2025年新高考数学精析考点考点37数列求和(3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练)(原卷版+解析)

这是一份2025年新高考数学精析考点考点37数列求和(3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练)(原卷版+解析)，文件包含2025年新高考数学精析考点考点37数列求和3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练原卷版docx、2025年新高考数学精析考点考点37数列求和3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共62页， 欢迎下载使用。
1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式
2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常用方法．
【知识点】
数列求和的几种常用方法
1．公式法
直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和．
(1)等差数列的前n项和公式：
Sn＝eq \f(na1＋an,2)＝na1＋eq \f(nn－1,2)d.
(2)等比数列的前n项和公式：
Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a11－qn,1－q)，q≠1)).
2．分组求和法与并项求和法
(1)分组求和法
若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
(2)并项求和法
一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
3．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．
4．裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
常见的裂项技巧
(1)eq \f(1,nn＋1)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1).
(2)eq \f(1,nn＋2)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)－\f(1,n＋2))).
(3)eq \f(1,2n－12n＋1)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).
(4)eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq \r(n＋1)－eq \r(n).
(5)eq \f(1,nn＋1n＋2)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,nn＋1)－\f(1,n＋1n＋2))).
常用结论
常用求和公式
(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝eq \f(nn＋1,2).
(2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2.
(3)12＋22＋32＋…＋n2＝eq \f(nn＋12n＋1,6).
(4)13＋23＋33＋…＋n3＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(nn＋1,2)))2
【核心题型】
题型一 分组求和与并项求和
(1)若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和．
(2)若数列{cn}的通项公式为cn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an，n为奇数，,bn，n为偶数，))其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前n项和
【例题1】（2024·河北·模拟预测）已知首项为2的数列满足，当的前项和时，则的最小值为（ ）
A．40B．41C．42D．43
【答案】B
【分析】通过计算得到为一个周期为4的数列，从而计算出，得到答案.
【详解】由题意得，，解得，
同理，解得，
，解得，
，解得，
故为一个周期为4的数列，且，
故，，
故的最小值为41.
故选：B
【变式1】（2024·四川攀枝花·三模）数列的前项和为，，，设，则数列的前51项之和为（ ）
A．B．C．49D．149
【答案】B
【分析】由与的关系，结合等差数列的通项公式求得，即可得到，再由并项求和法计算可得．
【详解】因为，
当时，，
即，
可得，又，所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，则，
当时，
所以，当时也成立，
所以，
可得数列的前项之和为．
故选：B
【变式2】（2024·山东菏泽·模拟预测）已知正项数列的前项和为，且，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据给定的递推公式探求得数列的周期，再利用周期性及基本不等式求解即得.
【详解】正项数列中，由，得，则，
即数列是以4为周期的周期数列，而，则，
因此，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：求解本题的关键是求出数列的周期，再借助周期性求前n项和.
【变式3】（2024·全国·高考真题）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项；
（2）利用分组求和法即可求.
【详解】（1）因为,故，
所以即故等比数列的公比为，
故，故，故.
（2）由等比数列求和公式得，
所以数列的前n项和
题型二 错位相减法求和
(1)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，常采用错位相减法．
(2)错位相减法求和时，应注意：
①在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式．
②应用等比数列求和公式时必须注意公比q是否等于1，如果q＝1，应用公式Sn＝na1
【例题2】（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，其前n项和为，则使得成立的n的最小值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】D
【分析】由数列递推式，整理构造出等差数列，求得通项，再利用错位相减法求得，最后代入不等式求解即得.
【详解】因为，
所以．
两边同乘得，，
又因为，即，
所以是首项为1，公差为1的等差数列，
所以，则．
则，
，
两式相减得，，
，
所以，
则由可得，，
解得，则n的最小值为11．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：解题关键在于，对于已知的数列递推式，发现其特征，通过等价变形，将其转化为等差或等比数列的形式，有时从数列定义，有时是通过等差（比）中项的角度推得，对于通项具备“等差×等比”型的数列，考虑用错位相减法求和即得
【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知是数列的前项和，，，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，由条件可得数列是等差数列，再由错位相减法可得，代入计算，分离参数，结合基本不等式即可得到结果.
【详解】，，又，
数列是首项为1、公差为1的等差数列，
，，
①，
②，
①②得，，
，不等式，
即，
故对任意的恒成立．
又，当且仅当，即时等号成立，
，
故选：A
【变式2】（2023·陕西咸阳·模拟预测）数列满足，且（且），若的前项和为，则满足的最小正整数的值为 .
【答案】
【分析】依题意可得，利用累乘法求出的通项公式，再利用错位相减法求出，最后根据单调性求出的取值范围.
【详解】因为（且），
所以，所以，，，，
所以，
即，又，所以，
所以，则，
所以
，
所以，
因为，所以，即，
因为，所以数列单调递减，
又当时，
又当时，
所以，则最小正整数的值为.
故答案为：
【变式3】（2024·陕西渭南·模拟预测）已知各项均为正数的数列的前项和为,且.
(1)求的通项公式；
(2)若,求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据公式求即可.
（2）由（1）知,根据通项公式规律,用错位相减来求即可.
【详解】（1）当时,,解出,又,则；
当时,由两式相减得,两边同时除以
即,即,
利用上述等式有,,
因此,即,,
当时,,满足,因此；
（2）由（1）可知,,则,
两边同时乘以得,,
错位相减得,
即
整理得，
题型三 裂项相消法求和
裂项相消法的原则及规律
(1)裂项原则
一般是前面裂几项，后面就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
(2)消项规律
消项后前面剩几项，后面就剩几项，前面剩第几项，后面就剩倒数第几项
【例题3】（2024·福建泉州·一模）记数列的前n项和分别为，若是等差数列，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用等差数列前n项和公式,联立方程组,可求出通项公式，再利用裂项相消法,求出数列的前n项和，即可求得.
【详解】因为是等差数列，可设公差为，由，
可得，解得：，
所以，
再由得：，
则数列的前n项和分别为，
即，
所以，
故选：A.
【变式1】（2024·辽宁大连·模拟预测）已知数列的前n项的积为，，则使得成立的n的最大值为（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
【答案】B
【分析】先由求出，再当时，由得，得到是以为首项，1为公差的等差数列，所以，从而求出，，利用裂项相消法求和得，结合选项即可求解.
【详解】令，则得，
当时，因为，所以，所以，即，
所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，所以，
故，所以，
当时，，
所以
，
所以，结合选项，将n的值代入检验，
则使得成立的n的最大值为2022.
故选：B
【点睛】关键点点睛：此题考查由递推公式求通项公式、裂项相消求数列的和、以及放缩法的应用，解决本题的关键点有：一是利用乘积递推式及等差数列的通项公式求出，二是利用放缩法思想结合裂项相消法求和
【变式2】（2024·山西阳泉·三模）已知数列的前项和为，且，则数列的前100项和 ．
【答案】
【分析】由与的关系求得，用裂项求和法求得.
【详解】因为，
所以，
故时，两式相减得，
即，
因为，即，
所以数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，
所以，


故答案为:
【变式3】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，且也是等差数列．
(1)求数列的公差；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)-2
(2)
【分析】（1）设出公差，根据为等差，得到，求出公差；
（2）得到，裂项相消法求和，得到答案.
【详解】（1）设数列的公差为d，则．
因为是等差数列，所以为常数．
，
所以，解得
（2）因为，所以．
，
故
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知数列各项为正数，满足，，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由，得，再结合，可得，进而可得数列是等差数列，即可求出的通项，从而可求出数列的通项，再利用裂项相消法求解即可.
【详解】因为，，所以，
因为，所以，，
即，
所以数列是等差数列，
又，，所以，
所以数列的公差为，首项为，
所以，所以，
所以，则，
所以.
故选：C.
2．（2024·河南信阳·模拟预测）已知数列的前项和为，，，且是，的等差中项，则使得成立的最小的的值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】D
【分析】由题意得到是等比数列，进而得到，利用错位相减法求出，构造函数，并利用导数判断函数的单调性，即可求出符合条件的的最小值.
【详解】是，的等差中项，
，故，
而，，
故数列是首项为1，公比为2的等比数列，则，
，
记，则，
，
两式相减可得，，
即，令，即，
设，则，
，，在单调递减，
是递减数列，
当时，，
当时，，
使得成立的最小的的值为11.
故选：D.
3．（2023·黑龙江佳木斯·三模）复数的虚部是（ ）
A．1012B．1011C．D．
【答案】D
【分析】由错位相减法化简复数后再由复数的运算和复数的几何意义求出结果即可.
【详解】因为，
，
所以，①
因为，所以，，
所以化简①可得，
所以虚部为，
故选：D.
4．（2024·河北张家口·三模）已知数列的前n项和为，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分奇数项和偶数项求递推关系，然后记，利用构造法求得，然后分组求和可得.
【详解】因为，
所以，，且，
所以，
记，则，所以，
所以是以为首项，2为公比的等比数列，
所以，，
记的前n项和为，则.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于先分奇数项和偶数项求递推公式，然后再并项得的递推公式，利用构造法求通项，将问题转化为求的前50项和.
二、多选题
5．（2024·全国·模拟预测）已知，，数列和的公共项由小到大排列组成数列，则（ ）
A．
B．为等比数列
C．数列的前项和
D．、、不是任一等差数列的三项
【答案】BCD
【分析】分别求出数列和的几项找出公共项判断A；根据等差数列的定义可判断B；通过错位相减求和并判断的单调性可判断C；利用等差数列的通项可判断D
【详解】设的第n项与的第m项相等，即，
当时，，
当时，，
当时，，故A错；
令，即，
，不是中的项，即不是的项，
，是中的项，即不是的项，
所以，则，即为等比数列，故B对；
由，
得，
两式相减得，
所以，且，所以单调递增，所以，故C对；
设、、是等差数列的第i、j、p项，的首项为，公差为d，
，
因为是有理数，是无理数
所以原假设不成立，即、、不是任一等差数列的三项
故选：BCD
6．（2024·全国·模拟预测）已知数列中，，当为奇数时，，当为偶数时，，则（ ）
A．数列是递减数列B．C．D．
【答案】BD
【分析】根据题意分别得到数列的奇数项与偶数项的性质，进而得到其通项公式，从而判断ABC，利用等比数列的求和公式与分组求和法判断D.
【详解】对于AB：当为奇数时，，则，
则数列的奇数项是以3为首项，为公比的等比数列，
所以当为奇数时，.
当为偶数时，，则，
则数列的偶数项是以2为首项，为公比的等比数列，
所以当为偶数时，，
所以，，易知A错误，B正确；
对于C：由以上分析知，
所以，故C错误；
对于D，
，故D正确.
故选：BD.
三、填空题
7．（2024·湖南岳阳·模拟预测）设为等差数列的前项和，，则数列的前10项和为 .
【答案】
【分析】由等差数列的性质求出，即可求出，再由裂项相消法即可得出答案.
【详解】设的公差为，
由于为等差数列的前项和，，
可得，所以，则，
令，所以，
故数列的前10项和为.
故答案为：.
8．（2023·河南·模拟预测）已知数列满足，则 .
【答案】
【分析】先求出数列的通项公式，再用错位相减法求出的值.
【详解】由可得当时，，
所以，满足，故，.
令，
则，
两式相减得：，
所以.
故答案为：
9．（2024·陕西·模拟预测）已知数列的前项和为，且，则数列的则前项和 .
【答案】
【分析】根据作差得到，再求出，即可求出的通项公式，再利用错位相减法求和.
【详解】由，得，
所以，化简得，
又当时，，解得，
所以数列是等比数列，且公比，首项，
所以，
所以，
故①，
把①得：②，
①②得：③，
③得：④，
③④得：
.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：数列求和的方法技巧
（1）倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．
（2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
（3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
四、解答题
10．（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：，并求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)证明见解析，
【分析】（1）降次作差得到，再验证即可；
（2）代入得到，再利用累加法即可得到答案.
【详解】（1）当时，；
当时，，
，当时，适合上式，
故
（2），
成立，
，
，
，
累加得
即，
.
11．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）记为数列的前n项和，是首项与公差均为1的等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前2024项的和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求，再利用“退位法”可求数列的通项公式；
（2）利用裂项相消法可求.
【详解】（1）由是首项与公差均为1的等差数列得
则，当时，，
两式相减得，，
当时，，也满足上式，故数列的通项公式为．
（2）由（1）得，，
所以数列的前2024项的和为：
【综合提升练】
一、单选题
1．（2024·浙江杭州·二模）设数列满足．设为数列的前项的和，则（ ）
A．110B．120C．288D．306
【答案】A
【分析】利用分组求和法，结合已知，可得答案.
【详解】
.
故选：A.
2．（2024·安徽·三模）记数列的前项和为，若，则（ ）
A．590B．602C．630D．650
【答案】A
【分析】根据作差得到，再计算出，即可得到，再利用并项求和法计算可得.
【详解】因为，
所以，
两式相减可得.
由，，解得，
所以，满足上式，故，
所以
.
故选：A
3．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知数列满足：，，且，则数列前n项的和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由叠加法求出数列通项公式，再代入，求出数列通项公式，再由列项相消法求出.
【详解】由得，，，…，，，
叠加得，
由题可知也适合上式，故；
所以，
则数列前n项的和.
故选：B.
4．（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和满足，若，数列的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出数列的通项公式及，求出数列的通项公式，再利用裂项相消法求和即得.
【详解】数列中，，，当时，；
当时，，两式相减得，整理得，
数列是首项为2，公比为3的等比数列，则，
，
所以.
故选：A
5．（2023·江苏南通·三模）复数的虚部为( ).
A．B．C．1011D．2022
【答案】A
【分析】利用错位相减法求和，结合复数的除法运算求出复数z，即可求得答案.
【详解】由题意得，
所以，
所以
，
所以
，
所以复数z的虚部为1012，
故选：A
6．（2024·全国·二模）数列的奇数项成等比数列，偶数项成等比数列，是数列的前项和，，，，，则（ ）
A．，且
B．当，且时，数列是递减数列
C．
D．
【答案】D
【分析】首先分别求奇数项和偶数项的通项公式，再根据通项公式，判断选项.
【详解】由，所以，
奇数项的首项为，公比，偶数项的首项，公比，
所以，，
A. ，，即，当时，不成立，故A错误；
B.，，，所以当，且时，数列不是递减数列，故B错误；
C.，故C错误；
D.，
，故D正确.
故选：D
7．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知公差不为零的等差数列满足：，且是与的等比中项，设数列满足，则数列的前项和为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，求得，得到，进而得到，结合裂项法求和，即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，
因为，且是与的等比中项，可得，
即，解得，所以，
又由，
可得.
故选：C.
8．（2024·河南·三模）已知等差数列的公差大于0且，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据已知条件及等差数列的通项公式，结合分母有理化及数列求和中的裂项相消法即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，
,解得
.
故选：B．
二、多选题
9．（2024·安徽淮北·二模）已知数列的前项和分别为，若，则（ ）
A．B．
C．的前10项和为D．的前10项和为
【答案】ABD
【分析】本题首先根据题意判断出数列、分别是等差数列、等比数列，求出等比数列的通项公式，进而分析也是等比数列并求出其通项公式，可解决选项A、B、D的问题，再依据裂项法，可解决选项C的问题.
【详解】，所以是首项，公差的等差数列，
，故选项A正确.
令，则，
，
又，，
，故选项C错误.
又，，
又，，，
是首项为，公比的等比数列，
，故选项B正确.
又，
是首项为，公比为的等比数列，
，故选项D正确.
故选：ABD.
10．（23-24高三上·山西忻州·阶段练习）已知数列的前n项积为，，则（ ）
A．B．为递增数列
C．D．的前n项和为
【答案】AD
【分析】根据等比数列的定义可判断为等比数列，进而可求解A，根据即可判断C，根据指数式的单调性即可判断B，根据分组求和结合等比求和公式即可求解D.
【详解】由可得，故为等比数列，且公比为3，首项为，故，进而,A正确，
当时，，所以，
当时，不符合上述表达，
因此，故C错误，
当时， ，由于为单调递增数列，故为单调递减，故B错误，
的前n项和为，故D正确，
故选：AD
11．（2024·山东济南·二模）数列满足，，，表示落在区间的项数，其中，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】由已知列出数列的部分项，得出数列的通项，根据数列的基本性质以及错位相减、裂项相消法求和，再逐一判断各选项即可.
【详解】根据题意，列举可得，数列的前若干项分别为1，2，3，3，4，5，6，6，….
不难发现，.
对于A，根据数列列举可得：1，2，3，3，4，5，6，6，7，8，9，9，10，11，12，12，13，14，15，15，16，17，18，18….
即落在区间上的有8，9，9，10，11，12，12，13，14，15，15，共有11项，因此，故A错误.
对于B，当时，；
当时，；
当时，；
当时，，
所以它们均在中，故B正确.
对于C， ，故C正确.
对于D，根据数列列举可得：1，2，3，3，4，5，6，6，7，8，9，9，10，11，12，12，13，14，15，15，16，17，18，18….，可得，
所以当时，，
而当时，，所以此时不成立，故D错误.
故选:BC.
【点睛】关键点点睛：关于分奇偶列项法求和，主要是对通项做好裂项变形，拆分成合适的项进行消项，如本题中，灵活性比较强.本题属于难题，考察基本数列、数列的基本性质.
三、填空题
12．（2024·江苏泰州·模拟预测）设为数列的前项和，，，则
（1） ；
（2） .
【答案】 / /
【分析】（1）令解方程即可求解；（2）分为奇数和偶数两种情况即可求解.
【详解】（1）令，所以，
所以，（2）因为，
所以，
当为偶数时，可得，
所以，当为奇数时，可得，
所以，
所以.
故答案为：；.
13．（2024·江苏南通·模拟预测）定义：表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，如，.设函数在定义域上的值域为，记中元素的个数为，则 ，
【答案】 3
【分析】分别求出，，时，的值域，可得，，，推得，，利用累加法求出，由数列的裂项相消求和，计算即可.
【详解】由函数在定义域上的值域为，记中元素的个数为，
当时，，可得，，，即，
当时，，可得或，或，或1或2，即，
当时，，可得或1或2，或或，或1或2或4或5或6，即，
当时，函数在定义域上的值域为，记中元素的个数为，
当时，函数在定义域上的值域为，
记中元素的个数为，设，则，，
所以，
则可得递推关系：，
所以,
当时，成立，则，则，
所以，
故答案为：3；
【点睛】关键点点睛：本题考查数列的新定义题，解题关键是找到递推关系：，结合累加法求出数列通项，利用裂项相消求出前项和.
14．（2023·全国·模拟预测）已知数列为公差不为0的等差数列，，且成等比数列，设表示不超过x的最大整数，如，，记，为数列的前项和，则 .
【答案】
【分析】求出通项公式和第项，进而求出数列的通项公式和前项和公式，利用错位相减法即可得出的值.
【详解】由题意，
数列是等差数列，设公差为，
因为成等比数列，
所以，即，
解得或（舍），
所以，则.
当时，，
即，共有个.（
因为，所以，①
则，②
由①-②得，
所以.
故答案为：.
【点睛】本题考查错位相减法，取整函数，等差数列和等比数列的性质和求法，数列求和，考查学生的计算能力和分析问题，处理问题的能力，具有很强的综合性.
四、解答题
15．（2024·山东·模拟预测）设数列满足，且．
(1)求的通项公式；
(2)求的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知可得，累乘法可求的通项公式；
（2）由（1）可得，利用错位相减法可求的前项和.
【详解】（1）由题易知，且，
所以，
所以，
所以也满足该式，
所以．
（2），①
，②
②-①，得．
设，③
则，④
④-③，得，
所以．
16．（2024·河北衡水·三模）已知数列满足：．
(1)请写出的值，给出一个你的猜想，并证明；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)，，猜想是以1为首项，为公比的等比数列，证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，求得的值，猜想得到为等比数列，结合等比数列的定义，作出证明即可；
（2）由（1），结合累加法求得，得到，利用等差数列的求和公式和乘公比错位相减法求和，即可求解.
【详解】（1）解：因为，可得，，，
因此猜想是以1为首项，为公比的等比数列；
下面证明：
因为，即，
又因为，故是以1为首项，为公比的等比数列，
所以数列的通项公式为．
（2）解：由（1）知，当时，，
累加得，
所以，
当时，满足题意，所以对成立；
故，可得
其中，
设，则，
两式相减得，即，
综上可得，数列的前项和．
17．（2024·福建泉州·二模）己知数列和的各项为正，且，是公比3的等比数列．数列的前n项和满足．
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用递推公式可证得数列是等差，可求出数列的通项；利用等比数列的性质，可求出通项；
（2）根据裂项相消和分组求和法求解即可；
【详解】（1）由题设，当时，
由，知，
两式相减得，
（舍）或，即，
∴数列是首项为2，公差为2的等差数列，．
又．
（2）
则
当n为偶数时；
当n为奇数时，．
所以.
18．（2024·广西·模拟预测）记数列的前n项和为，对任意正整数n，有．
(1)求数列的通项公式；
(2)对所有正整数m，若，则在和两项中插入，由此得到一个新数列，求的前91项和．
【答案】(1).
(2)11563.
【分析】（1）利用时，；时，求解即可.
（2）先确定前91项的最后一项，然后分别对其中的和插入的进行求和.
【详解】（1）当时，．
又时，得，也满足上式，
故．
（2）由，所以，
又，所以前91项中有87项来自，
所以
．
19．（2024·四川·模拟预测）已知数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）构造新数列，是等差数列，通过的通项公式得到的通项公式.
（2）由，得到，进而，裂项相消法求和.
【详解】（1）由知，若，则，若，则．
又，所以．
由，可得即（常数），
故是首项为2，公差为1的等差数列，所以．
故．
（2）由得，①
由得，②
①②可得．
当时，，则．
所以
，
所以，
当时，也满足上式，所以．
由上可知，，
所以
，
即．
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2023·江苏徐州·模拟预测）函数满足、，都有，且，则（ ）
A．B．数列单调递减
C．D．
【答案】BCD
【分析】令，推导出，令可判断A选项；分析可知数列为等比数列，求出该数列的通项公式，结合数列单调性的定义可判断B选项；利用基本不等式可判断C选项；利用错位相减法可判断D选项.
【详解】对于A选项，函数满足、，都有，
令，则，即，则，
所以，，A错；
对于B选项，令，，可得，
所以，，且，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，所以，，
所以，，即，
故数列单调递减，B对；
对于C选项，对任意的，，
所以，，
当且仅当时，等号成立，C对；
对于D选项，令，①
则，②
①②可得，
因此，，D对.
故选：BCD.
2．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，，且，若表示不超过的最大整数，则（ ）
A．2015B．2016C．2017D．2018
【答案】B
【分析】先由累加法求出，进而求得，再用裂项相消法求解即可.
【详解】由可得，又，
故数列是以12为首项，8为公差的等差数列，则，
，，，，，
故当时，，则时，，
又适合上式，故，则，
则，
所以，
又，所以.
故选：B.
3．（2024·陕西西安·模拟预测）数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由等差数列的定义可判断是以为首项，2为公差的等差数列，即可利用裂项求和求解.
【详解】将化简为，
所以数列是以为首项，2为公差的等差数列.
所以，即，所以
，
所以.
故选:B.
4．（2024·广东深圳·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，若首项为的数列满足，则数列的前2024项和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】已知数列的前n项和为，做差法计算数列的通项公式，代入，累加法求出数列的通项公式，裂项相消即可求出数列的前2024项和.
【详解】解：，，
当时，，符合，
所以数列的通项公式为.
，，
即，
，
……
，又，累加法可得：，
即，
设数列的前项和为，则.
故选：D
二、多选题
5．（2023·山西大同·模拟预测）已知数列满足，，且，则下列表述正确的有（ ）
A．B．数列是等差数列
C．数列是等差数列D．数列的前项和为
【答案】BD
【分析】根据数列的递推关系先求出的通项公式，然后逐一分析每个选项即可.
【详解】由，得，所以数列是等差数列，
所以，即
对于A，，故A不正确；
对于B，∵，，故是公差为的等差数列，故B正确；
对于C，，则，，所以不是等差数列，故C不正确；
对于D，
所以的前项和为，故D正确．
故选：BD
6．（2023·浙江·二模）定义：若存在正实数M使，则称正数列为有界正数列．已知数列满足，为数列的前n项和．则（ ）
A．数列为递增数列B．数列为递增数列
C．数列为有界正数列D．数列为有界正数列
【答案】BC
【分析】对于A，设，求导后放缩为，从而可知当时，单调递减，即可判断；对于B，由可知数列为递增数列，即可判断；对于C，由A分析，即可判断；对于D，借助不等式，从而可得，即可得到，从而可判断.
【详解】对于A，设，，
当时，，则，
所以当时，，则当时，，
所以当时，单调递减，A错误；
对于B，因为，所以数列为递增数列，B正确；
对于C，由A分析可知，当正实数M为前6项的最大项时，就有，所以数列为有界正数列，C正确；
对于D，令，则，
所以当时，，即在上单调递减，
所以，即，
由，
所以，D错误.
故选：BC
【点睛】关键点睛：
对于A，借助不等式进行放缩，而对于C，借助不等式进行放缩，从而可利用裂项相消法求和.
三、填空题
7．（2023·陕西西安·模拟预测）已知数列和数列，，.设，则数列的前项和 .
【答案】
【分析】首先根据所给的以及求出,再结合错位相减法即可求得.
【详解】,,则，
①，
②，
两式相减得，即
，变形化简可得
.
故答案为：
8．（2024·四川·三模）在数列中，已知，，则数列的前2024项和 ．
【答案】
【分析】由，得到，利用累乘法得到数列的通项公式，再用裂项相消，即可求解.
【详解】因为，所以，
所以，
因此，
故答案为：.
9．（2023·陕西铜川·二模）已知数列的前项和为，且点总在直线上，则数列的前项和 .
【答案】
【分析】由与的关系求出的通项公式，用错位相减法求.
【详解】数列的前项和为，且点总在直线上，所以.
当时，，两式相减得，，
又，所以数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，
∴，∴，
则，
所以，
两式相减得：.
所以，
所以数列的前项和.
故答案为：
四、解答题
10．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知数列的前项和为，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，求得，得出为等比数列，即可求解；
（2）由（1）得到，结合乘公比错位相减法求和，即可求解.
【详解】（1）解：当时，，解得，
当时，由，可得，
两式相减得，所以，即，
又因为，所以是首项为，公比为2的等比数列，
所以，所以数列的通项公式为.
（2）解：由（1）知，，
所以数列的前项和为，
可得，
所以，
所以.
11．（2024·江苏宿迁·三模）在数列中，．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列满足；
①求证：数列是等差数列；
②若，设数列的前n项和为，求证：．
【答案】(1)
(2)①证明见解析 ；②证明见解析
【分析】（1）变形得到，结合，故，从而得到；
（2）①化简得到，利用得到，同理可得，证明出是等差数列；
②求出，结合，得到公差，得到通项公式，所以，裂项相消法求和证明出结论.
【详解】（1）因为，
所以，
所以，
所以，
因为，所以n=1时，，
所以数列是各项为0的常数列，即，
所以．
（2）①由得
所以①
所以②
②-①得：③
所以④
④-③得，所以
即
所以数列是等差数列．
②当时，由得，所以，
又，故的公差为1，所以，
所以，
即
．
【点睛】方法点睛：常见的裂项相消法求和类型：
分式型：，，等；
指数型：，等，
根式型：等，
对数型：，且