新高考数学一轮复习高频考点与题型分类训练9-2 排列与组合 (精讲精练）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习高频考点与题型分类训练9-2 排列与组合 (精讲精练）（2份，原卷版+解析版），文件包含新高考数学一轮复习高频考点与题型分类训练9-2排列与组合精讲精练原卷版doc、新高考数学一轮复习高频考点与题型分类训练9-2排列与组合精讲精练解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共98页， 欢迎下载使用。
1.理解排列、组合的概念.
2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.
3.能利用排列组合解决简单的实际问题．
TOC \ "1-4" \h \u \l "_Tc26088" 9-2 排列与组合 PAGEREF _Tc26088 \h 1
\l "_Tc28463" 一、主干知识 PAGEREF _Tc28463 \h 2
\l "_Tc14384" 考点1：简单随机抽样 PAGEREF _Tc14384 \h 2
\l "_Tc13083" 1．排列与组合的概念 PAGEREF _Tc13083 \h 2
\l "_Tc29509" 2.排列数与组合数 PAGEREF _Tc29509 \h 2
\l "_Tc18426" 3．排列数、组合数的公式及性质 PAGEREF _Tc18426 \h 2
\l "_Tc21101" 【常用结论总结】 PAGEREF _Tc21101 \h 2
\l "_Tc203" 二、分类题型 PAGEREF _Tc203 \h 4
\l "_Tc5692" 题型一 排列问题 PAGEREF _Tc5692 \h 4
\l "_Tc5942" 题型二 组合问题 PAGEREF _Tc5942 \h 19
\l "_Tc10134" 题型三 排列与组合的综合应用 PAGEREF _Tc10134 \h 41
\l "_Tc30466" 命题点1 相邻、相间及特殊元素(位置)问题 PAGEREF _Tc30466 \h 41
\l "_Tc6088" 命题点2 定序问题 PAGEREF _Tc6088 \h 46
\l "_Tc5703" 命题点3 分组分配问题 PAGEREF _Tc5703 \h 50
\l "_Tc3721" 三、分层训练：课堂知识巩固 PAGEREF _Tc3721 \h 55
一、主干知识
考点1：简单随机抽样
1．排列与组合的概念
2.排列数与组合数
(1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，用符号Aeq \\al(m,n)表示．
(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，用符号Ceq \\al(m,n)表示．
3．排列数、组合数的公式及性质
【常用结论总结】
解决排列、组合问题的十种技巧
(1)特殊元素优先安排．(2)合理分类与准确分步．(3)排列、组合混合问题要先选后排．
(4)相邻问题捆绑处理．(5)不相邻问题插空处理．(6)定序问题倍缩法处理．
(7)分排问题直排处理．(8)“小集团”排列问题先整体后局部．(9)构造模型．
(10)正难则反，等价转化．
二、分类题型
题型一 排列问题
｛排列数计算｝
计算．
计算：
(1)；(2)．
｛用排列数公式证明｝
求证：
求证：（、为大于1的自然数）．
｛排列数方程与不等式｝
已知，则x等于（ ）
A．6B．13C．6或13D．12
解不等式：
｛全排列问题｝
将4名乡村振兴志愿者分配到科技助农，文艺文化，科普宣传和乡村环境治理4个项目进行培训（每个项目都有志愿者参加），每名志愿者只分配到1个项目，志愿者小王不去文艺文化项目，则不同的分配方案共有（ ）
A．12种B．24种C．18种D．48种
将6本不同的书排成一排，有多少种不同的排法？
｛元素（位置）有限制的排列问题｝
2023年4月26日南通支云足球队将在主场迎战河南队，组委会安排甲、乙等5人到球场的四个区域参加志愿服务，要求每个区域都有人服务，且每位志愿者只能服务一个区域，则甲、乙两人被安排到同一区域的方法种数为（ ）
A．18B．24C．60D．120
用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的四位数，其中偶数共有多少个？
5名篮球队员甲、乙、丙、丁、戍，排成一排．
(1)共有多少种不同的排法？
(2)若甲必须站在排头，有多少种不同的排法？
(3)若甲不能站排头，也不能站排尾，有多少种不同的排法？
｛相邻问题的排列问题｝
有6张连号的电影票，分给3名教师和3名学生，要求师生相间而坐．求不同分法的种数．
将5个人排成一排，若甲和乙必须排在一起，则有多少种不同的排法？
某学校准备举办一场运动会，其中运动会开幕式安排了3个歌舞类和3个语言类节目，所有节目依次出场，则恰有两个语言类节目相邻的概率为 ．
｛不相邻排列问题｝
毕业典礼上，某班有六人站一排照相，要求，两人均不在排头，且两人不相邻，则不同的排法种数为（ ）
A．160B．288C．336D．480
在学校元旦文艺晚会上，有三对教师夫妇参加表演节目，要求每人只能参加一个单项表演节目.按节目组节目编排要求，男教师的节目不能相邻，且夫妻教师的节目也不能相邻，则该6名教师表演的节目的不同编排顺序共有（ ）种.
A．12种B．24种C．36种D．48种
甲、乙两个家庭周末到附近景区游玩，其中甲家庭有2个大人和2个小孩，乙家庭有2个大人和3个小孩，他们9人在景区门口站成一排照相，要求每个家庭的成员要站在一起，且同一家庭的大人不能相邻，则所有不同站法的种数为（ ）
A．144B．864C．1728D．2880
对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．
计算：
(1)；(2)．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）求和：．
求证：．
求证：
(1)；
(2)．
解关于正整数n的方程：．
已知，求x的值．
解下列方程或不等式．
(1)=2；
(2).
解不等式：；
将4位司机、4位售票员分配到4辆不同班次的公共汽车上，每辆汽车分别有1位司机和1位售票员，则共有 种不同的分配方案．
3名男生､4名女生排成一行.在下列要求下，分别求不同排列方法的种数：
(1)甲不在最左边，乙不在最右边；
(2)男生必须排在一起；
(3)男生和女生相间排列；
(4)在甲､乙两人中间必须有3人.
7名学生站成一排拍毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙､丙2名学生要站在一起.问：有多少种不同的排法？
从6人中选取4人分别去A、B、C、D四个城市游览，要求每个城市有一人游览，而每人只游览一个城市，且这6人中，甲、乙两人都不去A地游览．问：不同的选择方案共有多少种？
从7名运动员中选4名组成接力队参加4×100米接力赛．问：甲、乙两人都不跑中间两棒的排法有多少种？
3名男生和4名女生按下列条件排成一排，分别有多少种不同的排法？
(1)男生排在一起，女生排在一起；
(2)男、女生间隔排列；
(3)男生互不相邻．
用可以组成多少个无重复数字的五位数？其中能被5整除的五位数有多少个？
某电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则有多少种不同的播放方式？
4名男生、3名女生站成一排，分别求满足下列条件的站法种数．
(1)男生和女生均相邻；
(2)男生均相邻；
(3)女生均不相邻；
(4)男生与男生、女生与女生均不相邻；
(5)至少有两个女生相邻．
3男3女共6位同学站成一排，则3位女同学中有且仅有2位女生相邻的不同排法有 种
老师和学生共10人一起照相，其中1名老师、4名女生、5名男生，排成一行，要求男生、女生必须分性别站在一起，并且老师不站在两端，那么不同站队方式有 种．
已知来自甲、乙、丙三个学校的5名学生参加演讲比赛，其中三个学校的学生人数分别为1、2、2.现要求相同学校的学生的演讲顺序不相邻，则不同的演讲顺序的种数为（ ）
A．40B．36C．56D．48
甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙不相邻，排法种数为（ ）
A．12B．36C．48D．72
2名男生和4名女生排成一排．问：男生既不相邻也不排两端的不同排法共有多少种？
题型二 组合问题
｛排列与组合的区别｝
下列问题是组合问题的是（ ）
A．把5本不同的书分给5个学生，每人一本
B．从7本不同的书中取出5本给某个同学
C．10个人相互发一微信，共发几次微信
D．10个人互相通一次电话，共通了几次电话
判断下列问题是组合问题还是排列问题：
(1)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？
(2)把5本不同的书分给5个学生，每人一本；
(3)从7本不同的书中取出5本给某个学生．
｛组合数计算｝
（ ）
A．35B．56C．70D．84
计算的值是（ ）
A．B．C．D．
计算 .
知(m>1)，则的值为 .（结果用数字作答）
｛用组合数公式证明｝
已知m是自然数，n是正整数，且．求证：
(1)；
(2)．
m是自然数，n为正整数，且，求证：．
｛组合数方程与不等式｝
解关于正整数x的方程：
(1)；(2)．
（1）解不等式．
（2）若，求正整数n．
｛组合数性质及其应用｝
若，则m的值可以是（ ）
A．3B．4C．5D．6
若，则的值为（ ）
A．10B．11C．12D．13
若,则的值是 .（用数字作答）
｛实际问题中的组合计数问题｝
将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，至多两人，则甲乙不在同一路口的分配方案共有（ ）
A．81种B．72种C．63种D．36种
从10名大学毕业生中选3人担任村主任助理，求甲、乙至少有一人入选，而丙没有入选的不同选法的种数．
盒子中有大小与质地相同的个白球、个黑球，若从中随机地摸出个球，求它们颜色不同的概率.
某小组共有10名学生，其中女生3名．现任选2名代表，则至少有1名女生当选的选法有多少种？
｛代数中的组合计数问题｝
从1到10的连续10个整数中随机抽取3个，已知这3个数之和为奇数，则这3个数之积为偶数的概率为（ ）
A．B．C．D．
在，，，，，，这个数中任取个数，将其组成无重复数字的四位数，则能被整除，且比大的数共有（ ）
A．个B．个C．个D．个
“2020”含有两个数字0，两个数字2，“2121”含有两个数字1，两个数字2，则含有两个数字0，两个数字2的四位数的个数与含有两个数字1，两个数字2的四位数的个数之和为（ ）
A．8B．9C．10D．12
｛几何中的组合计数问题｝
如图，在的两边、上分别有5个点和6个点（都不同于点O），这连同点O在内的12个点可以确定多少个不同的三角形？

已知正方形ABCD的中心为点O，以A、B、C、D、O中三个点为顶点的三角形共有 个.
｛x+y+z=的整数解个数问题｝
方程的正整数解的个数为（ ）
A．56B．35C．70D．66
已知，，，则关于，，的方程共有（ ）组不同的解.
A．B．C．D．
组合问题常有以下两类题型变化
(1)“含有”或“不含有”问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“最多”问题：用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
（多选）下列问题中，属于组合问题的是（ ）
A．10支战队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少次比赛
B．10支战队以单循环进行比赛，这次比赛的冠、亚军获得者有多少种可能
C．从10名员工中选出3名参加同一种的娱乐活动，有多少种选派方法
D．从10名员工中选出3名分别参加不同的娱乐活动，有多少种选派方法
（多选）给出下面几个问题，其中是组合问题的有（ ）
A．由1，2，3，4构成的含有2个元素的集合个数
B．五个队进行单循环比赛的比赛场次数
C．由1，2，3组成两位数的不同方法数
D．由1，2，3组成的无重复数字的两位数的个数
（ ）
A．84B．120C．126D．210
计算：(1)(2)
计算：(1)(2)
（1）计算：①＝ ；②＝ ．
计算 .
证明：
证明下列各等式．
(1)＝；(2).
求证：
(1)，(2)．
证明：．
若，求m.
（1）解方程：（2）解不等式；
（1）已知：，求；（2）解不等式：，其中.
不等式的解为 ．
.
若（），则 .
利用组合数的性质化简：．
从6名男生和5名女生中选出4人去参加某项大赛．
(1)如果要求4人中男生和女生都要有，那么有多少种选法（用数字作答）？
(2)如果男生甲和女生乙最多只能选1人，那么有多少种选法（用数字作答）？
甲、乙、丙3名同学选修兴趣课程，从5门课程中，甲选修2门，乙选修4门，丙选修3门，则不同的选修方案共有 种．
一个口袋里装有7个白球和1个红球，从口袋中任取5个球，其中恰有一个红球的取法有 种．
由0，1，2，3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有（ ）
A．个B．个C．个D．个
从中任取个数字，至少有个数字是偶数的情况有（ ）
A．种B．种C．种D．种
（每小问均须用数字作答）在中选出4个数字组成一个四位数
(1)可以组成多少个没有重复数字的四位数？
(2)可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？
(3)若5和6至多出现1个，可以组成多少个没有重复数字的四位数？
从0，2，4，6中任取3个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成个没有重复数字的五位数 ．
在如图所示的四棱锥中，顶点为P，从其他的顶点和各棱中点中取3个，使它们和点P在同一平面内，则不同的取法种数为 .（用数字作答）
从正六边形的6个顶点中任取3个构成三角形，则所得三角形是直角三角形的概率为 ．
在如图所示的三角形边上的9个点中任取3个，可构成三角形的个数是 .
方程的非负整数解的组数为 ．
方程的非负整数解的个数为 .
题型三 排列与组合的综合应用
命题点1 相邻、相间及特殊元素(位置)问题
4名男生、3名女生站成一排，分别求满足下列条件的站法种数．
(1)男生和女生均相邻；
(2)男生均相邻；
(3)女生均不相邻；
(4)男生与男生、女生与女生均不相邻；
(5)至少有两个女生相邻．
（1）6名同学站成一排照相，其中甲、乙两人必须相邻的站法有多少种？
（2）一台晚会有6个节目，其中有2个小品，如果2个小品不连续演出，共有多少种不同的演出顺序？
从7名男生和5名女生中选取3人依次进行面试．
(1)若参加面试的人全是女生，则有多少种不同的面试方法？
(2)若参加面试的人中，恰好有1名女生，则有多少种不同的面试方法？
5名篮球队员甲、乙、丙、丁、戍，排成一排．
(1)共有多少种不同的排法？
(2)若甲必须站在排头，有多少种不同的排法？
(3)若甲不能站排头，也不能站排尾，有多少种不同的排法？
相邻、相间问题的解题策略
(1)要求相邻时，把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列．
(2)对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中．
3名男生､4名女生排成一行.在下列要求下，分别求不同排列方法的种数：
(1)甲不在最左边，乙不在最右边；
(2)男生必须排在一起；
(3)男生和女生相间排列；
(4)在甲､乙两人中间必须有3人.
3名男生和4名女生按下列条件排成一排，分别有多少种不同的排法？
(1)男生排在一起，女生排在一起；
(2)男、女生间隔排列；
(3)男生互不相邻．
用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的自然数，问：
(1)能够组成多少个五位偶数？
(2)能够组成多少个小于的正整数？
命题点2 定序问题
某班级周六的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语共6节课.
(1)如果数学和物理不能相邻，则不同的排法有多少种？
(2)如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种排法？
(3)原定的6节课已排好，学校临时通知要增加生物化学地理3节课，若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有多少种不同的排法？
5个人站成一排，求在下列条件下的不同排法种数：
(1)甲在乙前；
(2)甲在乙前，并且乙在丙前．
某班级甲组有5名男生，3名女生；乙组有6名男生，2名女生．
(1)若从两队中选2人值日，则有多少种不同的选法？（结果用数字表示）
(2)若从甲、乙两队各选2人参加值日，则选出的4人中恰有1名男生的不同选法共有多少种？（结果用数字表示）
(3)让甲组成员排成一排，若女生身高互不相等，女生从左到右按高矮顺序排，有多少种不同排法？（结果用数字表示）
定序问题的处理策略
对于给定元素顺序确定，再插入其他元素进行排列：顺序确定的元素为n个，新插入的元素为m个，则排列数为eq \f(m＋n！,n！).
有7名学生，其中3名男生，4名女生，在下列不同条件下，求不同的排法种数．
(1)全体站成一排，其中甲不站在最左边，也不站在最右边；
(2)男生顺序已定，女生顺序不定；
(3)站成三排，前排2名同学，中间排3名同学，后排2名同学，其中甲站在中间排的中间位置；
(4)7名同学站成一排，其中甲、乙相邻，但都不与丙相邻．
7人站成一排．
(1)甲必须在乙的前面（不一定相邻），则有多少种不同的排列方法？
(2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变（不一定相邻），则有多少不同的排列方法？
有4名男生、3名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法：
(1)甲、乙两人必须排在两端；
(2)男女相间；
(3)甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定．
命题点3 分组分配问题
习近平总书记在湖南省湘西州花垣县十八洞村考察时，首次提出“精准扶贫”概念，“精准扶贫”已成为我国脱贫攻坚的基本方略．为配合国家“精准扶贫”战略，某省农业厅派出8名农业技术专家（6男2女）分成两组，到该省两个贫困县参加扶贫工作，若要求女专家不单独成组，且每组至多6人，则不同的选派方案共有（ ）种
A．480B．252C．306D．236
有6本不同的书，分给甲、乙、丙三个人．
(1)如果每人得两本，则有多少种不同的分法？
(2)如果一个人得1本，一个人得2本，一个人得3本，则有多少种不同的分法？
(3)如果把这6本书分成三堆，每堆两本，则有多少种不同分法？
现有4本书和3位同学，将4本书全部分给这3位同学.（用数字作答）
(1)若4本书都不相同，每位同学至少分一本书，共有多少种不同的分法？
(2)若4本书仅有两本相同，按一人2本，另两人各1本分配，共有多少种分法？
解决分组分配问题的策略
(1)对于整体均分，分组后一定要除以Aeq \\al(n,n)(n为均分的组数)，避免重复计数．
(2)对于部分均分，若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！.
中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022年10月31日我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.2023年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有（ ）
A．450种B．360种C．90种D．70种
6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种方法?
(1)分给甲、乙、丙三人，每人2本；
(2)分为三份，每份2本；
(3)分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；
(4)分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本.
甲､乙､丙､丁四名同学去某社区做志愿者工作，现将他们随机安排到A，B，C三个岗位中，每个岗位至少安排一人.
(1)求共有多少种安排方法；
(2)求甲乙被安排在同一岗位的概率.
三、分层训练：课堂知识巩固
1．（2023•乙卷）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有
A．30种B．60种C．120种D．240种
2．（2023•甲卷）有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为
A．120B．60C．40D．30
3．（2023•新高考Ⅱ）某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有
A．种B．种
C．种D．种
4．（2022•新高考Ⅱ）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有
A．12种B．24种C．36种D．48种
5．（2021•乙卷）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有
A．60种B．120种C．240种D．480种
6．（2020•山东）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有
A．120种B．90种C．60种D．30种
7．（2020•海南）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有
A．2种B．3种C．6种D．8种
8．（2023•邯郸三模）某医院安排3名男医生和2名女医生去甲、乙、丙三所医院支援，每所医院安排一到两名医生，其中甲医院要求至少安排一名女医生，则不同的安排方法有
A．18种B．30种C．54种D．66种
9．（2023•平定县校级模拟）中国空间站的主体结构包括天和核心实验舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲、乙等5名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多二人，则甲乙不在同一实验舱的种数有
A．60B．66C．72D．80
10．（2023•周至县一模）公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前6位数字3，1，4，1，5，9进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个1不相邻，那么小明可以设置的不同密码有 个
A．240B．360C．600D．720
11．（2023•泉州模拟）某停车场行两排空车位，每排4个，现有甲、乙、丙、丁4辆车需要泊车，若每排都有车辆停泊，且甲、乙两车停泊在同一排，则不同的停车方案有
A．288种B．336种C．384种D．672种
12．（2023•抚顺二模）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，甲、乙等4名杭州亚运会志愿者到游泳、射击、体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的安排方法共有
A．12种B．18种C．24种D．36种
13．（2023•屯昌县二模）某学校为了丰富同学们的寒假生活，寒假期间给同学们安排了6场线上讲座，其中讲座只能安排在第一或最后一场，讲座和必须相邻，问不同的安排方法共有
A．34种B．56种C．96种D．144种
14．（2023•济宁二模）为了强化学校的体育教育教学工作，提高学生身体素质，加强学生之间的沟通，凝聚班级集体的力量，激发学生热爱体育的热情．某中学举办田径运动会，某班从甲、乙等6名学生中选4名学生代表班级参加学校米接力赛，其中甲只能跑第1棒或第2棒，乙只能跑第2棒或第4棒，那么甲、乙都参加的不同棒次安排方案总数为
A．48B．36C．24D．12
15．（2023•香坊区校级三模）算盘起源于中国，迄今已有2600多年的历史，是中国古代的一项伟大的发明．在阿拉伯数字出现前，算盘是世界广为使用的计算工具．下图一展示的是一把算盘的初始状态，自右向左分别表示个位、十位、百位、千位，上面的一粒珠子（简称上珠）代表5，下面的一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等同于一粒上珠的大小．例如，如图二，个位上拨动一粒上珠、两粒下珠，十位上拨动一粒下珠至梁上，代表数字17．现将算盘的个位、十位、百位、千位、万位分别随机拨动一粒珠子至梁上，则表示的五位数至多含3个5的情况有
A．10种B．25种C．26种D．27种
16．（2023•蕉城区校级模拟）近年来喜欢养宠物猫的人越来越多．某猫舍只有5个不同的猫笼，金渐层猫3只（猫妈妈和2只小猫崽）、银渐层猫4只、布偶猫1只．该猫舍计划将3只金渐层猫放在同一个猫笼里，4只银渐层猫每2只放在一个猫笼里，布偶猫单独放在一个猫笼里，则不同的安排有
A．8种B．30种C．360种D．1440种
17．（2023•茂名一模）将4个6和2个8随机排成一行，则2个8不相邻的情况有
A．480种B．240种C．15种D．10种
18．（2023•四川模拟）某班在一次班团活动中，安排2名男生和4名女生讲演，为安排这六名学生讲演的顺序，要求两名男生之间不超过1人讲演，且第一位和最后一位出场讲演的是女生．则不同的安排方法总数为
A．168B．192C．240D．336
19．（2023•朝阳区校级模拟）某人将斐波那契数列的前6项“1，1，2，3，5，8”进行排列设置数字密码，其中两个“1”必须相邻，则可以设置的不同数字密码有
A．120种B．240种C．360种D．480种
20．（2023•雁峰区校级模拟）如图，一圆形信号灯分成，，，四块灯带区域，现有3种不同的颜色供灯带使用，要求在每块灯带里选择1种颜色，且相邻的2块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为
A．18B．24C．30D．42
21．（2023•贺兰县校级四模）从2名教师和5名学生中，选出3人参加“我爱我的祖国”主题活动．要求入选的3人中至少有一名教师，则不同的选取方案的种数是
A．20B．25C．30D．55
22．（2023•让胡路区校级模拟）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有
A．36种B．42种C．48种D．54种
23．（2023•贺兰县校级模拟）某教师有相同的语文参考书3本，相同的数学参考书4本，从中取出4本赠送给4为学生，每位学生1本，则不同的赠送方法共有
A．15种B．20种C．48种D．60种
24．（2023•商丘三模）某小学从2位语文教师，4位数学教师中安排3人到西部三个省支教，每个省各1人，且至少有1位语文教师入选，则不同安排方法有（ ）种．
A．16B．20C．96D．120
25．（2023•唐县校级二模）某班级选出甲、乙、丙等六人分别担任语文、数学、英语、物理、化学、生物六门学科的课代表，已知甲只能担任语文或英语课代表，乙不能担任生物或化学课代表，且乙、丙两人中必有一人要担任数学课代表，则不同的安排方式有
A．56种B．64种C．72种D．86种
26．（2023•香洲区校级模拟）“校本课程”是现代高中多样化课程的典型代表，旨在进一步培养学生的人文底蕴和科学精神，为继续满足同学们不同兴趣爱好，艺术科组准备了学生喜爱的中华文化传承系列的校本活动课：创意陶盆，拓印，扎染，壁挂，剪纸五个项目供同学们选学，每位同学选择1个项目．则甲、乙、丙、丁这4名学生至少有3名学生所选的课全不相同的方法共有
A．360种B．480种C．720种D．1080种
27．（2023•江西模拟）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱年10月31日分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕．2023年，中国空间站将正式进入运营阶段．假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有
A．450种B．72种C．90种D．360种
28．（2023•香坊区校级三模）“第二课堂”是哈九中多样化课程的典型代表，旨在进一步培养学生的人文底蕴和科学精神，为继续满足同学们不同兴趣爱好，美育中心精心准备了大家非常喜爱的中华文化传承系列的第二课堂活动课：陶艺，拓印，扎染，创意陶盆，壁挂，剪纸六个项目供同学们选学，则甲、乙、丙、丁这4名学生至少有3名学生所选的课全不相同的方法共有
A．135种B．720种C．1080种D．1800种
29．（2023•秦淮区一模）某学校有6个数学兴趣小组，每个小组都配备1位指导老师，现根据工作需要，学校准备将其中4位指导老师由原来的小组均相应的调整到其他兴趣小组，其余的2位指导老师仍在原来的兴趣小组（不作调整），如果调整后每个兴趣小组仍配备1位指导老师，则不同的调整方案为
A．135种B．360种C．90种D．270种
30．（2023•安徽二模）积极参加公益活动是践行社会主义核心价值观的具体行动．现将包含甲、乙两人的5位同学分成2个小组分别去敬老院和老年活动中心参加公益活动，每个小组至少一人，则甲、乙两名同学不分在同一小组的安排方法的总数为
A．12B．14C．15D．16
31．（2023•新高考Ⅰ）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．
32．（2022•上海）用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为 （用数字作答）
33．（2020•新课标Ⅱ）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有 种．
34．（2020•上海）从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有 种安排情况．
35．（2019•上海）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有 种（结果用数值表示）名称
定义
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
按照一定的顺序排成一列
组合
作为一组
公式
(1)Aeq \\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq \f(n！,n－m！)(n，m∈N*，且m≤n)．
(2)Ceq \\al(m,n)＝eq \f(A\\al(m,n),A\\al(m,m))＝eq \f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)
＝eq \f(n！,m！n－m！)(n，m∈N*，且m≤n)．特别地Ceq \\al(0,n)＝1.
性质
(1)0！＝1；Aeq \\al(n,n)＝n！.
(2)Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)；Ceq \\al(m,n＋1)＝Ceq \\al(m,n)＋Ceq \\al(m－1,n).