重难点09 几何热考题三 四边形热考模型(5种类型19种模型详解+专题训练-2025年中考数学一轮复习讲义及试题（含答案）

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【题型汇总】
题型01 中点四边形模型
【基础模型】已知点E、F、G、H分别为任意四边形ABCD四条边AB、BC、CD、AD的中点，则
①四边形EFGH是平行四边形 ②CEFGH =AC+BD ③
【名师总结】
1）顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形是矩形.
2）顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的四边形是矩形.
3）顺次连接对角线相等的四边形各边中点所组成的四边形是菱形.
4）顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所组成的四边形是正方形.
速记口诀：矩中菱，菱中矩，正中正.
1．（2024·山西·中考真题）在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，EG，FH交于点O．若四边形ABCD的对角线相等，则线段EG与FH一定满足的关系为( )
A．互相垂直平分B．互相平分且相等
C．互相垂直且相等D．互相垂直平分且相等
2．（2022·湖北荆州·中考真题）如图，已知矩形ABCD的边长分别为a，b，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形A1B1C1D1；第二次，顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点，得到四边形A2B2C2D2；…如此反复操作下去，则第n次操作后，得到四边形AnBnCnDn的面积是（ ）
A．ab2nB．ab2n−1C．ab2n+1D．ab22n
3．（2023·江苏南通·中考真题）如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，AC=4，BD=6，则AD+BC的最小值是 ．

4．（2024·云南·中考真题）如图，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是各边的中点，且AB∥CD，AD∥BC，四边形EFGH是矩形．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若矩形EFGH的周长为22，四边形ABCD的面积为10，求AB的长．
5．（2023·山西·中考真题）阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
任务：
(1)填空：材料中的依据1是指：_____________．
依据2是指：_____________．
(2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形ABCD及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH，使得四边形EFGH为矩形；（要求同时画出四边形ABCD的对角线）
(3)在图1中，分别连接AC,BD得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长与对角线AC,BD长度的关系，并证明你的结论．

6．（2024·青海·中考真题）综合与实践
顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用．
以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究．
【探究一】
如图1，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是各边的中点．
求证：中点四边形EFGH是平行四边形．
证明：∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF、GH分别是△ABC和△ACD的中位线，
∴EF=12AC，GH=12AC（____①____）∴EF=GH．
同理可得：EH=FG．∴中点四边形EFGH是平行四边形．
结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形．
（1）请你补全上述过程中的证明依据①________
【探究二】
从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形．
（2）下面我们结合图2来证明猜想Ⅰ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．
【探究三】
（3）从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线垂直时，中点四边形是②________．
（4）下面我们结合图3来证明猜想Ⅱ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．
【归纳总结】
（5）请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形．
结论：原四边形对角线③________时，中点四边形是④________．
题型02 垂美四边形模型
7．（2020·四川雅安·中考真题）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD=2，BC=4，则AB2+CD2= ．
8．（2024·山东泰安·二模）小明学习了四边形后，对有特殊性质的四边形的探究产生了兴趣，发现了这样一类特殊的四边形：两条对角线互相垂直的四边形，叫做垂美四边形，如图：已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，对角线AC=4，BD=6，设S=AD+BC，则S的最小值等于 ．
9．（2021·山东枣庄·中考真题）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；
（2）性质探究：如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O．猜想：AB2+CD2与AD2+BC2有什么关系？并证明你的猜想．
（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE，BG，GE．已知AC=4，AB=5，求GE的长．
10．（2023·江苏常州·二模）【知识感知】：我们把对角丝互相垂直的四边形称为“垂美四边形”如图1所示．
【概念理解】：①在下列四边形中，①正方形；②矩形：③菱形；④平行四边形，是垂美四边形的是 ；
②三边长为2的垂美四边形周长为 ．
【性质探索】：若记垂美四边形ABCD面积为S，试直接写出S与AC、BD之间的关系 ；
【性质应用】：尝试用两个全等的直角三角形（Rt△ABC≌Rt△BED）如图2摆放，其中B、C、E在一条直线上，若假设直角三角形三边长为x，y，z，即BC=ED=x，AB=BE=y，AC=BD=z，试利用上面的结论证明勾股定理．
11．（2024·浙江杭州·三模）（1）认识研究对象：如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．我们已经学习了①平行四边形②菱形③矩形④正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是 ．
（2）探索研究方法：如图1．已知四边形ABCD是垂美四边形，求证：AB2+CD2=AD2+BC2．
（3）尝试问题解决：已知AB=52，BC=42，分别以△ABC的边BC和AB向外作等腰Rt△BCE和等腰Rt△ABD；
①如图2，当∠ACB=90°，连接DE，求DE的长；
②如图3．当∠ACB≠90°，点G、H分别是AD、AC中点，连接GH．若GH=26，求S△ABC的面积．
12．（2023·江苏徐州·中考真题）【阅读理解】如图1，在矩形ABCD中，若AB=a,BC=b，由勾股定理，得AC2=a2+b2，同理BD2=a2+b2，故AC2+BD2=2a2+b2．
【探究发现】如图2，四边形ABCD为平行四边形，若AB=a,BC=b，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由．
【拓展提升】如图3，已知BO为△ABC的一条中线，AB=a,BC=b,AC=c．求证：BO2=a2+b22−c24．
【尝试应用】如图4，在矩形ABCD中，若AB=8,BC=12，点P在边AD上，则PB2+PC2的最小值为_______．
题型03 正方形热考模型
1）十字架模型
【基础模型-两边过顶点】
使用场景：在正方形ABCD中，E，F分别是BC，DC上的点，AE与BO相交于点O,互相推导①BE=CF，②AE=BF，③AE⊥BF
图示：
大招结论：相等则垂直，垂直则相等.
【模型进阶-一边过顶点】
条件：在正方形ABCD中，E，F，G分别是BC，AB，DC上的点，AE与FG相交于点O,
图示：
结论：正方形十字模型中，构成“十”字形的两条线段，知垂直推相等，知相等推垂直.
【模型进阶-两边均不过顶点】
图示：
结论：正方形十字模型中，构成“十”字形的两条线段，知垂直推相等，知相等推垂直.
【易错点】以上结论成立的条件是:四点必须位于四边，否则不成立.
①正方形两边过顶点
13．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB=12，点E，F分别在边BC，CD上，AE与BF相交于点G，若BE=CF=5，则BG的长为 ．
14．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，正方形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，且BM=CN，AN与DM相交于点P．

(1)求证：△ABN≌△DAM；
(2)求∠APM的大小．
15．（2023·山东·中考真题）（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．

【问题解决】
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE=DF，延长BC到点H，使CH=DE，连接DH．求证：∠ADF=∠H．
【类比迁移】
（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE=DF=11，DE=8，∠AED=60°，求CF的长．
②正方形一边过顶点
16．（2023·江苏扬州·中考真题）如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在边AD、BC上，将正方形沿着EF翻折，点B恰好落在CD边上的点B'处，如果四边形ABFE与四边形EFCD的面积比为3∶5，那么线段FC的长为 ．

17．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE的垂直平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为O，点F在DC上，且MF∥AD．
(1)求证：△ABE≌△FMN；
(2)若AB=8，AE=6，求ON的长．
18．（2024·河南·一模）综合与实践
完成任务：
（1）填空：上述材料中的依据是________（填“SAS”或“AAS”或“ASA”或“HL”）
【发现问题】同学们通过交流后发现，已知AE⊥BF可证得AE=BF，已知AE=BF同样可证得AE⊥BF，为了验证这个结论是否具有一般性，又进行了如下探究．
【迁移探究】（2）在正方形ABCD中，点E在CD上，点M，N分别在AD,BC上，连接AE,MN交于点P．甲小组同学根据MN⊥AE画出图形如图2所示，乙小组同学根据MN=AE画出图形如图3所示．甲小组同学发现已知MN⊥AE仍能证明MN=AE，乙小组同学发现已知MN=AE无法证明MN⊥AE一定成立．
①在图2中，已知MN⊥AE，求证：MN=AE；
②在图3中，若∠DAE=α，则∠APM的度数为多少?
【拓展应用】
（3）如图4，在正方形ABCD中，AB=3，点E在边AB上，点M在边AD上，且AE=AM=1，点F，N分别在直线CD，BC上，若EF=MN，当直线EF与直线MN所夹较小角的度数为30°时，请直接写出CF的长．
19．（2024·山西·模拟预测）阅读与思考
下面是小逸同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
图4
任务：(1)填空：材料中的依据1是指___________________，依据2________________．
(2)补全材料中方法二的剩余证明过程．
(3)如图4，在正方形网格中，A，B，C，D为格点（网格线的交点），AB交CD于点O．则tan∠AOC=_____________．
③正方形两边均不过顶点
20．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）阅读与思考：下面是小姜同学写的一篇数学学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务：
任务：
(1)完成笔记中的“我是这样思考的”；
(2)回答笔记中反思1的问题，并证明；
(3)回答笔记中反思2的问题，在图3中画图并简要说明．
④矩形两边均不过顶点（含一边过顶点）
21．（2023·山东日照·中考真题）如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点P在对角线BD上，过点P作MN⊥BD，交边AD，BC于点M，N，过点M作ME⊥AD交BD于点E，连接EN，BM，DN．下列结论：①EM=EN；②四边形MBND的面积不变；③当AM:MD=1:2时，S△MPE=9625；④BM+MN+ND的最小值是20．其中所有正确结论的序号是 ．

22．（2023·河南·三模）综合与实践课上，老师让同学们以“矩形与垂直”为主题开展数学活动．

(1)操作判断
如图1，正方形纸片ABCD，在边BC上任意取一点E，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，与边CD交于点F．
根据以上操作，请直接写出图1中BE与CF的数量关系：______．
(2)迁移探究
小华将正方形纸片换成矩形纸片，继续探究，过程如下：
如图2，在矩形纸片ABCD中，AB:AD=m:n，在边BC上任意取一点E，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，与边CD交于点F，请求出BECF的值，并说明理由；
(3)拓展应用
如图3，已知正方形纸片ABCD的边长为2，动点E由点A向终点D做匀速运动，动点F由点D向终点C做匀速运动，动点E、F同时开始运动，且速度相同，连接AF、BE，交于点G，连接GD，则线段GD长度的最小值为______，点G的运动轨迹的长为______．（直接写出答案不必说明理由）
23．（2023·浙江宁波·模拟预测）【基础巩固】（1）如图1，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上，且EG⊥FH，求EGFH的值；
【尝试应用】（2）如图2，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ABC=45°，AB=322BC，点E，F分别在线段AB，AD上，且CE⊥BF，求CEBF的值；
【拓展提高】（3）如图3，四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AD上一点，过点E作FG垂直CD交AB于点F，交CD的延长线于点G．若AF=2，BF=3，CD=7，求AE的长．
24．（2024·山东泰安·中考真题）综合与实践
为了研究折纸过程蕴含的数学知识，某校九年级数学兴趣小组的同学进行了数学折纸探究活动．
【探究发现】
（1）同学们对一张矩形纸片进行折叠，如图1，把矩形纸片ABCD翻折，使矩形顶点B的对应点G恰好落在矩形的一边CD上，折痕为EF，将纸片展平，连结BG，EF与BG相交于点H．同学们发现图形中四条线段成比例，即EFBG=ABBC，请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由．
【拓展延伸】
（2）同学们对老师给出的一张平行四边形纸片进行研究，如图2，BD是平行四边形纸片ABCD的一条对角线，同学们将该平行四边形纸片翻折，使点A的对应点G，点C的对应点H都落在对角线BD上，折痕分别是BE和DF，将纸片展平，连结EG，FH，FG，同学们探究后发现，若FG∥CD，那么点G恰好是对角线BD的一个“黄金分剧点”，即BG2=BD⋅GD．请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由．
25．（23-24九年级上·贵州贵阳·期末）如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB、BC上，DF⊥CE于点O，点G，H分别在边AD、BC上，GH⊥CE．
(1)问题解决：①写出DF与CE的数量关系： ；②GHCE的值为 ；
(2)类比探究，如图②，在矩形ABCD中，ABBC=k（k为常数），将矩形ABCD沿GH折叠，使点C落在AB边上的点E处，得到四边形EFGH交AD于点P，连接CE交GH于点O．试探究GH与CE之间的数量关系，并说明理由；
(3)拓展应用，如图③，四边形ABCD中，∠BAD=90°，AB=BC=6，AD=CD=4，BF⊥CE，点E、F分别在边AB、AD上，求CEBF的值．
2）半角模型
【模型介绍】从正方形的一个顶点引出夹角为45°的两条射线，并连结它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型.
已知正方形ABCD中，E，F分别是BC、CD上的点，∠EAF=45°，AE、AF分别与BD相交于点O、P，则：
①EF=BE+DF ②AE平分∠BEF，AF平分∠DFE ③C∆CEF=2倍正方形边长
④S∆ABE +S∆ADF =S∆AEF ⑤AB=AG=AD（过点A作AG⊥EF，垂足为点G）
⑥OP2=OB2+OD2 ⑦若点E为BC中点，则点F为CD三等分点
⑧∆APO∽∆AEF∽∆DPF∽∆BEO∽∆DAO∽∆BPA ⑨ABEP四点共圆、AOFD四点共圆、OECFP五点共圆
⑩∆APE、∆AOF为等腰直角三角形 (11) EF=2OP
(12) S∆AEF=2S∆APO (13)AB2=BP×OD
(14)CE•CF=2BE•DF (15) ∆EPC为等腰三角形
(16) PX=BX+DP(过点E作EX⊥BD，垂足为点X)
证明：
①思路：延长CD到点M，使DM=BE，连接AM
先根据已知条件∆ABE ≌ ∆ADM (SAS)，由此可得AE=AM，∠BAE=∠DAM
而∠BAE+∠FAD =45°，所以∠DAM+∠FAD =45°，可证明∆AEF ≌ ∆AMF (SAS)，
由此可得EF=MF，而MF=DM+DF=BE+DF，因此EF=BE+DF
②思路：∵∆AEF ≌ ∆AMF (SAS) ∴∠AFM=∠AFE，∠AMF=∠AEF
∴AF平分∠DFE 又∵∠AMF=∠AEB
∴∠AEB=∠AEF ∴AE平分∠BEF
③思路：C∆CEF=EF+EC+FC=(BE+DF)+EC+FC=（BE+ EC）+（DF+ FC）=BC+DC=2BC
④、⑤思路：过点A作AG⊥EF，垂足为点G
根据②证明过程可知AFG=∠AFD，∠AEB=∠AEG
因此可以证明: ∆ABE ≌ ∆AGE (AAS), ∆AGF ≌ ∆ADF(AAS)
所以AB=AG=AD，S∆ABE =S∆AGE，S∆AGF =S∆ADF
则S∆AEF= S∆AGE+ S∆AGF= S∆ABE + S∆ADF
⑥思路：绕点A将∆APD逆时针旋转90°得到∆ANB ,使AD，AB重合
因为∆APD ≌ ∆ANB (AAS) 所以AN=AP，BN=DP，∠NAB=∠PAD，∠ADP=∠ABN
因为∠ADB=∠ABD=45°，所以∠NBO=90°
因为∠BAE+∠PAD=45° 所以∠NAB+∠BAE=45°
则∆ANO ≌ ∆APO (SAS) 所以NO=OP
在Rt∆NBO中，由勾股定理可知：ON2=OB2+NB2 ，则OP2=OB2+OD2
⑦思路：已知tan∠EAB=BEAB=12，且∠EAB+∠FAD=45°
∴tan∠FAD=13（“12345型”），∴DF:AD=1:3，即点F为CD的三等分点.
⑧思路：假设∠AEF的度数为α，∠AFE的度数为β.
在右图中已知表示45°角，表示角的度数为α，表示角的度数为β
所以∆APO∽∆AEF∽∆DPF∽∆BEO∽∆DAO∽∆BPA
⑨、⑩思路：1）∵∠EAP=∠EBO=45°，∴ABEP四点共圆
∵∠EBA =90°，∴AE为直径，∴∠APE=90° 则AP⊥PE
∴∠AEP=180°-∠APE-∠EAP=45° ∴∆APE为等腰直角三角形
2）同理AOFD四点共圆， ∵∠ADF =90°，∴AF为直径，∴∠AOF=90° 则AO⊥OF
∴∠AFO=180°-∠AOF-∠OAF=45° ∴∆AOF为等腰直角三角形
3)∵∠EOF=∠EPF= ∠ECF =90°，∴OECFP五点共圆
(11) 思路：∵∆APO∽∆AEF ∴AEAP=EFOP ,假设AP长为1，则AE=2,∴EF=2OP
(12) 思路：∆APO∽∆AEF 相似比为22，则面积的比为12 ，S∆AEF=2S∆APO
(13) 思路：∵∆ABP∽∆ODA ∴ABOD=BPAD ,∴AB×AD=BP×OD 则AB2=BP×OD
(14) 思路：假设正方形的边长为m，BE长为a，DF长为b，则EF长为a+b
根据勾股定理可得EC2+FC2=EF2 ,则(m-a)2+(m-b)2=(a+b)2
化简得(m-a)(m-b)=2ab 所以CE•CF=2BE•DF
(15) 思路：根据⑩证明过程可知∆APE为等腰直角三角形，所以AP=PE
再证明∆ADP ≌ ∆CDP (SAS)，所以AP=PC，
则PE=PC 所以∆EPC为等腰三角形
(16) 思路：过点E作EX⊥BD，垂足为点X, 过点A作AY⊥BD，垂足为点Y，连接PE
先证明∆APY ≌ ∆PEX (AAS) (“一线三垂直模型”)，所以AY=PX
∵AY=12BD ,∴PX=12BD 所以BX+DP= PX=12BD
①半角模型
26．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为1，M、N是边BC、CD上的动点．若∠MAN=45°，则MN的最小值为 ．
27．（2022·贵州黔西·中考真题）如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点（点E不与点B，C重合），且∠EAF=45°．
(1)当BE=DF时，求证：AE=AF；
(2)猜想BE，EF，DF三条线段之间存在的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图2，连接AC，G是CB延长线上一点，GH⊥AE，垂足为K，交AC于点H且GH=AE．若DF=a，CH=b，请用含a，b的代数式表示EF的长．
28．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有45°角的三角尺放在正方形ABCD中，使45°角的顶点始终与正方形的顶点C重合，绕点C旋转三角尺时，45°角的两边CM，CN始终与正方形的边AD，AB所在直线分别相交于点M，N，连接MN，可得△CMN．

【探究一】如图②，把△CDM绕点C逆时针旋转90°得到△CBH，同时得到点H在直线AB上．求证：∠CNM=∠CNH；
【探究二】在图②中，连接BD，分别交CM，CN于点E，F．求证：△CEF∽△CNM；
【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线BD与三角尺45°角两边CM，CN分别交于点E，F．连接AC交BD于点O，求EFNM的值．
29．（2024·四川乐山·中考真题）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：
【问题情境】
如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E在边BC上，且∠DAE=45°，BD=3，CE=4，求DE的长．
解：如图2，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACD'，连接ED'．

由旋转的特征得∠BAD=∠CAD'，∠B=∠ACD'，AD=AD'，BD=CD'．
∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，
∴∠BAD+∠EAC=45°．
∵∠BAD=∠CAD'，
∴∠CAD'+∠EAC=45°，即∠EAD'=45°．
∴∠DAE=∠D'AE．
在△DAE和△D'AE中，
AD=AD'，∠DAE=∠D'AE，AE=AE，
∴___①___．
∴DE=D'E．
又∵∠ECD'=∠ECA+∠ACD'=∠ECA+∠B=90°，
∴在Rt△ECD'中，___②___．
∵CD'=BD=3，CE=4，

∴DE=D'E=___③___．
【问题解决】
上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______．
刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变．
【知识迁移】
如图3，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，满足△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，连结AE、AF，分别与对角线BD交于M、N两点．探究BM、MN、DN的数量关系并证明．

【拓展应用】
如图4，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．探究BE、EF、DF的数量关系：______（直接写出结论，不必证明）．

【问题再探】
如图5，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，点D、E在边AC上，且∠DBE=45°．设AD=x，CE=y，求y与x的函数关系式．

30．（2024·甘肃兰州·模拟预测）综合与实践
【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形ABCD是正方形，M，N分别在边CD，BC上，且∠MAN=45°，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．
(1)【初步尝试】如图1，将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE，连接MN．用等式写出线段DM，BN，MN的数量关系，并说明理由；
(2)【类比探究】小启改变点的位置后，进一步探究：如图2，点M，N分别在正方形ABCD的边CD，BC的延长线上，∠MAN=45°，连接MN，用等式写出线段MN，DM，BN的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】李老师提出新的探究方向：如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B+∠D=180°，点N，M分别在边BC，CD上，∠MAN=60°，用等式写出线段BN，DM，MN的数量关系，并说明理由．
31．（2024·山东东营·模拟预测）【操作与发现】
如图①，在正方形ABCD中，点N，M分别在边BC、CD上．连接AM、AN、MN．∠MAN=45°．
(1)将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．从而可得：DM+BN=MN．请说明理由．
(2)【实践探究】在图①条件下，若CN=6，CM=8，则正方形ABCD的边长是 ．
(3)如图②，在正方形ABCD中，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN、MN，∠MAN=45°，若tan∠BAN=13，求证：M是CD的中点．
(4)【拓展】如图③，在矩形ABCD中，AB=12，AD=16，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN，已知∠MAN=45°，BN=4，则DM的长是 ．
32．（2024·江苏宿迁·中考真题）在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动
【操作判断】
操作一：如图①，对折正方形纸片ABCD，得到折痕AC，把纸片展平；
操作二：如图②，在边AD上选一点E，沿BE折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕BE；
操作三：如图③，在边CD上选一点F，沿BF折叠，使边BC与边BA重合，得到折痕BF把正方形纸片展平，得图④，折痕BE、BF与AC的交点分别为G、H．
根据以上操作，得∠EBF=________°．
【探究证明】
（1）如图⑤，连接GF，试判断△BFG的形状并证明；
（2）如图⑥，连接EF，过点G作CD的垂线，分别交AB、CD、EF于点P、Q、M．求证：EM=MF．
【深入研究】
若AGAC=1k，请求出GHHC的值（用含k的代数式表示）．
②与半角模型有关的多结论问题
33．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点H在AD边上（不与点A、D重合），∠BHF=90°，HF交正方形外角的平分线DF于点F，连接AC交BH于点M，连接BF交AC于点G，交CD于点N，连接BD．则下列结论：①∠HBF=45°；②点G是BF的中点；③若点H是AD的中点，则sin∠NBC=1010；④BN=2BM；⑤若AH=12HD，则S△BND=112S△AHM，其中正确的结论是（ ）
A．①②③④B．①③⑤C．①②④⑤D．①②③④⑤
34．（2021·湖北黄石·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，AE交BD于M点，AF交BD于N点．
（1）若正方形的边长为2，则△CEF的周长是 ．
（2）下列结论：①BM2+DN2=MN2；②若F是CD的中点，则tan∠AEF=2；③连接MF，则△AMF为等腰直角三角形．其中正确结论的序号是 （把你认为所有正确的都填上）．
35．（2022·四川达州·中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别为AD，CD边上的动点（不与端点重合），连接BE，BF，分别交对角线AC于点P，Q．点E，F在运动过程中，始终保持∠EBF=45°，连接EF，PF，PD．以下结论：①PB=PD；②∠EFD=2∠FBC；③PQ=PA+CQ；④△BPF为等腰直角三角形；⑤若过点B作BH⊥EF，垂足为H，连接DH，则DH的最小值为22−2．其中所有正确结论的序号是 ．
3) 风车模型
使用场景：已知正方形ABCD，点O是对角线的交点，∠MON=90°
图示：
大招结论：1) △OAE≌△OBF，△OBE≌△OCF 2) BE+BF=AE+FC=AB
3) △EOF为等腰直角三角形 4)
5)
6) (当OE⊥AB时OE取最小值)
36．（2023·湖北襄阳·中考真题）【问题背景】
人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的14.想一想，这是为什么？（此问题不需要作答）
九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形ABCD的对角线相交于点O，点P落在线段OC上，PAPC=k（k为常数）．

【特例证明】
（1）如图1，将Rt△PEF的直角顶点P与点O重合，两直角边分别与边AB，BC相交于点M，N.
①填空：k=______；
②求证：PM=PN．（提示：借鉴解决【问题背景】的思路和方法，可直接证明△PAM≅△PBN；也可过点P分别作AB，BC的垂线构造全等三角形证明．请选择其中一种方法解答问题②．）
【类比探究】
（2）如图2，将图1中的△PEF沿OC方向平移，判断PM与PN的数量关系（用含k的式子表示），并说明理由．
【拓展运用】
（3）如图3，点N在边BC上，∠BPN=45°，延长NP交边CD于点E，若EN=kPN，求k的值．
37．（2024·四川眉山·中考真题）综合与实践
问题提出：在一次综合与实践活动中，某数学兴趣小组将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形的中心O处，并绕点O旋转，探究直角三角板与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况．
操作发现：将直角三角板的直角顶点放在点O处，在旋转过程中：
（1）若正方形边长为4，当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为______；当一条直角边与正方形的一边垂直时，重叠部分的面积为______．
（2）若正方形的面积为S，重叠部分的面积为S1，在旋转过程中S1与S的关系为______．
类比探究：如图1，若等腰直角三角板的直角顶点与点O重合，在旋转过程中，两条直角边分别角交正方形两边于E，F两点，小宇经过多次实验得到结论BE+DF=2OC，请你帮他进行证明．
拓展延伸：如图2，若正方形边长为4，将另一个直角三角板中60°角的顶点与点O重合，在旋转过程中，当三角板的直角边交AB于点M，斜边交BC于点N，且BM=BN时，请求出重叠部分的面积．
（参考数据：sin15°=6−24，cs15°=6+24，tan15°=2−3）
38．（2022·江西·中考真题）问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板PEF∠P=90°,∠F=60°的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板PEF与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）．
(1)操作发现：如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，重叠部分的面积为__________；当OF与BC垂直时，重叠部分的面积为__________；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为__________；
(2)类比探究：若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，OE,OP分别与正方形的边相交于点M，N．
①如图2，当BM=CN时，试判断重叠部分△OMN的形状，并说明理由；
②如图3，当CM=CN时，求重叠部分四边形OMCN的面积（结果保留根号）；
(3)拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为∠GOH（设∠GOH=α），将∠GOH绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，∠GOH的两边与正方形ABCD的边所围成的图形的面积为S2，请直接写出S2的最小值与最大值（分别用含α的式子表示），
（参考数据：sin15°=6−24,cs15°=6+24,tan15°=2−3）
4) 一线三等角模型
①一线三等角模型
39．（2024·海南·中考真题）正方形ABCD中，点E是边BC上的动点（不与点B、C重合），∠1=∠2，AE=EF，AF交CD于点H，FG⊥BC交BC延长线于点G．

(1)如图1，求证：△ABE≌△EGF；
(2)如图2，EM⊥AF于点P，交AD于点M．
①求证：点P在∠ABC的平分线上；
②当CHDH=m时，猜想AP与PH的数量关系，并证明；
③作HN⊥AE于点N，连接MN、HE，当MN∥HE时，若AB=6，求BE的值．
40.（2024·江苏扬州·中考真题）如图，点A、B、M、E、F依次在直线l上，点A、B固定不动，且AB=2，分别以AB、EF为边在直线l同侧作正方形ABCD、正方形EFGH，∠PMN=90°，直角边MP恒过点C，直角边MN恒过点H．
(1)如图1，若BE=10，EF=12，求点M与点B之间的距离；
(2)如图1，若BE=10，当点M在点B、E之间运动时，求HE的最大值；
(3)如图2，若BF=22，当点E在点B、F之间运动时，点M随之运动，连接CH，点O是CH的中点，连接HB、MO，则2OM+HB的最小值为_______．
41．（2024·甘肃·中考真题）【模型建立】
（1）如图1，已知△ABE和△BCD，AB⊥BC，AB=BC，CD⊥BD，AE⊥BD．用等式写出线段AE，DE，CD的数量关系，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在对角线BD和边CD上，AE⊥EF，AE=EF．用等式写出线段BE，AD，DF的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】
（3）如图3，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边CD的延长线上，AE⊥EF，AE=EF．用等式写出线段BE，AD，DF的数量关系，并说明理由．
②构造一线三等角模型
42．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y=−x2+4上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（m>n>0），下列结论正确的是（ ）
A．m+n=1B．m−n=1C．mn=1D．mn=1
43．（2024·重庆·中考真题）如图，在正方形ABCD的边CD上有一点E，连接AE，把AE绕点E逆时针旋转90°，得到FE，连接CF并延长与AB的延长线交于点G．则FGCE的值为（ ）
A．2B．3C．322D．332
44．（2023·海南·中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB=8，点E在边AD上，且AD=4AE，点P为边AB上的动点，连接PE，过点E作EF⊥PE，交射线BC于点F，则EFPE= ．若点M是线段EF的中点，则当点P从点A运动到点B时，点M运动的路径长为 ．

45．（2022·江苏南京·中考真题）在平面直角坐标系中，正方形ABCD如图所示，点A的坐标(−1,0)，点D的坐标是(−2,4)，则点C的坐标是 ．

题型04 特殊四边形热考模型
1）最值模型
①矩形对角相等求最值
46．（2024·西藏·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，点P是边AB上任意一点，过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D，E，连接DE，则DE的最小值是（ ）
A．132B．6013C．125D．3013
47．（2023·浙江杭州·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°,P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是（ ）

A．一直增大B．一直减小C．先减小后增大D．先增大后减少
48．（2023下·天津河东·八年级校联考期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，且BA=6，AC=8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（ ）

A．5B．3.6C．2.4D．4.8
49．（2022下·江苏淮安·八年级校联考期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值是( )
A．12B．65C．125D．32
②利用菱形的对称性求最值
50．（2022·山东菏泽·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠ABC=60°，M是对角线BD上的一个动点，CF=BF，则MA+MF的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．2
51．（2022·四川广安·中考真题）如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F分别为边AD、DC的中点，则PE + PF的最小值是（ ）
A．2B．3C．1.5D．5
52．（2022·内蒙古赤峰·中考真题）如图，菱形ABCD，点A、B、C、D均在坐标轴上，∠ABC=120°，点A−3,0，点E是CD的中点，点P是OC上的一动点，则PD+PE的最小值是（ ）
A．3B．5C．22D．323
③利用正方形的对称性求最值
条件：如图，AC是正方形ABCD的对角线，点E在AC上
正方形对角线，连接顶点对称现
图示：
解题大招：正方形是轴对称图形，具有4条对称轴，围绕对称轴，有多组对称型全等.
53．（2021·青海·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为
54．（2023·广东广州·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上，且BE=1，F为对角线BD上一动点，连接CF，EF，则CF+EF的最小值为 ．

55．（2023·安徽合肥·三模）如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ）

A． 23B． 26C．3D．6
56．（2023·四川攀枝花·中考真题）如图，已知正方形ABCD的边长为3，点P是对角线BD上的一点，PF⊥AD于点F，PE⊥AB于点E，连接PC，当PE:PF=1:2时，则PC=（ ）

A．3B．2C．5D．52
57．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点（与点B,D不重合），GE⊥CD,GF⊥BC,E,F分别为垂足．连接EF,AG，并延长AG交EF于点H．

(1)求证：∠DAG=∠EGH．
(2)判断AH与EF是否垂直，并说明理由．
④正方形与等边三角形
58．（2024·山东青岛·一模）如图，正方形ABCD边长为4，△ABP为等边三角形，连接PC，PD，则∠PCD的正切值为（ ）
A．12B．2−3C．32D．6−24
59．（2022·贵州黔东南·中考真题）如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED，过点D作DF⊥BC，垂足为F，则DF的长为（ ）
A．23+2B．5−33C．3−3D．3+1
60．（2024·广东珠海·一模）图，E是正方形ABCD内一点，△BCE是等边三角形，连接DE，AE，延长DE交AB于点F．
(1)求证：△ABE≌△DCE；
(2)求∠AFD的度数．
61．（2023·安徽黄山·模拟预测）如图①，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
(1)连接MN，△BMN是等边三角形吗？为什么？
(2)求证：△AMB≌△ENB；
(3)①当M点在何处时，AM+CM的值最小；
②如图②，当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，请你画出图形，并说明理由．
62．（2023·广东广州·中考真题）如图，在正方形ABCD中，E是边AD上一动点（不与点A，D重合）．边BC关于BE对称的线段为BF，连接AF．

(1)若∠ABE=15°，求证：△ABF是等边三角形；
(2)延长FA，交射线BE于点G；
①△BGF能否为等腰三角形？如果能，求此时∠ABE的度数；如果不能，请说明理由；
②若AB=3+6，求△BGF面积的最大值，并求此时AE的长．
2）折叠模型
解题方法：与特殊平行四边形有关的折叠问题与轴对称的知识联系紧密，解决这类问题有两个“秘诀”:
一是折叠前后的两部分是全等的(对应边、对应角相等)；
二是折叠前后的对应点所连线段被折痕垂直平分.
63．（2023·四川达州·中考真题）（1）如图①，在矩形ABCD的AB边上取一点E，将△ADE沿DE翻折，使点A落在BC上A'处，若AB=6,BC=10，求AEEB的值；

（2）如图②，在矩形ABCD的BC边上取一点E，将四边形ABED沿DE翻折，使点B落在DC的延长线上B'处，若BC⋅CE=24,AB=6，求BE的值；
（3）如图③，在△ABC中，∠BAC=45°,AD⊥BC，垂足为点D,AD=10,AE=6，过点E作EF⊥AD交AC于点F，连接DF，且满足∠DFE=2∠DAC，直接写出BD+53EF的值．
64．（2023·辽宁大连·中考真题）综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质．
已知AB=AC,∠A>90°，点E为AC上一动点，将△ABE以BE为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下探究：
独立思考：小明：“当点D落在BC上时，∠EDC=2∠ACB．”
小红：“若点E为AC中点，给出AC与DC的长，就可求出BE的长．”
实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：

问题1：在等腰△ABC中，AB=AC,∠A>90°,△BDE由△ABE翻折得到．
（1）如图1，当点D落在BC上时，求证：∠EDC=2∠ACB；
（2）如图2，若点E为AC中点，AC=4,CD=3，求BE的长．
问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成∠A0)上有一点M(6,m)，反比例函数y=kx（k为常数k≠0，x>0）的图像经过点M，作∠AMB=90°，且角两边分别与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求四边形AOBM的面积；
（3）如图②，点P(3,n)是反比例函数y=kx(x>0)图像上的一点，点F在直线y=x(x>6)上，点E在x轴上，且∠EPF=90°,PE=PF．请求出点E的坐标．
4）手拉手模型
【小结】
1）头顶头，左手拉左手，右手拉右手，那么，头左左≌头右右.
2）左手拉左手等于右手拉右手，即BD=CE或GD=BE.
73．（2024·内蒙古通辽·中考真题）数学活动课上，某小组将一个含45°的三角尺AEF利一个正方形纸板ABCD如图1摆放，若AE=1，AB=2．将三角尺AEF绕点A逆时针方向旋转α0°≤α≤90°角，观察图形的变化，完成探究活动．
【初步探究】
如图2，连接BE，DF并延长，延长线相交于点G,BG交AD于点M．
问题1 BE和DF的数量关系是________，位置关系是_________．
【深入探究】
应用问题1的结论解决下面的问题．
问题2 如图3，连接BD，点O是BD的中点，连接OA，OG．求证OA=OD=OG．
【尝试应用】
问题3 如图4，请直接写出当旋转角α从0°变化到60°时，点G经过路线的长度．
74．（2020·辽宁铁岭·模拟预测）如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，F是AC边上的一个动点（点F与A、C不重合），以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF，连接BF、AD．
(1)①猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；
②将图1中的正方形CDEF，绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2、图3的情形．图2中BF交AC于点H，交AD于点O，请你判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断．
(2)将原题中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC，∠ACB=90°，正方形CDEF改为矩形CDEF，如图4，且AC=4，BC=3，CD=43，CF=1，BF交AC于点H，交AD于点O，连接BD、AF，求BD2+AF2的值．
75．（2022·辽宁阜新·中考真题）已知，四边形ABCD是正方形，△DEF绕点D旋转（DE