重难点03 二次函数的最值问题(2种命题预测+19种题型汇总+专题训练+10种解题方法)-2025年中考数学一轮复习讲义及试题（含答案）

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（2种命题预测+19种题型汇总+专题训练+10种解题方法）
【题型汇总】
类型一 代数最值
题型01 定轴定区间最值问题
解题方法：对于二次函数在m≤x≤n上的最值问题(其中 a、b、c、m和n均为定值，表示y的最大值，表示y的最小值.
1）若自变量x为全体实数，如图①，函数在x=-b2a时，取到最小值，无最大值.
2）若m≤-b2a≤n，n+b2a＞-b2a-m时，如图②，当，当
3) 若m≤-b2a≤n，n+b2a＜-b2a-m时，如图③，当，当
4) 若m≤x≤n＜-b2a时，如图④，当，当
5) 若-b2a＜m≤x≤n时，如图⑤，当，当
1．（2023·辽宁大连·中考真题）已知抛物线y=x2-2x-1，则当0≤x≤3时，函数的最大值为（ ）
A．-2B．-1C．0D．2
【答案】D
【分析】把抛物线y=x2-2x-1化为顶点式，得到对称轴为x=1，当x=1时，函数的最小值为-2，再分别求出x=0和x=3时的函数值，即可得到答案．
【详解】解：∵y=x2-2x-1=x-12-2，
∴对称轴为x=1，当x=1时，函数的最小值为-2，
当x=0时，y=x2-2x-1=-1，当x=3时，y=32-2×3-1=2，
∴当0≤x≤3时，函数的最大值为2，
故选：D
【点睛】此题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
2．（2024·山东济宁·一模）已知二次函数y=ax2-6ax+6a，若当2≤x≤5时，y的最大值是3，则a的值为 ．
【答案】3或-1/-1或3
【分析】本题考查二次函数的最值问题，分a>0,a0时，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵2≤x≤5，
∴当x=5时，函数值最大为：25a-30a+6a=3，
∴a=3，
当aAT，
即：TE+EF+AF>TN+AN，
∵AF=AN=2，
∴TE+EF>TN，
即：DE+EF>TN，
∴当点E与点M重合，点F与点N重合时，DE+EF为最小．
∵点T3,4，A-4,0，
∴OH=3，TH=4，OA=4，
∴AH=OA+OH=7，
在Rt△ATH中，AH=7，TH=4，
由勾股定理得：TA=AH2+TH2=65，
∴TN=TA-AN=65-2．
即DE+EF为最小值为65-2．
故答案为：65-2．
【点睛】此题主要考查了二次函数与x轴的交点，利用轴对称求最短路线，圆的性质，勾股定理等，解答此题的关键是准确的求出二次函数与x轴的交点坐标，难点是确定当DE+EF为最小时，点E，F的位置．
2）多对称
52．（2023·陕西西安·三模）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为 ．
【答案】2 +58
【分析】根据抛物线解析式求得点D（1，4）、点E（2，3），作点D关于y轴的对称点D′（-1，4）、作点E关于x轴的对称点E′（2，-3），从而得四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE=DE+D′F+FG+GE′，当点D′、F、G、E′四点共线时，周长最短，据此根据两点间的距离公式可得答案．
【详解】解：如图，
在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝0时，y＝3，即点C（0，3），
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴对称轴为x＝1，顶点D（1，4），
则点C关于对称轴的对称点E的坐标为（2，3），
作点D关于y轴的对称点D′（﹣1，4），作点E关于x轴的对称点E′（2，﹣3），
连接D′、E′，D′E′与x轴的交点G、与y轴的交点F即为使四边形EDFG的周长最小的点，
四边形EDFG的周长＝DE+DF+FG+GE
＝DE+D′F+FG+GE′
＝DE+D′E′
＝(1-2)2+(4-3)2+(-1-2)2+(4+3)2=2+58.
∴四边形EDFG的周长的最小值为：2 +58．
故答案是：2 +58．
【点睛】本题主要考查抛物线与x轴的交点、轴对称-最短路线问题，根据轴对称的性质得出点F、G的位置是解题的关键．
53．（2021·黑龙江大庆·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于除原点O和点A，且其顶点B关于x轴的对称点坐标为2,1．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线y=ax2+bx+c上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线y=-2的距离总相等．
①证明上述结论并求出点F的坐标；
②过点F的直线l与抛物线y=ax2+bx+c交于M,N两点．证明：当直线l绕点F旋转时，1MF+1NF是定值，并求出该定值；
（3）点C3,m是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P,Q，使四边形PQBC周长最小，直接写出P,Q的坐标．
【答案】（1）y=14x2-x；（2）F2,0；1MF+1NF=1，证明见解析（3）P67,0，Q0,-310
【分析】（1）先求出顶点B的坐标为2,-1，在设抛物线的解析式为y=ax-22-1，根据抛物线过原点，即可求出其解析式；
（2）①设点F坐标为2,b，点G坐标为a,14a2-a，利用两点间距离公式，结合题目已知列出等量关系；②设直线l的解析式为y=kx-2，直线l与抛物线交于点M,N，直线方程与抛物线联立得出yM+yN=4k2,yM·yN=-4k2，在结合①的结论，分别表示出MF,NF的值，即可求解；
（3）先求出点C的坐标，分别作点C关于x轴的对称点C'，点B关于y轴的对称点B'，连接B'C'，交x轴于点P，交y轴于点Q，则点P,Q即为所求
【详解】解：（1）∵点B关于x轴对称点的坐标为2,1
∴点B的坐标为2,-1
设抛物线的解析式为y=ax-22-1
∵抛物点过原点
∴0=a0-22-1
解得a=14
∴抛物线解析式为：y=14x-22-1即y=14x2-x
（2）①设点F坐标为2,b，点G坐标为a,14a2-a
由题意可得：a-22+14a2-a-b2=14a2-a+2
整理得：ba22-2a-b=0
∴b=0
∴点F的坐标为2,0
②设直线l的解析式为y=kx-2，直线l与抛物线交于点M,N
y=14x2-xy=kx-2
∴ y=14y+2kk2-y+2kk
整理得：y2-4k2y-4k2=0
∴ yM+yN=4k2,yM·yN=-4k2
由①得MF=yM+2,NF=yN+2
∴1MF+1NF=1yM+2+1yN+2
整理得：1MF+1NF=yM+yN+4yMyN+2yM+yN+4
∴ 1MF+1NF=4k2+44k2+4=1
（3）∵点C3,m在抛物线y=14x2-x上，
∴ m=14×9-3=-34
∴ C3,-34
如图：作点C关于x轴的对称点C'，点B关于y轴的对称点B'
则点C'3,34，点B' -2,-1，连接B'C'，交x轴于点P，交y轴于点Q，则此时四边形PQBC周长最小
设直线B'C'的解析式为y=kx+b
-2k+b=-13k+b=34
解得b=-310k=720
∴直线B'C'的解析式为y=720x-310
∴点P坐标为67,0，点Q坐标为0,-310
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，点到直线的距离，两点间距离公式，以及线段最值问题，以及点的对称问题，综合性较强
3）将军遛马
54．（2024·吉林长春·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-4x+3与y轴交于点A，与x轴的一个交点为点B，点B在抛物线对称轴左侧，线段CD在对称轴上，CD=2，则四边形ABCD周长的最小值为 ．
【答案】210+2
【分析】本题考查了二次函数的几何综合，平行四边形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得点A的坐标和B1，0，M3，0，再证明四边形CDNM是平行四边形，得出DN=CM，结合两点之间线段最短，故四边形ABCD的周长是AB+CD+=10+2+AN，运用两点距离公式列式计算，得出AN=10，代入计算即可作答．
【详解】解：∵抛物线y=x2-4x+3与y轴交于点A，与x轴的一个交点为点B，
∴当x=0时，y=3，
∴点A的坐标是0，3，
当y=0时，则0=x2-4x+3，
∴x1=1，x2=3，
设抛物线与x轴的另外一个交点为M，
∴B1，0，M3，0，
∴对称轴x=2；
则AB=32+12=10
过点M作MN⊥x轴，且NM=CD=2，
∵MN⊥x轴，线段CD在对称轴上，
∴MN∥CD
∵NM=CD=2
∴四边形CDNM是平行四边形
∴DN=CM
连接AN与对称轴x=2相交于一点，即为点D的位置，再连接BC，CM
∵B1，0，M3，0，对称轴x=2，线段CD在对称轴上，
∴BC=CM
∴DN=BC
此时四边形ABCD周长有最小值
即AB+CD+BC+AD=10+2+CB+AD=10+2+AN
∵NM=2 ，M3，0，
∴N3，2
则AN=3-22+32=10
则10+2+AN=10+2+10=210+2
∴四边形ABCD周长的最小值为210+2
故答案为：210+2
55．（24-25九年级上·山东泰安·期中）如图所示，抛物线y=-x2+bx+3与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且OA=OC，点M、N是直线x=-1上的两个动点，且MN=2（点N在点M的上方），则四边形BM+CN的最小值是 ．

【答案】10
【分析】本题主要考查了二次函数综合，平行四边形的性质与判定，已知两点坐标求两点距离等等，正确作出辅助线是解题的关键．
先求出点C的坐标，求出求出点A的坐标即可求出抛物线解析式，从而求出点B的坐标，取E (0,1)，连接AM，EM，AE，可证四边形MNCE是平行四边形，得到CN=ME，则四边形BCNM的周长=BC+CN+NM+BM，再由点A，B关于直线MN对称，得到AM=BM，则BM+CN=AM+ME≥AE，故当A、M、E三点共线时，AM+ME最小，最小为AE，即此时BM+CN最小，据此求解即可．
【详解】解：∵点C是抛物线y=-x2+bx+3与y轴交点，
∴点C的坐标为(0,3)，
∴OA=OC=3，
∴点A的坐标为(-3,0)，
∴0=-9-3b+3，
∴b=-2，
∴抛物线解析式为y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4，
∴抛物线对称轴为直线x=-1，
令y=0，则-x2-2x+3=0，
解得x=1或x=-3，
∴点B的坐标为(1,0)，
取E (0,1)，连接AM，EM，AE，
∴CE=MN=2，
又∵MN∥CE，
∴四边形MNCE是平行四边形，
∴CN=ME，
∵点A，B关于直线MN对称，
∴AM=BM，
∴ BM+CN=AM+ME≥AE，
∴当A、M、E三点共线时，AM+ME最小，最小为AE，即此时BM+CN最小，
∴AE=12+32=10，
∴四边形BM+CN的最小值为10．
故答案为：10．
56．（2021·新疆乌鲁木齐·三模）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点C(0,3)，与x轴交于点A(-1,0)和点B（点B在点A的右边），且OB=OC．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）如图1，点D、E在直线x=1上的两个动点，且DE=1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值；
（3）如图2，点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．
【答案】（1）y=-x2+2x+3，顶点坐标为（1，4）； （2）四边形ACDE的周长的最小值为1+10+13；（3）点P的坐标为（4，－5）或（8，－45）.
【分析】（1）根据待定系数法求得a、b、c的值即可确定抛物线的解析式，再利用配方法得出顶点坐标．
（2）把C向下移1个单位得点C'，再作C'关于抛物线的对称轴的对称点C″，连接AC″，与对称轴交于点E，再在对称轴上E点上方取点D，使得DE=1，连接CD，此时四边形ACDE的周长最小，根据勾股定理即可得出．
（3）分S△PCB:S△PCA=3：5或S△PCB:S△PCA=5：3两种情况讨论即可．
【详解】解：（1）∵点C(0,3)，OB=OC，
∴B(3,0),
把A、B、C三点坐标代入y=ax2+bx+c，得
{a-b+c=09a+3b+c=0c=3，解得{b=-1b=2c=3，
∴抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3，
∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，
∴顶点坐标为（1，4）；
（2）把C向下移1个单位得点C'，再作C'关于抛物线的对称轴的对称点C″，连接AC″，与对称轴交于点E，再在对称轴上E点上方取点D，使得DE=1，连接CD，此时四边形ACDE的周长最小，
则CD=C'E=C"E,
∵C(0,3),
∴C'(0,2),
∵对称轴是直线x=1，
∴C″(2,2),
∵A(-1,0),
∴AC=12+32=10,
AC″=(2+1)2+22=13,
AE+DE+CD+AC=AE+1+EC″+10=1+10+AE+C″E
=1+10+AC″=1+10+13
∴四边形ACDE的周长的最小值为1+10+13；
（3）如图，设直线CP交x轴于点E，

直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，
又∵S△PCB:S△PCA=12EB×(yC-yP):12AE×(yC-yP)=BE:AE，
则BE:AE=3:5或5:3，
则AE=2.5或1.5，
即点E的坐标为（1.5，0）或（0.5，0），
将点E的坐标代入直线CP的表达式：y=kx+3，
解得：k=-6或－2，
故直线CP的表达式为：y=-2x+3或y=-6x+3，
联立方程组{y=-2x+3y=-x2+2x+3
解得：x=4（不合题意值已舍去），
解{y=-6x+3y=-x2+2x+3，
解得：x=8（不合题意值已舍去），
故点P的坐标为（4，－5）或（8，－45）.
【点睛】本题考查二次函数综合题、涉及待定系数法求一次函数和二次函数解析式，二次函数图象与性质，勾股定理、轴对称、一次函数等知识，灵活掌握相关知识是解题的关键
图形
条件
如图，A，B两定点分布在直线m两侧，点D为直线上一动点，求AD+BD的最小值.
如图，A，B两定点分布在直线m同侧，点D为直线上一动点，求AD+BD的最小值.
结论
当A，D，B三点共线时，AD+BD取得最小值，最小值为AB的长.
当A，D，B'三点共线时，AD+BD取得最小值，最小值为AB'的长.
图形
条件
如图，A，B两点分布在直线m同侧，点D为直线m
上一动点,求|AD-BD|的最大值.
如图，A，B两点分布在直线m两侧，点D为直线m
上一动点,求|AD-BD|的最大值.
结论
当A，B，D三点共线时，|AD-BD|取得最大值，最大值为AB的长
当A、B'、D三点共线时，|AD-BD|取得最大值，最大值为AB'的长
图示
如图，点D为直线上一动点，求AD+BD的最小值.
如图，点M，N分别为m1，m2上的动点，点P为定点，求PM+PN+MN的最小值.
如图，点C，D分别为OM，ON上的动点，点A，B为∠MON内的两个定点，求AC+CD+BD+AB的最小值.
解题策略
做B点关于直线m的对称点B'，连接DB',根据轴对称的性质，可知DB'=DB，所以，AD+BD=AD+DB'≥AB'，当且仅当A、D、B'三点共线时，AD+BD取得最小值，最小值为AB'的距离.
做点P关于m1，m2的对称点P',P''，那么当P'，M，N，P''四点共线时，PM+PN+MN取得最小值，最小值为的距离.
做A点关于OM的对称点A'，做B点关于ON的对称点B'，当A'，C，D，B'四点共线时，AC+CD+BD取得最小值，最小值为A'B'的长.所以，AC+CD+BD+AB的最小值就是A'B'+AB.