湖北省“新高考联考协作体”2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题（Word版附答案）

这是一份湖北省“新高考联考协作体”2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题（Word版附答案），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知直线，直线，则直线的倾斜角为
A. B. C. D.
2.双曲线的渐近线方程为，则
A. B. C. D. 2
3.已知数列满足：，，则所有可能的取值的集合为
A. B. C. D.
4.如图，在正四面体中，过点 A作平面PBC的垂线，垂足为点 H，点 M满足，则
A. B.
C. D.
5.已知事件A，B满足，，则
A. 若A与B相互独立，则
B. 若A与B互斥，
C. 因为，所以A与B相互对立
D. 若，则
6.已知圆上的所有点都在第一象限，则实数 a的取值范围是
A. B. C. D.
7.已知是等比数列，前n项和为，且满足，，则等于
A. B. C. D.
8.已知双曲线与直线相交于A，B两点，其中AB中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.记等差数列的前n项和为，若，，则
A. 的前10项和为50B. 是递增数列
C. 当时，取得最小值D. 若，则n的最小值为11
10.如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点，则
A. 直线BE与CD所成角的余弦值为B. 平面
C. 点F到直线BE的距离为1D. 在上的投影向量为
11.已知直线l经过抛物线的焦点F，且与C交于A，B两点，过A，B分别作直线的垂线，垂足依次为，，若AB长的最小值为4，则下列结论正确的有( )
A.
B. 若AB的倾斜角为，点A在第一象限，则
C. 若，则AB的斜率为1
D. 若点M，N在C上，且，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.椭圆上的点P到直线的最短距离为 .
13.已知圆，圆，其中a，，若两圆外切，则的取值范围为 .
14.在长方体如图中，已知，，上底面绕着其中心旋转得到一个十面体如图，则该十面体的外接球的体积为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分
抛掷一枚质地均匀的骰子两次，将两次得到的点数分别记为 a，
求是奇数的概率;
求直线与双曲线有公共点的概率.
16.本小题15分
已知圆关于直线的对称圆的圆心为D，直线l过点
若直线l与圆C相切，求直线l的方程;
若直线l与圆D交于A，B两点，，求直线l的方程.
17.本小题15分
如图，在五棱锥中，平面平面AED，，
证明：平面AED；
若四边形ABCD为正方形，且，， N为边BC的中点，，当取何值时，直线DN与平面SAD所成的角最小.
18.本小题17分
已知等比数列的前n项和为，且
求数列的通项公式.
设，求数列的前n项和
在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，其中m，k，p成等差数列成等比数列?若存在，求出这样的3项;若不存在，请说明理由.
19.本小题17分
已知点是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点对应到点，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.如：在变换的作用下得到
已知曲线在的作用下得到曲线，求的方程;
已知椭圆在变换下保持位置关系不变性，即点H在曲线上，在变换下点也在曲线上;直线l与相切，在变换下直线与曲线也相切.已知点是上一动点，直线l是在H处的切线.用上述结论求l的方程；
已知直线与曲线在第四象限的交点为，在处的切线被所截得的弦长记为，求
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查倾斜角与斜率的关系，两条直线垂直的应用，属于基础题．
由两点的坐标求出直线的斜率，再由，求出，利用倾斜角与斜率的关系可得.
【解答】
解：，
的斜率，
又，的斜率，
因为直线倾斜角的范围为
的倾斜角为
故选：
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查双曲线的性质及几何意义，属于基础题.
根据焦点在y轴上的双曲线方程得出双曲线的渐近线为，即可求得参数.
【解答】
解：因为双曲线方程为，所以，，
所以渐近线方程为，
即得，所以
故选：
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查数列的递推关系，属于基础题.
由递推关系式逐项求解得出所有可能的取值.
【解答】
解：由，，
则
数列为2，1，4三数的循环，
故所有可能的取值的集合为
故选：
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查空间向量的加减运算及数乘运算，属于基础题.
根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解.
【解答】
解：延长PH与BC交于点N，则点N为BC中点，且，
故选：
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查相互独立事件同时发生的概率，概率的基本性质，属于中档题.
根据题意，由对立事件的定义得，由计算即可判断A，由互斥事件的定义分析B，举反例判断C，根据事件的包含关系分析
【解答】
解：对于A，由，得，
又，A与B相互独立，
则，故A错误；
对于B，若A与B互斥，则，故B错误；
对于C，假若事件A为“从标号为的10张卡片中任取一张卡片除标号外无差别，标号为1”，事件B为“从标号为的10张卡片中任取一张卡片除标号外无差别，标号不大于9”，则，而事件A，B可能同时发生，A与B不是对立事件，故C错误；
对于D， 若，则，故D正确.
故选：
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查圆的方程中的参数求解问题，属于基础题.
首先将圆的方程转化为标准方程，然后结合题意和圆的性质得出参数不等式进行求解即可.
【解答】
解：由，
得，
所以圆心坐标为，半径为3，
因为圆上所有点都在第一象限，
所以，得
故选：
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查等比数列的通项公式、等比数列的求和公式，属于中档题.
首先求出，然后判断出也为等比数列，即可求出和.
【解答】
解：设等比数列的公比为q，由题意可知，
由已知得，解得 ，
，
，
故是以为首项，4为公比的等比数列，
故选：
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查求双曲线的离心率，直线与双曲线的位置关系及其应用，属于中档题.
首先求出AB中点坐标，设出A，B两点坐标，代入双曲线方程，作差，根据AB两点的斜率，求出的值，进而求出离心率的范围.
【解答】
解：AB中点的横坐标为，代入直线，
求得AB中点的坐标为，
设，，
则，，
则，
两式相减，得，
即，
即，
又因为AB斜率为1，
所以，
，
故选：
9.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查的是等差数列的性质，等差数列的通项公式和前n项和公式，属于中档题.
根据已知条件，结合等差数列的公式，求出首项和公差，再结合等差数列的前n项和公式，即可求解.
【解答】
解：设等差数列的公差为d，，，
则，解得，
数列的前10项和为：，故A正确；
因为，所以是递增数列，故B正确;
，
当时，取得最小值，故C错误；
，则，解得或舍去，
要使，则n的最小值为11，故D正确.
故选：
10.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查线面平行的判定，利用空间向量求线线、线面和面面的夹角，利用空间向量求点、线、面之间的距离，属于中档题.
建系，利用空间向量求异面直线夹角、点到线的距离；利用线面平行的判定定理及投影向量的定义得出结论.
【解答】
解：以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
且E，F分别为棱，的中点，可知，，
可得，，，
对于选项因为，
所以直线BE与CD所成角的余弦值为，故A错误；
对于选项B：因为，平面，平面，
所以平面，故B正确；
对于选项因为在方向上的投影向量的模长为，
且，
所以点F到直线BE的距离为，故C正确；
对于选项D：是等边三角形，所以在上的投影向量为，故D错误.
故选：
11.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线位置关系及其应用，抛物线中的弦长问题，向量与抛物线的综合问题，属于较难题.
根据题意可得抛物线的方程为，设直线AB的方程为，，，联立抛物线的方程，结合根与系数关系可得，，，，由抛物线的定义可得，，，逐一分析选项，即可得出答案.
【解答】
解：由题意得抛物线的焦点，准线方程为，
因为AB长的最小值为4，
所以，解得，故A正确；
所以抛物线的方程为，
设直线AB的方程为，，，
联立，得，
所以，，
所以，
，
由抛物线的定义可得，，
，
对于若AB的倾斜角为，则，
所以，，
所以，，
所以，，
所以，，
所以，故B正确；
对于若，则，
所以，
所以，所以，
所以，解得，
所以直线AB的斜率为1或，故C错误；
对于设，，
由，得F为的重心，
所以，，
所以，故D正确.
故选：
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查直线与椭圆的位置关系，两平行直线间的距离，属于基础题．
先设出与直线l平行且与椭圆相切的直线方程为：，联立此直线与椭圆的方程，由得出k，从而由平行线之间的距离公式求出答案.
【解答】
解：显然直线与椭圆相离，直线在椭圆的右上方，
设与直线l平行且与椭圆相切的直线方程为：，
联立，得，
则由，得，
由题意要求椭圆上的点到直线l的最短距离，则取，
所以最短距离为
故答案为：
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆与圆的位置关系及判定，直线与圆的位置关系及判定，属于中档题.
利用圆与圆外切求出，结合表示的几何意义，由直线与圆的位置关系即可求解.
【解答】
解：圆的圆心为，半径为1，
圆的圆心为，半径为1，
因为圆与圆外切，
则，即，
所以表示圆圆心为，半径为上动点与点连线的斜率，
设直线MP的方程为，即，
当直线与圆相切时，，解得，
可知，
即的取值范围为：
故答案为：
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间几何体的结构特征，球的接切问题，属于基础题.
研究几何的特征，找出其外接球的球心，求出其半径即可.
【解答】
解：该十面体的外接球的球心是上下底面中心连线的中点，
该点到该十面体每个顶点的距离均为，
所以这个十面体的外接球的半径为，
从而其体积
故答案为：
15.【答案】解：总的事件的个数为：，记“是奇数”，
则事件A包含的基本事件有：，，，，，，，，，
，，，，，，，，，共18个，
；
设“直线与双曲线有公共点”为事件B，
因为双曲线的渐近线为，
要使直线与双曲线有公共点，
则，即，
则事件B包含的基本事件有，，，，，，
，，，，，，，，共15个，
故
【解析】本题考查古典概型的计算与应用，属于基础题.
记“是奇数”，列举法求出样本空间总的基本事件数和A事件，即可求解；
设“直线与双曲线有公共点”为事件B，要使直线与双曲线有公共点，则，列举法求出B事件的基本事件数，利用古典概型概率公式即可求得.
16.【答案】解：由题意可知圆的圆心坐标，半径，
当直线l的斜率不存在时，
因为直线l过点，所以直线l的方程为，
此时直线l与圆相切，符合题意；
当直线l的斜率存在时，
设斜率为k，因为直线l过点，
设直线l的方程为，化为一般式：，
直线l与圆C相切，则，解得，
所以直线l的方程为：，即
综上，当直线l与圆C相切，直线l的方程为或；
圆关于直线对称的圆的方程为，
圆心D的坐标为，半径为4，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，
此时圆心D到直线l的距离为1，，符合题意；
当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为，即，
因为，所以圆心D到直线l的距离为，
所以，解得，
此时直线l的方程为，即
综上，直线l的方程为或
【解析】本题考查直线与圆的位置关系，点到直线距离公式的应用，属于中档题.
求得圆C的圆心坐标与半径，然后分直线l的斜率存在与不存在求解，当直线l的斜率不存在时，直线方程为，满足题意;当直l的斜率存在时，设直线方程为，即，根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径关系列式求得k，即可求得直线l的方程;
由题意求得D的坐标，当直线 l的斜率不存在时，直线方程为，满足题意;当直l的斜率存在时，设直线方程为，即，由圆心到直线的距离列式求得k，则直线方程可求.
17.【答案】解：证明：因为平面平面AED，，平面AED，
平面平面，
所以平面SAE，
又平面SAE，所以，
又因为，，且AD，平面AED，
所以平面AED；
由知EA，ED，ES两两垂直，以E为坐标原点，以EA，ED，ES所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
由，
则，，，
可得CD与y轴夹角为，
所以，
，
，
，，
设平面SAD的法向量为，
由，得，
令，得，，
故平面SAD的一个法向量为，
设直线DN与平面SAD所成的角为，
所以
，
即，
即时，直线DN与平面SAD的所成成的角最小.
【解析】本题考查利用空间向量求线线、线面和面面的夹角，线面垂直的判定，属于中档题.
由题意可证，，由线面垂直的判定定理可证平面AED；
建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积表示直线DN与平面SAD所成的角，求出最小值.
18.【答案】解：由可得，
，
设等比数列的公比为，
则有，解得，
所以；
由，，
则 ①，
则②，
①-②可得，
，
所以；
由知，，所以，
设，，
则，，，
令，
即，
显然只有当时，等号成立，
所以不存在符合条件的3项，，
【解析】本题主要考查等比数列的性质与通项公式，错位相减求和，等差数列的性质，等差数列的通项公式，指数与指数幂的运算，属于中档题.
由题可得，设的公比为q，列出关于的方程，求解即可得到的公通项公式.
利用错位相减求和直接求解即可.
由等差数列可得，设，，则，，，利用等比数列的性质可得，整理得，则，即可判断.
19.【答案】解：设上任意一点，
M：上任意一点，
由题意得，所以，
得，
所以的方程为；
椭圆：上任意一点在变换下的上对应点，
所以，代入，
可得，
所以D的方程为，
点在变换下的的坐标为，
所以直线与圆：在处相切，
设直线AB与圆：相切，切点为，
在AB上任取不同于的点，
所以，
所以，
即，
所以圆：在点处的切线为，
所以圆：在的切线为，
设上任取一点，则对应于直线l上一点，
则有，代入中，
得，
所以l的方程为；
由，解得，
即，
由得在处的切线方程为，
设在处的切线与交于两点分别为，，
由，
消元得，
整理得，
所以，，
所以
，
所以
【解析】本题考查圆锥曲线中的新定义问题，属于难题.根据平面直角坐标系中的坐标伸缩变换的定义求解即可；
根据平面直角坐标系中的坐标伸缩变换的定义可得D的方程为，进而求出圆D的切线方程，然后再根据平面直角坐标系中的坐标伸缩变换即可得出椭圆的切线；
根据题意求出，结合求出切线方程与椭圆方程联立，然后利用曲线的弦长公式即可求出，然后求和即可.