2025年新高考数学精析考点考点03等式性质与不等式性质(3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练)(原卷版+解析)

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掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用．
【知识点】
1．两个实数比较大小的方法
作差法eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－b>0⇔a b，,a－b＝0⇔a b，,a－bb⇔ ；
性质2 传递性：a>b，b>c⇒ ；
性质3 可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；
性质4 可乘性：a>b，c>0⇒ ；a>b，cb，c>d⇒ ；
性质6 同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ ；
性质7 同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)．
常用结论
1．若ab>0，且a>b⇔eq \f(1,a)b>0，m>0⇒eq \f(b,a)a>0，m>0⇒eq \f(b,a)>eq \f(b＋m,a＋m).
【核心题型】
题型一 数(式)的大小比较
比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．
【例题1】(1)已知M＝eq \f(e2 021＋1,e2 022＋1)，N＝eq \f(e2 022＋1,e2 023＋1)，则M，N的大小关系为________．
(2)若a>b>1 ，P＝aeb，Q＝bea，则P，Q的大小关系是( )
A．P>Q B．P＝Q
C．Peq \f(1,b－c) D．(a－c)3>(b－c)3
【变式2】(多选)若a>0>b>－a，cb(d－c)
【变式3】(多选)设a，b，c，d为实数，且a>b>0>c>d，则下列不等式正确的有( )
A．c2c，且a＋b＋c＝0，那么eq \f(c,a)的取值范围是________．
【变式2】（2024·浙江·模拟预测）已知正数满足，则的取值范围为 ．
【变式3】（2024·浙江·模拟预测）对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，已知，若关于的不等式组恰好有3个整数解，则实数的取值范围是 .
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2023·陕西西安·模拟预测）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2024·全国·模拟预测）设，则（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
4．（2024·福建龙岩·一模）下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
三、填空题
5．（2024·全国·模拟预测）已知实数满足，则的取值范围是 ．
6．（2024·河北邯郸·三模）记表示x，y，z中最小的数．设，，则的最大值为 ．
四、解答题
7．（2024·四川绵阳·二模）（1）已知a，b，x，y均为正数，求证：并指出等号成立的条件；
（2）利用（1）的结论，求函数的最大值，并指出取最大值时x的值．
【综合提升练】
一、单选题
1．（2023·广东·二模）若，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·江苏南通·模拟预测）已知，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·陕西西安·一模）已知，则下列选项中是“”的充分不必要条件的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·辽宁沈阳·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·全国·模拟预测）设，，，则下列正确的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．（2024·河南·模拟预测）以表示数集中最大的数．设，已知或，则的最小值为 ．
四、解答题
7．（2024·辽宁沈阳·一模）已知等比数列的各项均为正数，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求证：.
8．（2023·河北·模拟预测）已知，.
(1)证明：；
(2)比较与的大小.
9．（2023·全国·模拟预测）（1）设a，b为正实数，求证：．
（2）设a，b，c为正实数，求证：．
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2024·云南大理·模拟预测）若为函数（其中）的极小值点，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·贵州贵阳·三模）已知正实数分别满足，，，其中是自然常数，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知为实数，则下列命题成立的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
4．（2023·四川南充·一模）已知：，，则下列说法中错误的是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
5．（2023·广东肇庆·二模）已知正数满足等式，则下列不等式中可能成立的有（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·河北·三模）已知，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·河南洛阳·模拟预测）设实数满足，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
8．（2023·内蒙古赤峰·一模）已知，，，则的大小关系是 .
9．（2023·四川凉山·一模）已知是曲线上的点，则的取值范围是 .
10．（2023·广东深圳·模拟预测）已知数列的前n项和为，满足：，且，为方程的两根，且.若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
四、解答题
11．（2023·山东潍坊·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若对任意，都有，求实数k的取值范围；
(3)当时，对任意的，且，试比较与的大小．