浙江省温州市2024-2025学年高二上学期期末考试数学（B卷）试题（Word版附解析）

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1. 直线的倾斜角为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先将直线化为斜截式求出直线的斜率，然后再利用倾斜角与斜率的关系即可求解.
【详解】由直线，
则，
设直线的倾斜角为，
所以，
所以
故选：A
【点睛】本题考查了直线的斜截式方程、直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题.
2. 在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据坐标平面内投影点坐标的特点可得结果.
【详解】在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影的坐标为.
故选：D.
3. 若正项数列是等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】由等比数列性质，结合充分必要条件的判断，即可求解.
【详解】因为正项数列是等比数列，所以，
当时，，解得，
所以数列为递增数列，满足充分性；
当数列为递增数列时，，满足必要性，
所以“”是“数列为递增数列”的充要条件.
故选：C
4. 已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系为（ ）
A. 内含B. 相交C. 外切D. 外离
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，求出两圆的圆心距，再判断位置关系即可.
【详解】圆：圆心，半径，
圆：的圆心，半径，
又，所以，
所以圆与圆的位置关系为内含.
故选：A.
5. 已知数列的通项公式为，去掉数列中所有的，得到新数列，则（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由数列的通项公式可得数列的前9项，又由是将中所有能被3整除的项去掉后剩余的项，分析计算可得答案.
【详解】根据题意，数列的通项公式为，
则，
又由是将中所有能被3整除的项去掉后剩余的项，
则
故选:
6. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用空间向量共面定理逐项进行判断即可.
【详解】因为构成空间的一个基底，所以不共面，
对于A，因为，所以共面，故A错误；
对于B，因为，所以共面，故B错误；
对于C，设，则，方程组无解，所以不共面，故C正确；
对于D，因为，所以共面，故D错误；
故选：C.
7. 已知直线与曲线有两个公共点，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】当直线l与椭圆上半部分有两个交点时，直线l的斜率k介于直线l与椭圆上半部分相切时的斜率和直线l过椭圆上半部分右顶点时的斜率之间.
【详解】直线过定点，曲线是椭圆的上半部分，
当直线l与椭圆上半部分有两个交点时，直线l的斜率k介于直线l与椭圆上半部分相切时的斜率
和直线l过椭圆上半部分右顶点时的斜率之间，直线l与椭圆上半部分相切时的斜率为，
直线l过椭圆上半部分右顶点时的斜率为，
所以k的取值范围为.
故选：B
8. 已知数列的前n项和为Sn，满足，对于恒成立，则的最小值为（ ）
A. B. 0C. 1D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由累乘法求得，再结合错位相减求和，即可求解.
【详解】由题，
，
又符合上式，所以
则，①，
，②，
由①-②，得，
所以，
若对于恒成立，即对恒成立，
所以对恒成立，所以，所以.
故选：B
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知直线与，则下列说法正确的是（ ）
A. 若时，则
B. 若时，则与重合
C. 若时，则
D. 若时，则与交于点
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据两直线垂直和平行的判定，结合选项逐项判断即可.
详解】对于A，当时，，
即，则，故A正确；
对于B，当时，，
即，则与不重合，故B错误；
对于C，当时，，
因为，所以，故C正确；
对于D，当时，，即，
由，得，
所以与交于点，故D正确.
故选：ACD.
10. 在棱长为2的正方体中，M，N分别是棱的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. M，N，B，D四点共面
B.
C. 平面
D. 直线到平面CMN的距离是
【答案】AB
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，利用空间向量的共线定理，线线垂直的向量表示，线面平行的向量求法，线面距离的向量求法，逐一判断各选项，即可求解.
【详解】以D为原点，以所在直线分别为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
对于A，因为，，
所以，所以，又不共线，所以，
从而M，N，B，D四点共面，故A正确；
对于B，因为，所以由，得，故B正确；
对于C，因为，
由，知MN与不垂直，而在平面内，
所以MN与平面不垂直，故C错误：
对于D，因为，
设是平面CMN的法向量，
则由，得：，
可取，直线到平面CMN的距离，即点到平面CMN的距离为d，
因为，则，故D错误.
故选：
11. 已知抛物线，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，P为直线x=-1上的一动点，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A. 若为等边三角形，则
B. 若，则存在两个不同的点P
C. 若A，O，P共线，则与x轴平行
D. 若A，O，P共线，则的最小值为2
【答案】ACD
【解析】
【分析】由抛物线的性质，求得A点横坐标，即可得，进而判断A；设直线：，联立直线与抛物线方程，求以为直径的圆的表达式，令x=-1，即可求解P点个数，进而判断B；若A，O，P共线，可求P点坐标，根据根与系数关系可得B点纵坐标，从而判断C；，利用基本不等式即可求解，进而判断D.
【详解】由题，抛物线的焦点F为，
不妨令，
对A选项，若为等边三角形，
则，
根据抛物线的性质可知，此时AP与y轴垂直，
故点A的横坐标为3，所以，故A正确；
对B选项，由题可知，直线的斜率不为0，
令直线：，
联立直线与抛物线方程有，
所以，
，
所以以为直径的圆的方程为：，
令x=-1，则，
整理可得，故只有一个点P可使，故B错误；
对C选项，若A，O，P共线，
则直线AP：，令x=-1，则，
由B选项可知，，
所以点B的纵坐标为，所以与x轴平行，故C正确；
对D选项，由C选项，
，
当且仅当时取等号，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，若共线，则______.
【答案】3
【解析】
【分析】利用向量共线的条件，能求出x的值.
【详解】，向量与共线，
，
解得，
则
故答案为：
13. 已知等比数列的前n项和为，则______.
【答案】585
【解析】
【分析】根据等比数列前n项和的性质即可求解.
【详解】由题可知成等比数列，
则，
所以
故答案为：
14. 已知P是双曲线上的任意一点，分别为点P到双曲线两条渐近线的距离，若，则双曲线的离心率为______.
【答案】2
【解析】
【分析】设，根据点P到双曲线两条渐近线的距离乘积等于，可得a与c的关系，即可求出离心率.
【详解】设，则，即 ，
双曲线两条渐近线的方程为，
则点P到两条渐近线的距离乘积为：
，
即，因为，所以，
故
故答案是：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知数列的前n项和为
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，可求得；当时，，对仍成立，可得数列的通项公式；
（2）裂项可得，可求得数列的前n项和
【小问1详解】
当时，；
当时，，
对仍成立，
数列通项公式为；
【小问2详解】
由（1）知
16. 已知直线，圆
（1）当时，判断直线l与圆C的位置关系；
（2）记直线l与圆C的交点为A，B，当时，求k的值.
【答案】（1）相交 （2）
【解析】
【分析】（1）利用点到直线距离，即可判断圆心到直线的距离，与圆半径比较，即可判断直线与圆间的位置关系；
（2）已知直线与圆相交的弦长，即可得到圆心到直线的距离，进而根据点到直线的距离公式求解直线斜率.
【小问1详解】
圆，
圆心，半径，又直线，
圆心C到直线的距离，
所以直线l与圆C相交；
【小问2详解】
圆心到直线的距离，
又，
所以，解得

17. 如图，在平行六面体中，，.
（1）求的长；
（2）求证：直线平面.
【答案】（1） （2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题意可得，再平方即可得到答案；
（2）根据，，可得，，再利用线面垂直的判定即可证明.
【小问1详解】
，
可得
所以；
小问2详解】
，，，
所以
，
所以，所以，
，
所以，所以，又，平面，
所以平面.
18. 已知动点到定点的距离和到定直线的距离的比是常数，动点P的轨迹记为曲线
（1）求曲线C的方程；
（2）过的直线l与曲线C交于A，B两点，O为坐标原点.
（i）若，求直线l的方程；
（ii）若，求的面积.
【答案】（1）；
（2）（i）；（ii）或3.
【解析】
【分析】（1）点Px,y到定点的距离为，点Px,y到定直线的距离为，根据题意列等式，即可求解；
（2）（i）设直线l的方程为，与抛物线联立，即可求解k的取值范围和根与系数关系式，由，代入根与系数关系，即可求解k，进而得l方程；
（ii），所以，将根与系数关系式代入即可求k，又，代入即可求解.
【小问1详解】
由已知得：，
两边平分并化简得：，
即，即为曲线C的方程；
【小问2详解】
（i）设直线l的方程为，
将其代入，得，
故，即或，
所以，
，
，
，
解得，所以；
（ii）由
，
所以，
所以x12+x22=x1+x22−2x1x2，
所以，
或，
又
当时，；当时，，
所以或

19. 已知数列为公差不为0的等差数列，数列为等比数列，记数列为数列
（1）若，且为等比数列，求数列的通项公式；
（2）若，求证：存在m，使得为等差数列；
（3）若存在m，满足是等比数列，求n的最大值.
【答案】（1）或
（2）证明见解析 （3）5
【解析】
【分析】（1）利用等差数列和等比数列的性质求解即可；
（2）求出特例，将时，构成等差数列，即可证明；
（3）当时，不妨记为，则为等比数列，，可以看出不符合题意，且最多只能有两个来自数列，再验证是否满足即可.
【小问1详解】
由已知得，
是等差数列，，
，
为等比数列，
，，
是等比数列，或；
【小问2详解】
当时，，
构成等差数列；
【小问3详解】
设等差数列的公差为，
当时，则中至少有3项来自数列，
不妨记为，则为等比数列，
，
，
舍去），
且最多只能有两项来自数列，
当时，来自数列，
取或，
构造等差数列，
此时为有5项的等比数列.