重庆市第八中学校2024-2025学年八年级下学期开学 数学试题（含解析）

这是一份重庆市第八中学校2024-2025学年八年级下学期开学 数学试题（含解析），共31页。
1. 2022年2月在北京和张家界举行了第24届冬季奥林匹克运动会，下列四个图案分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别，熟知轴对称图形的定义是解题的关键．
2. 根据下列表述，不能确定一点的具体位置的是（ ）
A. 东经，北纬
B. 礼堂6排22号
C. 重庆市宏帆路
D. 港口南偏东方向上距港口10海里
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了坐标确定位置，根据坐标确定位置需要两个数据对各选项分析判断即可．
【详解】解：A、东经，北纬的位置明确，故A不符合题意；
B、礼堂6排22号的位置明确，故B项不符合题意；
C、重庆市宏帆路无法确定物体的具体位置，故C项符合题意；
D、港口南偏东方向上距港口10海里的位置明确，故D项不符合题意；
故选：C．
3. 下列因式分解正确的是( )
A x2-xy＋y2=(x-y)2
B. x2-5x-6=(x-2)(x-3)
C. x3-4x=x(x2-4)
D. 9m2-4n2=(3m＋2n)(3m-2n)
【答案】D
【解析】
【分析】根据完全平方公式、平方差分式、十字相乘进行判定即可．
【详解】解：A、x2-xy+y2≠(x-y)2，因式分解错误，不符合题意．
B、x2-5x-6=(x-6)(x+1)，因式分解错误，不符合题意．
C、x3-4x=x(x2-4)=x(x+2)(x-2)，因式分解错误，不符合题意．
D、9m2-4n2=(3m+2n)(3m-2n)，因式分解正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解的识别，把一个整式分解成几个因式积的形式叫做分解因式，灵活运用因式分解的方法是解决本题的关键．
4. 计算：（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．先化简绝对值，再进行二次根式乘法运算，最后进行加减运算即可．
【详解】解：原式
故选：A．
5. 将点，先向右平移4个单位，再向下平移4个单位，则平移后得到点为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据坐标平移变化规律求解即可．
【详解】将点，先向右平移4个单位，再向下平移4个单位，则平移后得到点为（-2+4,6-4），即（2,2），
故选：A．
【点睛】本题考查了平移坐标变化规律，解题关键是熟记坐标平移变化规律．
6. 小豪和小伟积极参加学校组织的科普大赛，如图是根据次预赛成绩绘制的折线统计图，以下说法合理的是（ ）
A. 与小豪相比，小伟次成绩的方差大B. 与小豪相比，小伟次成绩的极差大
C. 与小豪相比，小伟的成绩比较稳定D. 小豪的极差为分
【答案】C
【解析】
【分析】分别求出小伟和小豪的平均数、方差、极差后进行判断．
【详解】解：∵小伟次的平均成绩为：（分），
极差为：（分），
方差为：，
小豪次的平均成绩为：（分），
极差：（分），
方差为：，
∴由此可知，与小豪相比，小伟次成绩的方差小，故不符合题意；
与小豪相比，小伟次成绩的极差小，故不符合题意；
与小豪相比，小伟次成绩的方差小，所以小伟的成绩稳定，故符合题意；
小豪的极差为分，故不符合题意．
故选．
【点睛】本题考查了折线统计图、极差、方差，掌握极差、方差的计算方法是解题的关键．
7. 若点，都在一次函数的图像上，则与的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】由，利用一次函数的性质可得出随的增大而减小，结合，即可得出．
【详解】解：，
随的增大而减小，
又点，都在一次函数图象上，且，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．
8. 为了打造“绿洲”，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮，已知米，米，，这种草皮每平方米售价元，则购买这种草皮需要（）元．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作BA边的高CD，设与AB的延长线交于点D，则∠DBC＝60°，由BC＝15米，即可求出BD＝7.5米，然后根据三角形的面积公式即可推出△ABC的面积，最后根据每平方米的售价即可推出结果．
【详解】解：如图，作BA边的高CD，设与AB的延长线交于点D，
∵∠ABC＝120°，
∴∠DBC＝60°，
∵CD⊥BD，BC＝15米，
∴∠DCB＝30°，BD＝7.5米，
，
∵AB＝10米，
∴S△ABC＝AB×CD＝×10×＝37.5（平方米），
∵每平方米售价2a元，
∴购买这种草皮至少为37.5×2a＝75a（元），
故选：A．
【点睛】本题主要考查三角形的面积公式，含30度角的直角三角形的性质，关键在于做出AB边上的高，根据相关的性质推出高CD的长度，正确的计算出△ABC的面积．
9. 新世纪商场现销售某品牌运动套装，上衣和裤子一套售价元．若将上衣价格下调，将裤子价格上调，则这样一套运动套装的售价提高．设上衣和裤子在调价前单价分别为x和y元，则可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据“上衣和裤子一套售价元．若将上衣价格下调，将裤子价格上调，则这样一套运动套装的售价提高”列方程组即可．
【详解】解：设上衣和裤子在调价前单价分别为和元，根据题意可列方程组为
，
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程组．
10. （2017四川省资阳市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，则图中阴影部分的面积为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：在Rt△ABC中，∵AC=4，BC=3，∴AB=AD==5．由题意∠EAC=∠DAB=30°，S阴=S扇形ADB+S△ABC﹣S△AED=S扇形ABD==，故选D．
二、填空题．（本大题共5小题，每小题4分，共20分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为____________.
【答案】
【解析】
【分析】关于x轴对称的点的坐标的特点是：横坐标不变，纵坐标互为相反数.
【详解】解：∵P（-1，2）与对称点关于x轴对称，
∴横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴对称点的坐标为（-1，-2）．
故答案为(-1，-2).
【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律
12. 函数的自变量的取值范围是_______________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据被开方数大于等于0，列式求解即可．
【详解】解：根据题意，
故答案为：．
13. 如图，函数和的图象相交于点，可知关于的不等式的解集为，那么关于、的二元一次方程组的解为_______________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，能根据图像得出交点坐标是解此题关键．
先根据函数图象找出两函数图像的交点坐标，再得出方程组的解即可．
【详解】解：二元一次方程组，可化为，
根据图象可知：函数和的图象的交点的坐标是，
所以关于的方程组的解为，
故答案为：．
14. 如图，在中，，过点作交于点．已知，，则的面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】设，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】解：设，则，
，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即的长为，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
15. 关于x、y的方程组与有相同的解，则____
【答案】-8
【解析】
【分析】先联立仅含有字母的方程，求出方程组的解，将方程组的解代入含有字母的方程组中求解即可．
【详解】解：由题意联立方程组得：
①②得：，即，
把代入①得：，
将x，y值代入
解得：，
则
故答案为．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，乘方运算，正确的解方程组是解题的关键．
三、解答题．（本大题共5小题，每题各8分，共40分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
16. 解不等式组
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解不等式组，熟练掌握解不等式组解集的原则“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”是解题的关键．
（1）先求出两个不等式的解集，再找出两个不等式的公共解集即可；
（2）先求出两个不等式的解集，再找出两个不等式的公共解集即可．
【小问1详解】
解：4x+6>1-x①3x-1≤x+5②
由①得，
由②得，
该不等式组的解集为．
【小问2详解】
解：
由①得，
由②得，
该不等式组的解集为．
17. 因式分解．
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用提公因式进行分解，即可解答；
（2）先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可解答．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
18. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，PD＝PA，
（1）尺规作图：作BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作的图中，连接DE，求证：DE⊥DP
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用基本作图作BD的垂直平分线EF；
（2）先由PA=PD得到∠A=∠PDA，再根据线段垂直平分线的性质得到EB=ED，则∠B=∠EDB，从而得到∠PDA+∠EDB=90°，从而可判断PD⊥DE．
【小问1详解】
分别以B、D为圆心，大于为半径，画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，交BC于E，交BD于F，
如图，EF为所作；
【小问2详解】
证明：∵PA＝PD，
∴∠A＝∠PDA，
∵EF垂直平分BD，
∴EB＝ED，
∴∠B＝∠EDB，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠PDA+∠EDB＝90°，
∴∠PDE＝180°﹣∠PDA﹣∠EDB=90° ．
∴PD⊥DE．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．
19. 如图，在正方形中，，动点从点出发，沿以每秒1个单位的速度运动，到达点停止运动，连接，设点的运动时间为，的面积为（当点与、两点重合时，的值为0）

（1）直接写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）在给出平面直角坐标系中，画出函数图象，并写出这个函数的一条性质______；
（3）根据函数图象直接写出不等式的解集是______．
【答案】（1）
（2）见解析；该函数的一条性质：该函数图象关于直线对称
（3），
【解析】
【分析】（1）分三种情况讨论：当点在上时，当点在上时，当点在上时，分别写出函数关系式即可；
（2）结合（1）即可画出函数图象，进而根据图象写出函数的性质；
（3）根据观察图象在及其下方部分所对应的自变量的值即可．
【小问1详解】
解：设点的运动时间为，动点从点出发，沿以每秒1个单位的速度运动，则点的运动路程为，
当点在上时，即时，，
的面积；
当点在上时，即时，
的面积；
当点在上时，即时，，
的面积；
综上所述：；
【小问2详解】
函数图象右图所示

该函数的一条性质：该函数图象关于直线对称；
故答案为：该函数图象关于直线对称；
【小问3详解】
由图象可知：不等式的解集是，；
故答案为：，．
【点睛】本题四边形综合题，考查了矩形的性质，一次函数的图象和性质，正确理解题意得到分段函数是本题的关键．
20. 为了加强安全教育，某校对学生进行“防溺水知识应知应答”测评．该校随机选取了八年级300名学生中的20名学生在10月份测评的成绩，数据如下：
收集数据：
整理、描述数据：
数据分析：样本数据的平均数、众数、中位数和极差如表：
（1）a＝______，b＝______，c＝______，d＝______；
（2）该校决定授予在10月份测评成绩优秀（96分及以上）的八年级的学生“防溺水小卫士”荣誉称号，请估计评选该荣誉称号的人数．
（3）若被选取的20名学生在11月份测评的成绩的平均数、众数、中位数和极差如表：
结合相关数据，从一个方面评价10月份到11月份开展的“防溺水知识应知应答”测评活动的效果．
【答案】（1）5，91，90，11
（2）105人 （3）11月份与10月份相比，平均数、中位数、众数、极差均有不同程度的提高，说明提高测评促进“防溺水知识的掌握”．
【解析】
【分析】（1）根据表格中的数据，可得到每个数据出现的频数，确定、的值，根据中位数、众数的意义可求出、的值；
（2）求出样本中，“优秀”所占得百分比即可；
（3）从平均数、中位数、众数、极差的变化得出结论．
【小问1详解】
根据表格中的数据，90分的出现5次，即，
将20名学生的成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是91分，因此中位数是91分，即，
这20名学生成绩出现次数最多的是90分，共出现5次，因此众数是90分，即，
这20名学生成绩最高99分，最低88分，因此极差是11，即
故答案为：5，91，90，11；
【小问2详解】
（人，
答：八年级300名学中获生“防溺水小卫士”荣誉称号得有105人；
【小问3详解】
11月份与10月份相比，平均数、中位数、众数、极差均有不同程度的提高，说明提高测评促进“防溺水知识的掌握”．
【点睛】本题考查中位数、众数、平均数，理解平均数、中位数、众数的意义是解决问题的前提．
B部分
四、选择题．（本大题共2小题，每小题4分，共8分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，请将答题卡上对应选项的方框涂照．
21. 若关于x的不等式组的解集为，且关于y、z的二元一次方程组的解满足，则满足条件的所有整数a的和为（ ）
A. B. C. 0D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】先解一元一次不等式组，再根据不等式组的解集为，从而可得，进而可得，然后再把两个二元一次方程相加可得，再结合已知可得
，从而可得，进而可得，最后进行计算即可解答．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组解集为，
∴，
∴，
，
③+④得：
，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，而为整数，
∴，
∴满足条件的所有整数a的和，
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式的整数解，二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
22. 是由交替排列的个多项式，其中，将这个多项式中的任意个多项式中的每一项都改变符号，其余不变，称为第1次操作（，且均为整数）；在第1次操作的基础之上再将任意个多项式中的每一项都改变符号，其余不变，称为第2次操作；按此方式操作下去…．例如：当时，第1次操作后可能得到：或或．
下列说法：
①当为奇数时，无论进行多少次操作，都不可能使得到个多项式的和为0；
②当时，至少需要进行3次操作，才能使得到的6个多项式的和中不合；
③当时，3次操作后得到的6个多项式求和，共有8种可能出现的结果．
其中正确的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了多项式的加减和添去括号性质等知识点，依据题意，读懂题目然后根据添去括号法则进行化简判定即可得解，解题时注意结合分类讨论是关键．
【详解】①为奇数时，无论经过多少次操作后，得到的个多项式中的个数与的个数不会相同，①正确，符合题意；
②3次操作后，只需6个多项式中有3个含，3个含，不用考虑：
原多项式：
第一次操作：
第二次操作：
第三次操作：，此时它们的和为零，
故②正确，符合题意；
③时
如果对6个进行3次操作，其结果可能出现：1负5正或3负3正或5负1正．
因为是从6个多项式中任意选出3个添加负号，由任意性可知：6个多项式进行3次操作后可能出现的结果：其中1个或3个或5个多项式整体添加了负号：
1．若其中1个添加了负号：整体添加负号，其余不变，则和为整体添加负号，其余不变，则和为；
2．若其中3个添加了负号：3个整体添加负号，其余不变，则和为；3个整体添加负号，其余不变，则和为；2个和1个整体添加负号，其余不变，则和为；2个和1个整体添加负号，其余不变，则和为；
3．若其中5个添加了负号：若不变，其余均整体添加了负号，则和为；不变其余均整体添加了负号，则和为；
所以有8种可能出现的结果，
故③正确，符合题意；
故选：D．
五、填空题．（本大题共3小题，每小题4分，共12分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
23. 若直线与两坐标轴围成的三角形的面积是6个平方单位，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】先令，求出的值；再令求出的值即可得出直线与坐标轴的交点，再根据三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：先令，则；
令，则，
直线与坐标轴的交点分别为，，，
，解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
24. 如图，点是等边三角形边的中点，点是直线上一动点，连接，并绕点逆时针旋转，得到线段，连接，若运动过程中的最小值为，则的值为____________．
【答案】4
【解析】
【分析】连接，延长到，使得，连接，证明，得到，即点在与成的直线上运动，证明当时，有最小值为：，求出，即可得．
【详解】解：连接，延长到，使得，连接，
∵是等边三角形，点是的中点，
，
，
根据旋转可得，
，即，
在和中，
，
，
，
∴点在与成的直线上运动，
∴当时，有最小值为：，
即：，
，
，
故答案为：4．
【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质等知识点，解题的关键是证明当时，有最小值为：，即．
25. 对于一个四位正整数，若千位数字是十位数字的2倍，百位数字比个位数字小3，那么称这个数为“树人数”，若将“树人数”从个位到千位依次逆序排列得到一个新的四位数，那么称这个数为“树人数”的“转换数”．则最小的“树人数”为__________．同时记为为“树人数”与其“转化数”之和，若一个“树人数”的个位数字为，设，且是7的倍数，则满足题意的“树人数”的最大值是______________．
【答案】 ①. 2013 ②. 8548
【解析】
【分析】本题考查了整式混合运算的应用，列式表示出是解题的关键．
根据题意，设“树人数”的个位数字为，十位数字为，先用表示出，接着根据是7的倍数列出所有满足题意的四位正整数即可得到答案．
【详解】解：根据题意，设“树人数”个位数字为，十位数字为，
则千位数字为，百位数字为，
∵，
∴当时，“树人数”最小，最小的“树人数”为；
根据题意得“树人数”为，
“树人数”的“转化数”为，
，
∴
，
∵是7的倍数，，
∴只有三种情况：
∴时，正整数，此时，
时，正整数，此时，
时，正整数，此时，
时，正整数，此时，
则满足题意的“树人数”的最大值是8548，
故答案为：2013；8548．
六、解答题．（本大题共3小题，每题各10分，共30分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
26. 如图，在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为米的高台，利用旗杆顶部的绳索，划过到达与高台水平距离为米，高为米的矮台，
（1）旗杆的高度_______米；
（2）玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度_______米．
【答案】 ①. 15 ②. 2
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，理解图示，勾股直角三角形，掌握勾股定理的运用是解题的关键．
（1）如图所示，作，交于点，连接，可得，，在中，根据勾股定理可得的值，在等腰直角中可得，设，在中可得，由此可得的值，即可求解；
（2）根据（1）可得即可求解．
【详解】解：（1）如图所示，，过点作于点，过点作于点，交于点，连接，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四变形，是矩形，
∴，
在中，，
∴，
在等腰直角中，，
设，则，
∴在中，，即，
解得，，，
当时，即米，不符合题意，舍去，
∴，即米，则米，
∴米；
（2）根据题意可得，米，
∴米，
故答案为：15，2．
27. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、点，直线交轴于点．
（1）如图1，求直线的解析式；
（2）如图1，过点的直线交线段于点，且满足与的面积比为，点和点分别是直线和轴上的两个动点，当的值最小时，求出的最小值．
（3）如图2，已知点，在轴上是否存在点，使得，若存在，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）直线的解析式为
（2）的最小值为
（3）或
【解析】
【分析】（1）通过直线的解析式可求出点的坐标，已知点的坐标，用待定系数法可求出直线的解析式．
（2）过点分别作和的垂线，分别交和于点和点．由面积条件得与的高相等，得出点在的角平分线上，即射线是的角平分线，在射线上截取，点到轴的距离，即为的最小值．
（3）分两种情况讨论：若在轴正半轴上，作在轴上，由等腰三角形的性质和三角形外角的定义，运用勾股定理即可求解；若在轴负半轴上，同理可求．
【小问1详解】
解：∵直线分别交轴，轴于点，点．
∴令，得．
∴点的坐标为．
设直线的解析式为．
代入点和点．
得．
解得：．
∴直线的解析式为．
【小问2详解】
解：过点分别作和的垂线，分别交和于点和点．
∵点和点．
∴．
∵点是直线与轴的交点，
∴令，解得：．
∴点的坐标为．
∴，，即，
∴．
∵与的面积比为．
∴，
即，
∴点在的角平分线上，
在射线上取点，使得，连接，过点作轴的垂线，交轴于点，
则，
∴，
在和中．
，
，
，
则．
解得：．
，
故的最小值为．
【小问3详解】
解：存在，理由：
若在轴正半轴，
如图，由图可知，作在轴上，
，
又∵，
，
，
，，
，
则，
，
；
若在轴负半轴，与（1）同理，，
综上所述：或．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法求一次函数的解析式，角平分线的判定，点到直线的距离垂线段最短，全等三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是：会用待定系数法求—次函数的解析式；能够通过角平分线找到已知点的对称点，熟练应用点到直线的距离垂线段最短；熟悉两点间的距离公式，等腰三角形的性质，能够用分类讨论和数形结合思想解答．
28. 如图，在中，，，是边上一动点．
（1）如图①，若，，求的长；
（2）如图②，是边的中点，是延长线上一点，连接，过点作于点，过点作交延长线于点，连接．请猜想、、的关系，并证明你的结论；
（3）如图③，若，点是内部一点且，点是边上的动点，当取最小值为4时，请直接写出的周长．
【答案】（1）
（2），证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）如图①中，过点D作于点E，在上取一点F，使得，连接．设，则，构建方程求出m即可；
（2）结论：．如图②中，连接，延长到T，使得．利用全等三角形的性质以及等腰直角三角形的判定和性质解决问题即可；
（3）作点关于的对称点，过点作于点，则，过点作于点，则垂直平分，故点在上，此时，当点共线，且于重合时，取最小值即为，作于，则，，，同理可得：，由勾股定理得，而，，即可求解周长．
【小问1详解】
解：如图①中，过点D作于点E，在上取一点F，使得，连接．
∵，
∴由勾股定理得：
∴，，
∵，
∴，
∴，
设，则同理m，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴由勾股定理得，
∴
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：结论： ．
理由：如图②中，连接，延长到T，使得．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∴．
即；
【小问3详解】
解：作点关于的对称点，过点作于点，则，过点作于点
∵在中，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴为中点，
∴垂直平分，
∵点是内部一点且，
∴点在上，
∴，
当点共线，且于重合时，取最小值即为，如图：

作于，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
同理可得：，
∴在中，，
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴由勾股定理得：，
∴此时周长为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理等知识点，难度较大，解题的关键在于构造全等三角形进行求解．97
91
89
95
90
99
90
97
91
98
90
90
91
88
98
97
95
90
96
88
成绩/分
88
89
90
91
95
96
97
98
99
学生人数
2
1
a
3
2
1
3
2
1
平均数
中位数
众数
极差
93
b
c
d
平均数
中位数
众数
极差
95
93
94
10