重庆市第七中学2023-2024学年九年级下学期入学考试数学试题（解析版）

这是一份重庆市第七中学2023-2024学年九年级下学期入学考试数学试题（解析版），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

参考公式：抛物线（）的顶点坐标为，对称轴为
一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，的相反数是．根据相反数的概念解答即可．
【详解】解：的相反数是，
故选：C．
2. 下列4个汉字中可以看成是轴对称图形的是（ ）
A. 中B. 国C. 繁D. 华
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此即可求解．
【详解】解：选项B、C、D的汉字不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
选项A汉字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：A
3. 如图，直线，直角三角形的直角顶点在直线上，已知，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，平角的性质，利用平行线的性质，平角的性质解决问题即可．
【详解】解：如图，
，
，
，
故选：C．
4. 如图，与位似，点为位似中心．已知，则与面积比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
根据位似变换得到，得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【详解】解：∵与位似，
，
，
，
∴与相似比为，
∴与面积比为，
故选：C．
5. 已知反比例函数的图象经过点，则k的值是（ ）
A. B. 6C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】用待定系数法即可求解．
【详解】解∶把点代入得：，
解得：，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了求反比例函数表达式，解题的关键是掌握用待定系数法求解反比例函数k值的方法和步骤．
6. 估计的值应在（ ）
A. 3和4之间B. 4和5之间C. 5和6之间D. 6和7之间
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的运算法则进行计算，再估算确定出所求即可．
【详解】原式
∵1＜2＜4，
∴
即
故选C．
【点睛】此题考查了估算无理数的大小，弄清估算的方法是解本题的关键．
7. 下列图形都是由相同的小正方形按照一定规律摆放而成的，照此规律排列下去，第1个图形中小正方形的个数是3个，第2个图形中小正方形的个数是8个，第3个图形中小正方形的个数是15个，则第6个图形中小正方形的个数是（ ）
A. 24B. 30C. 35D. 48
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查图形变化的规律，解题的关键是依次求出图形中小正方形的个数，并发现其规律．
根据所给图形，依次求出图形中小正方形的个数，发现规律即可解决问题．
【详解】解：由所给图形可知，
第1个图形中小正方形的个数为：；
第2个图形中小正方形的个数为：；
第3个图形中小正方形的个数为：；
…，
依次类推，第n个图形中小正方形的个数为个．
第6个图形中小正方形的个数是，
故选：D．
8. 如图，过上一点P的切线与直径AB的延长线交于点C，点D是圆上一点，且，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理．
连接，由圆周 角定理得出，再由切线的性质得，即可由三角形内角和定理求解．
【详解】解：如图，连接，
∴
∵是的切线，
∴
∴
∴
故选：A．
9. 如图，在正方形中，点E，F分别在，上，满足，连接，，点P，Q分别是，的中点，连接．若．则可以用α表示为（ ）
A. αB. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先证明，则，，如图，连接，则，，，，，根据，计算求解即可．
【详解】解：∵正方形中，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
如图，连接，

∵点，分别是，的中点，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质是解题的关键．
10. 对多项式（x，y，z，m，n均不为零），任意加括号（括号里至少有两个字母，且括号中不再含有括号）并同时改变括号前的符号，然后按给出的运算顺序重新运算，称此一系列操作为“变括操作”．例如：，，下列说法：
①不存在“变括操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②只有一种“变括操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；
③若同时添加两个括号，所有可能的“变括操作”共有4种不同运算结果．
其中正确的个数是（ ）个
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了整式的加减，理解“变括操作”的定义是解题关键．根据“变括操作”的定义，利用整式加减的运算法则逐个判断即可得．
【详解】解：由“变括操作”的定义可知，任意加括号（括号里至少有两个字母，且括号中不再含有括号）并同时改变括号前的符号，
所以不存在“变括操作”，使其运算结果与原多项式相等；说法①正确；
要使其运算结果与原多项式之和为0，
则只有一种“变括操作”，即，说法②正确；
若同时添加两个括号，所有可能的“变括操作”有以下五种：
，
，
，
，
，
由此可知，若同时添加两个括号，所有可能的“变括操作”共有4种不同运算结果．说法③正确；
综上，正确的个数是3个，
故选：D．
二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）
11. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂．熟练掌握负整数指数幂，零指数幂是解题的关键．先分别计算负整数指数幂，零指数幂，然后进行加法运算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是 _______．
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查多边形的内角和与外角和，设多边形的边数为n，根据多边形的内角和及外角和列得方程，解得n的值即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，则该多边形的内角和为，
依题意得：，
解得：，
∴这个多边形的边数是10．
故答案为：10．
13. 有三张完全一样正面分别写有字母A，B，C的卡片．将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的字母后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的字母相同的概率是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意列出图表得出所有等情况数和抽取的两张卡片上的字母相同的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：根据题意列表如下：
共有9种等可能的结果数，其中两次抽出的卡片上的字母相同的有3种情况，
所以P（抽取的两张卡片上的字母相同）＝＝．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．
14. 已知某小区的房价在两年内从每平方米万元上涨到每平方米万元，设该小区房价平均每年增长的百分率为，根据题意可列方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程的应用之增长降低率问题，一般的，若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为：．
根据相等关系：平均每年增长的百分率即可列出方程．即可列出方程．
【详解】解：根据题意，得：．
故答案为：．
15. 已知如图，在中，，，以C为圆心为半径作弧，交的延长线于点E，以B为圆心为半径交的延长线于点D，若，则阴影部分的面积是________．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】本题主要考查了求扇形面积，勾股定理，根据计算，即可得出答案．
【详解】在中，，，
∴，
∴.
根据勾股定理，得．
．
故答案为：．
16. 如图，矩形纸片的对角线，BD相交于点，，将矩形纸片翻折，使点恰好落在点处，折痕为，点在边CD上，则的长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查翻折变换，等边三角形的判定和性质，含30度的直角三角形的性质；首先证明是等边三角形，根据含30度角的直角三角形的性质得出，证明，根据，即可求解．
【详解】解：四边形是矩形，
，，
由翻折性质可知：，，
，
是等边三角形，
，
，，则
，
，
故答案为：6．
17. 若数m使关于x的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，且使关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数m的值之和为 _____．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式组整数解问题，解分式方程；由一元一次不等式组仅有4个整数解得，求出整数，解分式方程得，分别代入，即可求解；掌握不等式组解法和分式方程的解法，得出整数的取值范围是解题的关键．
【详解】解：解不等式组得，
不等式组仅有4个整数解，
，
解得：，
为、、、、、、、，
解分式方程得：
，
，
，
分式方程有非负整数解，
为、、、，
，
故答案为：．
18. 若一个四位数的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数之和为150，则称这个四位数为“圆梦数”．若一个四位数（其中，且均为整数）为“圆梦数”，则___________；定义，若能被19整除，且存在整数使得，则满足条件的的值为________________．
【答案】 ① 14 ②. 7278
【解析】
【分析】第一问，利用圆梦数的定义以及各字母的范围，结合两位数的表示方法和整数的性质，即可求解．
第二问，利用整数整除的性质，合理变形作穷举法分析讨论，最后得出满足条件的M的值．
【详解】根据题意得，，
变形得，，为10的倍数．
∵，
∴，
因为10的倍数，故．
∴，可求得．
∵能被19整除，
所以可设（N为正整数）．
又，将变形得：
，
即，
∴，
∵19与3互质，
∴必是19的整数倍．
∵，a、b均为正整数，
∴，即，
因是19的整数倍，故或．
以下分两种情况讨论：
㈠当时， ，
由得，符合条件的a、b只有或，
当时，，但95不能表示成的形式，舍弃．
当时， ，因，故符合题意．
㈡当时，， 符合条件的a、b有或或，
以上三组数据分别代入中，结果均为负值，
因此均不符合题意，舍弃．
综合㈠、㈡可知，符合题意的只有．
依据题意可知
，
因此，满足条件的M值只有．
【点睛】本题考查了实数的新定义问题，正确理解新定义是解题的关键．
三、解答题（本大题8个小题，19题8分，20～26题每小题10分，共78分）
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了分式的混合运算，整式的混合运算，解题的关键是：
（1）利用单项式乘以多项式法则，完全平方公式计算即可；
（2）先把小括号通分，然后把除法转化为乘法，最后把各分式的分子、分母进行因式分解，再约分即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
20. 如图，在平行四边形中，．
（1）用尺规完成以下基本作图：作的平分线交于点，在上截取，使（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图形中，连接，求证：四边形是菱形．请补全下面的证明过程．
证明：∵四边形为平行四边形，∴且，
∵，∴，
∴________．
∴四边形是平行四边形，
∵，∴________．
∵平分，∴_______，
∴．
∴_______，∴四边形是菱形．
【答案】（1）见解析 （2）；；；
【解析】
【分析】（1）根据尺规作图作出角平分线，以及线段，即可；
（2）根据平行四边形的性质以及菱形的判定方法求证即可．
【小问1详解】
解：如图所示：
【小问2详解】
证明：∵四边形为平行四边形，∴且，
∵，
∴，
∴．
∴四边形是平行四边形，
∵，∴．
∵平分，∴，
∴．
∴，∴四边形是菱形．
故答案为：；；；
【点睛】此题考查了尺规作图－角平分线、线段，平行四边形的性质，菱形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质以及菱形的判定方法．
21. 猜灯谜是我国独有的富有民族风格的一种文娱活动形式．某校开展了猜灯谜知识竞答活动，从七年级和八年级各随机抽取20名学生的竞答成绩（单位：分），进行整理、描述和分析（比赛成绩用表示，共分成4组：．，．，．，．）．下面给出了部分信息：
七年级学生组的竞答成绩为：86，81，83，84，82，83，86，84．
八年级被抽取学生的竞答成绩为：83，60，66，62，68，83，71，92，90，76，91，94，83，75，84，83，77，90，91，81．
七八年级抽取的竞答成绩统计表
七年级抽取的竞答成绩扇形统计图
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______，______，______；
（2）根据以上数据，你认为哪个年级学生的竞答成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七、八年级学生共有1200人，请你估计该校七、八年级学生中竞答成绩不低于90分的有多少人？
【答案】（1）
（2）七年级学生的竞答成绩更好
（3）估计该校七、八年级学生中竞答成绩不低于90分的有300人
【解析】
【分析】本题考查用样本估计总体、扇形统计图所占百分比、中位数、众数的意义和计算方法，从统计图表中获取数量之间的关系是解决问题的关键．
（1）本题考查中位数、众数和扇形统计图中的百分比，对于中位数、众数，根据众数和中位数的定义求解即可，再利用B组人数除以抽取的总人数，即可求得．
（2）根据平均数、中位数、众数分析，言之有理即可．
（3）本题考查由样本估计总体，根据抽取的样本中七、八年级学生竞答成绩不低于90分的所占比乘以1200即可解题．
【小问1详解】
解：由题知，七年级随机抽取20名学生的竞答成绩，其中组所占百分比为组所占百分比为，
∴组人数为（人），
组人数为（人），
其中组有8名学生的竞答成绩，故组有名学生，
将七年级竞答成绩从低到高进行排列，第、位竞答成绩是82分、83分，
∴七年级被抽取学生竞答成绩中位数为(分)，
八年级被抽取学生的竞答成绩出现次数最多的是83分，
∴八年级被抽取学生的竞答成绩众数，
又，即；
【小问2详解】
解：七年级学生的竞答成绩更好．
理由如下：平均数一样，七年级学生的竞答成绩的众数和中位数大于八年级学生的竞答成绩；
【小问3详解】
解：(人)，
答：估计该校七、八年级学生中竞答成绩不低于90分的有300人．
22. 腊味食品深受川渝人的喜爱．春节将至，甲、乙两单位打算为员工购买腊肉和香肠作为新年福利．
（1）2023年12月份，甲单位花费3900元购买了40袋腊肉、50袋香肠，已知10袋腊肉和7袋香肠的售价相同，求2023年12月份每袋腊肉和香肠的售价分别是多少元？
（2）由于市场供不应求，2024年1月份腊肉和香肠的价格均有上涨，其中每袋香肠的售价是每袋腊肉售价的倍，乙单位分别花费了1600元、3600元购买腊肉、香肠，一共购买了100袋，求2024年1月份每袋香肠的售价．
【答案】（1）2023年12月份每袋腊肉的售价是35元，每袋香肠的售价是50元
（2）2024年1月份每袋香肠的售价是60元
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用及分式方程的应用：理清题意，根据等量关系列出方程是解题的关键．
（1）设2023年12月份每袋腊肉售价是x元，每袋香肠的售价是y元，根据甲单位花费3900元购买了40袋腊肉、50袋香肠，已知10袋腊肉和7袋香肠的售价相同，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设2024年1月份每袋腊肉的售价是m元，则每袋香肠的售价是元，根据乙单位分别花费了1600元、3600元购买腊肉、香肠，一共购买了100袋，列出分式方程，解方程即可．
【小问1详解】
解：设2023年12月份每袋腊肉的售价是x元，每袋香肠的售价是y元，
由题意得：，
解得：，
答：2023年12月份每袋腊肉的售价是35元，每袋香肠的售价是50元；
【小问2详解】
解：设2024年1月份每袋腊肉的售价是元，则每袋香肠的售价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
(元)，
答：2024年1月份每袋香肠的售价是60元．
23. 如图，中，，，，动点M、N分别以每秒3个单位长度、4个单位长度的速度同时从A出发，点M沿折线方向运动，点N沿折线方向运动，点M到达点B后，点M、点N的运动速度均变为每秒1个单位长度运动，当两点相遇时停止运动，设运动时间为t秒，点M、N的距离为y．
（1）请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，写出M，N两点相距5个单位长度时t的值．
【答案】（1）
（2）图象见解析，当时，函数值随自变量的增大而增大（答案不唯一）
（3）t的值为或
【解析】
【分析】本题是动点问题，考查了勾股定理，求函数解析式，画一次函数图象，已知函数值求自变量值等知识，注意分类讨论．
（1）分及两种情况考虑，对前一情况，利用勾股定理即可，对后一情况，利用两点运动路程和与的和为10即可解决；
（2）由（1）中求得的函数关系式画出函数图象，根据图象即可写出一条性质即可；
（3）根据所求得的函数关系式，求出当时的自变量值即可．
【小问1详解】
解：由勾股定理得：；
当M、N分别运动到点B、C时，运动时间为（秒）；当M、N在上相遇时，，解得；
①当时，M、N分别在边上，此时，
由勾股定理得；
②当时，M，N两点在边上，此时，
∵，
∴；
综上，所得函数关系式为；
【小问2详解】
解：函数图象如下：
当时，函数值随自变量的增大而增大（答案不唯一）；
【小问3详解】
解：当时，，得；
当时，，得；
故当M，N两点相距5个单位长度时，t的值为或．
24. 小明从家步行前往公园，已知点在点的正东方向，但是由于道路施工，小明先沿正北方向走了400米到达处，再从处沿北偏东方向行走400米到达处，从处沿正东方向走了300米到达处，在处休息了6分钟，最终沿方向到达处，已知点在点的南偏东方向．小明从家出发的同时，爷爷从家选择另一路线步行前往处，已知点在点的南偏东方向，且点在点的正南方向．（参考数据：）

（1）求的长度（结果精确到1米）；
（2）已知小明步行速度为80米/分钟，爷爷步行速度为70米/分钟，小明和爷爷始终保持匀速行驶，请计算说明小明和爷爷谁先到达公园？
【答案】（1）1246米
（2）小明先到达公园．
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形实际应用，勾股定理，矩形的性质与判定：
（1）延长交于点，过点作于点，先解得到，则由勾股定理可得，证明四边形为矩形，得到
，，进一步证明，则（米），
（2）先由勾股定理求出，则，可计算出，解，得到，则，求出，据此可得答案．
【小问1详解】
解：延长交于点，过点作于点

由题知，
在中，，
，
∵，
∴，
∴四边形为矩形
，，
在中，，
，
（米），
答：的长度约为1246米．
【小问2详解】
解：在中，
，
在中，，
，
，
，
答：小明先到达公园．
25. 如图1，抛物线与直线相交于点B和C，点B在x轴上，点C在y轴上，抛物线与x轴的另一个交点为A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P为直线上方抛物线上一动点，于点D，轴于点F，交于点E，求周长的最大值以及点P的坐标；
（3）在（2）的结论下，将抛物线沿射线CB方向平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线的顶点为M，平面内有一点N，以点P、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点N的坐标．
【答案】（1）
（2）的周长最大值为，点的坐标为
（3）或 或
【解析】
【分析】（1）求出点坐标，再将这两点坐标代入，即可求解；
（2）先判断为等腰直角三角形，得的周长为：，设 则 计算得出，根据二次函数的性质可得结论；
（3）先求出平移后点的坐标，分三种情况：当是对角线时，当是对角线时，当BM是对角线时，根据平行四边形的性质分别求解即可.
【小问1详解】
直线与坐标轴交于点和，
当 x=0时， ，
时，即，
解得：，
∴点，，
把两点的坐标代入 中得，
，解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
【小问2详解】
∵ ，
，
，
轴，
轴，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
的周长为：，
∴当取最大值时， 的周长取最大值，
∵抛物线的解析式为直线的解析式为，
设 ，则，
，
当 时，有最大值为，此时的周长为，点的坐标为；
【小问3详解】
抛物线沿射线CB方向平移 个单位长度，相当于向右平移32个单位， 向下平移32个单位，
∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点为，
∴平移后抛物线的顶点为，
当是对角线时，
∵点的坐标为，，，
，
当是对角线时，
∵点的坐标为， ，
；
当BM是对角线时，
∵点的坐标为，

综上，点的坐标为 或 或 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质等，运用分类讨论和数形结合思想解决问题是解题的关键.
26. 在中，，，点为边上一动点，连接，将绕着点逆时针方向旋转得到，连接．
（1）如图，，点为中点，与交于点，若，求的长度；
（2）如图，与交于点，连接，在延长线上有一点，，求证：；
（3）如图，与交于点，且平分，点为线段上一点，点为线段上一点，连接，点为延长线上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，在运动过程中，当取得最小值，且时，请直接写出的值．
【答案】（1）；
（2）证明见解析； （3）．
【解析】
【分析】（）由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求的长，由旋转的性质可得， ，即可求解；
（）由“”可证，可得，，由“”可得，可得，可得结论；
（）先证明当点，点，点三点共线，且时，有最小值，再证明点，点，点三点共线，由等腰直角三角形和折叠的性质可求解；
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质 ，勾股定理等知识，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵点为中点，
∴，
∴，
∵将绕着点逆时针方向旋转得到，
∴，，
∴；
【小问2详解】
证明：如图，过点作交于点，
∵，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∵将绕着点逆时针方向旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：如图，在上截取，连接，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
当点，点，点三点共线，且时，有最小值，如图，
∵，，
∴，
由折叠的性质可知：
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴点，点，点三点共线，
∵折叠，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
A
B
C
A
AA
BA
CA
B
AB
BB
CB
C
AC
BC
CC
年级
七年级
八年级
平均数
80
80
中位数
a
83
众数
82