专题03 三角函数与解三角形(解答题热点，十一大题型)-高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（上海专用）

专题03 三角函数与解三角形（十一大题型）TOC \o "1-1" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc27194" 题型01 求值域、最值 2 HYPERLINK \l "_Toc22731" 题型02 三角函数中解不等式 2 HYPERLINK \l "_Toc394" 题型03 零点问题 3 HYPERLINK \l "_Toc1766" 题型04 实数解、方程根等问题 4 HYPERLINK \l "_Toc8506" 题型05 导数与三角形函数 4 HYPERLINK \l "_Toc6010" 题型06 解三角形，周长、面积问题 5 HYPERLINK \l "_Toc22452" 题型07 最值问题 5 HYPERLINK \l "_Toc5641" 题型08 取值范围问题 6 HYPERLINK \l "_Toc5641" 题型09 解三角形与数列 6 HYPERLINK \l "_Toc5641" 题型10 平面向量、三角函数、解三角形综合 7 HYPERLINK \l "_Toc5641" 题型11 三角函数的实际应用 8【解题规律·提分快招】题型01 求值域、最值【典例1-1】．（24-25高三上·上海宝山·阶段练习）已知,(1)求函数的单调递减区间;(2)若,求函数的值域.【变式1-1】．（23-24高三上·上海静安·期末）记，其中为实常数．(1)求函数的最小正周期；(2)若函数的图像经过点，求该函数在区间上的最大值和最小值．【变式1-2】．（2024·上海长宁·二模）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请在答题卷上将上表处的数据补充完整，并直接写出函数的解析式；(2)设，求函数的值域；【变式1-3】．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数.(1)将化成的形式，并写出的最小正周期及对称轴方程；(2)若在上的值域为，求的取值范围.题型02 三角函数中解不等式【典例2-1】．（24-25高三上·上海奉贤·期中）已知函数y=fx是定义在−1,1上的奇函数，并且当时，.(1)求函数y=fx的表达式；(2)求关于x的不等式的解集.【变式2-1】．（23-24高三上·上海嘉定·期中）已知函数，．(1)求函数的严格减区间；(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围．题型03 零点问题【典例3-1】．（24-25高三上·上海闵行·期中）已知函数（其中常数）．(1)若函数的最小正周期是，求的值及函数的单调递增区间；(2)若，，求函数的值域及零点．【典例3-2】．（2024·上海·模拟预测）已知函数．(1)求函数的在上单调递减区间；(2)若函数在区间上有且只有两个零点，求m的取值范围．【变式3-1】．（2024·上海徐汇·一模）已知，若定义在上的函数的最小正周期为，且对任意的，都有.(1)求实数的值；(2)设，当时，，求的值.【变式3-2】．（24-25高三上·上海·期中）已知，，(1)若，求函数，的值域；(2)已知，且函数的最小正周期为，若函数在上恰有3个零点，求实数的取值范围.【变式3-3】．（2024·上海金山·二模）已知函数，记，，，.(1)若函数的最小正周期为，当时，求和的值；(2)若，，函数有零点，求实数的取值范围.【变式3-4】．（24-25高三上·上海·开学考试）已知函数的表达式为，(1)设，求函数，的单调增区间；(2)设实数，的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围．题型04 实数解、方程根等问题【典例4-1】．（24-25高三上·上海·期中）已知函数的表达式为.(1)求函数的单调增区间；(2)求方程在上的解.【变式4-1】．（2023·上海宝山·二模）已知函数．(1)求函数的最小正周期和单调区间；(2)若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围．【变式4-2】．（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知函数，其中.(1)求在上的解；(2)已知，若关于的方程在时有解，求实数m的取值范围.【变式4-3】．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数为奇函数，且图像的相邻两条对称轴间的距离为．(1)求的解析式与单调递减区间；(2)已知在时，求方程的所有根的和．题型05 导数与三角形函数【典例5-1】．（2024·上海嘉定·一模）已知，其中.(1)若，求函数的值域；(2)若，且函数在内有极小值，但无极大值，求的值.【变式5-1】．（24-25高三上·上海松江·期中）已知函数.(1)求函数在上的单调减区间；(2)若函数在区间上有且只有两个极大值点，求实数的取值范围.题型06 解三角形，周长、面积问题【典例6-1】．（24-25高三上·上海·阶段练习）在中，角的对边分别为.已知，，.(1)求的值;(2)求的值.【变式6-1】．（2023·上海奉贤·一模）在中，设角、、所对边的边长分别为、、，已知.(1)求角的大小；(2)当，时，求边长和的面积.【变式6-2】．（2023·上海松江·一模）在三角形中，内角所对边分别为，已知.(1)求角的大小；(2)若，三角形的面积为，求三角形的周长.题型07 最值问题【典例7-1】．（2024·上海·三模）已知的内角，，的对边分别为，，，且．(1)求的值；(2)若，求面积的最大值．【变式7-1】．（2024·上海嘉定·二模）在中，角、、的对边分别为、、，．(1)求角，并计算的值；(2)若，且是锐角三角形，求的最大值．【变式7-2】．（2023·上海·三模）已知在中，角所对的边分别为，且满足．(1)若，求的面积；(2)求的最大值，并求其取得最大值时的值．【变式7-3】．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知，，分别为三个内角，，的对边，且．(1)求；(2)若，且是锐角三角形，求的最大值．题型08 取值范围问题【典例8-1】．（24-25高三上·上海·阶段练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知且为钝角，(1)求；(2)求的取值范围是．【变式8-1】．（24-25高三上·上海·期中）设的内角A，B，C的对边分别为，且B为钝角.(1)若,，求的面积；(2)求的取值范围.【变式8-2】．（23-24高三上·上海嘉定·期中）在中，角A、、所对的边分别为、、，且满足．(1)求角A；(2)若为锐角三角形，求的取值范围．题型09 三角函数或解三角形与数列【典例9-1】．（20-21高三上·上海虹口·期中）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，且.（1）求的面积；（2）若a、b、c成等差数列，求b的值.【典例9-2】．（23-24高三上·上海嘉定·期中）已知函数.(1)求的最大值及取得最大值时的值；(2)在中，内角所对应的边为，若，成等差数列，且，求的值.【变式9-1】．（23-24高三下·上海松江·阶段练习）设的内角A、B、C所对边分别为a、b、c，若.(1)求证：a、b、c成等差数列；(2)若均为整数，且存在唯一的钝角满足条件，求角C的大小.【变式9-2】．（2019·上海松江·一模）已知函数.（1）求的最大值；（2）在中，内角、、所对的边分别为、、，若，、、成等差数列，且，求边的长.【变式9-3】．（2024·陕西宝鸡·三模）已知数列是公差不为0的等差数列，，且成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前2024项和．题型10 平面向量、三角函数、解三角形综合【典例10-1】．（24-25高三上·上海·期中）已知函数.(1)求的最小正周期和严格增区间;(2)若是三角形的内角，，求三角形的外接圆半径.【典例10-2】．（24-25高三上·上海·期中）设向量，，.(1)求函数的最小正周期及单调增区间；(2)在中，角、、的对边分别为、、.若，，且，求的面积.【变式10-1】．（24-25高三上·上海·阶段练习）在中，角、、的对边分别为、、．已知．(1)求角的大小；(2)设为边的中点，若，，求的大小．【变式10-2】．（23-24高三下·上海青浦·阶段练习）已知函数．(1)求的单调递增区间；(2)在中，a，b，c为角A，B，C的对边，且满足，且，求角A的值．【变式10-3】．（2024·上海浦东新·三模）已知，其中，.(1)若，函数y=fx的最小正周期T为，求函数y=fx的单调减区间；(2)设函数y=fx的部分图象如图所示，其中，，求函数的最小正周期T，并求y=fx的解析式.【变式10-4】．（2024·上海松江·二模）设，函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为．(1)求函数的解析式；(2)在中，设角、及所对边的边长分别为、及，若，，，求角．【变式10-5】．（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）已知，.(1)若函数y=fx在区间上是严格增函数，求实数的取值范围；(2)设的三边分别是，若，，求的取值范围.题型11 三角函数的实际应用【典例11-1】．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）某中学为美化校园将一个半圆形边角地改造为花园．如图所示，为圆心，半径为千米，点、、都在半圆弧上，设，，其中．(1)若在花园内铺设一条参观的线路，由线段、、三部分组成，求当取何值时，参观的线路最长；(2)若在花园内的扇形和四边形内种满杜鹃花，求当取何值时，杜鹃花的种植总面积最大．【变式11-1】．（23-24高三上·上海浦东新·期末）某街道规划建一座口袋公园．如图所示，公园由扇形区域和三角形区域组成．其中三点共线，扇形半径为30米．规划口袋公园建成后，扇形区域将作为花草展示区，三角形区域作为亲水平台区，两个区域的所有边界修建休闲步道．(1)若，，求休闲步道总长（精确到米）；(2)若，在前期民意调查时发现，绝大部分街道居民对亲水平台区更感兴趣．请你根据民意调查情况，从该区域面积最大或周长最长的视角出发，选择其中一个方案，设计三角形的形状．【变式11-2】．（24-25高三上·上海·阶段练习）中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分，传承视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣．现有一张矩形卡片，对角线长为（为常数），从中裁出一个内接正方形纸片，使得点，分别，上，设，矩形纸片的面积为，正方形纸片的面积为．  (1)当，时，求正方形纸片的边长；(2)当变化时，求的最大值及对应的值．一、解答题1．（2021·上海浦东新·模拟预测）已知函数，(1)若当时，函数的值域为，求实数的值；(2)在（1）条件下，求函数图像的对称中心和单调区间.2．（2024·上海宝山·二模）在中，角、、的对边分别为、、，已知.(1)求角的大小；(2)若的面积为3，求的最小值，并判断此时的形状.3．（2023·上海普陀·三模）设函数，其中.(1)若的最小正周期为，求的单调增区间；(2)若函数图象在上存在对称轴，求的取值范围.4．（2023·上海闵行·一模）在中，角、、所对边的边长分别为、、，且．(1)若，，求的值；(2)若为锐角三角形，求的取值范围．1、已知三角函数解析式求单调区间：求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω0)的周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为求解．4、确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝eq \f(M－m,2)，b＝eq \f(M＋m,2).(2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝eq \f(2π,T).(3)求φ，常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．5、解三角形问题的技巧(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．0010