重庆市大足中学2024-2025学年九年级下学期开学考试 数学试题（含解析）

这是一份重庆市大足中学2024-2025学年九年级下学期开学考试 数学试题（含解析），共35页。试卷主要包含了答非选择题时，必须使用0，考试结束后，将答题卷交回，参考公式等内容，欢迎下载使用。
（满分：150分，考试时间：120分钟）
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡规定的位置上．
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．
3．答非选择题时，必须使用0．5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．
4．考试结束后，将答题卷交回．
5．参考公式：抛物线顶点坐标为
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查相反数的定义，解题关键是掌握相反数的定义．根据绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数即可得出结论．
【详解】的相反数是，
故选：D．
2. 体育精神就是健康向上、不懈奋斗的精神，下列关于体育运动的图标中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．
【详解】解：选项A、B、D的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项C的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
3. 反比例函数的图象一定不经过的点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足解析式．据此判断逐项即可．
【详解】解：A、当时，，则反比例函数的图象一定经过的点，故此选项不符合题意；
B、当时，，则反比例函数的图象一定经过的点，故此选项不符合题意；
C、当时，，则反比例函数的图象一定经过的点，故此选项不符合题意；
D、当时，，则反比例函数的图象一定不经过的点，故此选项符合题意，
故选：D．
4. 把一块直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，根据两直线平行，同旁内角互补求出，根据三角形外角性质求解即可．
【详解】解：如图，
∵直尺的对边平行，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
5. 如图，与位似，点O为位似中心.已知，则与面积比为（ ）
A. 1：3B. 1：4C. 1：6D. 1：9
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了图形的位似、相似三角形的性质等知识，根据位似比得相似比，由相似的性质即可得出答案，牢记位似比和相似比之间的关系是解题的关键．
【详解】解：与位似，
故选：．
6. 用相同的小正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有个正方形，第②个图案中有个正方形，第③个图案中有个正方形，...按此规律排列下去，则第个图案中正方形的个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得到规律．根据已知图形中正方形的个数得出第个图形正方形个数为个，即可求解．
【详解】解：解：图1中正方形的个数：，
图2中正方形的个数：，
图3中正方形的个数：，
第个图形正方形个数为个，
第个图案中正方形的个数（个），
故选：B．
7. 估计的值应该在（ ）
A. 3和4之间B. 4和5之间C. 5和6之间D. 6和7之间
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了二次根式的乘法，估算无理数的大小的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握“夹逼法”的运用．先根据二次根式的乘法法则计算，再利用夹逼法可得：，从而进一步可判断出答案．
【详解】解：，
∵，
∴，
即的值在4和5之间．
故选：B．
8. 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是( )
A. 4B. 6.25C. 7.5D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】先利用勾股定理判断△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，继而证明四边形AEOF为正方形，设⊙O的半径为r，利用面积法求出r的值即可求得答案.
【详解】∵AB=5，BC=13，CA=12，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，
∵⊙O△ABC内切圆，
∴∠AFO=∠AEO=90°，且AE=AF，
∴四边形AEOF为正方形，
设⊙O的半径为r，
∴OE=OF=r，
∴S四边形AEOF=r²，
连接AO，BO，CO，
∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC，
∴，
∴r=2，
∴S四边形AEOF=r²=4，
故选A.
【点睛】本题考查了三角形的内切圆，勾股定理的逆定理，正方形判定与性质，面积法等，正确把握相关知识是解题的关键.
9. 如图，延长矩形的边至点E，使，连接，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理等；连接与交于，根据矩形的性质可证，，由等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求解；掌握性质，作出辅助线，构建等腰是解题的关键．
详解】解：如图，连接与交于，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
故选：B．
10. 按顺序排列的8个单项式a，b，c，d，，，，中，任选个互不相邻的单项式（其中至少包含一个系数为1的单项式和一个系数为的单项式）相乘，计算得单项式M，然后在剩下的单项式中再任选若干个单项式相乘，计算得单项式N，最后计算，称此为“积差操作”．例如：当时，可选互不相邻的b，，相乘，得，在剩下的单项式a，c，d，，中可选c，d相乘，得，此时，……．下列说法中的错误个数是（ ）
①存在“积差操作”，使得为五次二项式；
②共有4种“积差操作”，使得；
③共有12种“积差操作”，使得．
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据定义，举例解答即可．
本题考查了整式的加减，整式的乘法，熟练掌握整式的加减，乘法是解题的关键．
【详解】解：根据题意，八个单项式a，b，c，d，，，，中，根据不相邻要求，得，，是五次单项式，此时是五次二项式，
故①正确；
根据不相邻要求，得，，此时；
，，此时；
，，此时；
，，此时；
，，此时；
……
超过4种“积差操作”，
故②错误；
要使得．
则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
……
∴超过12种“积差操作”，使得说法正确，
故③错误．
故选：C．
二、填空题：（本大题共8小题，每小题4分，共32分）将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上．
11. 计算：__________．
【答案】5
【解析】
【分析】先将零指数幂和负整数指数幂化简，再进行计算即可．
【详解】解：，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了零指数幂和负整数指数幂，解题的关键是熟练掌握任何非0数的0次幂都得1，以及（是正整数）．
12. 正n边形的每一个外角都是它相邻的内角的2倍，则n的值为______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查多边形的外角和内角，设正n边形的每一个外角为，则它相邻的内角为x，列出关于x的方程式，求得x，,再根据多边形的外角和为即可求出答案．
【详解】解：设正n边形的每一个外角为，则它相邻的内角为x，
，
解得：，
，
则．
故答案为：3．
13. 在桌面上放有四张背面朝上且完全一样的卡片，卡片正面分别标有数字，，，，现随机抽取一张，则所抽取卡片上的数字为偶数的概率是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查概率，概率所求情况数与总情况数之比．利用概率公式求解即可．
【详解】解：所抽取卡片上的数字为偶数的情况为：，，共两种情况，
，
故答案为：．
14. 在“双减政策”的推动下，某初级中学学生课后作业时长明显减少．2022年上学期每天作业平均时长为100分钟，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天作业时长为64分钟．已知2022年下学期和2023年上学期平均每天作业时长的下降率相同，则下降率为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
根据2022年上学期每天作业平均时长为分钟，经过两学期降低后到了平均每天作业时长为64分钟，即可得出关于一元二次方程，即可得出．
【详解】解∶ 依题意得：，
解得，（舍去）
∴下降率为为
故答案为：．
15. 如图，在矩形中，，矩形外一点E满足，点O为对角线的中点，则的长度为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，连接，设交于F，则由矩形的性质可得，点O是对角线的中点，利用勾股定理得到，再证明，即可得到．
【详解】解：如图所示，连接，设交于F，
∵四边形是矩形，点O是对角线的中点，
∴，点O是对角线的中点，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
16. 若关于x的一元一次不等式组有解且至多有3个整数解，且关于y的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数a的值之积为________．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查一元一次不等式组和分式方程，根据关于的一元一次不等式组的解的情况求出的取值范围，根据关于的方程的解的情况求出的取值情况，然后求出满足条件的的值，即可得出答案．
【详解】解：解不等式组，得，
不等式组有解且最多有3个整数解，
，
解得：，
整数为：1，2，3，4，5，6，
解分式方程，得，
分式方程有整数解，
是整数，且，
整数为：1，5，
所有满足条件的整数的值之积是．
故答案为：5．
17. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AD垂直于过点C的切线，垂足为点D，∠BAC＝30°，AB＝6，则AE的长为（ ）
A. 2B. 3C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接BE、OC，先证，利用圆周角定理得到，进而得到，放在Rt△ABE中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半即可得到AE的长度．
【详解】解：连接BE，如图所示，
∵直径所对的圆周角是直角，
，
（同位角相等，两直线平行），
连接OC交BE于点G，
∵DC是⊙O的切线，
（圆的切线垂直于过切点的半径），
，即，
又∵（圆周角定理），
，
在Rt△ABE中，（30°所对的直角边等于斜边的一半），
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，切线的性质，圆周角定理等，掌握辅助线的做法是解决问题的关键．
18. 如果一个四位自然数M各个数位上的数字均不为0，且前两位数字之和为5，后两位数字之和为8，则称M为“会意数”．把四位数M的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数．规定．例如：，∵，，∴2335是“会意数”．则．那么“会意数”，则________；已知四位自然数是“会意数”，（，，，且a、b、c、d均为正整数），若恰好能被8整除，则满足条件的数S的最大值是________．
【答案】 ①. 30 ②. 4117
【解析】
【分析】本题主要考查整式的加减，解答的关键是理解清楚“会意数”的定义．根据“会意数”的定义进行求解即可；由题意可得，从而可求得，再结合恰好能被8整除，即能被8整除，对当时，当时，分别对此进行分析即可求解．
【详解】解：∵，
∴“会意数”N前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数为7141，
∴，
∵是“会意数”，
∴，，
∴，
∵
∴，
∵恰好能被8整除，，，，，且a，b，c，d为整数，
∴能被8整除，
即能被8整除，
当时，故当，时，，，则自然数S为：4117；
当时，故当，时，，，则自然数S为：1462；
当，时，，，则自然数S为：2371；
当，不符合题意，舍去；
当，不符合题意，舍去；
综上所述：所有满足条件的自然数S的值为：4117或1462或2371，其中最大的数为4117，
故答案为：30，4117．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据完全平方公式，单项式乘以多项式进行计算即可求解；
（2）根据分式的加减进行计算，同时将除法转化为乘法，根据分式的混合运算进行化简即可求解．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
【点睛】本题考查了整式的化简，分式的混合运算，熟练掌握整式的运算法则以及分式的运算法则是解题的关键．
20. 已知四边形为正方形，点E在边上，连接．
（1）尺规作图：过点B作于点H，交于点F（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）；
（2）求证：．（请补全下面的证明过程）
证明：∵正方形
∴， ①
∴
∵
∴
∴
∴ ②
在与中
∴
∴ ④ ．
通过上面的操作，进一步探究得到这样的结论：两端点在正方形的一组对边上且 ⑤ 的线段长相等．
【答案】（1）见解析 （2），，，，垂直
【解析】
【分析】本题考查尺规作图-作垂线、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握基本作图和正方形的性质是解答的关键．
（1）根据尺规作垂线的方法作出即可；
（2）先根据正方形性质得到，根据等角的余角相等得到，然后利用全等三角形的判定和性质证明得到，进而得出结论．
【小问1详解】
解：如图，即为所求作：
【小问2详解】
证明：∵正方形
∴，
∴
∵
∴
∴
∴
在与中
∴
∴．
通过上面的操作，进一步探究得到这样的结论：两端点在正方形的一组对边上且垂直的线段长相等．
故答案为：，，，，垂直．
21. 在大学校园里，共享单车以其便捷、环保的特点，成为了广大师生出行的新选择．某品牌共享单车为了解其在大学生群体中的受欢迎程度，在甲、乙两个大学中进行了满意度调查（单位：分，满分100分，分数越高越受欢迎）．现在从甲、乙两个大学中各随机抽取10名学生的满意度得分数据进行整理、描述和分析（满意度得分用x表示，共分为A、B、C、D四个等级：．A：，B：，C．，D．）．下面给出了部分信息：
甲大学10名学生满意度得分数据：99，96，92，93，88，88，88，78，74，69；
乙大学10名学生B等级所有满意度得分数据：89，89，88，86，82．
甲、乙大学抽取的学生满意度得分统计表
请根据以上信息解答：
（1） ， ， ；
（2）你认为该品牌共享单车在哪个大学更受学生欢迎？请说明理由：（写出一条即可）
（3）若甲、乙两校共有7200人参加此次满意度调查，请你估计喜爱该品牌共享单车的学生有多少人？
【答案】（1）88；；10
（2）品牌共享单车在乙大学更受欢迎，理由见解析
（3）2520人
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形统计图，求中位数，平均数，用样本估计总体等等：
（1）根据中位数和众数的定义即可求出a、b，先求出乙大学A等级的人数，进而求出C等级的人数即可求出m；
（2）根据乙大学的众数和中位数都比甲大学的高即可得到答案；
（3）用7200乘以样本中的人数占比即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵甲大学10名学生满意度得分为88分的人数最多，
∴甲大学10名学生满意度得分的众数，
乙大学10名学生满意度得分在A等级的人数为人，则C等级有人，
∴，
∴；
把乙大学10名学生满意度得分从低到高排列，处在第5名和第6名的得分分别为88分，89分，
∴乙大学10名学生满意度得分的中位数，
故答案为：88；；10；
【小问2详解】
解：品牌共享单车在乙大学更受欢迎，理由如下：
∵乙大学的中位数和众数都比甲大学的高，
∴品牌共享单车在乙大学更受欢迎．
【小问3详解】
解：人，
∴估计喜爱该品牌共享单车的学生有2520人．
22. 某学校食堂不定期采购某调味加工厂生产的“0添加”有机生态酱油和生态食醋两种食材．
（1）该学校花费1720元一次性购买了酱油、食醋共100瓶，已知酱油和食醋的单价分别是18元、16元，求学校购买了酱油和食醋各多少瓶？
（2）由于学校食材的消耗量下降和加工厂调味品的价格波动，现该学校分别花费900元、600元一次性购买酱油和食醋两种调味品，已知购买酱油的数量是食醋数量的倍，每瓶食醋比每瓶酱油的价格少3元，求学校购买食醋多少瓶？
【答案】（1）学校购买了酱油60瓶，食醋40瓶
（2）学校购买食醋40瓶
【解析】
【分析】（1）设学校购买了酱油x瓶，食醋y瓶，由题意得：，解方程组即可．
（2）设学校购买食醋m瓶，则购买酱油瓶，由题意得：，
解方程即可．
本题考查了方程组应用，分式方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键．
【小问1详解】
解：设学校购买了酱油x瓶，食醋y瓶，
由题意得：
解得：，
答：学校购买了酱油60瓶，食醋40瓶．
【小问2详解】
解：设学校购买食醋m瓶，则购买酱油瓶，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：学校购买食醋40瓶．
23. 如图1，在等腰中，于点D，，．动点E，F同时从点C出发，点E以每秒1个单位的速度沿线段运动，点F以每秒个单位的速度沿折线运动．当点E到达点B时，E、F两点同时停止运动．设点E的运动时间为t秒，的面积记为，的长度记为．
（1）请直接写出关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围；
（2）如图2，平面直角坐标系中已给出函数的图象，请在该坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质；
（3）结合函数图象，估计当时t的近似值．（近似值保留一位小数，误差不超过）
【答案】（1）
（2）图见解析，函数的性质：函数有最大值，最大值为3
（3）和
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，函数的图象，解题的关键是理解题意，学会利用图象解决问题．
（1）分两种情况，即在点的左边或右边两种情况，根据题意可得相似三角形，再利用相似三角形性质求得的长，即可解答；
（2）根据描点法画出图象即可，再根据图象写出的一条性质；
（3）根据图象得到的解析式，根据题意列方程即可解答．
【小问1详解】
解：是等腰三角形，,
，，
在中，，
当在点的右边时，如下图，此时，
，
，
，
，
，
，即，
；
当在点的左边时，此时，
，
，
，
，
，
，即，
；
综上所述，；
【小问2详解】
解：的图象如图所示：

函数的性质：函数有最大值，最大值为；
【小问3详解】
由（1）得：当时，，当时，，
当时，，把代入可得，解得,
∴当时，，
当时，，把，代入可得，解得,
∴当时，，
可得方程和，
分别解得和，
当时t的近似值为和．
24. 随着移动互联网的普及，外卖已经成为了人们日常生活中不可或缺的一部分．某天，小惠在位于点A处的家中购买了位于点K处某商家的外卖食品，外卖骑手收到商家派单后，立即赶往点K处取餐，然后进行配送．根据导航显示，点K在点A的南偏西方向米处，点A在点B的北偏东方向，B、K两地相距米，点C在点K的正西方向，点D分别在点K、点A的正东方向和正南方向．（参考数据：）
（1）求的长度；
（2）骑手在点C处收到派单后立即赶往点K处取餐并开始配送，由于道路正在维修，骑手有两条送餐路线可选择：①，速度为每分钟320米：②，速度为每分钟240米．请通过计算说明，骑手选择哪条送餐路线才能更快地将外卖送到小惠家？
【答案】（1）米
（2）骑手选择②的送餐路线才能更快地将外卖送到小惠家
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理：
（1）如图所示，过点K作于H，由题意得，，则，先解得到米，再利用勾股定理求出的长即可得到答案；
（2）先解得到米，米，进而分别计算出两条路线的时间即可得到答案．
【小问1详解】
解：如图所示，过点K作于H，
由题意得，，
∴
在中，米，
米，
在中，由勾股定理得米，
∴米；
【小问2详解】
解：在中，米，
米，
∴米，
∴路线②的时间为分钟；
∵米，
∴路线①的时间为分钟，
∵，
∴骑手选择②的送餐路线才能更快地将外卖送到小惠家．
25. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，，连接，，．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，点M为线段（不含端点O，C）上一点，连接并延长交抛物线于点P，连接，，当面积最大时，求点M的坐标及面积的最大值；
（3）如图2，将该抛物线沿射线方向平移，当它过点B时得到新抛物线，点F为新抛物线与x轴的另一个交点，点G为新抛物线的顶点，连接，，过点B作交新抛物线于点H，连接．在新抛物线上确定一点N，使得，直接写出所有符合条件的点N的坐标．
【答案】（1）
（2），的面积有最大值
（3）N点坐标为或
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过点作轴交于点，设，则，，当时，的面积有最大值，此时，求出直线的解析式为，即可求；
（3）求出平移后的函数解析式为，再分别求出直线的解析式为，直线的解析式为，，过点作轴的垂线与的延长线交于点，与轴交于点，过点作交于点，过点作轴的平行线，过点作交于点，推导出，先求，再由，得到，根据，推导出，当点在点上方时，，设，求出；当点在点下方时，设与直线交于点，过点作交于点，求出，则，利用等积法求，可得，设，求出点，则直线的解析式为，设点关于直线的对称点为，根据，求出，则直线的解析式为，直线与抛物线的交点为．
【小问1详解】
解： ，
，
，
，
，
，
，
，
将、、三点代入，
，
解得，
抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
过点作轴交于点，如图1，

设，则，
，
，
当时，的面积有最大值，此时，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
；
【小问3详解】
解：设抛物线沿轴正半轴方向平移个单位，则沿轴正方形平移个单位，
平移后的函数解析式为，
经过点，
，
解得（舍或，
平移后的函数解析式为，
当时，，
解得或，
，
是顶点，
，
直线的解析式为，
，
直线的解析式为，
当时，解得或，
，
过点作轴的垂线与的延长线交于点，与轴交于点，过点作交于点，过点作轴的平行线，过点作交于点，如图2，
直线与轴的交点，，
，
，，
，
，
，
，
直线的解析式为，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
，
当点在点上方时，
，
，
，
，
，
设，
，
解得（舍或，
∴；
当点在点下方时，设与直线交于点，过点作交于点，
∴，
，
，
，
，
，
设，
，
解得，
∴，
直线的解析式为，
设点关于直线的对称点为，
，
，
解得或（舍，
∴，
直线的解析式为，
当时，解得或（舍；
∴；
综上所述：点坐标为或．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数图象平移，平行线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，轴对称的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，轴对称的性质，准确地计算是解题的关键．本题词属二次函数综合题目，难度较大．
26. 是等边三角形，点D为线段上任意一点，连接，E为直线上一点，

（1）如图1，当点D为中点时，点E在边上，连接，若，，求的长；
（2）如图2，若点E为延长线上一点，且，点F为延长线一点，且，猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在（1）的条件下，M为线段上一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转，得到线段，连接，当的值最小时，直接写出的面积．
【答案】（1）
（2），见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）过点E作于F，根据等边三角形的性质得到，，利用锐角三角函数求得、、，进而求得，然后利用勾股定理求解即可；
（2）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质分别证明和得到即可得出结论；
（3）在上截取，连接，则是等边三角形，证明得到，，进而，则点N在过点G且垂直于的直线l上运动，作点B关于直线l的对称点，连接交直线l于N，交于H，连接交直线l于O，此时的值最小，设直线l与相交于K，连接，利用锐角三角函数求得，，，证明是等边三角形和 ，进而求得，，然后利用三角形的面积公式求解即可．
【小问1详解】
解：过点E作于F，如图，

∵，，
∴，
∵是等边三角形，点D为中点，
∴，，
∴，，，
在中，，
∴；
【小问2详解】
，理由为：
上截取，连接，

∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，又，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
在上截取，连接，交于

∵，
∴是等边三角形，
∴，，，
∵线段绕点E顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，即，
∴点N在过点G且垂直于的直线l上运动，
作点B关于直线l的对称点，连接交直线l于N，交于H，连接交直线l于O，则，，，此时的值最小，
设直线l与相交于K，连接，
∵，，，
∴，，，
∴，又，
∴是等边三角形，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
在中，，
∴，
∴
【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、解直角三角形、全等三角形的判定与性质、旋转性质、等腰三角形的性质、利用轴对称求最短路径问题等知识，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识与联系，并添加辅助线构造等边三角形和全等三角形是解答的关键．学校
平均数
中位数
众数
方差
甲
88
a

乙
b
89