重庆市文德中学校2024-2025学年九年级下学期入学考试 数学试题（含解析）

这是一份重庆市文德中学校2024-2025学年九年级下学期入学考试 数学试题（含解析），共33页。试卷主要包含了作图请一律用黑色2B铅笔完成；等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；
2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项；
3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成；
4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回．
参考公式：抛物线的顶点坐标：，对称轴：直线
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了A、B、C、D四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的框涂黑．
1. 以下各数是有理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了有理数，根据有理数的定义逐一判断即可求解，熟记：“整数和分数统称为有理数”是解题的关键．
【详解】解：、、是无理数，则A、B、C不符合题意，
是有理数，则D符合题意，
故选D．
2. 下列图形是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形；
选项C能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形；
故选：C．
3. 若反比例函数的图象经过二、四象限，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的性质，先根据反比例函数的性质列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过第二、四象限，
∴，
解得．
故选：A．
4. 如图，与位似，位似中心是点，且，若的面积为5，则的面积为（ ）
A. 10B. 15C. 20D. 25
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
根据位似图形的概念得到，，求得相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．
【详解】解：∵与位似，
∴，，
∴，
∴，
∴与的面积比为，
∵的面积为5，
∴的面积是20，
故选C．
5. “绿色电力．与你同行”，我国新能源汽车销售量逐年增加，据统计，年新能源汽车年销售量为万辆，预计年新能源汽车手销售量将达到万辆，设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x，则所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键．
由题意知，年新能源汽车手销售量将达到万辆，年新能源汽车手销售量将达到万辆，然后依据题意列方程即可．
详解】解：依题意得，，
故选：A．
6. 估计的值应在（ ）
A. 7与8之间B. 8与9之间C. 9与10之间D. 10与11之间
【答案】C
【解析】
【分析】先根据二次根式的运算法则进行计算，然后再估算无理数的大小即可．
【详解】解：，
∵，
∴，即．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算、无理数的大小估算等知识点，正确掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．
7. 按照如图所示的方法铺设黑、白两色的小正方形地砖，第1个图案中有1块黑色小正方形地砖，第2个图案中有5块黑色小正方形地砖，第3个图案中有13块黑色小正方形地砖，…，则第7个图案中黑色小正方形地砖的块数是（ ）
A. 25块B. 61块C. 85块D. 113块
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查图形的变化规律，得到第n个图案中黑色小正方形地砖的块数是解题的关键．
【详解】∵第个图案中黑色小正方形地砖的块数，
第个图案中黑色小正方形地砖的块数，
第个图案中黑色小正方形地砖的块数，
第个图案中黑色小正方形地砖的块数，
…，
第n个图案中黑色小正方形地砖的块数，
∴第7个图案中黑色小正方形地砖的块数．
故选：C．
8. 如图，半圆的直径，两弦相交于点，弦，则等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．连接，可得为等边三角形，则，根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：连接，

∵半圆O的直径，
∴半圆O的半径为3，
又，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
9. 如图，正方形中，点E、F分别是和边的点，满足，连接，过点F作，连接，H是上一点，且，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如图，连接，证明，则，由，可得，由，可得，则，即是的中点，，，由外角的性质可得，，则，根据，计算求解即可，
【详解】解：如图，连接，
∵正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即是的中点，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，三角形外角的性质，三角形内角和定理是解题的关键．
10. 有依次排列的2个整式：，对任意相邻的两个整式，都相加再除以2，所得的结果写在这两个整式之间，可以产生一个新的整式列：，这称为第1次操作；将第1次操作后的整式列按上述方式再做一次操作，可得到整式列：x，这称为第2次操作；…；按此方式操作下去，下列说法：
①无论经过多少次操作，每一个整式中字母x的系数都为1；
②经过3次操作后，将整式列求和，和为9x＋9；
③经过7次操作后，将得到128个整式；
④经过10次操作后，从左往右第10个整式为．
其中正确的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查整式的加减，根据题目的规律计算几次，找到规律后判断即可．
【详解】第1次操作后产生一个新的整式列：，共个整式，和为；
第2次操作后产生一个新的整式列：x，，共个整式，和为；
第3次操作后产生一个新的整式列：x，，共个整式，和为；
∴第次操作后共个整式，和为；
根据上面的规律可得：①无论经过多少次操作，每一个整式中字母x的系数都为1，说法正确；
②经过3次操作后，将整式列求和，和为，说法正确；
③经过7次操作后，将得到个整式，说法错误；
④经过10次操作后，从左往右前10个数中，第奇数个都是上一次操作遗留的数据，第偶数个依次为则第10个整式为，说法正确．
综上所述，正确是①②④；
故选：C．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题5分，共30分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，零指数幂，先计算特殊角三角函数值和零指数幂，再计算减法即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
12. 重庆是一座魔幻都市，有着丰富的旅游资源．甲、乙两人相约来到重庆旅游，两人分别从、、三个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人同时选择景点的概率为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了画树状图法或列表法求概率，根据画树状图法求概率即可，熟练掌握画树状图法或列表法求概率是解题的关键．
【详解】解：画树状图如下：
由图可知，共有种等可能的情况，其中甲、乙两人同时选择景点的情况有种，
∴甲、乙两人同时选择景点的概率为，
故答案为：．
13. 如图，在扇形中，，点为半径的中点，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，点为弧的中点，连接、．若，则阴影部分的面积为___________________．
【答案】
【解析】
【分析】如图，连接，，，交于．证明，求出四边形的面积即可解决问题．本题考查扇形的面积，四边形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【详解】解：如图，连接，，，交于．
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
14. 若关于的一元一次不等式组至少有两个整数解；且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是______．
【答案】20
【解析】
【分析】根据不等式组的整数解的个数确定a的取值范围，再根据分式方程的非负数解确定a的取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论．
本题考查了不等式组的整数解、分式方程的解，解决本题的关键是根据不等式组的整数解的个数及分式方程的解确定a的取值范围．
【详解】解：∵ ，
解不等式①得：；
解不等式②得，
∴的解集为，
∵不等式组至少有两个整数解，
∴，
解得；
∵，
去分母得：，
整理，得，
故，
∵方程有非负数整数解，
∴，
∴，
∵时，是方程的增根，
此时，无意义，舍去，
∴或或或且
∴符合题意的整数a的值为，
∴符合条件的所有整数a的和是，
故答案为：．
15. 如图，是的直径，是的切线，点为切点．连接交于点，点是上一点，连接，，过点作交的延长线于点．若，，，则的长度是________；的长度是________．
【答案】 ①. ## ②. ##
【解析】
【分析】由直径所对的圆周角是直角得到，根据勾股定理求出，则，由切线的性质得到，则可证明，解直角三角形即可求出；连接，由平行线的性质得到，再由，，推出，得到，则．
【详解】解：∵是直径，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
在中，；
如图所示，连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的判定等等，证明是解题的关键．
16. 一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“逢双数”，若为“逢双数”，则这个数为______；对于“逢双数”，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为．若“逢双数”千位上的数字与个位上的数字之和为8，且能被4整除，则所有满足条件的“逢双数”的最大值与最小值的差为______．
【答案】 ①. 7629 ②. 6174
【解析】
【分析】本题考查了新定义，整除问题，理解定义是解题关键．由为“逢双数”，得，即可求解；设“逢双数”的个位数字为x，十位数字为y，则千位数字为，百位数字为，得，由∵能被4整除，可知能被4整除，进而求得，即可得的最大值，最小值，即可求解．
【详解】解：∵为“逢双数”，
∴，解得：，
即：这个数为7629；
设“逢双数”的个位数字为x，十位数字为y，则千位数字为，百位数字为，
故，，
=，
∵能被4整除，
∴，
∴能被4整除，
当时，或；
当时，或；
当时，或；
∵
∴，时，m取得最大值，且为；
∴，时，m取得最小值，且为；
故最大值与最小值的差为：；
故答案为：．
三、解答题：（本大题8个小题，每题10分，共80分）解答每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查整式的化简、分式的化简，正确使用公式及法则进行计算是关键．
（1）根据完全平方公式，单项式乘多项式的运算法则即可求出答案．
（2）括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到最简结果．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
18. 如图，在中，平分，交于点D．
（1）尺规作图：作的垂直平分线，分别交于点E，F，连接；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）小川判断四边形是菱形，他的证明思路是：利用垂直平分线的性质，先证明为等腰三角形，再利用平行线的判定得到四边形为平行四边形，从而得到四边形是菱形．
证明：∵平分，
∴①___________，
∵是的垂直平分线，
∴，②___________，
，
，
∴，③___________，
∴四边形为平行四边形．
∵④___________，
∴四边形是菱形．
【答案】（1）见解析 （2），，，
【解析】
【分析】本题考查了作图−−基本作图，平行四边形的判定，菱形的判定，掌握线段垂直平分线的作法是解题的关键．
（1）根据作线段的垂直平分线的基本步骤作图；
（2）根据“邻边相等的平行四边形是菱形”进行证明即可．
【小问1详解】
如图，即为所求，
【小问2详解】
证明：∵平分，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，，
，
，
∴，，
∴四边形为平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形．
故答案为：，，，
19. 大疆农业无人机在全球多个国家和地区获得政府政策支持和市场认可，2022年，我国S省农业科技综合服务平台计划用47万元购买A、B两款大疆农业无人机共25架，服务于全省农作物洒水、施肥、喷农药等农田与果园工作．每架A款农业无人机为2万元，每架B款农业无人机比A款少2000元．
（1）求2022年S省农业科技综合服务平台计划购买A、B两款大疆农业无人机各多少架？
（2）大疆农业无人机始终保持技术的选代升级．2024年、款农业无人机以更智能、更高效、更安全的方式革新农业生产方式．对比2022年S省计划购买的A、B两款农业无人机，2024年H省购买款农业无人机比S省购买A款农业无人机的单价高，购买数量多m个；H省购买款农业无人机比S省购买B款农业无人机的单价高万元，购买数量少．2024年H省购买款、款农业无人机共花费55.8万元，求m的值．
【答案】（1）2022年S省农业科技综合服务平台计划购买A款大疆农业无人机10架，B款大疆农业无人机15架；
（2）的值为1．
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
（1）设2022年省农业科技综合服务平台计划购买款大疆农业无人机架，款大疆农业无人机架，利用总价单价数量，结合我国省农业科技综合服务平台计划用47万元购买、两款大疆农业无人机共25架，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用总价单价数量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【小问1详解】
解：设2022年省农业科技综合服务平台计划购买款大疆农业无人机架，款大疆农业无人机架，
根据题意得：，
解得：．
答：2022年省农业科技综合服务平台计划购买款大疆农业无人机10架，款大疆农业无人机15架；
【小问2详解】
解：根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：的值为1．
20. 在大学校园里，共享单车以其便捷、环保的特点，成为了广大师生出行的新选择．某品牌共享单车为了解其在大学生群体中的受欢迎程度，在甲、乙两个大学中进行了满意度调查（单位：分，满分100分，分数越高越受欢迎）．现在从甲、乙两个大学中各随机抽取10名学生的满意度得分数据进行整理、描述和分析（满意度得分用x表示，共分为A、B、C、D四个等级：．A：，B：，C．，D．）．下面给出了部分信息：
甲大学10名学生满意度得分数据：99，96，92，93，88，88，88，78，74，69；
乙大学10名学生B等级所有满意度得分数据：89，89，88，86，82．
甲、乙大学抽取的学生满意度得分统计表
请根据以上信息解答：
（1） ， ， ；
（2）你认为该品牌共享单车在哪个大学更受学生欢迎？请说明理由：（写出一条即可）
（3）若甲、乙两校共有7200人参加此次满意度调查，请你估计喜爱该品牌共享单车的学生有多少人？
【答案】（1）88；；10
（2）品牌共享单车在乙大学更受欢迎，理由见解析
（3）2520人
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形统计图，求中位数，平均数，用样本估计总体等等：
（1）根据中位数和众数的定义即可求出a、b，先求出乙大学A等级的人数，进而求出C等级的人数即可求出m；
（2）根据乙大学的众数和中位数都比甲大学的高即可得到答案；
（3）用7200乘以样本中的人数占比即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵甲大学10名学生满意度得分为88分的人数最多，
∴甲大学10名学生满意度得分的众数，
乙大学10名学生满意度得分在A等级的人数为人，则C等级有人，
∴，
∴；
把乙大学10名学生满意度得分从低到高排列，处在第5名和第6名的得分分别为88分，89分，
∴乙大学10名学生满意度得分的中位数，
故答案为：88；；10；
【小问2详解】
解：品牌共享单车在乙大学更受欢迎，理由如下：
∵乙大学的中位数和众数都比甲大学的高，
∴品牌共享单车在乙大学更受欢迎．
【小问3详解】
解：人，
∴估计喜爱该品牌共享单车的学生有2520人．
21. 如图1，在中，．点从点出发，以的速度沿折线运动，同时点从点出发，以的速度沿线段BC运动．当点到达点时，P，Q停止运动．设点运动的时间为的面积为．
（1）请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围；
（2）在图2平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出这个函数的一条性质：____________；
（3）若与的函数图象与直线有两个交点，则的取值范围是_____________．
【答案】（1）
（2）当时，为最大值（答案不唯一）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，一次函数与二次函数综合．
（1）分两种情况分别计算即可；
（2）画出函数图象后分析函数图象即可得到性质；
（3）平移，找到与的函数图象有两个交点的范围即可．
【小问1详解】
当点在线段上时，，
此时，，
∴；
当点在线段上时，，
此时，，
∴，
∴；
综上所述，
【小问2详解】
函数图象如下：
根据函数图象可得，当时，为最大值（答案不唯一）；
【小问3详解】
平移，如图所示：
当过时，有两个交点，此时函数解析式为，，
当过时，有一个交点，此时函数解析式为，，
∴若与的函数图象与直线有两个交点，则的取值范围是，
故答案为：．
22. 如图，四边形是某公园的休闲步道．经测量，点B在A的正西方向，米，点D在A的正北方向，点C在B的西北方向，米，点C在D的南偏西方向上．
（1）求步道的长度；（精确到个位数）；
（2）小亮以90米/分的速度沿的方向步行，小明骑自行车以300米/分的速度沿的方向行驶．两人能否在4分钟内相遇？请说明理由．（参考数据：，）
【答案】（1）步道长度为673米
（2）两人能否在4分钟内相遇；理由见解析
【解析】
【分析】（1）过点作交于点E，过点E作于点F，过点C作于点G，证明四边形为矩形，得出，米，，证明为等腰直角三角形，得出（米），根据三角函数得出（米），求出（米），解直角三角形得出（米），即可求出结果；
（2）根据直角三角形性质求出（米），米，求出（米），根据（米），（米），得出（米），根据（分钟），即可得出结论．
【小问1详解】
解：过点作交于点E，过点E作于点F，过点C作于点G，如图所示：
根据作图和已知条件可知，，
∴四边形为矩形，
∴，米，，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴（米），
∵，
∴，
∴，
∴（米），
∴（米），
∵，，
∴（米），
∴（米），
即步道的长度为673米．
【小问2详解】
解：两人能在4分钟内相遇；理由如下：
∵在中，米，
∴（米），
∵中，米，
∴米，
∴（米），
∵（米），（米），
∴（米），
∵（分钟），
有∵，
∴两人能在4分钟内相遇．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角函数的定义，求出直角三角形的边长．
23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点且交x轴于点，点B，交y轴于点C，顶点为D，连接，．
（1）求抛物线的表达式．
（2）点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作交x轴于点M，轴交于点H，求的最大值，以及此时点P的坐标．
（3）连接，把原抛物线沿射线方向平移个单位长度后交x轴于，两点（在右侧），在新抛物线上是否存在一点G，使得，若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）最大值为，；
（3）存在，点G的坐标为或
【解析】
【分析】（1）运用待定系数法求出函数解析式；
（2）求出直线的解析式，设，则得到H的坐标，表示出证明，得到一个关于m的二次函数表达式，利用二次函数的性质求出最值和此时P点坐标即可；；
（3）先求出新的抛物线的表达式为：，先求出，，分两种情况进行讨论：当点在轴上方时，当点在轴下方时，分别画出图形进行求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线过点且交x轴于点，
把点、代入，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：过点P作轴于点N，如图所示：

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
令，
，
，
设直线为，
把代入，
得，
解得，
，
设，
，
轴交于点H，
的纵坐标为，得，
，
，
，
，
时，有最大值，是，
此时，
此时点P的坐标为．
【小问3详解】
解：过点D作轴于点P，如图所示：
∵抛物线，
∴顶点，
，
，
，
∴原抛物线沿射线方向平移个单位长度时，相当于向上平移个单位，向右平移个单位，
∴新的抛物线的表达式为：
，
令，
解得：，，
∴，，
当点在轴上方时，如图所示：
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设直线的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为：，
令，
解得：，（舍去），
把代入得，
∴此时G点坐标为；
当点在轴下方时，如图所示：
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设直线的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为：，
令，
解得：，（舍去），
把代入得，
∴此时G点坐标为；
综上分析可知，点G的坐标为：或．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，三角函数的定义，二次函数与最值问题，二次函数的平移，相似三角形的性质和判定等知识，本题的关键是熟练掌握角的转换，结合三角函数转换线段从而求出最值问题，同时熟悉二次函数的特殊值和对称轴公式，发现联系列出方程解题．
24. 已知为等边三角形，D为的中点，点E，F分别在上，连接．

（1）如图1，若，求的长；
（2）如图2，点G在上，连接交于点H，若，求证： ；
（3）如图3，若，点P在直线上，连接，将沿着翻折至 所在的平面内，得到，连接，取的中点T，连接，当取最大时，求的面积．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质；
过作交于，根据三角函数可得，，，再根据求得，再代入计算即可；
（2）延长至，使，即可得到，推出，，进而得到，，再证明得到，，最后根据求证；
（3）取中点，，，则，由翻折可得，可证明是的中位线，得到，得到，当、、三点共线且在、之间时最大，此时，，即可求出求的面积．
【小问1详解】
过作交于，

∵为等边三角形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴；
【小问2详解】
延长至，使，

∵D为的中点，
∴,
∵，
∴，
∴，，
∵
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
取中点，，，则，，
由翻折可得，
∵取的中点T，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
当、、三点共线且在、之间时最大，此时，
∴，
过作交延长线于，则,
∴，
∴．学校
平均数
中位数
众数
方差
甲
88
a

乙
b
89