2020届二轮复习12空间几何体作业 练习

专题能力训练12　空间几何体　专题能力训练第30页　 一、能力突破训练1.球的体积为4π,平面α截球O的球面所得圆的半径为1,则球心O到平面α的距离为(　　)A.1 B. C. D.答案:B解析:依题意,设该球的半径为R,则有R3=4π,解得R=,因此球心O到平面α的距离d=.2.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为(　　)A.π B. C. D.答案:B解析:设圆柱的底面半径为r,球的半径为R,且R=1,由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知,r,R及圆柱的高的一半构成直角三角形.∴r=.∴圆柱的体积为V=πr2h=π×1=.故选B.3.在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P在线段BD1上,且,M为线段B1C1上的动点,则三棱锥M-PBC的体积为(　　)A.1 B.C. D.与M点的位置有关答案:B解析:∵,∴点P到平面BC1的距离是D1到平面BC1距离的,即为=1.∵M为线段B1C1上的点,∴S△MBC=×3×3=,∴VM-PBC=VP-MBC=×1=.4.已知平面α截球O的球面得圆M,过圆心Μ的平面β与α的夹角为,且平面β截球O的球面得圆N.已知球Ο的半径为5,圆M的面积为9π,则圆N的半径为(　　)A.3 B.C.4 D.答案:B解析:如图,∵OA=5,AM=3,∴OM=4.∵∠NMO=,∴ON=OM·sin=2.又OB=5,∴NB=,故选B.5.已知三棱柱ABC-A'B'C'的侧棱垂直于底面,各顶点都在同一球面上,若该棱柱的体积为,AB=2,AC=1,∠BAC=60°,则此球的表面积是(　　)A.2π B.4πC.8π D.10π答案:C解析:根据余弦定理可知,BC=,则∠ACB=90°.如图,点E,F分别是斜边AB,A'B'的中点,点O为EF的中点,则点O为三棱柱外接球的球心,连接OA.设三棱柱的高为h,V=×1××h=,解得h=2,R2=OA2=,代入可得R2=1+1=2,所以此球的表面积为S=4πR2=8π.6.已知三棱锥A-BCD内接于半径为的球O中,AB=CD=4,则三棱锥A-BCD的体积的最大值为(　　)A. B. C. D.答案:C解析:如图,过CD作平面ECD,使AB⊥平面ECD,交AB于点E,设点E到CD的距离为EF,当球心在EF上时,EF最大,此时E,F分别为AB,CD的中点,且球心O为EF的中点,所以EF=2,所以Vmax=×4×2×4=,故选C.7.在四面体ABCD中,AB=CD=6,AC=BD=4,AD=BC=5,则四面体ABCD的外接球的表面积为　　　　　. 答案:解析:构造一个长方体,使得它的三条面对角线长分别为4,5,6,设长方体的三条边长分别为x,y,z,则x2+y2+z2=,而长方体的外接球就是四面体的外接球,所以S=4πR2=.8.如图所示,图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的体积为　　　　　. 答案:解析:由题知,旋转一周后形成的几何体是一个圆台去掉一个半球,其中圆台的体积为V=×(π×22++π×52)×4=52π,半球的体积V=×π×23=,则所求体积为52π-.9.已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为,SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB的面积为5,则该圆锥的侧面积为　　　　　. 答案:40π解析:设O为底面圆圆心,∵cos∠ASB=,∴sin∠ASB=.∴S△ASB=×|AS|·|BS|·=5.∴SA2=80.∴SA=4.∵SA与圆锥底面所成的角为45°,∠SOA=90°,∴SO=OA=SA=2.∴S圆锥侧=πrl=4×2×π=40π.10.已知正四棱锥P-ABCD中,PA=2,则当该正四棱锥的体积最大时,它的高h等于　　　　　. 答案:2解析:设正四棱锥P-ABCD的底面边长为a,∵PA=2,∴+h2=12,即+h2=12,故a2=24-2h2,∴正四棱锥P-ABCD的体积V=a2h=8h-h3(h>0),∴V'=8-2h2.令V'>0,得0<h<2,令V'<0,得h>2,∴当h=2时,正四棱锥P-ABCD的体积取得最大值.11.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.解:(1)交线围成的正方形EHGF如图所示.(2)作EM⊥AB,垂足为M,则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH==6,AH=10,HB=6.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为.12.如图所示,等腰三角形ABC的底边AB=6,高CD=3,点E是线段BD上异于点B,D的动点,点F在BC边上,且EF⊥AB,现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置,使PE⊥AE,记BE=x,V(x)表示四棱锥P-ACFE的体积,求V(x)的最大值.解:因为PE⊥EF,PE⊥AE,EF∩AE=E,所以PE⊥平面ABC.因为CD⊥AB,FE⊥AB,所以EF∥CD,所以,即,所以EF=,所以S△ABC=×6×3=9,S△BEF=×x×x2,所以V(x)=x=(0<x<3).因为V'(x)=,所以当x∈(0,6)时,V'(x)>0,V(x)单调递增;当6<x<3时,V'(x)<0,V(x)单调递减,因此当x=6时,V(x)取得最大值12.二、思维提升训练13.如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是　　　　　. 答案:解析:设球O的半径为r,则圆柱O1O2的高为2r,故,答案为.14.如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形,沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为　　　　　　. 答案:4解析:如图所示,连接OD,交BC于点G.由题意知OD⊥BC,OG=BC.设OG=x,则BC=2x,DG=5-x,三棱锥的高h=.因为S△ABC=×2x×3x=3x2,所以三棱锥的体积V=S△ABC·h=x2·.令f(x)=25x4-10x5,x∈,则f'(x)=100x3-50x4.令f'(x)=0,可得x=2,则f(x)在(0,2)单调递增,在单调递减,所以f(x)max=f(2)=80.所以V≤=4,所以三棱锥体积的最大值为4.15.若三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SA⊥平面ABC,SA=2,AB=1,AC=2,∠BAC=60°,则球O的表面积为　　　　　. 答案:64π解析:如图,三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,因为AB=1,AC=2,∠BAC=60°,所以BC=,所以∠ABC=90°.所以△ABC截球O所得的圆O'的半径r=1.设OO'=x,球O的半径为R,则R2=x2+12,R2=(SA-x)2+12,所以x2+1=+1,解得x=,R2=+12,R=4.所以球O的表面积为4πR2=64π.16.如图①,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿对角线AC把矩形折成二面角D-AC-B(如图②),并且点D在平面ABC内的射影落在AB上.(1)证明:AD⊥平面DBC;(2)若在四面体D-ABC内有一球,问:当球的体积最大时,球的半径是多少?(1)证明设D在平面ABC内的射影为H,则H在AB上,连接DH,如图,则DH⊥平面ABC,得DH⊥BC.又AB⊥BC,AB∩DH=H,所以BC⊥平面ADB,故AD⊥BC.又AD⊥DC,DC∩BC=C,所以AD⊥平面DBC.(2)解当球的体积最大时,易知球与三棱锥D-ABC的各面相切,设球的半径为R,球心为O,则VD-ABC=R(S△ABC+S△DBC+S△DAC+S△DAB).由已知可得S△ABC=S△ADC=6.过点D作DG⊥AC于点G,连接GH,如图,可知HG⊥AC.易得DG=,HG=,DH=,S△DAB=×4×.在△DAB和△BCD中,因为AD=BC,AB=DC,DB=DB,所以△DAB≌△BCD,故S△DBC=,VD-ABC=×6×.则,于是(4+)R=,所以R=.