湖北省云学名校联盟2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题（Word版附答案）

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命题学校：东风高中 命题人： 审题单位：
考试时间: 2025年1月16 日15: 00-17: 00 时长: 120分钟 试卷满分: 150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知直线 与直线 相互垂直，则实数a的值是
A. 1B. - 1 C. 2D. 0
2. 圆 与圆 的位置关系是
A.相交 B. 内切 C.外切 D. 内含
3.为了推动国家乡村振兴战略，某地积极响应，不断自主创新，培育了某种树苗，其成活率为0.8，现采用随机模拟的方法估计该树苗种植3棵恰好3棵都成活的概率.先由计算机产生1到5之间取整数值的随机数，指定1至4的数字代表成活，5代表不成活，再以每3个随机数为一组代表3次种植的结果.经计算机随机模拟产生如下20组随机数：321 453 142 234 511 454 352 115 243 535 422 134 315 221 451 144 332 254 112 523.据此估计，该树苗种植3棵恰好3棵都成活的概率为
A. 0.45 B. 0.5 C. 0.512 D. 0.55
4.已知AB 是过抛物线 的焦点的弦，若|AB|=8，则AB 中点的横坐标为
A. 2 B. 3C. 4D. 5
5.已知数列{an}的首项 且满足 则
A. 63 B. 32 C. 31 D. 15
6. 在空间直角坐标系中, 有A(1,0,0),B(0,2,0),C(1,2,3)三点, 则点C到直线 AB 的距离为
B.
7. 已知圆 直线l:,若直线l被圆C截得的弦长的最大值为a，最小值为b，则ab=

8.如图，椭圆 双曲线 与C₂有共同的焦点F₁，F₂，它们在第一象限的交点为P，且 若C₁的离心率 则C₂的离心率
B. 2
D. 3
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.柜子里有2双不同的鞋，从中随机地一次性取出2只，记事件A=“取出的鞋恰好成一双鞋”，事件B=“取出的鞋都是一只脚的”，事件C=“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，则下列说法正确的是
A.该试验的样本空间共有6个样本点 B.事件A与事件C互为对立事件
C. P(B∪C)=P(A) D.事件B与事件C相互独立
10. 如图, 在四面体ABCD中, 设 下列条件能证明 的是
A.



11..若等差数列{an}的前n项和为 Sn,首项为a₁,公差为d,设且,则下列说法正确的是
A. 若k=6, 则当且仅当n=6时, Sn有最大值
B. 若k=7, 则当且仅当n=13时, 数列 的前n项和 有最大值
C. 若k=8, 则 的取值范围为
D.若函数 的对称轴方程为,则的取值范围为
三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分.
12.已知等比数列{an}的前n项和为 Sn，满足 则
13.如图，两条异面直线m，n所成的角为60°，在直线m，n上分别取点A,M和B,N,使
AB⊥m且AB⊥n.已知AM =1, BN=1, 则线段AB的长为 .
14.已知双曲线 的两个焦点分别为.F₁,F₂(F₂在F₁上方), A,B都在双曲线C的下支上，△ABF₂是正三角形，点F₁到直线AF₂的距离为 ，则双曲线C的实轴长的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13分)已知椭圆 的短轴长为2，且过点
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若经过椭圆C的右焦点F₂作倾斜角为45°的直线l，直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，求△AOB的面积.
16.(15分)甲、乙两名同学组成“梦队”与 AI人工智能进行比赛.每轮比赛均由甲、乙分别与AI挑战一次，已知甲每次挑战成功的概率为 乙每次挑战成功的概率为p(p>0).在每轮比赛中，甲和乙成功与否互不影响，各轮结果也互不影响.“梦队”在两轮比赛中挑战成功4次的概率为
(1)求P 的值;
(2)求“梦队”在两轮比赛中，挑战成功至少2次的概率.
17. (15分)在四棱锥P--ABCD中, 侧面PAD是边长为2的正三角形，M是PD的中点，底面ABCD为矩形，且侧面PAD⊥底面ABCD，PB与平面ABCD所成角的正切值为
(1)求证: AM⊥平面 PCD;
(2)求平面ABM 与平面PBC夹角的余弦值.
18. (17分)已知数列{an}的前n项和为 Sn, 且,
(1)求a₃和a₄的值，再猜想数列{an}的通项公式，并证明；
(2)求数列{| an|}的前n项和 Tn;
(3)若数列{bₙ}满足 求数列 的前n项和 Rn.
19.(17分)直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如 表示过点(1，2)的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.
(1)若圆 是直线族 的包络曲线, 求 的取值范围；
(2)对于给定的实数, 若点不在直线族Ω: 的任意一条直线上，求的取值范围(用表示)和直线族Ω的包络曲线Γ；
(3)在(2)的条件下，过曲线Γ上任意两点A，B分别作曲线Γ的切线 ，其交点为 P.已知点, 探究∠PFA=∠PFB 是否总成立? 请说明理由.