4)．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，如果把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折180°，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．当平面内的直线y=kx+6与新图象有三个公共点时，求k的值；
(3)如图2，如果把直线AB沿y轴向上平移至经过点D，与抛物线的交点分别是E，F，直线BC交EF于点H，过点F作FG⊥CH于点G，若DFHG=25．求点F的坐标．
10．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1:y=x2−2x−3的顶点为P．直线l过点M0,mm≥−3，且平行于x轴，与抛物线L1交于A、B两点（B在A的右侧）．将抛物线L1沿直线l翻折得到抛物线L2，抛物线L2交y轴于点C，顶点为D．

(1)当m=1时，求点D的坐标；
(2)连接BC、CD、DB，若△BCD为直角三角形，求此时L2所对应的函数表达式；
(3)在（2）的条件下，若△BCD的面积为3,E、F两点分别在边BC、CD上运动，且EF=CD，以EF为一边作正方形EFGH，连接CG，写出CG长度的最小值，并简要说明理由．
11．（2022·辽宁沈阳·中考真题）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y=ax2+bx−3经过点B6,0和点D4,−3与x轴另一个交点A．抛物线与y轴交于点C，作直线AD．
(1)①求抛物线的函数表达式
②并直接写出直线AD的函数表达式．
(2)点E是直线AD下方抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，△BDF的面积记为S1，△DEF的面积记为S2，当S1=2S2时，求点E的坐标；
(3)点G为抛物线的顶点，将抛物线图象中x轴下方部分沿x轴向上翻折，与抛物线剩下部分组成新的曲线为C1，点C的对应点C'，点G的对应点G'，将曲线C1，沿y轴向下平移n个单位长度（00的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数y=x2+bx+c的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．当x=1时，函数的最大值是4
B．函数值y随x的增大而增大，则x≥3
C．关于x的方程x2+bx+c=3的所有实数根的和为4
D．当直线y=x+m与该图象恰有三个公共点时，则m=1
20．（2024·四川乐山·中考真题）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点0,1是函数y=x+1图象的“近轴点”．
（1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是 （填序号）；
①y=−x+3；②y=2x；③y=−x2+2x−1．
（2）若一次函数y=mx−3m图象上存在“近轴点”，则m的取值范围为 ．
21．（2024·四川·中考真题）【定义与性质】
如图，记二次函数y=ax−b2+c和y=−ax−p2+qa≠0的图象分别为抛物线C和C1．
定义：若抛物线C1的顶点Qp,q在抛物线C上，则称C1是C的伴随抛物线．
性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；
②若C1是C的伴随抛物线，则C也是C1的伴随抛物线，即C的顶点Pb,c在C1上．
【理解与运用】
（1）若二次函数y=−12x−22+m和y=−12x−n2+12的图象都是抛物线y=12x2的伴随抛物线，则m=______，n=______．
【思考与探究】
（2）设函数y=x2−2kx+4k+5的图象为抛物线C2．
①若函数y=−x2+dx+e的图象为抛物线C0，且C2始终是C0的伴随抛物线，求d，e的值；
②若抛物线C2与x轴有两个不同的交点x1,0，x2,0 x10),y=−x+b的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为3时，求b的值；
（3）若函数y=x2−2(x≥m)的图象记为W1，将其沿直线x=m翻折后的图象记为W2．当W1,W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围．
27．（2020·四川遂宁·中考真题）阅读以下材料，并解决相应问题：
小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数．
请思考小明的方法解决下面问题：
（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数．
（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2020的值．
（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
28．（2024·浙江·模拟预测）定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．
(1)如图①，矩形ABCD的顶点坐标分别是A−1,2，B−1,−1，C3,−1，D3,2，在点M11,1，M22,2，M33,3中，是矩形ABCD “梦之点”的是 ；
(2)如图②，已知点A，B是抛物线y=−12x2+x+92上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．连接AC，AB，BC，求△ABC的面积；
(3)在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以AB为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．
29．（2024·辽宁·模拟预测）定义：A（1−n，0），B（1+n，0） n>0，以AB长度为边在x轴上方作等边三角形ABC，当函数与△ABC在第一象限内有交点，称为“特别函数”．
(1)如图1，当n=1时，一次函数y=kx+k是“特别函数”，求k的取值范围；
(2)如图2，函数y=−x2+2x+14是“特别函数”，求n的取值范围；
(3)如图3，在2的条件下，函数y=−x2+2x+14与CB交于点D，S△CDA=14S△ABC，求n的值；
(4)当m−1≤x≤m+2时，函数y=−x2+2x+14最大值与最小值的差为|7m|，求m的值．
30．（2024·湖南株洲·二模）定义：若直线y=−1与开口向下的抛物线有两个交点，则这两个交点之间的距离叫做这条抛物线的“反碟长”．如图，已知抛物线L1：y=−x2与直线y=−1相交于P、Q两点．
(1)填空：抛物线L1的“反碟长”PQ=___________．
(2)抛物线L1随其顶点沿直线y=12x向上平移，得到抛物线L2．
①当抛物线L1的顶点平移到点6,3时，求抛物线L2的解析式以及抛物线L2的“反碟长”．
②当抛物线L2的顶点A和抛物线L2与直线y=−1的两个交点B，C构成一个等边三角形时（点B在点C左右），求点A的坐标．
31．（2024·湖南·模拟预测）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，与x轴有交点的函数称为“零点函数”，交点的横坐标称为“零点”，例如：函数y=x−1与x轴的交点坐标是1,0，所以函数y=x−1是“零点函数”，1是该函数的“零点”．
(1)请完成以下两个小题：
①下列函数中，是“零点函数”的为（ ）
A．y=2x+3 B．y=2x C． y=x2+2x+2
②请写出下列函数的“零点”：一次函数y=2x+2的“零点”是 ，二次函数y=x2−2x+1的“零点”是 ；
(2)已知二次函y=ax2+2bx+3c是“零点函数”（a，b，c是常数，a≠0）．
①若a=1,b+cb−c=16，函数的“零点”是x1,x2，且函数与x轴的两个交点之间的距离为8，与y轴的交点在正半轴上，请求出这个函数的解析式；
②若一次函数y=2x−2c与二次函数y=ax2+2b+1x+c相交于点Ax3,y3和Bx4,y4，“零点函数”y=ax2+2bx+3c满足下列条件：①a−b+c=0，②3a−2b−c3a−2b+5c>0，试确定线段AB长度的取值范围．
题型02 与二次函数有关的材料阅读问题
【命题预测】阅读理解型问题以能力立意为目标，综合考核数学素养与数学应用能力。阅读理解型问题，可以是阅读某个(新) 概念、(新) 知识或某种(新) 方法，理解概念、知识的本质或者是掌握新方法，然后利用概念、方法去解决问题；也可以是设计一个新的数学背景，让学生在阅读的基础上，理解其中的内容、方法与思想，然后在把握本质、理解实质的基础上作答。这类题目往往可以考察出学生的阅读能力、分析推理能力、数据( 信息) 处理能力、表达能力、知识迁移能力，综合性强，灵活度高。因此，近些年来，阅读理解型问题频频出现在全国各地的中考试题中。
32．（2023·江苏泰州·中考真题）阅读下面方框内的内容，并完成相应的任务．
任务：
(1)不等式x2−x−60，函数图象与x轴有两个不同的交点A，B，若A，B两点均在原点左侧，探究系数a，b，c应满足的条件，根据函数图像，思考以下三个方面：
①因为函数的图象与x轴有两个不同的交点，所以Δ=b2−4ac>0；
②因为A，B两点在原点左侧，所以x=0对应图象上的点在x轴上方，即c>0；
③上述两个条件还不能确保A，B两点均在原点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴位置来进一步限制抛物线的位置：即需−b2a0Δ=b2−4ac>0c>0−b2a0时①②的分析过程，写出③中当a>0,△0．
(1)若a=1，b=3，且该二次函数的图象过点1,1，求c的值；
(2)如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，该二次函数的图象与x轴相交于不同的两点Ax1,0、Bx2,0，其中x10）的图象如图（1）所示，我们把点A0,14a称为该抛物线的焦点，把抛物线上任意一点P到焦点的距离PA称为焦半径，把直线y=−14a称为该抛物线的准线，抛物线上任意一点P到准线y=−14a的距离PB称为准距．
[知识感悟]
（1）抛物线y=18x2的焦点A的坐标是______，若抛物线上点P的坐标为4,2，则焦半径PA=______，准距PB=______．
[问题探究]
（2）对于抛物线y=ax2（a>0）上点P，试猜想焦半径PA与准距PB的数量关系，并说明理由．
[知识应用]
（3）如图（2），已知抛物线y=12x2的焦点为A，点P为抛物线上一点，连接PA，过点P作直线y=−12的垂线，垂足为B，直线y=−12与y轴交于点M，当∠APB=60°时，求点P的坐标．
题型03 与二次函数压轴题有关的新考法类问题
38．（2024·广东东莞·三模）城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点Ax1,y1和Bx2,y2，用以下方式定义两点间距离：dA,B=x1−x2+y1−y2．（其中O均为坐标原点）
【数学理解】
(1)①已知点A−2,1，则d0,A=______，②函数y=−2x+40≤x≤2的图象如图①所示，B是图象上一点，d0,B=3，则点B的坐标是__________；
(2)函数y=4xx>0的图象如图②所示，求证：该函数的图象上不存在点C，使d0,C=3．
(3)函数y=x2−5x+7(x≥0)的图象如图③所示，D是图象上一点，求d0,D的最小值及对应的点D的坐标．
39．（2024·广东深圳·中考真题）为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x，y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设BD的读数为x，CD读数为y，抛物线的顶点为C．
(1)（Ⅰ）列表：
（Ⅱ）描点：请将表格中的x,y描在图2中；
（Ⅲ）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出y与x的关系式；
(2)如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax−ℎ2+k的顶点为C，该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为AB，竖直跨度为CD，且AB=m，CD=n，为了求出该抛物线的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程：
方案一：将二次函数y=ax−ℎ2+k平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线解析式为y=ax2．
①此时点B'的坐标为________；
②将点B'坐标代入y=ax2中，解得a=________；（用含m，n的式子表示）
方案二：设C点坐标为ℎ,k
①此时点B的坐标为________；
②将点B坐标代入y=ax−ℎ2+k中解得a=________；（用含m，n的式子表示）
(3)【应用】如图4，已知平面直角坐标系xOy中有A，B两点，AB=4，且AB∥x轴，二次函数C1:y1=2x+ℎ2+k和C2:y2=ax+ℎ2+b都经过A，B两点，且C1和C2的顶点P，Q距线段AB的距离之和为10，求a的值．
40．（2024·辽宁·中考真题）已知y1是自变量x的函数，当y2=xy1时，称函数y2为函数y1的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，对于函数y1图象上任意一点A(m,n)，称点B(m,mn)为点A“关于y1的升幂点”，点B在函数y1的“升幂函数”y2的图象上．例如：函数y1=2x，当y2=xy1=x⋅2x=2x2时，则函数y2=2x2是函数y1=2x的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，函数y1=2x的图象上任意一点A(m,2m)，点Bm,2m2为点A“关于y1的升幂点”，点B在函数y1=2x的“升幂函数”y2=2x2的图象上．
(1)求函数y1=12x的“升幂函数”y2的函数表达式；
(2)如图1，点A在函数y1=3x(x>0)的图象上，点A“关于y1的升幂点”B在点A上方，当AB=2时，求点A的坐标；
(3)点A在函数y1=−x+4的图象上，点A“关于y1的升幂点”为点B，设点A的横坐标为m．
①若点B与点A重合，求m的值；
②若点B在点A的上方，过点B作x轴的平行线，与函数y1的“升幂函数”y2的图象相交于点C，以AB，BC为邻边构造矩形ABCD，设矩形ABCD的周长为y，求y关于m的函数表达式；
③在②的条件下，当直线y=t1与函数y的图象的交点有3个时，从左到右依次记为E，F，G，当直线y=t2与函数y的图象的交点有2个时，从左到右依次记为M，N，若EF=MN，请直接写出t2−t1的值．
41．（2024·湖南长沙·中考真题）已知四个不同的点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，D(x4,y4)都在关于x的函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象上．
(1)当A，B两点的坐标分别为−1,−4，3,4时，求代数式2024a+1012b+37的值；
(2)当A，B两点的坐标满足a2+2(y1+y2)a+4y1y2=0时，请你判断此函数图象与x轴的公共点的个数，并说明理由；
(3)当a>0时，该函数图象与x轴交于E，F两点，且A，B，C，D四点的坐标满足：2a2+2(y1+y2)a+y12+y22=0，2a2−2(y3+y4)a+y32+y42=0．请问是否存在实数m(m>1)，使得AB，CD，m⋅EF这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为1:2:3？若存在，求出m的值和此时函数的最小值；若不存在，请说明理由（注：m⋅EF表示一条长度等于EF的m倍的线段）．
42．（2024·吉林长春·中考真题）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y=x2+2x+c（c是常数）经过点−2,−2．点A、B是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为m、−m，点C的横坐标为−5m，点C的纵坐标与点A的纵坐标相同，连结AB、AC．
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)求证：当m取不为零的任意实数时，tan∠CAB的值始终为2；
(3)作AC的垂直平分线交直线AB于点D，以AD为边、AC为对角线作菱形ADCE，连结DE．
①当DE与此抛物线的对称轴重合时，求菱形ADCE的面积；
②当此抛物线在菱形ADCE内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围．
43．（2024·吉林·中考真题）小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）所示，输入x的值为−2时，输出y的值为1；输入x的值为2时，输出y的值为3；输入x的值为3时，输出y的值为6．
(1)直接写出k，a，b的值．
(2)小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图像，如图（2）．
Ⅰ．当y随x的增大而增大时，求x的取值范围．
Ⅱ．若关于x的方程ax2+bx+3−t=0（t为实数），在0