浙江省杭州市联谊学校2024-2025学年高二上学期10月联考数学试题（Word版附解析）

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一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1. 直线的倾斜角为（）
A. B. C. D.
2. 已知集合，，则（）
A B. C. D.
3. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为（）
A. B. C. D.
4. 已知复数满足，则（）
A. B. C. D.
5. 如图，在斜棱柱中，与的交点为点M，，，，则（）
A. B.
C. D.
6. 设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
7. 已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（）
A B.
C. D.
8. 在正四面体中，分别为和的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 已知函数，则（）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数在区间上单调递减
D. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
10. 关于空间向量，下列说法正确的是（）
A. 直线l的方向向量为，平面的法向量为，则
B. 直线l的方向向量为，直线m的方向向量，则
C. 平面，的法向量分别为，，则
D 若对空间内任意一点O，都有，则P，A，B，C四点共面
11. 如图所示，边长为等边从起始位置（与轴重合）绕着点顺时针旋转至与轴重合得到，在旋转的过程中，下列说法正确的是（）
A. 边所在直线的斜率的取值范围是
B. 边所在直线在轴上截距的取值范围是
C. 边与边所在直线的交点为
D. 当的中垂线为时，
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 某学校有高二学生700人，其中男生420人，女生280人.有人为了获得该校全体高二学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取了容量为100的总样本（观测数据单位：），若已知男生样本的平均数为172，女生样本的平均数为162，则总样本的平均数是______.
13. 已知直线则与的距离___________.
14. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，，，，点是的中点，则线段上的动点到直线的距离的最小值为______.

四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）
15. 求满足下列条件的直线的一般式方程：
（1）直线的一个方向向量是，且经过的交点；
（2）与直线垂直，且点到直线的距离为.
16. 如图，长方体中，，，E是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求点E到平面的距离．
17. 在中，角所对的边分别为，且
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积．
18. 图1是直角梯形ABCD，，，，，，，以BE为折痕将BCE折起，使点C到达的位置，且，如图2．
（1）求证：平面平面ABED；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
（3）在棱上是否存在点P，使得二面角的平面角为？若存在，求出线段的长度，若不存在说明理由．
19. 已知点P和非零实数λ，若两条不同的直线，均过点P，且斜率之积为λ，则称直线，是一组“共轭线对”，如直线和是一组“共轭线对”，其中O是坐标原点．
（1）已知，是一组“共轭线对”，且直线，求直线的方程；
（2）已知点、点和点分别是三条倾斜角为锐角的直线PQ，QR，RP上的点（A，B，C与P，Q，R均不重合），且直线PR，PQ是“共轭线对”，直线QP，QR是“共轭线对”，直线RP，RQ是“共轭线对”，求点P的坐标；
（3）已知点，直线，是“共轭线对”，当斜率变化时，求原点O到直线，的距离之积的取值范围．