人教版 (2019)必修 第二册1 圆周运动一课一练

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TOC \ "1-3" \t "正文,1" \h
\l "_Tc1161" 【题型1 传动装置】
\l "_Tc25206" 【题型2 向心加速度】
\l "_Tc9103" 【题型3 匀速圆周运动周期性问题】
\l "_Tc6522" 【题型4 联系实际】
\l "_Tc10925" 【题型5 对比问题】
【题型1 传动装置】
【例1】(多选)如图甲所示是中学物理实验室常用的感应起电机，它是由两个大小相等直径约为30 cm的感应玻璃盘起电的，其中一个玻璃盘通过从动轮与手摇主动轮连接，如图乙所示，现玻璃盘以100 r/min的转速旋转，已知主动轮的半径约为8 cm，从动轮的半径约为2 cm，P和Q是玻璃盘边缘上的两点，若转动时皮带不打滑，下列说法正确的是( )
A．P、Q的线速度相同
B．玻璃盘的转动方向与摇把转动方向相反
C．P点的线速度大小约为1.6 m/s
D．摇把的转速约为400 r/min
解析：选BC 线速度的方向沿曲线的切线方向，由题图可知，P、Q两点的线速度的方向一定不同，故A错误；若主动轮做顺时针转动，从动轮通过皮带的摩擦力带动转动，从动轮逆时针转动，故B正确；玻璃盘的直径是30 cm，转速是100 r/min，所以线速度v＝ωr＝2nπr＝2×eq \f(100,60)×π×eq \f(0.3,2) m/s＝0.5π m/s≈1.6 m/s，故C正确；从动轮边缘的线速度vc＝ωrc＝2×eq \f(100,60)×π×0.02 m/s＝eq \f(1,15)π m/s，由于主动轮的边缘各点的线速度与从动轮边缘各点的线速度的大小相等，即vz＝vc，所以主动轮的转速nz＝eq \f(ωz,2π)＝eq \f(vz,2πrz)＝eq \f(π,15×2π×0.08) r/s＝eq \f(\f(1,15)π,2π×0.08) r/s＝25 r/min，故D错误。
【变式1-1】图是自行车传动装置的示意图，其中Ⅰ是半径为r1的大齿轮，Ⅱ是半径为r2的小齿轮，Ⅲ是半径为r3的后轮，假设脚踏板的转速为n r/s，则自行车前进的速度为( )
A.eq \f(πnr1r3,r2) B.eq \f(πnr2r3,r1)
C.eq \f(2πnr2r3,r1) D.eq \f(2πnr1r3,r2)
答案 D
【变式1-2】由于高度限制，车库出入口采用如图所示的曲杆道闸。道闸由转动杆OP与横杆PQ链接而成，P、Q为横杆的两个端点。在道闸抬起过程中，杆PQ始终保持水平。杆OP绕O点从与水平方向成30°匀速转动到60°的过程中，下列说法正确的是( )
A．P点的线速度大小不变
B．P点的加速度方向不变
C．Q点在竖直方向做匀速运动
D．Q点在水平方向做匀速运动
解析：选A 由于杆OP匀速转动，P点到圆心的距离不变，故P点的线速度大小不变，A正确；P点的加速度为向心加速度，始终指向圆心，方向时刻变化，B错误；设OP＝l1，PQ＝l2，可知Q点到O点所在水平线的距离y＝l1sin(30°＋ωt)，故Q点在竖直方向的运动不是匀速运动，C错误；Q点到O点的水平距离x＝l2＋l1cs(30°＋ωt)，故Q点在水平方向的运动也不是匀速运动，D错误。
【变式1-3】如图所示，B和C是一组塔轮，即B和C半径不同，但固定在同一转动轴上，其半径之比为RB∶RC＝3∶2，A轮的半径大小与C轮相同，它与B轮紧靠在一起，当A轮绕其中心的竖直轴转动时，由于摩擦的作用，B轮也随之无滑动地转动起来．a、b、c分别为三轮边缘的三个点，则a、b、c三点在运动过程中的( )
A．线速度大小之比为3∶2∶2
B．角速度之比为3∶3∶2
C．转速之比为2∶3∶2
D．向心加速度大小之比为9∶6∶4
答案 D
【题型2 向心加速度】
【例2】如图所示，在男女双人花样滑冰运动中，男运动员以自身为转动轴拉着女运动员做匀速圆周运动。若运动员的转速为30 r/min，女运动员触地冰鞋的线速度大小为4.8 m/s，则女运动员做圆周运动的角速度为________，触地冰鞋做圆周运动的半径为________，向心加速度大小为________。（π取3.14，结果均保留三位有效数字）
答案：3.14 rad/s 1.53 m 15.1 m/s2
【变式2-1】一小球被细绳拴着,在水平面内做半径为R的匀速圆周运动,向心加速度为a,那么下列说法错误的是( )
A.小球运动的角速度大小为B.小球在时间t内通过的路程为
C.小球做匀速圆周运动的周期D.小球在时间t内可能发生的最大位移为
答案：C
解析：根据,解得,故A正确;根据,所以小球在时间t内通过的路程为,故B正确;根据,故C错误;小球做圆周运动的最大位移即为圆的直径,故D正确.本题选说法错误的,所以选C.
【变式2-2】关于向心加速度,下列说法正确的是( )
A.由知,匀速圆周运动的向心加速度恒定
B.做圆周运动的物体,加速度时刻指向圆心
C.向心加速度越大,物体速率变化越快
D.匀速圆周运动不属于匀速运动
答案：D
解析：由知,当半径一定时,匀速圆周运动的向心加速度大小不变,方向时刻变化,A错误;做圆周运动的物体,加速度不一定指向圆心,向心加速度一定指向圆心,B错误;向心加速度只改变速度的方向,向心加速度越大,物体速度方向变化得越快,C错误;匀速圆周运动速度大小不变,方向时刻变化,不是匀速运动,D正确.
【变式2-3】如图所示，轮O1、O3固定在同一转轴上，轮O1、O2用皮带连接且不打滑。在O1、O2、O3三个轮的边缘各取一点A、B、C，已知三个轮的半径之比r1∶r2∶r3＝2∶1∶1，求：
(1)A、B、C三点的线速度大小之比vA∶vB∶vC；
(2)A、B、C三点的角速度之比ωA∶ωB∶ωC；
(3)A、B、C三点的向心加速度大小之比aA∶aB∶aC。
答案 (1)2∶2∶1 (2)1∶2∶1 (3)2∶4∶1
解析 (1)令vA＝v，由于皮带传动时不打滑，所以vB＝v。因ωA＝ωC，由公式v＝ωr知，当角速度一定时，线速度跟半径成正比，故vC＝eq \f(1,2)v，所以vA∶vB∶vC＝2∶2∶1。
(2)令ωA＝ω，由于轮O1、O3同轴转动，所以ωC＝ω。因vA＝vB，由公式ω＝eq \f(v,r)知，当线速度相等时，角速度跟半径成反比，故ωB＝2ω，所以ωA∶ωB∶ωC＝1∶2∶1。
(3)令A点向心加速度大小为aA＝a，因vA＝vB，由公式a＝eq \f(v2,r)知，当v一定时，向心加速度大小跟半径成反比，所以aB＝2a。又因为ωA＝ωC，由公式a＝ω2r知，当角速度一定时，向心加速度大小跟半径成正比，故aC＝eq \f(1,2)a，所以aA∶aB∶aC＝2∶4∶1。
【题型3 匀速圆周运动周期性问题】
【例3】风速仪结构如图(a)所示.光源发出的光经光纤传输,被探测器接收,当风轮旋转时,通过齿轮带动凸轮圆盘旋转,当圆盘上的凸轮经过透镜系统时光被挡住.已知风轮叶片转动半径为r,每转动n圈带动凸轮圆盘转动一圈.若某段时间内探测器接收到光强随时间变化关系如图(b)所示,则该时间段内风轮叶片( )
A.转速逐渐减小,平均速率为B.转速逐渐减小,平均速率为
C.转速逐渐增大,平均速率为D.转速逐渐增大,平均速率为
答案：B
解析：根据图(b)可知,在内,通过的光照时间越来越长,则风轮叶片转动越来越慢,即转速逐渐减小,在内挡了4次光,则凸轮转动的平均周期为.根据风轮叶片每转动n圈带动凸轮圆盘转动一圈可知风轮叶片转动的平均周期,则风轮叶片转动的平均速率,故B正确.
【变式3-1】如图所示，M是水平放置的半径足够大的圆盘，绕过其圆心的竖直轴OO′匀速转动，规定经过圆心O水平向右为x轴的正方向.在圆心O正上方距盘面高为h处有一个正在间断滴水的容器，从t＝0时刻开始该容器从O点正上方随传送带沿与x轴平行的方向做匀速直线运动，速度大小为v.已知容器在t＝0时刻滴下第一滴水，以后每当前一滴水刚好落到盘面上时再滴一滴水，求：(重力加速度为g)
(1)每一滴水经多长时间落到盘面上；
(2)要使每一滴水在盘面上的落点都位于同一直线上，圆盘转动的角速度ω应为多大；
(3)第二滴水与第三滴水在盘面上落点间的最大距离x.
答案 (1)eq \r(\f(2h,g)) (2)nπeq \r(\f(g,2h))(n＝1,2,3，…) (3)5veq \r(\f(2h,g))
解析 (1)水滴在竖直方向上做自由落体运动，有h＝eq \f(1,2)gt2，解得t＝eq \r(\f(2h,g)).
(2)分析题意可知，在相邻两滴水的下落时间内，圆盘转过的角度应为nπ(n＝1,2,3，…)，
由ωt＝nπ得
ω＝eq \f(nπ,t)＝nπeq \r(\f(g,2h))(n＝1,2,3，…).
(3)第二滴水落在圆盘上时到O点的距离为：
x2＝v·2t＝2veq \r(\f(2h,g))，
第三滴水落在圆盘上时到O点的距离为：
x3＝v·3t＝3veq \r(\f(2h,g))，
当第二滴水与第三滴水在盘面上的落点位于同一直径上圆心两侧时，两点间的距离最大，则：
x＝x2＋x3＝5veq \r(\f(2h,g)).
【变式3-2】（多选）如图所示，夜晚电风扇在闪光灯下运转，闪光灯每秒闪45次，风扇转轴O上装有3个扇叶，它们互成120°角。当风扇转动时，观察者感觉扇叶不动，则风扇转速可能是（ ）
A．600 r/min
B．900 r/min
C．1200 r/min
D．1800 r/min
【答案】BD
【解析】闪光灯的频闪周期T=145 s，在一个周期T内，扇叶转动的角度应为120°的整数倍，则转动的角速度ω=θT=30nπ rad/s(n=1，2，3，…)，转速n'=ω2π=30nπ2π×60 r/min=900n r/mⅈn(n=1，2，3，…)，选项BD正确。
【变式3-3】如图所示，质点a、b在同一平面内绕质点c沿逆时针方向做匀速圆周运动，它们的周期之比Ta∶Tb＝1∶k(k＞1，为正整数)。从图示位置开始，在b运动一周的过程中( )
A．a、b距离最近的次数为k次
B．a、b距离最近的次数为k＋1次
C．a、b、c共线的次数为2k次
D．a、b、c共线的次数为2k－2次
解析：选D 设每隔时间T，a、b相距最近，
则(ωa－ωb)T＝2π，所以T＝eq \f(2π,ωa－ωb)＝eq \f(2π,\f(2π,Ta)－\f(2π,Tb))＝eq \f(TaTb,Tb－Ta)
故b运动一周的过程中，a、b相距最近的次数为：
n＝eq \f(Tb,T)＝eq \f(Tb－Ta,Ta)＝eq \f(kTa－Ta,Ta)＝k－1
即a、b距离最近的次数为k－1次，故A、B均错误。
设每隔时间t，a、b、c共线一次，则(ωa－ωb)t＝π，
所以t＝eq \f(π,ωa－ωb)＝eq \f(π,\f(2π,Ta)－\f(2π,Tb))＝eq \f(TaTb,2Tb－Ta)；
故b运动一周的过程中，a、b、c共线的次数为：
n＝eq \f(Tb,t)＝eq \f(2Tb－Ta,Ta)＝eq \f(2kTa－2Ta,Ta)＝2k－2
故C错误，D正确。
【题型4 联系实际】
【例4】“旋转纽扣”是一种传统游戏。如图，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现。拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达50 r/s，此时纽扣上距离中心1 cm处的点的向心加速度大小约为( )
A．10 m/s2 B．100 m/s2
C．1 000 m/s2 D．10 000 m/s2
解析：选C 纽扣在转动过程中ω＝2πn＝100π rad/s，由向心加速度a＝ω2r≈1 000 m/s2，C正确。
【变式4-1】陀螺是中国民间较早出现的玩具之一，为了美观，陀螺上往往会对称地镶嵌一些相同质量、不同颜色的装饰物。如图所示，一小朋友抽打陀螺后使其转动起来，若陀螺的转速为5 r/s，陀螺上一装饰物到中心的距离为2 cm，则装饰物的角速度约为( )
A．17.85 rad/s B．15.7 rad/s
C．31.4 rad/s D．62.8 rad/s
解析：选C 装饰物的角速度等于陀螺的角速度，则有ω＝2πn＝31.4 rad/s，C正确。
【变式4-2】据《物原》记载：“史佚始作辘轳”。人们借助辘轳从井中汲水的示意图如图。某人以恒定角速度转动辘轳汲水时，绳子不断重叠地绕在一起，绳子的粗细不可忽略。则( )
A．水桶匀速上升
B．水桶减速上升
C．绳子拉水桶的力大于水桶拉绳子的力
D．绳子拉水桶的力大于水桶和水的总重力
解析：选D 人以恒定角速度转动辘轳，绳子不断重叠地绕在一起，说明角速度大小一定，半径增大，由线速度公式v＝rω可知水桶加速上升，故A、B错误；绳子拉水桶的力和水桶拉绳子的力是相互作用力，根据牛顿第三定律可知二者大小相等，故C错误；水桶做加速运动，处于超重状态，说明绳子拉水桶的力大于水桶和水的总重力，故D正确。
【变式4-3】如图所示，圆桌桌面中间嵌着一可绕中心轴O转动的圆盘，A是圆盘边缘的一点，B是圆盘内的一点。分别把A、B的角速度记为ωA、ωB，线速度vA、vB，向心加速度记为aA、aB，周期记为TA、TB，则( )
A.ωA＞ωB B.vA＞vB
C.aA＜aB D.TA＜TB
答案 B
解析 因A、B两点同轴转动，则角速度相同，则ωA＝ωB，选项A错误；因为rA＞rB，根据v＝ωr可知，vA＞vB，选项B正确；因为rA＞rB，根据a＝ω2r可知，aA＞aB，选项C错误；因ωA＝ωB，根据T＝eq \f(2π,ω)可知，TA＝TB，选项D错误。
【题型5 对比问题】
【例5】如图所示是一个玩具陀螺，a、b和c是陀螺表面上的三个点．当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是( )
A．a、b和c三点的线速度大小相等
B．b、c两点的线速度始终相同
C．b、c两点的角速度比a点的大
D．b、c两点的加速度比a点的大
答案 D
解析 当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，a、b和c三点的角速度相同，a半径小，线速度要比b、c的小，A、C错；b、c两点的线速度大小始终相同，但方向不相同，B错；由a＝ω2r可得b、c两点的加速度比a点的大，D对．
【变式5-1】（多选）变速自行车靠变换齿轮组合来改变行驶速度．如图2所示是某一变速自行车齿轮转动结构示意图，图中A轮有48齿，B轮有42齿，C轮有18齿，D轮有12齿，则( )
A．该自行车可变换两种不同挡位
B．该自行车可变换四种不同挡位
C．当A轮与D轮组合时，两轮的角速度之比ωA∶ωD＝1∶4
D．当A轮与D轮组合时，两轮的角速度之比ωA∶ωD＝4∶1
答案 BC
解析 该自行车可变换四种不同挡位，分别为A与C、A与D、B与C、B与D，A错误，B正确；当A轮与D轮组合时，由两轮齿数可知，当A轮转动一周时，D轮要转4周，故ωA∶ωD＝1∶4，C正确，D错误．
【变式5-2】(多选)在如图所示的齿轮传动中，三个齿轮的半径之比为2∶3∶6，当齿轮转动的时候，小齿轮边缘的A点和大齿轮边缘的B点( )
A.线速度大小之比为1∶1B.线速度大小之比为3∶1
C.角速度之比为1∶1D.角速度之比为3∶1
答案 AD
解析 题图中三个齿轮边缘线速度大小相等，A点和B点的线速度大小之比为1∶1，选项A正确，B错误；由v＝ωr可得，线速度大小一定时，角速度与半径成反比，A点和B点角速度之比为3∶1，选项C错误，D正确。
【变式5-3】杭十四中风起校区实验楼大厅里科普器材中有如图所示的传动装置：在大齿轮盘内嵌有三个等大的小齿轮，若齿轮的齿很小，大齿轮半径（内径）是小齿轮半径的3倍，则当大齿轮顺时针匀速转动时，下列说法正确的是（ ）
A. 小齿轮逆时针匀速转动B. 小齿轮每个齿边缘的线速度均一样
C. 小齿轮的角速度是大齿轮角速度的3倍D. 小齿轮的周期为大齿轮周期的3倍
【答案】C
【解析】小齿轮的运动方向和大齿轮的运动方向相同，所以小齿轮也是顺时针匀速转动，故A错误；当齿轮转动时，每个啮合的齿轮边缘处的线速度大小相等，所以小齿轮每个齿边缘的线速度大小都相等，但方向不同，故B错误；根据线速度和角速度的关系
可知，当大齿轮半径（内径）是小齿轮半径的3倍时，小齿轮的角速度是大齿轮角速度的3倍，故 C正确；根据角速度和周倜的关系
可知大齿轮的周期为小齿轮周期的3倍，故D错误。
故选C。