江苏省南京市2024-2025学年高二上学期12月月考数学检测试题（含解析）

这是一份江苏省南京市2024-2025学年高二上学期12月月考数学检测试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．过点且与直线平行的直线方程是（ ）
A．B．C．D．
2．已知圆与圆，则圆与圆位置关系（ ）
A．外离B．外切C．相交D．内含
3．记 Sn 为等差数列 an 的前n项和，若公差 d=2 ，则 2S3−3S2= （ ）
4．若双曲线与双曲线的渐近线相同，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．点P为x轴上的点，A（-1，2），B（0，3），以A，B，P为顶点的三角形的面积为，则点P的坐标为（ ）
A．（4，0）或（10，0）B．（4，0）或（-10，0）
C．（-4，0）或（10，0）D．（-4，0）或（11，0）
6．已知过点且斜率为k的直线l与圆相交于两点．则为（ ）
A．3B．5C．7D．与k有关
7．若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．过点且与曲线相切的切线斜率不可能为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列求导运算中正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别于圆切于点.则下列说法正确的是（ ）
A．四边形的面积最小值为
B．最短时，弦长为
C．最短时，弦直线方程为
D．直线过定点
11．在数列中，其前项和是，则下列正确的是（ ）
A．若，则
B．若则
C．若则
D．若，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．在直线上一点P到点A（-3，0），B（1，4）两点距离之和最小，则点P的坐标为 .
13．写出一个同时具有下列性质（1）（2）（3）的数列 的通项公式： ．
（1）数列是无穷等比数列；（2）数列不单调；（3）数列单调递减．
14．过点的动直线与圆交于两点，过点分别作圆的切线，若与交于点，则的最小值 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知的三个顶点分别为，求：
(1)边中线所在的直线方程
(2)的外接圆的方程
16．已知为实数，函数．
(1)若，求实数的值
(2)若时，求函数在处的切线方程；
17．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)过点A(2，－4)．
(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；
(2)若点B(0，2)，求过点B且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程．
18．已知正项数列的前项和为，，数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
19．已知椭圆和双曲线，过椭圆左焦点且斜率为的直线交椭圆于，两点．设是椭圆的右顶点，记直线，的斜率分别为，，直线，与双曲线的另一个交点分别为，，．
(1)求的值；
(2)求证：直线过定点．
答案
1．【正确答案】A
【分析】利用平行直线的特点先设出待求直线方程，代入所过点可得答案.
【详解】由题意设所求方程为，
因为直线经过点，
所以，即，所以所求直线为.
故选：A.
2．【正确答案】B
【分析】
求出两个圆的圆心距，再根据圆心距与两圆的半径之间的关系判断两圆的位置关系.
【详解】
圆C1：x2+y2=4的圆心坐标为C1（0，0），半径r1=2，圆C2：（x–3）2+（y+4）2=9的圆心坐标为圆C2（3，–4），半径r2=3．∵|C1C2|=5=r1+r2，∴圆C1与圆C2的位置关系是为外切．
故选B．
本题考查了判断两圆的位置关系，当圆心距等于两圆的半径之和时，两圆外切.
3．【正确答案】D
【详解】因为 Sn 为等差数列 an 的前n项和，公差 d=2 ，
所以 2S3−3S2=23a1+3×22d−32a1+2×12d=3d=6 .
4．【正确答案】A
【分析】根据题意求出双曲线与双曲线的渐近线，从而得到，再结合双曲线的方程即可求得其离心率.
【详解】对于双曲线，其渐近线为，即，
对于双曲线，其渐近线为，即，
因为双曲线与双曲线的渐近线相同，所以，即双曲线，
设双曲线的半实轴长为，半虚轴长为，半焦距为，
则，，，即，，
所以双曲线的离心率为.
故选：A.
5．【正确答案】B
【分析】先用两点距离公式求出，再求出直线的方程，再利用点线距离公式求出点到的距离，再用三角形的面积公式代入求解即可.
【详解】根据题意，设点的坐标为，则
，故直线为：，即，
故到直线上的距离为：，
又因为，
所以由 得，
解得或，即为或.
故选：B.
6．【正确答案】C
【详解】依题意，设过点且斜率为k的直线l的方程为，设，
联立，消去，得：，
此时，显然有解，
故，，
所以
.
故选：C.
7．【正确答案】C
【分析】求出直线与曲线相切时实数的值，再结合图象，即可得到答案；
【详解】化简方程可得，
方程对应的曲线为以为圆心，以2为半径的圆在轴上方的部分（含点,）；
当直线与半圆相切时，，，
所以，
当直线过点时，，
所以实数的取值范围为，
故选：C.
8．【正确答案】D
【详解】由，得，
设切点为，
则切线斜率，
即切线方程为，
又切线过点，
则，
整理可得，
解得或或，
则切线斜率为或或，
故选：D．
9．【正确答案】AB
【详解】对于选项A，因为，所以选项A正确，
对于选项B，因为，所以选项B正确，
对于选项C，因为，所以选项C错误，
对于选项D，因为，所以选项D错误，
故选：AB.
10．【正确答案】ABD
【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，根据切线长与圆心到定点距离和半径之间关系，即切线长可知当时，最小，可确定四边形面积最小值，同时利用面积桥可求得，由此可知AB正确；设，可知方程为：，由可求得点坐标，由此可得方程，知C正确；将代入方程，根据直线过定点的求法可知D正确.
【详解】由圆的方程知：圆心，半径，
对于AB，四边形的面积，
则当最短时，四边形的面积最小，
点到直线的距离，，
此时，A正确；
又，此时，B正确；
对于C，设，，，
则过作圆的切线，切线方程为：；过作圆的切线，切线方程为：，
又为两切线交点，，
则两点坐标满足方程：，即方程为：；
当最小时，，直线方程为：，
由得：，即，
方程为：，即，C错误；
对于D，由C知：方程为：；
又，即，
方程可整理为：，
由得：，过定点，D正确.
故选：ABD.
结论点睛：过圆上一点作圆的切线，则切线方程为：；过圆外一点作圆的两条切线，切点弦所在直线方程为.
11．【正确答案】BCD
【分析】A根据的关系判断即得；B由递推式可得即可求通项公式；C构造数列即可求通项；D利用裂项相消法即得.
【详解】A：时，，而，故错误；
B：由题设，，，，，…，则，故正确；
C：由题设，，而，则，即，故正确；
D：由，可得
，故正确.
故选：BCD.
12．【正确答案】
【详解】设A关于直线的对称点为，连接，
则，当且仅当三点共线时等号成立.
而，
解得，故，故直线，
故当取最小值时，的横坐标为1，故其纵坐标为3，即.
故答案为.
13．【正确答案】（答案不唯一）
【分析】
根据数列需要满足的条件，可写出答案.
【详解】
由题意可得，满足（1）数列是无穷等比数列；（2）数列不单调；（3）数列单调递减，
故
14．【正确答案】
【详解】设，圆的圆心，如图所示：
则为直径的圆的方程为，
即，
由平面几何的知识知直线的方程为圆与圆的公共弦所在直线方程，
从而把圆和圆的方程相减得直线的方程为，
在直线上，代入得
点在直线上，
则的最小值为圆心到直线的距离，
故
15．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）设的中点为，则所在直线的斜率为，
则边所在直线的方程为，即．
（2）设的外接圆的方程为，
由，解之可得
故的外接圆的方程为．
16．【正确答案】(1)，
(2)切线方程为
【详解】（1）函数的定义域为，
，因为，解得.
（2）若时，则，，
，，
所以在处的切线方程为，即.
17．【正确答案】(1)，
(2)或或
【详解】（1）由抛物线C：过点，
可得，解得.
所以抛物线C的方程为，其准线方程为.
（2）根据题意，易知点不在抛物线上.
①当直线l的斜率不存在时，符合题意；
②当直线l的斜率为0时，符合题意；
③当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为，
由，得，由，得，
故直线l的方程为.
综上直线l的方程为或或.
18．【正确答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用与的关系，求解通项公式;
（2）利用错位相减法求解数列的前项和.
【详解】（1）当时，，即，或（舍）
当时，，
又因为，
两式相减得，整理得
为正项数列，

数列{an}为等差数列，公差为1.
（2），
两式相减得
.
19．【正确答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由已知得，
设直线方程为，，，
由，得，，
则 ，，
；
（2）设直线，，
由，得，
，，
由（1）：，
化简得：，
即，
得或
直线或
直线过定点或（舍）.A． −6
B．2
C．4
D．6