2024-2025学年陕西省咸阳市高二上册10月月考数学学情检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年陕西省咸阳市高二上册10月月考数学学情检测试题（含解析），共25页。试卷主要包含了 已知直线， 下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理：试题不回收.
第I卷（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
2. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知两点，，直线：线段相交，则的取值范围是（ ）
A. B. 或C. D.
4. 如图，在四面体中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（ ）
A. B.
C. D.
5. 如图，在长方体中，已知，，E为的中点，则异面直线BD与CE所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知直线：与：，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7. 平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，则线段的长为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知定点，点P为圆上动点，点Q为直线上的动点.当取最小值时，设的面积为S，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设l，m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列判断错误的是（ ）
A. 若，，，则
B 若，，，则
C. 若直线，，且l⊥m，l⊥n，则
D. 若l，m是异面直线，，，且，，则
10. 下列结论正确的是（ ）
A. 向量是直线的一个方向向量；
B. “”是“与直线互相垂直”充要条件；
C. 已知直线l过点，且在轴上截距相等，则l的方程为；
D. 直线在y轴上的截距为.
11. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，下列说法正确的有（ ）
A. 当点是中点时，直线平面；
B. 直线到平面距离是；
C. 存在点，使得；
D. 面积的最小值是
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若方程表示圆，则实数的取值范围为______________.
13. 已知在ΔABC中，顶点，点在直线：上，点在轴上，则ΔABC的周长的最小值______.
14. 在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则______；为线段上的动点，为中点，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 若圆C经过点和，且圆心在x轴上，则：
（1）求圆C的方程．
（2）直线与圆C交于E、F两点，求线段的长度．
16. 已知三棱柱中，侧棱垂直于底面，点D是AB中点．
（1）求证：平面；
（2）若底面ABC为边长为2的正三角形，，求三棱锥体积．
17. 已知的三个顶点分别为，，.
（1）求边上的高所在直线的方程；
（2）求边上的中线所在直线的方程.
18. 如图，在棱长4的正方体中，是的中点，点在棱上，且.
（1）求平面与平面夹角的余弦值；
（2）若为平面内一点，且平面，求点到平面的距离.
19. 如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得．
（1）证明：；
（2）求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值.
2024-2025学年陕西省咸阳市高二上学期10月月考数学学情检测试题
注意事项：
1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理：试题不回收.
第I卷（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】先得到直线方程的斜率，然后根据的关系，以及的范围，求出答案.
【详解】因为直线方程是，
所以该直线的斜率，
所以可得，
而
所以该直线的倾斜角是.
故选C
本题考查根据直线方程求直线的倾斜角，属于简单题.
2. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】利用点关于轴对称的点的坐标是即可得出.
【详解】关于轴对称的点的坐标是只有横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为相反数，
所以点关于轴对称的点为.
故选：A．
3. 已知两点，，直线：线段相交，则的取值范围是（ ）
A. B. 或C. D.
【正确答案】B
【分析】化简直线方程，得到直线必过的定点，可求出，，进而可求出的取值范围.
【详解】
因为直线，如图
直线：即恒过，
而，
因为直线与线段相交，结合图形，
故直线的斜率的范围为：或．
故选：B
4. 如图，在四面体中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】根据空间向量基本定理结合已知条件求解
【详解】
因为N为BC中点，所以,
因为M在线段OA上，且，
所以，
所以，
故选：B
5. 如图，在长方体中，已知，，E为的中点，则异面直线BD与CE所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据异面直线所成角的定义，利用几何法找到所成角，结合余弦定理即可求解.
【详解】取的中点F，连接EF，CF，，易知，所以为异面直线BD与CE所成的角或其补角.因为，，所以由余弦定理得.
故选：C
6. 已知直线：与：，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】C
【分析】由两线平行的判定列方程求参数a，注意验证是否存在重合情况，结合充分、必要性定义判断条件间的关系》
【详解】由，则，即，故或，
时，，，即，显然两线重合；
时，则，，即，故.
综上，“”是“”的充要条件.
故选：C
7. 平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，则线段的长为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】以为基底表示空间向量，再利用数量积运算求解.
【详解】因为
所以
即
所以．
故选：C．
8. 已知定点，点P为圆上的动点，点Q为直线上的动点.当取最小值时，设的面积为S，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】圆上的点到直线上的点的距离最小时为圆心到直线的距离减去半径，由此确定，两点的位置，然后求出点到直线的距离作为底边上的高，求出三角形面积即可.
【详解】圆的圆心为原点，半径为2，

过原点且与直线垂直的直线方程为，
则点到直线的距离为.
又因为原点到直线的距离为，
所以的最小值为，则，
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设l，m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列判断错误的是（ ）
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若直线，，且l⊥m，l⊥n，则
D. 若l，m是异面直线，，，且，，则
【正确答案】ABC
【分析】ABC可举出反例；D选项，作出辅助线，由线面平行得到线线平行，进而得到面面平行.
【详解】对于A，若，，，则l与m可能平行，可能相交，也可能异面，A错误．
对于B，若，，，则l与m可能平行，可能相交，也可能异面，B错误．
对于C，没有说m，n是相交直线，所以不能得到，C错误．
对于D，因为，设平面平面，，所以，
因为l，m是异面直线，，所以l，a相交，
因为，，，所以，
因为，，l，a相交，所以，D正确．
故选：ABC
10. 下列结论正确的是（ ）
A. 向量是直线的一个方向向量；
B. “”是“与直线互相垂直”的充要条件；
C. 已知直线l过点，且在轴上截距相等，则l的方程为；
D. 直线在y轴上的截距为.
【正确答案】AD
【分析】结合方向向量的定义，可判定A正确；结合直线垂直的性质与运算，可判定B错误；根据题意，求得截距相等的直线方程，可判定C错误；根据截距的定义与求解，可判定D正确．
【详解】解：对于A中，直线的斜率为，所以向量是直线的一个方向向量，所以A正确；
对于B中，当直线与直线互相垂直，则，
解得或，故“”是“与直线互相垂直”的充分不必要条件，所以B错误；
对于C中，直线l过点，且在轴上截距相等，当截距为0时，直线方程为；
当截距不为0时，可得直线方程为，所以C错误；
对于D中，由，令，可得，所以在轴上的截距为，所以D正确．
故选：AD．
11. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，下列说法正确的有（ ）
A. 当点是中点时，直线平面；
B. 直线到平面的距离是；
C. 存在点，使得；
D. 面积的最小值是
【正确答案】AC
【分析】根据线面平行的判定判断A；根据等体积法求得点到平面的距离判断B；建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积运算解决垂直问题判断C；求出面积的表达式，再求得面积的最小值判断D.
【详解】对于A，由是中点，，得点是的中点，连接，显然也是的中点，连接，
于是，而平面，平面，所以直线平面，A正确；
对于B，分别是棱的中点，则，平面，平面，于是平面，
因此直线到平面的距离等于点到平面的距离h，
，
，，，
由，得，B错误；
以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，,
对于C，设，则，，，，
由，得，解得，
由于，因此存在点，使得，C正确；
对于D，由选项C得在的投影点为，
则P到的距离，
面积为 ，所以当时，取得最小值为，D错误.
故选：AC
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若方程表示圆，则实数的取值范围为______________.
【正确答案】
【分析】根据圆的一般方程条件，计算即可得到答案.
详解】根据题意，方程表示圆，
则，解得.
所以实数的取值范围为.
故答案为.
13. 已知在ΔABC中，顶点，点在直线：上，点在轴上，则ΔABC的周长的最小值______.
【正确答案】
【分析】设点关于直线：的对称点，点关于轴的对称点为，
连接交于，交轴于，则此时ΔABC周长取最小值，且最小值为，利用对称知识求出和，再利用两点间距离公式即可求解.
【详解】如图：
设点关于直线：的对称点，点关于轴的对称点为，
连接交于，交轴于，
则此时ΔABC的周长取最小值，且最小值为，
与关于直线：对称，
，解得：，
，易求得：，
ΔABC的周长的最小值.
故答案为.
本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的方法，体现了数形结合的数学思想，综合性较强.
14. 在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则______；为线段上的动点，为中点，则的最小值为______．
【正确答案】 ①. ②.
【分析】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值.
【详解】解法一：因为，即，则，
可得，所以；
由题意可知：，
因为为线段上的动点，设，
则，
又因为为中点，则，
可得
，
又因为，可知：当时，取到最小值；
解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则，
可得，
因为，则，所以；
因为点在线段上，设，
且为中点，则，
可得，
则，
且，所以当时，取到最小值为；
故；.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 若圆C经过点和，且圆心在x轴上，则：
（1）求圆C的方程．
（2）直线与圆C交于E、F两点，求线段的长度．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）由圆心既在线段的垂直平分线上，又在x轴上，可联立直线方程求圆心，进而得半径与圆的方程；
（2）利用几何法，先求圆心到直线的距离，再利用勾股定理求半弦长即可得.
【小问1详解】
因为和，线段的中点为0,2，且，
则的垂直平分线方程为，由圆的性质可知，圆心在该直线上，
又已知圆心在轴上，令，得，
故圆心为，半径，
则圆圆C的方程为.
【小问2详解】
由圆心2,0到直线的距离，.
故线段的长度为.

16. 已知三棱柱中，侧棱垂直于底面，点D是AB的中点．
（1）求证：平面；
（2）若底面ABC为边长为2的正三角形，，求三棱锥体积．
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）连接交于点，连接DE，只要证明即可；
（2）求出面，得到CD是棱锥的高，利用棱锥的体积公式解答即可.
【小问1详解】
连接交于点，连接DE，
四边形是矩形，
为的中点，又是AB的中点，
，又平面平面,
平面；
【小问2详解】
是AB的中点，
，
又平面平面
平面,
平面,
则CD是三棱锥的高,
又
.
17. 已知的三个顶点分别为，，.
（1）求边上的高所在直线的方程；
（2）求边上的中线所在直线的方程.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）先求得直线的斜率，利用点斜式求得边上的高所在直线的方程.
（2）先求得点坐标，再根据两点式求得边上的中线所在直线的方程.
【小问1详解】
，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为
【小问2详解】
线段的中点，
所以直线所在直线方程为.

18. 如图，在棱长4的正方体中，是的中点，点在棱上，且.
（1）求平面与平面夹角的余弦值；
（2）若为平面内一点，且平面，求点到平面的距离.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，求其夹角的余弦值即可得答案.
（2）利用空间向量的方法解决点到面的距离.
【小问1详解】
以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
.
设平面的法向量为n=x,y,z，则，
取，则，得.
因为平面，所以平面的一个法向量为，
则平面与平面夹角的余弦值为.
【小问2详解】
设，则.
因为平面，所以，则，得，即.
因为，所以点到平面的距离为.
19. 如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得．
（1）证明：；
（2）求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）由题意，根据余弦定理求得，利用勾股定理逆定理可证得，则，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明；
（2）由（1），根据线面垂直的判定定理与性质可证明，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解面面角即可.
小问1详解】
由，
得，又，在中，
由余弦定理得,
所以，则，即，
所以，又平面，
所以平面，又平面，
故；
【小问2详解】
连接，由，则，
在中，，得，
所以，由（1）知，又平面，
所以平面，又平面，
所以，则两两垂直，建立如图空间直角坐标系，
则，
由是的中点，得，
所以，
设平面和平面的一个法向量分别为，
则，，
令，得，
所以，
所以，
设平面和平面所成角为，则，
即平面和平面所成角的正弦值为.