湖北省十堰市六校教学合作体2024-2025学年高二上学期9月联考数学试题（Word版附解析）

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考试时间：120分钟；
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 给出下列命题：
①若空间向量，满足，则与的夹角为钝角；
②空间任意两个单位向量必相等；
③对于非零向量，若，则；
④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底．
其中说法正确的个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】利用空间向量基本概念及数量积的定义及运算，对各个命题逐一分析判断即可得出结果.
【详解】对于①，当与的夹角为，满足，所以①错误；
对于②，因为向量既有大小又有方向，两向量相等要满足方向相同，长度相等，任意两个单位向量，只能确定长度相等，所以②错误；
对于③，由，得到，所以或与垂直，所以③错误；
对于④，因为为空间向量的一个基底，所以不共面，故也不共面，所以构成空间的另一个基底，所以④正确.
故选：B.
2. 袋内装有大小、形状完全相同的3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，设事件A=“第一次摸到白球”，事件B=“第二次摸到白球”，事件C=“第一次摸到黑球”，则下列说法中正确的是（ ）
A. A与B是互斥事件B. A与B不是相互独立事件
C. B与C是对立事件D. A与C是相互独立事件
【答案】B
【解析】
【分析】根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义判断即可.
【详解】根据题意可知，事件和事件可以同时发生，不是互斥事件，故A错；
不放回摸球，第一次摸球对第二次摸球有影响，所以事件和事件不相互独立，故B正确；
事件的对立事件为“第二次摸到黑球”，故C错；
事件与事件为对立事件，故D错.
故选：B.
3. “”是“直线和直线互相垂直”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】先求出两条直线垂直的充要条件，再根据所得条件和已知条件的关系可得两者的条件关系.
【详解】直线和直线的充要条件为即，
可以推出，但推不出，
故“”是“直线和直线互相垂直”的必要而不充分条件，
故选：B.
4. 在空间四边形中，若分别是的中点，是上的点，且，记，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量基本定理将用表示，从而可求出的值，进而可求得答案.
【详解】连接，因为，分别是的中点，
所以
，
故．
故选：A
5. 在空间直角坐标系中，已知点，则点到直线的距离为（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据点到直线距离的向量坐标公式计算即可求解.
详解】根据题意，，
则，
设向量是直线的单位方向向量，，
，
则点C到直线AB的距离为.
故选：A.
6. 已知动点在所在平面内运动，若对于空间中不在平面上的任意一点，都有，则实数的值为（ ）
A. 0B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由三点共面得到系数之和为，从而解出的值.
【详解】因为，动点在所在平面内运动，所以，解得．
故选：B．
7. 已知正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用空间向量的方法求线面角.
【详解】
如图，以为原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则A2,0,0，，，，
，，，
设平面的法向量为，则
∴可取.
设直线与平面所成角的，则，
于是直线与平面所成角的余弦值为.
故选：A.
8. 直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线的斜率和纵截距的正负进行判断．
【详解】对B，斜率为正，在轴上的截距也为正，故不可能有斜率为负的情况.故B错.
当时， 和斜率均为正，且截距均为正.仅D选项满足.
故选：D
二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分；全部选对得6分，多选对多得分，选错得0分）
9. 已知空间向量，，则下列选项中正确的是（ ）
A. 当时，B. 当时，
C. 当时，D. 当时，
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，利用空间向量平行的性质即可判断；对于B，利用空间向量垂直的坐标表示即可判断；对于C，根据空间向量坐标运算计算出，利用模长公式计算，从而得以判断；对于D，利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可判断.
【详解】对A，，存在实数，使得，则，即，
解得，，故A正确；
对B，，，即，解得，故B错误；
对C，当时，，，
，故C正确；
对D，当时，，，
，故D正确.
故选：ACD.
10. 下列描述正确的是（ ）
A. 若事件，相互独立，，，则
B. 若三个事件，，两两独立，则满足
C. 若，，则事件，相互独立与，互斥一定不能同时成立
D. 必然事件和不可能事件与任意事件相互独立
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据独立事件的概念及乘法公式直接可判断.
【详解】A选项：由，，则，，又事件，相互独立，则，A选项正确；
B选项：若三个事件，，两两独立，由独立事件的乘法公式，，，无法确定，B选项错误；
C选项：，，若事件，相互独立则，若事件，互斥，则，C选项正确；
D选项：设任意事件发生的概率为，必然事件事件发生的概率为，不可能事件发生的概率为，则，，D选项正确；
故选：ACD.
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 直线恒过点
B. 经过点，且在轴上截距相等的直线方程为
C. 已知，点在轴上，则的最小值是5
D. 若直线过点，且与轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，则面积的最小值为12
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于，将直线化简，列出方程，求得定点；对于B，设出直线方程根据截距相等列出方程，求解即可；对于C，找对称点进行转化；对于D，设出直线方程，把三角形的面积表示出来，求最值即可.
【详解】对于，整理，得，
令，解得所以直线恒过点，故正确.
对于，可知所求直线的斜率存在且不为0，设为，则它的方程为.
令，得，即该直线在轴上的截距为；
令，得，即该直线在轴上截距为.

因为该直线在轴上的截距相等，所以，解得，
所以所求直线的方程为或，B错误.
对于C，点关于轴的对称点为，连接交轴于点，点是轴上任意一点，连接，
于是，
当且仅当点与重合时，等号成立，
因此，C正确.
对于D，直线与轴的正半轴分别交于两点，可知直线的斜率为负数，
设直线，
令，得，令，得，可知，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以面积的最小值为12，D正确.
故选：ACD.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知，，，夹角为，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用空间向量数量积，结合空间向量夹角公式列式求解作答.
【详解】由，，得，，
由，夹角为，得，解得，
所以.
故答案为：
13. 已知甲、乙、丙三人投篮的命中率分别为0.7，0.5，0.4，若甲、乙、丙各投篮一次（三人投篮互不影响），则至多有一人命中的概率为______.
【答案】0.45##
【解析】
【分析】利用独立事件的乘法公式、对立事件的概率公式以及互斥事件的概率加法公式求解即可.
【详解】甲、乙、丙各投篮一次（三人投篮互不影响），
则没有人命中的概率为，
恰有一人命中的概率为，
所以至多有一人命中的概率为.
故答案为：0.45
14. 已知点，，直线是过点且与线段AB相交且斜率存在，则的斜率的取值范围是____________
【答案】
【解析】
【分析】利用斜率计算公式可得，，根据直线过点且与线段相交，数形结合即可求出直线的斜率的取值范围．
【详解】因为，，，
所以，．
直线过点且与线段相交，如下图所示：
或，
直线的斜率的取值范围是：．
故答案为：．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. （1）已知，，求边的垂直平分线的方程.
（2）求过点且在两坐标轴上的截距是互为相反数的直线的方程.
【答案】（1） （2）或
【解析】
【分析】
（1）先求得中点坐标,根据垂直的斜率关系可求得直线的斜率,进而利用点斜式求得直线方程,化简为一般式即可.
（2）讨论截距是否为0:当截距为0时,可设正比例函数,代入点求解;当截距不为0时,设截距式,代入点坐标即可求得参数,进而得直线方程.
【详解】（1）因为,
则中点坐标为
根据垂直直线的斜率关系可得
所以由点斜式可得
化简得
（2）当截距为0时,设直线方程为
代入可得
则
此时
当截距不为0时,设直线方程为
代入可得
解得,即
化简可得
综上可知,直线方程为或
【点睛】本题考查了点斜式方程的用法,截距相同时,注意讨论截距是否为0,属于基础题.
16. 在试验“袋中有白球3个（编号为1，2，3）、黑球2个（编号为1，2），这5个球除颜色外完全相同，从中不放回地依次摸取2个，每次摸1个，观察摸出球的情况”中，摸到白球的结果分别记为，，，摸到黑球的结果分别记为，．求：
（1）取到的两个球都是白球的概率；
（2）取到的两个球颜色相同的概率；
（3）取到的两个球至少有一个是白球的概率．
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）（2）（3）根据题意列出试验的样本空间，利用古典概率模型概率计算公式进行计算即可.
【小问1详解】
由前面的分析可知试验的样本空间，
共有20个样本点，且每个样本点出现的可能性相同，可用古典概型来计算概率．
设事件A表示“取到的两个球都是白球”，则，
共含有6个样本点，所以，即取到的两个球都是白球的概率为；
【小问2详解】
设事件B表示“取到的两个球颜色相同”，则，
共含有8个样本点，所以，即取到的两个球颜色相同的概率为；
【小问3详解】
设事件C表示“取到的两个球至少有一个是白球”，
则，
共含有18个样本点，所以，即取到的两个球至少有一个是白球的概率为.
17. 如图，四边形是正方形，平面，，，分别为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的大小；
（3）求点到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）；
（3）
【解析】
【分析】（1）利用线面平行的判断定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系利用空间向量来求解即可；
（3）在（2）建立的坐标系下利用向量法求解即可.
【小问1详解】
由题意分别为中点，
所以是的中位线，
即，
又平面，平面，
所以平面；
【小问2详解】
由于四边形是正方形，平面，
所以两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
如图所示：

又，分别为的中点，
则，
所以；
设平面的一个法向量m=x1,y1,z1，
则，
解得，令，得；
即，
设平面的一个法向量为n=x2,y2,z2，
则，
解得，令，
即；
设平面与平面夹角的大小为，
所以，
又，所以；
即平面与平面夹角的大小为；
【小问3详解】
由（2）平面的一个法向量为；
又，
所以点到与平面的距离距为：
.
18. 在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产企业在加大生产同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：40,50，50,60，60,70，…，90,100，得到如下频率分布直方图.

（1）求出直方图中m的值；
（2）利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（中位数精确到0.01）；
（3）现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品.利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，并从中再随机抽取2个作进一步的质量分析，试求这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率.
【答案】（1）
（2）平均数为71，中位数为73.33
（3）
【解析】
【分析】（1）根据小矩形面积之和为1，列出方程求解，即可得出答案；
（2）根据平均数公式计算即可得出平均数；根据已知得出质量指标值位于、之间的频率，然后列出方程，求解即可得出答案；
（3）先根据已知得出一等、二等品口罩的个数，求出抽样比，得出各品级口罩应抽取的数目.进而列举得出所有可能的样本点以及事件“这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品”包含的样本点个数，根据古典概型公式，即可得出答案.
【小问1详解】
由，
得.
【小问2详解】
平均数为.
设中位数为，
质量指标值位于之间的频率为0.4，位于之间的频率为0.7，
所以，，
且，
解得.
故可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为73.33.
【小问3详解】
由频率分布直方图可知，质量指标小于70的频率为0.4，大于70的频率为0.6，
所以100个口罩中一等品、二等品各有60个、40个.
又抽样比为，
由分层抽样可知，所抽取的5个口罩中一等品有个、二等品有个.
记这3个一等品为，2个二等品为，
则从5个口罩中抽取2个，所以可能的样本点的有：，，，，，，，，，，共10个等可能的样本点，
其中恰有1个口罩为一等品包含的样本点有：，，，，，，共6种.
根据古典概型可知，这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率为.