2025年新高考数学精析考点考点52抛物线(3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练)(原卷版+解析)

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1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.
2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).
3.了解抛物线的简单应用．
【知识点】
1．抛物线的概念
把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程和简单几何性质
常用结论
1．通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.
2．抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))的距离|PF|＝x0＋eq \f(p,2)，也称为抛物线的焦半径．
【核心题型】
题型一 抛物线的定义及应用
“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径．
【例题1】（2024·广东佛山·模拟预测）设为抛物线的焦点，点在上，且在第一象限，若直线的倾斜角为，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】由抛物线的定义可知，再由抛物线的性质可得即可求解.
【详解】如图所示，抛物线及准线如图所示，过点作垂直准线于点，
过焦点作垂直于于点，由题意可知，
根据抛物线的定义
在中，，又，
所以，
解得.
故选：C.
【变式1】（2024·陕西西安·三模）设抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，，，则（ ）
A．1B．2C．4D．22
【答案】B
【分析】设直线的方程为，Ax1,y1，Bx2,y2，联立，利用韦达定理和抛物线的定义即可求解.
【详解】设抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，
设直线的方程为，Ax1,y1，Bx2,y2，
联立，可得，所以，，
则．因为，，所以，，
则，解得或．因为，所以．
故选：B
【变式2】（2023·河北唐山·模拟预测）已知抛物线C：y=，直线：，：，M为C上的动点，则点M到与的距离之和的最小值为 .
【答案】3
【分析】结合图形，由抛物线定义可将M到与的距离之和转化为，后由点到直线距离公式可得答案.
【详解】由题，抛物线焦点为F0,1，准线为，过M点作，准线垂线，垂足分别为B，C.
过M点作垂线，垂足为A，则M到与的距离之和为.
由抛物线定义知，又，则.
当且仅当三点共线时，最短时，
而为F到直线距离，
所以.
所以点M到与的距离之和的最小值为3.
故答案为：3.
【变式3】（2023·陕西榆林·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：的焦点为F，位于第一象限的点A（点A的横坐标和纵坐标都为整数）在抛物线C上，且，．
(1)求p的值及点A的坐标；
(2)点B与A关于坐标原点对称，过点B的直线l（不经过点A）与抛物线C相交于M，N两点，直线AM，AN与x轴分别相交于点P，Q，求的值．
【答案】(1)，点的坐标为；
(2)32.
【分析】（1）设，利用给定条件，结合抛物线的定义列出方程组求解.
（2）求出点的坐标，设出直线的方程并与抛物线方程联立，设，求出直线的方程及点的横坐标，再结合韦达定理计算得解.
【详解】（1）设，则，由，得，即，
抛物线C：的焦点，准线方程为，
由，得，把代入，得，
由是整数得，，，又，
所以，点的坐标为.
（2）由（1）得，抛物线的焦点，设，
直线不重直于坐标轴，且不过点，设直线的方程为，
由消去得，，即，
则，直线的斜率，同理直线斜率，
直线方程，令，得点的横坐标，
同理点的横坐标，
则，
所以的值为32.

【点睛】结论点睛：点是抛物线上的两点，则直线斜率；点是抛物线上的两点，则直线斜率.
题型二 抛物线的标准方程
求抛物线的标准方程的方法
(1)定义法．
(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论．
【例题2】（2024·上海徐汇·一模）下列拋物线中，焦点坐标为的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据抛物线的标准方程及焦点坐标即可求解.
【详解】抛物线的标准方程为：，焦点坐标为，
由题意得，所以，
所以抛物线的标准方程为：.
故选：.
【变式1】（2024·浙江金华·一模）已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且，则抛物线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据抛物线的定义，结合已知条件，求得，即可求得抛物线方程.
【详解】根据题意，连接，过作垂直于抛物线的准线，垂足为，作图如下：

由抛物线定义可知，解得，
故抛物线方程为：.
故选：C.
【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为的直线交抛物线于点A（点A在第一象限），过点A作，垂足为，直线交轴于点，若的外接圆的面积为，则抛物线的方程为 ．
【答案】
【分析】根据题意结合抛物线的性质可得是Rt的外接圆的直径，可知，过点A作轴，结合抛物线的定义可得，即可得方程.
【详解】如图，因为直线的倾斜角为，，

可知，，
设准线与轴交于点，则坐标原点是线段的中点，，
可知点是线段的中点，则，
即为直角三角形，为斜边，
所以是Rt的外接圆的直径，
由题意可得：，解得．
过点A作轴，垂足为，
在Rt中，，
又因为，则，即，
所以抛物线的方程为．
故答案为：
【变式3】（2024·浙江温州·一模）点在抛物线上，且到抛物线的焦点的距离为.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点的直线交抛物线于，两点，且，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据焦半径公式及点在抛物线上，列方程组，可求的值.
（2）法1：设出直线的方程：，与抛物线方程联立，得到，，再根据，得求的值.
法2：设直线的方程：，与抛物线方程联立，得到，，再根据，得得的关系，从而说明直线经过定点，再结合直线过抛物线的焦点，可得直线方程.
法3：设，，则直线可写成，根据及可求出的值，得直线的方程.
法4：设，，根据直线与垂直，可分别设两直线方程为，，分别与抛物线方程联立，把、坐标用表示出来，再结合求的值，进而求出点坐标，结合直线过点，可求直线方程.
法5：设，，设直线：与抛物线方程联立，可得，再根据，结合直线过点，可求的值，得直线的方程.
【详解】（1）根据焦半径公式可得，所以，
又，所以，
解得或（舍去），
故所求抛物线方程为.
（2）法1：，，设，，，
，所以，
，
，（舍去），
所以即.
法2：设，，，
，所以，
，
，
，所以过定点，
又因为过，所以；
法3：，，设，，，
，
.
，
，
所以.
法4：设，，不妨设，
，
，
，同理，
，
，
，
又因为过，所以.
法5：设，，，
，
，
，
，
.
又因为过，所以，
解得，，所以.
题型三 抛物线的几何性质
应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．
【例题3】（2024·全国·模拟预测）已知过抛物线的焦点的直线垂直于轴，且与抛物线交于，两点，点在轴上，且．若（为坐标原点），则的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意设，，讨论点的坐标为或者，即可根据，求出p的值，即可求得答案.
【详解】由抛物线的方程y2=2pxp>0，得，
由抛物线的对称性，不妨设，，
当点的坐标为时，，，
因为，所以，则（不合题意，舍去）；
当点的坐标为时，，
因为，所以，则，
所以抛物线的准线方程为，
故选：A．
【变式1】（2024·天津·一模）以双曲线的右顶点为圆心，焦点到渐近线的距离为半径的圆交抛物线于A，B两点.已知，则抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A．或4B．C．或4D．4
【答案】A
【分析】先求出双曲线的顶点坐标，焦点坐标及渐近线方程，进而可求得圆的方程，根据圆与抛物线都关于轴对称，则两点关于轴对称，从而可求得点的坐标，代入抛物线方程即可得解.
【详解】双曲线的右顶点坐标为2,0，焦点为，
渐近线方程为，即，
焦点到渐近线的距离为，
所以题中圆的方程为，
因为圆和抛物线的图象都关于轴对称，
所以两点关于轴对称，
不妨设点在第一象限，设，则，
则，所以，
因为点在圆上，
所以，解得或，
所以或，
当，则，解得，
当，则，解得，
综上所述，抛物线的焦点到准线的距离为或4.

故选：A.
【点睛】关键点点睛：根据圆与双曲线都关于轴对称，得出两点关于轴对称，求得点的坐标，是解决本题的关键
【变式2】（2021·全国·高考真题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为 .
【答案】
【分析】先用坐标表示，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得，即得结果.
【详解】抛物线： ()的焦点,
∵P为上一点，与轴垂直，
所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,
不妨设,
因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，
又，
因为，所以,
，
所以的准线方程为
故答案为：.
【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.
【变式3】（2023·新疆·模拟预测）已知抛物线，圆与抛物线有且只有两个公共点.
(1)求抛物线的方程；
(2)设为坐标原点，过圆心的直线与圆交于点，直线分别交抛物线于点（点不与点重合）.记的面积为，的面积为，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）联立抛物线和圆的方程并消元，由对称性可得关于的方程有两个相等的正的实数根，由且根为正数解出，得出抛物线的方程；
（2）设直线的方程为，代入圆的方程中，消去，可得的纵坐标；设直线的方程为，代入抛物线方程，可得的纵坐标；将和的面积用公式表示，并转为坐标形式，利用韦达定理和参数的范围，求出最大值．
【详解】（1）由,
得，即.
由对称性可得关于的方程有两个相等的正的实数根，
所以，且，
解得，
所以抛物线C的方程为.
（2）由题意，知直线的斜率不为，故设直线的方程为，
如图，设，，，.
将直线的方程代入圆的方程中，消去，得，
所以，所以，且.
直线的方程为，代入抛物线方程，
消去，得，解得或，所以.
同理，得，
所以
，
所以当时，取得最大值，为.
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2024·陕西安康·模拟预测）过点，且焦点在轴上的抛物线的标准方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用待定系数法，设出抛物线方程，把点代入求解即可.
【详解】设抛物线的标准方程为，
将点点代入，得，解得，
所以抛物线的标准方程是.
故选：B
2．（2024·山东聊城·二模）点在抛物线上，若点到点的距离为6，则点到轴的距离为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【分析】由抛物线的定义知，点到焦点的距离等于点到准线的距离，结合点和准线的位置，求点到轴的距离.
【详解】抛物线开口向右，准线方程为，
点到焦点的距离为6，则点到准线的距离为6，
点在y轴右边，所以点到y轴的距离为4．
故选：A．
3．（2024·全国·模拟预测）已知点是焦点为的抛物线上的一个点，过点作直线的垂线，垂足为点，直线与轴的交点为，若是的平分线，则的面积为( ).
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先由题意求点的坐标，得到，然后判断四边形的形状，最后求点的坐标，进而得的面积.
【详解】因为，即，因此，易知直线是的准线，则，
如图，又，，所以，
得，四边形为正方形，故的面积为.
故选：B.

4．（2024·全国·模拟预测）如图，某种地砖ABCD的图案由一个正方形和4条抛物线构成，体现了数学的对称美．，，，，，已知正方形ABCD的面积为64，连接，的焦点，，线段分别交，于点G，H，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据正方形的面积可得点的坐标，进而可得抛物线方程，根据直线与抛物线方程联立可得交点，进而根据焦半径公式以及对称性即可求解.
【详解】由正方形ABCD的面积为64，得正方形ABCD的边长为8，
根据对称性可得，，，，
将代入，得，所以抛物线的方程为．
故，
故，，设，直线的方程为，
联立，得，解得或（舍），
故，．
由对称性可知，．
故选:B．
二、多选题
5．（2024·广西来宾·模拟预测）已知抛物线，过的焦点作直线，若与交于两点，，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．或
D．线段中点的横坐标为
【答案】ABD
【分析】由直线，可知焦点F1,0，得的值和抛物线方程，可判断A选项；直线方程代入抛物线方程，由韦达定理结合，求出两点坐标和的值，结合韦达定理和弦长公式判断选项BCD.
【详解】抛物线的焦点在轴上，
过作直线，可知F1,0，则，得，A选项正确；
抛物线方程为，直线的方程代入抛物线方程，得.
设Ax1,y1，Bx2,y2，由韦达定理有，，
，得，解得或，
，则或，C选项错误；
则，线段中点的横坐标为，D选项正确；
，，B选项正确.
故选：ABD.
6．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线C：，圆．若C与交于M，N两点，圆与x轴的负半轴交于点P，则（ ）
A．若为直角三角形，则圆的面积为
B．
C．直线PM与抛物线C相切
D．直线PN与抛物线C有两个交点
【答案】ABC
【分析】对于A：分析可知直线MN过焦点F且与x轴垂直，可得，进而可得结果；对于B：分析可知，即可得结果；对于CD：，求直线AM的方程，与抛物线联立，结合以及对称性分析判断.
【详解】记抛物线C的焦点为，坐标原点为O，
则圆的圆心为F，半径．
对于选项A：由抛物线与圆的对称性可知，点M，N关于x轴对称，
若为直角三角形，则，
则直线MN过焦点F且与x轴垂直，则，圆的面积为，故A正确；
对于选项B：，故B正确；
对于选项C，D：设，由抛物线定义可知，，
又因为，则，所以直线PM的方程为，
与抛物线C：联立可得，，则，
故，所以直线PM与抛物线C相切，
由抛物线与圆的对称性可知直线PN也与抛物线C相切，故C正确，D错误．
故选：ABC．

三、填空题
7．（2024·福建泉州·模拟预测）已知为坐标原点，矩形的顶点A，C在抛物线上，则顶点B的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】设Ax1,y1，，则，再由，可得，进而可得答案．
【详解】如图，
设Ax1,y1，，则，
依题意，四边形为矩形，
则，即，
所以，即，
则，
所以顶点的轨迹方程为，
故答案为:．
8．（2024·河南·模拟预测）设抛物线的焦点为，直线与的一个交点为，直线与的另一个交点为，则 .
【答案】
【分析】根据给定条件，联立直线与抛物线的方程求出交点坐标，进而求出点的坐标，再借助抛物线定义求出长.
【详解】抛物线的焦点为，由，解得或，
即点或，当点时，直线，即，
由，得，因此，
显然点与关于轴对称，则当点时，点与点关于轴对称，，
所以.
故答案为：
四、解答题
9．（2023·陕西汉中·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)已知直线交抛物线于两点，且点为线段的中点，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用抛物线定义可求得，即可求出抛物线的方程；
（2）由弦中点坐标为并利用点差法即可求得直线的斜率为，便可得直线方程.
【详解】（1）点在抛物线上，
由抛物线定义可得，解得，
故抛物线的标准方程为．
（2）设，如下图所示：

则，两式相减可得，
即，
又线段的中点为，可得；
则，故直线的斜率为4，
所以直线的方程为，
即直线的方程为．
10．（2024·浙江杭州·一模）在直角坐标系中，抛物线的焦点为，点在抛物线上，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆的面积为.
(1)求的方程;
(2)若点关于直线对称的点在上，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由条件可得外接圆的半径以及圆心横坐标，结合抛物线的定义即可得到圆心到准线的距离为半径，即可得到；
（2）根据题意，由点关于线对称可得点−1,1关于直线对称的点坐标，然后代入抛物线方程计算，即可得到结果.
【详解】（1）
因为的外接圆的面积为，则其半径为，
且外接圆的圆心一定在的垂直平分线上，
其中焦点，准线方程为，
所以圆心的横坐标为，则圆心到准线的距离为，
即，所以的方程为.
（2）设点−1,1关于直线对称的点为，
则两点连线的中点坐标在直线上，即，
化简可得①，
由对称性又可知，−1,1和所在直线与垂直，则②，
联立①②可得，，解得，所以，
又因为在抛物线上，则，即，
即，
即，即，
所以，
其中时，，所以，
所以，即.
11．（2022·四川·模拟预测）如图，已知抛物线与圆相交于A，B，C，D四点.
(1)若以线段为直径的圆经过点M，求抛物线C的方程；
(2)设四边形两条对角线的交点为E，点E是否为定点？若是，求出点E的坐标；若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)是，
【分析】（1）利用韦达定理结合条件可得，进而可得，即求；
（2）由题可得直线的方程：，进而可得，即得.
【详解】（1）根据已知圆及抛物线的对称性，可设.
由消去y，可得，
则，得或，
，且，
显然，
故，
由以为直径的圆经过点M，知，
所以，，
于是，，
即.
故抛物线C的方程为.
（2）由题意，直线的斜率存在，且为.
所以，直线的方程可以表示为：.
即，
所以，
即.
于是直线恒过点.
由抛物线和圆的对称性，易知的两条对角线交点E必在x轴上，
故四边形的两条对角线交点 E 是定点
【综合提升练】
一、单选题
1．（2024·贵州贵阳·二模）抛物线上一点与焦点间的距离是10，则到轴的距离是（ ）
A．4B．6C．7D．9
【答案】B
【分析】借助抛物线定义计算即可得.
【详解】抛物线的准线为，
由抛物线定义可得，故，
则，即到轴的距离为.
故选：B.
2．（2024·全国·模拟预测）设抛物线的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，，，则l的斜率是（ ）
A．±1B．C．D．±2
【答案】D
【分析】根据抛物线的定义得到如图的抛物线，得到，可求得，做在直角三角形中，可求得，结合斜率的定义进行求解即可
【详解】下图所示为l的斜率大于0的情况．
如图，设点A，B在C的准线上的射影分别为，，，垂足为H．
设，，则．
而，所以，
l的斜率为．同理，l的斜率小于0时，其斜率为．
另一种可能的情形是l经过坐标原点O，可知一交点为，则，
可求得，可求得l斜率为，
同理，l的斜率小于0时，其斜率为．
故选：D
3．（2024·湖北·模拟预测）已知抛物线C：和圆，点是抛物线的焦点，圆上的两点满足，其中是坐标原点，动点在圆上运动，则到直线的最大距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由条件化简可知点在圆N:上，所以是圆与圆的公共弦，再求出的方程，数形结合可求到直线的最大距离.
【详解】抛物线的焦点，圆，其圆心，半径．
设点是满足的任意一点，则，
化简得，结合，所以是圆与圆的公共弦，
将圆与圆的方程相减得，直线的方程为，
取线段的中点，连接，则，
则，
故选：A．
4．（2024·湖南邵阳·三模）已知抛物线：的焦点为，点在的准线上，点在上且位于第一象限，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由点在抛物线 的准线上，可得 ，得出斜率关系求出点B,最后应用两点间距离结合勾股定理计算即可.
【详解】
由点在抛物线 的准线上，可得 ，即 ，
所以抛物线 C 的方程为，焦点 ，准线方程为 ，
设则，由 ，可得，即，
整理得，又，所以，解得或，
点B位于第一象限，所以，，且，显然不满足垂直，
所以，
所以，所以.
故选:D.
5．（2024·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点为抛物线：上一点，若抛物线在点处的切线恰好与圆：相切，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将的坐标代入抛物线的方程，解得，可得抛物线的方程，由导数的几何意义可得处切线的斜率和方程，求得圆的圆心和半径，由直线和圆相切的条件，解方程可得的值．
【详解】由点为抛物线上一点，可得，解得，
所以抛物线的方程为，
由，可得，则，
所以抛物线在处的切线斜率为，则切线方程为，即．
圆的圆心为，半径为，
又抛物线在点处的切线恰好与圆相切，可得，
解得或（舍去）．
故选：C．
6．（2023·西藏日喀则·一模）已知点为抛物线上一动点，点为圆：上一动点，点为抛物线的焦点，点到轴的距离为.若的最小值为3.则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】由抛物线的定义，数形结合可知当共线，且在线段上时，最短，此时有最小值，列方程即可求解.
【详解】圆的圆心，半径，
抛物线的焦点为，准线方程为，
则由抛物线的定义知点到y轴的距离为，则，
由图知，当共线，且在线段上时，最短，
此时，而，
则，所以.
故选：B
7．（2024·天津红桥·二模）过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，，抛物线的准线与x轴交于点C，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用抛物线的定义到焦点的距离等于到准线的距离作出图形，结合图形得到解出从而确定的长度，再利用三角形面积和之间的关系求出即可.
【详解】
设抛物线的准线为，
过作于，过作于点，过作于，
设，
因为，所以，
所以，
所以，
在中，，所以，
因为，所以，
又，所以，
又由，可得，
所以，所以，
所以，
所以.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用抛物线的定义建立方程，解出.
8．（2024·四川·模拟预测）设抛物线的焦点为，点是上一点．已知圆与轴相切，与线段相交于点，圆被直线截得的弦长为，则的准线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由题意得，过作直线的垂线，为垂足，设圆与直线相交于点，求得，利用，可得，可求，进而可求得抛物线准线方程.
【详解】由已知，点在抛物线上，则，即①．
如图所示，过作直线的垂线，为垂足，设圆与直线相交于点．
易知，，由，可知．
因为圆被直线截得的弦长为，所以．
由，在中，
②．
由①②解得：，抛物线的准线方程为：．
故选：B．
【点睛】本小题设置课程学习情境，主要考查圆与抛物线的综合应用，考查抛物线的定义及其简单几何性质､圆的方程､圆的弦长公式､勾股定理在抛物线中的应用等基本知识；考查数形结合､化归与转化等数学思想；考查数学抽象､逻辑推理､数学运算等数学核心素养．
二、多选题
9．（2024·河北保定·二模）若直线与抛物线只有1个公共点，则的焦点的坐标可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合直线与抛物线的位置关系的判定方法，即可求解.
【详解】当时，直线与只有一个公共点，满足题意，此时的坐标为12,0；
当时，联立方程组，整理得，
由，解得或（舍去），此时对应的的坐标为1,0.
故选：BC.
10．（2024·黑龙江·二模）抛物线的焦点到准线的距离为，过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，与抛物线分别交于点，和点，，则（ ）
A．抛物线的准线方程是
B．过抛物线的焦点的最短弦长为
C．若弦的中点为，则直线的方程为
D．四边形面积的最小值为
【答案】BCD
【分析】首先表示出焦点坐标与准线方程，依题意求出，即可得到抛物线方程，从而判断A，根据焦点弦的性质判断B，利用点差法求出，即可判断C，设直线为，联立直线与抛物线方程，消元，列出韦达定理，由焦点弦公式表示出，，再由及基本不等式计算面积最小值，即可判断D.
【详解】抛物线焦点，准线方程为，
依题意可得，则抛物线方程为，所以准线方程为，故A错误；
过抛物线的焦点且与轴垂直时弦长最短，最短弦长为，故B正确；
设Mx1,y1，Nx2,y2，则，，
所以，即，
又弦的中点为，所以，
所以，即，
又弦过焦点，所以弦的方程为，即，故C正确；
依题意直线的斜率存在且不为，设直线为，
由，消去整理得，显然，
所以，所以，
同理可得，
所以
，
当且仅当，即时取等号，故D正确.
故选：BCD
11．（2024·黑龙江佳木斯·三模）过抛物线C：上的一点作两条直线，，分别交抛物线C于A，B两点，F为焦点（ ）
A．抛物线的准线方程为
B．过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有1条
C．若，则
D．若，则
【答案】AD
【分析】将代入抛物线方程，求出，即可判断A；分直线斜率是否为零讨论即可判断B；设Ax1,y1,Bx2,y2，根据，求出，再根据焦半径公式即可判断C；设直线的方程为，则的方程为，联立方程，求出两点的坐标，再根据斜率公式即可判断D.
【详解】由题意可得，所以，则抛物线C的方程为，准线方程为，故A正确；
当过点的直线斜率等于零时，直线方程为，
直线与抛物线的交点坐标为，只有一个交点，
当过点的直线斜率不等于零时，设直线方程为，
联立，消得，
当过点与抛物线有且只有一个公共点时，，解得，
综上所述，过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有2条，故B错误；
设Ax1,y1,Bx2,y2，，
由，得，
所以，即，
所以，故C错误；
对于D选项，由题意，直线的斜率存在且不为零，
设直线的方程为，则的方程为，
联立，消得，
则，所以，
则，所以，
同理可得，
则，故D正确.

故选：AD.
三、填空题
12．（2024·浙江宁波·一模）抛物线：的焦点为，为上一点且，为坐标原点，则 .
【答案】
【分析】根据焦半径公式，确定点的横坐标，再求点的纵坐标，可得的面积.
【详解】如图：
不妨设点Px,y在第一象限，过点作与抛物线的准线垂直，垂足为.
则，又，所以，所以.
所以.
故答案为：
13．（2024·上海奉贤·一模）已知抛物线上有一点到准线的距离为，点到轴的距离为，则抛物线的焦点坐标为 ．
【答案】0,2
【分析】根据题意求出点的纵坐标，结合点到准线的距离可求出的值，即可得出抛物线焦点的坐标.
【详解】抛物线的准线方程为，
设点，则，由于点到准线的距离为，可得，
因为点到轴的距离为，则，所以，，解得，
故抛物线的方程为，其焦点坐标为.
故答案为：.
14．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，，过点M作直线的垂线，垂足为Q，点P是抛物线C上的动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题先求出直线必过的定点，再求出的轨迹方程，再数形结合求最值即可.
【详解】

由得，
所以直线过点．
连接AM，则，由题意知点Q在以AM为直径的圆上，设，所以点Q的轨迹方程为（不包含点），
记圆的圆心为，过点Q，P，N分别作准线的垂线，垂足分别为B，D，S，连接DQ，则，当且仅当B，P，Q，N四点共线且点Q在PN中间时等号同时成立，所以的最小值为．
故答案为;
四、解答题
15．（2024·陕西安康·模拟预测）已知抛物线上的动点与距离的最小值为.
(1)求；
(2)过点的直线交抛物线于两点，直线平行于，且与抛物线仅有一个公共点，求面积的最小值.
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）设抛物线上的动点为，则，根据二次函数的性质，找出最小值，得到的值.
（2）先设直线，与抛物线联立计算得到，设平行线的方程为，与抛物线联立令，得到，计算到的距离，求得面积公式，算出范围即可.
【详解】（1）设抛物线上的动点为，
，
因为的最小值为，且时，，
故可知，且，
解得舍.
（2）由（1）知，抛物线方程为，
由题意可知，直线的斜率不为0，设直线的方程为，

代入，可得，
则，
所以
.
设平行线的方程为，
将代入，
可得，当时，，
则，即，
所以点到直线的距离为：
，
故
，
当时，取得最小值，此时
【点睛】思路点睛：① 通过点与点的距离，求得最小值，得到的值.
② 设直线，得到弦长，与平行，设出，联立求出坐标，求出到距离，算出面积公式，求出范围.
16．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点是上的一点，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)设点（其中）是上异于的两点，的角平分线与轴垂直，为线段的中点.
（i）求证：点在定直线上；
（ii）若的面积为6，求点的坐标.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）或
【分析】（1）由抛物线焦半径公式即可求解；
（2）（i）由题意得到的斜率互为相反数，构造方程即可求解；
（ii）写出直线方程，由点到线的距离公式求得高，代入三角形面积公式求解即可.
【详解】（1）因为，由抛物线的定义得，又，所以，
因此，即，解得，从而抛物线的方程为.
（2）

（i）由（1）知点的坐标为，因为的角平分线与轴垂直，
所以可知的倾斜角互补，即的斜率互为相反数，
，
同理，则，
化简得，则，
所以点在定直线上.
（ii），则直线，
即
线段的长度：，点到直线的距离，
可得的面积为，
因为，且，化简得
，
令，则，即.
解得或，
由知或，所以或
所求点的坐标为，或者.
17．（2024·山东济南·三模）如图所示，抛物线的准线过点，
(1)求抛物线的标准方程;
(2)若角为锐角，以角为倾斜角的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于A、B两点，作线段的垂直平分线交轴于点，证明:为定值，并求此定值.
【答案】(1)y2＝8x
(2)证明见解析，8
【分析】（1）根据准线过点即可求出p，进而可知抛物线标准方程；
（2）假设直线的方程，与抛物线联立，进而可以得到与其中垂线的交点坐标，进而可以表示出中垂线方程，进而求点的坐标，再求即可.
【详解】（1）解:(1)由题意得
∴抛物线的方程为
（2）设，直线AB的斜率为
则直线方程为
将此式代入，得，
故
设的中垂线为直线m，设直线m与的交点为
则
故直线m的方程为
令得点P的横坐标为
故
∴为定值8
18．（2024·四川德阳·模拟预测）点M是直线x=−1上的动点，O为坐标原点，过点M作y轴的垂线l，过点O作直线OM的垂线交直线l于点P.
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)过曲线C上的一点P（异于原点O）作曲线C的切线交椭圆于A、B两点，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）设出点坐标，根据垂直关系写出对应向量关系式，由此可得轨迹的方程；
（2）设出直线的方程，根据直线与曲线相切得到关于的表达式，然后通过联立方程结合韦达定理以及弦长公式表示出的面积，最后利用基本不等式求解出最大值.
【详解】（1）设Px,y，则，所以，
因为，所以，
所以P点到轨迹为；
（2）设Ax1,y1,Bx2,y2，，
因为为曲线的切线，联立可得，
所以，
由可得，
所以，
且，，
所以，
又因为原点O到AB的距离为，
所以，
当且仅当，即或时等号成立（此时满足），
综上可知面积的最大值为3.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中求解三角形面积的常用方法：
（1）利用弦长以及点到直线的距离公式，结合底高，表示出三角形的面积；
（2）根据直线与圆锥曲线的交点，利用公共底或者公共高的情况，将三角形的面积表示为或；
（3）借助三角形内切圆的半径，将三角形面积表示为（r为内切圆半径）.
19．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线，是曲线上一点．
(1)求曲线的方程；
(2)过点且斜率为的直线与曲线交于，两点，若且直线与直线交于点，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意动圆的轨迹满足抛物线的定义，所以得出抛物线的轨迹方程即可，
（2）联立直线l与抛物线，求出AB,AC的值，又，设出OP的方程，再联立抛物线求出OP的值，再求出OQ，得出AB⋅ACOP⋅OQ的值.
【详解】（1）由题意可知圆心到12,0的距离等于到直线的距离，
由抛物线的定义可知，曲线K的轨迹方程为，
（2）设直线l的方程为y=kx−12，
联立y=kx−12y2=2x，消y得k2x2−k2+2x+14k2=0，
∴k2≠0Δ=k2+22−k4>0，∴，
设Bx1,y1,Cx2,y2，∴,
又AB=x1+12,AC=x2+12，
∴AB⋅AC=x1+12x2+12=x1x2+12x1+x2+14=14+12⋅k2+2k2+14=k2+1k2
∵，∴设直线OP的方程为，
联立y=kxy2=2x，消y得，
∴，∴P2k2,2k，∴OP=2k22+2k2=2k2+1k2，
令，则，∴Q1,k，∴OQ=1+k2，
∴AB⋅ACOP⋅OQ=k2+1k22k2+1k2⋅1+k2=12，
故AB⋅ACOP⋅OQ的值为.
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，点是正方体面内的动点，且点到棱和面的距离相等，则点的轨迹是（ ）
A．圆B．椭圆C．抛物线D．双曲线
【答案】C
【分析】根据抛物线的定义进行判断.
【详解】如图：连接，过做于点.
因为是正方体，点在平面上，所以，所以线段的长度为点到棱的距离，
又，平面，平面平面，
平面平面，所以平面，所以线段的长度为点到平面的距离.
在平面内，点到定点的距离与到定直线的距离相等，且，所以点的轨迹为抛物线.
故选：C
2．（2024·四川成都·三模）已知点分别是抛物线和圆上的动点，若抛物线的焦点为，则的最小值为（ ）
A．6B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，将转化为的形式，寻求定点，使得恒成立，转化为，当且仅当在一条直线上时，取得最小值，即可求解.
【详解】由抛物线，可得焦点坐标为，
又由圆，可化为，
可得圆心坐标为，半径，
设定点，满足成立，且
即恒成立，
其中，代入两边平方可得：
，解得，
所以定点满足恒成立，
可得，
如图所示，当且仅当在一条直线上时，
此时取得最小值，
即，
设，满足，
所以，
，
当时，等号成立，
故选：C.
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是将所求转化为三点共线时，线段的长的问题，结合抛物线方程即可求解.
二、多选题
3．（2024·江苏南通·模拟预测）设抛物线的焦点为，是上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A．点到的距离比到轴的距离大2
B．点到直线的最小距离为
C．以为直径的圆与轴相切
D．记点在的准线上的射影为，则不可能是正三角形
【答案】BC
【分析】由抛物线，可得焦点，准线方程为，设，
.利用抛物线的定义可得，即可判断出正误；
.，利用点到直线的距离公式可得点到直线的距离，进而判断出正误；
.设的中点为，可得，即可判断出正误；
.，令，可得，，解得，即可判断出正误.
【详解】由抛物线，可得焦点，准线方程为，设，
因为，因此不正确；
因为，则点到直线的距离为，
当时取等号，可得点到直线的最小距离为，因此正确；
设的中点为，则，于是以为直径的圆与轴相切，
因此正确；
，令，则，，解得，
此时，是正三角形，因此不正确．
故选：BC．
4．（2024·广东·模拟预测）曲线上任点，满足点到定点的距离与到定直线的距离之和为6，则下列说法中正确的有（ ）
A．曲线经过原点
B．曲线关于轴对称
C．曲线上点的横坐标的取值范围为
D．直线被曲线截得的线段长为
【答案】ABD
【分析】根据两点距离公式可列方程，即可化简，作出函数图象即可求解AB，结合抛物线的性质即可求解C，联立方程，即可求解D.，
【详解】设点Px,y，因为点到定点的距离与到定直线的距离之和为6，
所以，
当时，得，两边同平方，得；
当时，得，两边同平方，得，
对于A，如图，曲线过原点，A正确；
对于B，由图易知，两段抛物线弧均关于轴对称，故曲线关于轴对称，B正确；
对于C，若点Px,y在上，
得，所以，
若点Px,y在上，同理得，C错误；
对于D，由，得或（舍去），
由，得或（（舍去），
故与曲线交于点，
则，
可得，D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是由两点间距离公式推导出函数的表达式，再根据yy的取值范围去掉绝对值符号，得到分段函数.
三、填空题
5．（2024·山西长治·模拟预测）已知抛物线、分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，且与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则b＝ .
【答案】
【分析】根据题意可知，，根据题意，列出方程求解即可.
【详解】如图所示，因为抛物线所以，
因为抛物线的准线过双曲线的左焦点，所以，
所以，
又因为双曲线的一条渐近线，
所以，
因为，所以
即，化简得，
又因为，联立解得
故答案为：.
6．（2022·辽宁大连·模拟预测）设抛物线，若任意以为圆心的圆与抛物线至多有3个公共点，则的值范围为 ．
【答案】
【分析】令圆为且，讨论、，并依此为前提讨论、、，数形结合判断是否任意圆与抛物线交点个数不超过3个，即可得答案.
【详解】令圆为且，抛物线，
对于，圆与抛物线公共点情况如下，
若，它们恒有1个公共点，

若，它们没有公共点，

若，它们恒有2个公共点，

所以，对于，任意以为圆心的圆与抛物线至多有2个公共点，满足题设；
对于，圆与抛物线公共点情况如下，
若，它们恒有3个公共点，

若，它们恒有2个公共点，

若，它们可能0个或2个或4个公共点，

所以，不满足以为圆心的任意圆与抛物线至多有3个公共点；
综上，.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：讨论，，结合的取值、数形结合判断圆与抛物线交点个数.
7．（2024·江西新余·模拟预测）在平面直角坐标系中，分别为轴上的点，，则以原点为顶点且经过两点的抛物线的准线斜率为 .
【答案】
【分析】假设抛物线，，，，，进而得到的坐标，代入抛物线即可得到，进而得到.将抛物线逆时针旋转个单位，则分别旋转到轴上的点，因此可以求旋转后的抛物线对称轴的斜率，又准线与抛物线对称轴垂直，因此斜率相乘等于，进而求出准线的斜率.
【详解】设抛物线，，，，，如图所示，
则，，即，
又在上，
，故，
又，所以，
故逆时针旋转后,分别旋转到轴上的点，
此时抛物线对称轴斜率为，而准线与对称轴垂直，故；
同理，若顺时针旋转，；
故答案为：.
四、解答题
8．（2024·黑龙江·二模）已知是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为．
(1)求抛物线焦点坐标及准线方程；
(2)设直线，的斜率分别为，，求的值．
【答案】(1)焦点坐标为，准线方程为
(2)
【分析】（1）借助抛物线的基本性质即可得；
（2）由点斜式设出直线方程，直曲联立，由判别式为零，得到关于的一元二次方程，再由韦达定理即可得到斜率之积的值.
【详解】（1）由，得抛物线焦点坐标为1,0，准线方程为；
（2）点在抛物线的准线上，设
由题意知过点作抛物线C的切线，斜率存在且不为0，
设其斜率为k，则切线方程为
联立，
由于直线与抛物线C相切，可知，即，
而抛物线C的两条切线的斜率，即为方程的两根，
故.
9．（2024·陕西安康·模拟预测）已知抛物线的准线方程为，直线l与C交于A，B两点，且（其中O为坐标原点），过点O作交AB于点D.
(1)求点D的轨迹E的方程；
(2)过C上一点作曲线E的两条切线分别交y轴于点M，N，求面积的最小值.
【答案】(1)
(2)8．
【分析】（1）由抛物线准线方程即可得到p，从而求得抛物线方程，然后利用两个垂直转化为向量的数量积为0，再结合点D在直线AB上，得到等式，消元即可求得点D轨迹方程；
（2）易知，利用切线方程求出M，N的坐标，然后求得，最后用表示的面积，再利用基本不等式即可求得面积的最小值.
【详解】（1）由题意可得，即，所以抛物线方程为
设，则，
因为，所以，
及，又由题意可知，所以
又，且
所以，
即，
又因为点D在直线AB上，且，
所以，即，
所以，
由①②式可得，
当时，，解得；，此时；
当时，消可得，，即，
点2,0同样满足该方程，
显然D与O不重合，所以，
综上，点D的轨迹E的方程为；
（2）因为，结合题意可得切线斜率存在且都不为0，
设切线的斜率为，的斜率分别为，则
切线方程为，即，
令，得，
，
又，消元得
因为相切，所以，
即
易知的斜率分别为是方程③的两个根，
所以，
所以，
所以，
所以，
令，
，当且仅当，即时，取等号.
综上，面积的最小值为8.
【点睛】关键点点睛：第（1）小题的关键是利用两个垂直，转化为数量积为0的等量关系，然后借助点在直线上，利用向量共线得到另一个等量关系，消元即可求得动点的轨迹方程；第（2）小题的关键是利用切线方程与圆的方程联立，求得一个关于斜率k的一元二次方程，把两条切线的斜率转化为一个关于k的一元二次方程的两根，用韦达定理求出的值，最后求得面积关于的表达式.
10．（2024·黑龙江大庆·三模）已知平面内一动圆过点，且在轴上截得弦长为2，动圆圆心的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)设点是圆上的动点，曲线上有四个点，其中是的中点，是的中点，记的中点为.
①求直线的斜率：
②求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）设动圆圆心，根据题意结合距离公式运算求解；
（2）①设，根据中点利用同构可得为方程的两根，利用韦达定理分析证明；②根据题意可得，结合圆的方程可得，进而可得最值.
【详解】（1）设动圆圆心，
当时，由已知得，即；
当时，点的轨迹为点，满足.
综上可知，点的轨迹方程为.
（2）①设.
由题意得，的中点在抛物线上，即.
又，将代入得，
同理可得，
可知为方程的两根，所以.
所以直线的斜率为0；
②由得，
所以，
又因为，
所以.
又因为点在圆上，则，且.
设的面积为S，则，
当时，S有最大值48.
所以面积的最大值为48.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
标准
方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图形
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
焦点
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
准线
方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
对称轴
x轴
y轴
顶点
(0,0)
离心率
e＝1