北京市第十五中学2024-2025学年九年级上学期开学考数学试题（解析版）

这是一份北京市第十五中学2024-2025学年九年级上学期开学考数学试题（解析版），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每题2分，共20分）
1. 要使二次根式有意义，x的值可以是（ ）
A. 4B. 2C. 1D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义，即被开方数为非负数，进行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
∴
故选：A
2. 下列计算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了二次根式性质、二次根式的除法和乘法运算，根据相关法则计算即可.
【详解】解：A. ，故选项错误，不符合题意；
B. ，故选项错误，不符合题意；
C. ，故选项错误，不符合题意；
D. ，故选项正确，符合题意.
故选：D
3. 已知时，则代数式的值（ ）
A. 1B. 4C. 7D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】先把变形得到，再两边平方可得到，最后整体代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴，
∴..
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值、完全平方公式等知识点，掌握整体代入的思想是解答本题的关键．
4. 平面直角坐标系内，点到原点的距离是（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理可求点P到原点的距离．
【详解】点到原点的距离是．
故选：B．
【点睛】考查了勾股定理，两点间的距离公式，解题关键是熟练掌握勾股定理．
5. 若菱形的两条对角线的长分别为6和10，则菱形的面积为（ ）
A. 60B. 30C. 14D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的面积公式是解题的关键．由菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可求解．
【详解】解：菱形的面积，
故选：B．
6. 《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐、引木却行一尺、其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈=10尺）设木杆长x尺，依题意，下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是由实际问题抽象出直角三角形，从而运用勾股定理解题．当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为尺，则木杆底端离墙有尺，根据勾股定理可列出方程．
【详解】解：如图，设木杆长为尺，则木杆底端B离墙的距离即的长有尺，
在中，
，
∴，
故选：C．
7. 想要计算一组数据：197，202，200，201，199，198，203的方差s2，在计算平均数的过程中，将这组数据的每一个数都减去200，得到一组新数据﹣3，2，0，1，﹣1，﹣2，3，且新的这组数据的方差为4，则s2为（ ）
A. 4B. 16C. 196D. 204
【答案】A
【解析】
【分析】根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案．
【详解】解：∵一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，两数进行相减，方差不变，
∴s2=4．
故选：A．
【点睛】本题考查方差的意义，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，关键是掌握一组数据都加上同一个非零常数，方差不变．
8. 正十二边形的外角和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查多边形的外角和问题，多边形外角和定理：任意多边形的外角和都等于．
【详解】解：因为多边形的外角和为，所以正十二边形的外角和为．
故选：C．
9. 已知为数轴原点，如图，
（1）在数轴上截取线段；
（2）过点作直线垂直于；
（3）在直线上截取线段；
（4）以为圆心，的长为半径作弧，交数轴于点.
根据以上作图过程及所作图形，有如下四个结论：①；②；③；④上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ②④
【答案】C
【解析】
【分析】由勾股定理求得，进而得，再判断结论的正误．
【详解】根据题意得，，
，
故正确；
，
，
∵，
∴，
正确，错误；
，
故错误；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，数轴与实数的对应关系，无理数的估算，关键是由勾股定理求得．
10. 如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，，，，连接DE，设，，，给出下面三个结论：①；②；③；

上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
【答案】D
【解析】
【分析】如图，过作于，则四边形是矩形，则，由，可得，进而可判断①的正误；由，可得，，，，则，是等腰直角三角形，由勾股定理得，，由，可得，进而可判断②的正误；由勾股定理得，即，则，进而可判断③的正误．
【详解】解：如图，过作于，则四边形是矩形，

∴，
∵，
∴，①正确，故符合要求；
∵，
∴，，，，
∵，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
由勾股定理得，，
∵，
∴，②正确，故符合要求；
由勾股定理得，即，
∴，③正确，故符合要求；
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，不等式的性质，三角形的三边关系等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
二、填空题（每题3分，共30分）
11. 计算：已知，，则__________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算即可
详解】解：∵，
∴
故答案为：2
【点睛】本题考查了二次根式的乘法和平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键
12. 下列命题：①两直线平行，同位角相等；②对顶角相等；③平行四边形的对角线互相平分．其中逆命题是真命题的命题共有_____个．
【答案】2
【解析】
【分析】此题考查逆命题及真假命题，正确理解命题的定义，及理解平行线的性质及判定定理，对顶角相等及平行四边形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：两直线平行，同位角相等的逆命题为同位角相等，两直线平行，此逆命题为真命题；
对顶角相等的逆命题为相等的角为对顶角，此逆命题为假命题；
平行四边形的对角线平分的逆命题为对角线平分的四边形是平行四边形，此逆命题为真命题．
故答案为：2．
13. 如图所示的正方形网格中，每一个小正方形的面积均为，正方形，，的顶点都在格点上，则正方形的面积为__________．
【答案】45
【解析】
【分析】根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵CM=3，CN=6，∠MCN=90°，
∴MN2=CM2+CN2=32+62=45，
∴正方形MNPQ面积=MN2=45，
故答案为：45．
【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
14. 某校八年级同学2020年4月平均每天自主学习时间统计如图所示，则这组数据的众数是___．
【答案】6
【解析】
【分析】根据众数的概念即可得出答案.
【详解】解：由条形图知，数据6出现次数最多，有52次，
这组数据的众数为6，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查众数，解题的关键是掌握求众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据.
15. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1． 点Q在直线BC上，且AQ=2，则线段BQ的长为___________．
【答案】或
【解析】
【分析】分当Q在射线CB上和当Q在射线BC上两种情况利用勾股定理求解即可.
【详解】解：如图所示，当Q在射线CB上时，
∵AC=BC=1，AQ=2，∠ACB=90°，
∴，
∴；
如图所示，当Q在射线BC上时，
∵AC=BC=1，AQ=2，∠ACB=90°，
∴∠ACQ=90°，
∴，
∴，
故答案为：或.
【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键在于能够理解Q的位置有两个.
16. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝kx+b与y2＝x+m的图象如图所示，若它们的交点的横坐标为2，则下列三个结论中正确的是_______（填写序号）．
①直线y2＝x+m与x轴所夹锐角等于45°；②k+b＞0；③关于x的不等式kx+b＜x+m的解集是x＜2．
【答案】①②
【解析】
【分析】①利用直线与两轴的截距相等即可判断；②利用x=1时的函数图象上点的位置来判断；③利用两函数图象的交点与两函数图象的位置来判断即可．
【详解】解：由y2＝x+m得，当x=0时，y2=m,当y=0时，x=-m，则直线与坐标轴的截距相等，所以直线y2＝x+m与x轴所夹锐角等于45°，故①的结论正确；
由图知：当x＝1时，函数y1图象对应的点在x轴的上方，因此k+b＞0，故②的结论正确；
由图知：两函数的交点横坐标为x=2，当x＞2时，函数y1图象对应的点都在y2的图象下方，因此关于x的不等式kx+b＜x+m的解集是x＞2，故③的结论不正确；
故答案为：①②．
【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式，掌握一次函数与一元一次不等式的关系，会求截距，会求函数值，会比较两函数值的大小关系是解题关键．
17. 下列问题，①某登山队大本营所在地气温为4℃，海拔每升高1km气温下降6℃，登山队员由大本营向上登高，他们所在位置的气温是；②铜的密度为，铜块的质量随它的体积的变化而变化；③圆的面积随半径的变化而变化．其中与的函数关系是正比例函数的是______（只需填写序号）．
【答案】②
【解析】
【分析】分别写出对应函数解析式，再与正比函数定义比较，判断是什么函数即可.
【详解】①，是一次函数；
②，是正比例函数；
③，是二次函数
故填：②.
【点睛】本题考查正比例函数的定义，正确理解定义是解题的关键.
18. 为了践行“首都市民卫生健康公约”，某班级举办“七步洗手法”比赛活动，小明的单项成绩如表所示（各项成绩均按百分制计）：
若按书面测试占30%、实际操作占50%、宣传展示占20%，计算参赛个人的综合成绩（百分制），则小明的最后得分是________．
【答案】97
【解析】
【分析】根据加权平均数的定义列式计算可得．
【详解】解：小明的最后得分是96×30%＋98×50%＋96×20%＝97（分），
故答案为：97．
【点睛】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
19. 在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2x＋3向下平移n个单位长度后，与直线y＝﹣x＋2的交点在第一象限，则n的取值范围是________．
【答案】1＜n＜7
【解析】
【分析】直线y=2x+3向下平移n个单位长度可得：y=2x+3-n，求出直线y=2x+3-n与直线y=-x+2的交点，再由此点在第一象限可得出n的取值范围．
【详解】解：直线y=2x+3向下平移n个单位后可得：y=2x+3-n，
联立两直线解析式得：，
解得：，
即交点坐标为（，），
∵交点在第一象限，
∴，
解得：1＜n＜7．
故答案为：1＜n＜7．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标，注意第一象限的点的横坐标大于0、纵坐标大于0．
20. 如图1，在矩形中，动点P从点B出发，沿的路径匀速运动到点A处停止．设点P运动路程为x，的面积为y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示；则下列结论：①；②；③当时，点P运动到点D处；④当时，点P在线段或上，其中所有正确结论的序号的是________．

【答案】①③④
【解析】
【分析】先结合图①由图2为等腰梯形可得a的值，则可求得与的值；再根据三角形的面积公式可得b的值；然后结合图形可知当时，点P运动到点D处；最后根据图1及图2中的b值，可得当时，点P在线段或上，从而问题得解．
【详解】解：动点P从点B出发，沿的路径匀速运动，
∴图2为等腰梯形，
，故①正确；
，
在矩形中，，
，故②错误；
点P运动的路程为x，当时，
，
时，点P运动到点D处，故③正确；
，
在图2中等腰梯形的两腰上分别存在一个y值等于，
结合图1可知，当时，故④正确；
综上，正确的有：①③④．
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，明确矩形的性质、数形结合并分段讨论是解题的关键．
三、解答题（共50分，21~26每题6分，27-28每题7分）
21. 计算
（1）
（2）已知，求代数式的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了二次根式的混合运算，
（1）利用二次根式的乘法、二次根式的除法和二次根式的性质进行计算即可；
（2）把变形为，再把代入计算即可．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
∵
∴
22. 如图，平行四边形的对角线，BD相交于点O，E、F分别是、的中点．求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．根据平行四边形的性质对角线互相平分得出，，利用中点的定义得出，从而利用平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定是平行四边形，从而得出．
【详解】证明：连接DE，，如图所示：

∵四边形是平行四边形,
∴,
∵分别是的中点,
，
∴,
∴是平行四边形，
∴.
23. 已知：如图，在中，．
求作：以为对角线的矩形．
作法：①以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线与交于点D；
②以点 A 为圆心，的长为半径画弧；再以点C 为圆心，的长为半径画弧，两弧在的右侧交于点E；
③连接．
四边形 为所求的矩形．
（1）根据以上作法，使用直尺和圆规补全图形(保留作图痕迹)；
（2）完成以下证明．
证明：∵，
∴四边形为平行四边形( )．(填推理的依据)
由作图可知，平分，
又∵，
∴ ( )．(填推理的依据)
∴．
∴平行四边形是矩形( )．(填推理的依据)
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的判定，角平分线的尺规作图，等腰三角形三线合一：
（1）根据题意作图即可；
（2）根据矩形的判定定理和等腰三角形三线合一定理证明即可．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
证明：∵，
∴四边形为平行四边形 (两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．
由作图可知，平分，
又∵，
∴ (三线合一定理)．
∴．
∴平行四边形是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)．
24. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当时，对于每一个值，函数：的值小于函数的值，直接写出的取值范围．
【答案】（1）
（2）的取值范围为
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）当时，，然后结合题意，得不等式，即可求出的取值范围．
小问1详解】
解：∵一次函数的图象经过点，，
∴，
解得：，
∴这个一次函数的解析式为；
【小问2详解】
解：当时，，
根据题意得：当时，，
解得：，
∵当时，对于的每一个值，函数：的值小于函数的值，
∴的取值范围为．
25. 某校舞蹈队共有12名学生，测量并获取了所有学生的身高(单位：)，数据整理如下：
a．12名学生的身高∶
160，164，164，165，166，167，167，167，168，168，169，171，
b．12名学生的身高的平均数、中位数、众数：
（1）写出表中，的值；
（2）现将12 名学生分成如下甲乙两组．对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是 (填“甲组”或“乙组”)；
（3）该舞蹈队要选六名学生参加艺术节比赛，已经确定甲组四名参赛的学生的身高分别为165，167，168，168．在乙组选择另外两名参赛学生时，要求所选的两名学生与已确定的四名学生所组成的参赛队身高的方差最小，则乙组选出的另外两名学生的身高分别为 和 ．
【答案】（1），
（2）甲组 （3）、
【解析】
【分析】本题考查了中位数、众数、平均数、方差，熟练掌握中位数、众数、平均数、方差的求法是解此题的关键．
（1）根据中位数和众数的定义求解即可得出答案；
（2）分别计算出甲组、乙组学生身高的方差，进行比较即可得出答案；
（3）先计算出已经选择的4名学生的身高的平均数，结合题意分析即可得出答案．
【小问1详解】
解：由题意得：中位数，
众数；
【小问2详解】
解：甲组学生身高的平均值是，
甲组学生身高的方差是，
乙组学生身高的平均值是，
乙组学生身高的方差是，
∵，
∴舞台呈现效果更好的是甲组；
【小问3详解】
解：∵，
∴在乙组选择另外两名参赛学生时，要求所选的两名学生与已确定的四名学生所组成的参赛队身高的方差最小，则选择的乙组的学生的身高接近，故乙组选出的另外两名学生的身高分别为和．
26. 如图，矩形中，点E为边上任意一点，连结，点F为线段的中点，过点F作，与、分别相交于点M、N，连结、．

（1）求证：四边形为菱形；
（2）若，，当时，求的长．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据已知证明，证得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证得四边形是平行四边形，然后证明，即可证得结论；
（2），，则，设，则，利用勾股定理求出x即可解答．
【小问1详解】
证明：矩形中，AB∥DC，
∴，，
∵点F为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵于点F，，
∴，
∴四边形为菱形；
【小问2详解】
解：∵四边形是菱形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
设，则，
在中，，
即，
解得，
∴的长为5．
【点睛】本题考查了矩形的性质以及勾股定理，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等．
27. 如图，正方形中，点在延长线上，点是的中点，连接，在射线上方作，且．连接．
（1）补全图形；
（2）用等式表示与的数量关系并证明；
（3）连接，若正方形边长为5，直接写出线段的长．
【答案】（1）见解析 （2），证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意补全图形即可；
（2）作交的延长线于，则，证明，得出，从而得到，进而得出，作交的延长线于，连接，则四边形为正方形，再证明得出，证明出为等腰直角三角形，最后由等腰直角三角形的性质结合勾股定理即可得出答案；
（3）由（2）可得：四边形为正方形，，，由正方形的性质结合题意得出，，计算出，即可得解．
【小问1详解】
解：补全图形如图所示：
；
【小问2详解】
解：，
证明如下：如图，作交的延长线于，则，
，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，即，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，即，
作交的延长线于，连接，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：如图所示：
，
由（2）可得：四边形为正方形，，，
∵正方形边长为5，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
28. 在平面直角坐标系中，对于线段和点Q，给出如下定义：若在直线上存在点P，使得四边形为平行四边形，则称点Q为线段的“相随点”．
（1）已知，点，．
①在点，，，中，线段的“相随点”是 ；
②若点Q为线段的“相随点”，连接，，直接写出的最小值及此时点Q的坐标；
（2）已知点，点，正方形边长为2，且以点为中心，各边与坐标轴垂直或平行，若对于正方形上的任意一点，都存在线段上的两点M，N，使得该点为线段的“相随点”，请直接写出 t 的取值范围．
【答案】（1）①，；②；
（2）或
【解析】
【分析】（1）①首先求出，然后根据平行四边形的性质得到，，然后设，然后分别验证求解即可；
②首先判断出点Q在直线上运动，连接，，作点O关于直线对称点，连接，，得到，当点，Q，B三点共线时，有最小值，即的长度，然后求出，最后利用勾股定理求解即可；
（2）首先得出正方形左上角的顶点坐标为，右下角的顶点坐标为，设，然后分种情况讨论，分别根据平行四边形的性质求解即可．
【小问1详解】
①∵点，．
∴
∵四边形为平行四边形
∴，
∵点P在直线上
∴设
∴若，且
∴，
∴
∴符合题意，
∴是线段的“相随点”；
∴若，且
∴，
∴
∴，此时点P，Q和点A，B共线，围不成平行四边形，不符合题意；
∴若，且
∴，
∴
∴符合题意，
∴是线段的“相随点”；
∴若，且
∴，
∴，，矛盾，不符合题意；
综上所述，线段的“相随点”是，；
②∵点Q为线段的“相随点”，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴设，
∴
∴
∴点Q在直线上运动
如图所示，连接，，作点O关于直线的对称点，连接，
∴
∴
∴当点，Q，B三点共线时，有最小值，即的长度
∵点O和点关于直线对称
∴
∵
∴
∴的最小值为；
【小问2详解】
∵正方形边长为2，且以点为中心，各边与坐标轴垂直或平行，
∴正方形左上角的顶点坐标，右上角的顶点坐标，左下角的顶点坐标，右下角的顶点坐标，
∵点，点，设
设所在直线表达式为，
∴，解得
∴所在直线表达式为，
若与等长，如图所示，当正方形左上角的顶点为线段的“相随点”时，
∴，
∴，解得
当点F在上时，不存在线段上的两点M，N，使得该点为线段的“相随点”，
∴点在上
∴
解得
∴；
若与等长，如图所示，当正方形右下角的顶点为线段的“相随点”时，
∴，解得
当点D在上时，不存在线段上的两点M，N，使得该点为线段的“相随点”，
∴点在上
∴
解得
∴；
综上所述， t 的取值范围或．
【点睛】此题考查了一次函数与四边形综合题，新定义问题，平行四边形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确分析题目，掌握以上知识点．项目
书面测试
实际操作
宣传展示
成绩（分）
96
98
96
平均数
中位数
众数
166.3
甲组学生的身高
165
167
167
168
168
171
乙组学生的身高
160
164
164
166
167
169