考点01 集合（4种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）-2025高考数学一轮精讲讲练（新高考版）

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1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算．
【知识点】
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
2.集合的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)．
(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)．
(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.
(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本运算
常用结论
1．若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集．
2．A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.
【核心题型】
题型一 集合的含义与表示
解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．
【例1】下列四组集合中表示同一集合的为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】根据集合元素的性质逐一判断即可.
【详解】选项A：两个集合中元素对应的坐标不同，A错误；
选项B：集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，B正确；
选项C：两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，C错误；
选项D：是以0为元素的集合，是数字0，D错误.
故选：B
【变式1】已知集合，若下列三个关系有且只有一个正确：①；②；③，则（ ）
A．2B．3C．5D．8
【答案】B
【分析】根据集合相等的定义分类讨论进行求解即可.
【详解】假设①，②错，③对，
因为，
所以有，此时；
假设①，③错，②对，
因为错，必有，而，不符合集合元素的互异性，假设不成立；
假设②，③错，①对，
因为错，所以，
因为错，所以对，而对，因此只能，不符合集合元素的互异性，假设不成立，
综上所述：，
故选：B
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用假设法、应用集合元素的互异性进行判断.
【变式2】（23-24高三下·江西·阶段练习）已知，若，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题目条件得到不等式，求出答案.
【详解】由题意得且，解得．
故选：A
【变式3】（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知集合，，则集合的非空子集个数为（ ）
A．4B．3C．8D．7
【答案】B
【分析】由题意化简集合，得，由此即可进一步求解.
【详解】因为，，因此．
故该集合的非空子集个数为个.
故选：B．
题型二 集合间的基本关系
(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
【例2】在集合的子集中，含有3个元素的子集的个数为 .
【答案】35
【分析】根据给定条件，利用子集的意义，借助组合列式计算即得.
【详解】集合中有7个元素，
所以含有3个元素的子集的个数为.
故答案为：35
【变式1】（2024·海南·模拟预测）已知集合，若，则 .
【答案】2
【分析】根据交集结果可知，结合子集关系分析求解.
【详解】因为，可得，
可知，且，所以.
故答案为：2.
【变式2】集合，，且，则实数 ．
【答案】
【分析】根据集合关系，可得，从而可求解.
【详解】由题意得，
则，解得.
故答案为：.
【变式3】若集合，则实数a的值的集合为 ．
【答案】
【分析】分与两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案.
【详解】当时，满足题意；
当时，应满足，解得；
综上可知，a的值的集合为．
故答案为：．
题型三 集合的基本运算
命题点1 集合的运算
【例3】（23-24高三下·江西·阶段练习）已知集合，集合，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】根据给定条件把集合B写成用形式表示的集合，再与集合A求交集即可.
【详解】依题意，，
而，
所以，.
故选：A
【变式1】（2024·云南红河·二模）设集合，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据集合的运算性质进行判断即可.
【详解】由得，
所以，.
故选：A.
【变式2】（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）已知则（ ）
A．B． C．D．
【答案】D
【分析】由已知集合的交集及补集定义运算即得．
【详解】因
则,故.
故选：D．
命题点2 利用集合的运算求参数的值(范围)
对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．
【例4】（2024·四川凉山·二模）已知集合，，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出函数值域化简集合A，再利用给定的运算结果，借助包含关系求解即得.
【详解】集合，而，
由，得，则，
所以的取值范围为.
故选：B
【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知集合，，若中有2个元素，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据两集合的元素特征和中只有2个元素的要求，可得到关于的不等式组，解之即得.
【详解】因为，，
又，中有2个元素，
所以中的2个元素只能是，则，解得.
故选：A.
【变式2】．已知集合，或，．
(1)求；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出集合，再求出，最后由交集的运算求出；
（2）先求出，再求出，再由充分不必要条件构造关于的方程组，解出即可.
【详解】（1）因为，又，
所以.
（2）或，所以，
因为“”是“”的充分不必要条件，
则，又，
所以.
题型四 集合的新定义问题
解决集合新定义问题的关键
解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．
【例5】（23-24高三下·上海·阶段练习）对于全集R的子集A，定义函数为A的特征函数．设A，B为全集R的子集，下列结论中错误的是（ ）
A．若，则B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据新定义进行验证．
【详解】选项A，，若，则，此时，
若且，则，，若，则，则，所以成立，A正确；
选项B，由补集定义知时，，，
同样知时，，，
所以，B正确；
选项C，时，必有且，因此，
当时，与中至少有一个成立，
因此，而与至少有一个成立，
综上有，C正确；
选项D，当时，若，则，，，
因此，此时不成立，D错误．
故选：D．
【变式1】（2024·河南·模拟预测）定义，若集合，则A中元素的个数为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【分析】利用集合的新定义找到符合条件的元素个数即可.
【详解】由题知y的可能取值有，，，0，1，2，3，则集合A中有7个元素.
故选：B.
【变式2】（2024·黑龙江·二模）已知集合，，定义集合：，则集合的非空子集的个数是（ ）个．
A．16B．15C．14D．13
【答案】B
【分析】先确定集合有四个元素，则可得其非空子集的个数.
【详解】根据题意，，
则集合的非空子集的个数是.
故选：B
【变式3】已知实数集满足条件:若，则，则集合中所有元素的乘积为（ ）
A．1B．C．D．与的取值有关
【答案】A
【分析】根据题意，递推出集合A中所有元素，可得答案．
【详解】由题意，若，，
，
，
，
综上，集合.
所以集合A中所有元素的乘积为.
故选：A.
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．下列说法中正确的是（ ）
A．1与表示同一个集合
B．由1，2，3组成的集合可表示为或
C．方程的所有解的集合可表示为
D．集合可以用列举法表示
【答案】B
【分析】根据集合的相关概念以及表示方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断选择.
【详解】对于A，1不能表示一个集合，故错误；
对于B，因为集合中的元素具有无序性，故正确；
对于C，因为集合的元素具有互异性，而中有相同的元素，故错误；
对于D，因为集合中有无数个元素，无法用列举法表示，故错误.
故选：B.
2．（2024·福建厦门·二模）设集合，，那么集合中满足的元素的个数为（ ）
A．60B．100C．120D．130
【答案】D
【分析】明确集合中满足的含义，结合组合数的计算，即可求得答案.
【详解】由题意知集合中满足的元素的个数，
即指中取值为-1或1的个数和为1或2或3，
故满足条件的元素的个数为（个），
故选：D
3．集合的子集的个数是（ ）
A．16B．8C．7D．4
【答案】D
【分析】首先判断出集合有2个元素，再求子集个数即可.
【详解】易知集合有2个元素，
所以集合的子集个数是.
故选：D.
4．（2024·浙江·模拟预测）已知全集，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据图，即可求解.
【详解】如图，画出图，并将条件中的集合标在图中，

如图，集合．
故选：C
二、多选题
5．（2024·全国·模拟预测）设，，，为集合的个不同子集，为了表示这些子集，作行列的数阵，规定第行第列的数为．则下列说法中正确的是（ ）
A．数阵中第一列的数全是0，当且仅当
B．数阵中第列的数全是1，当且仅当
C．数阵中第行的数字和表明集合含有几个元素
D．数阵中所有的个数字之和不超过
【答案】ABD
【分析】由集合的子集的概念和规定第行与第列的数为，对选项一一判断即可．
【详解】选项A：数阵中第一列的数全是，当且仅当，，，，，故A正确．
选项B：数阵中第列的数全是1，当且仅当，，，，，故B正确．
选项C：数阵中第列的数字和表明集合含有几个元素，故C错误．
选项D：当，，，中一个为本身，其余个子集为互不相同的元子集时，
数阵中所有的个数字之和最大，且为，故D正确.
故选：ABD
6．（2024高三·全国·专题练习）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素小于中的每一个元素，则称为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是（ ）
A．，是一个戴德金分割
B．M没有最大元素，N有一个最小元素
C．M有一个最大元素，N有一个最小元素
D．M没有最大元素，N也没有最小元素
【答案】BD
【分析】根据戴德金分割的定义，结合选项，分别举例，判断正误.
【详解】对于A，因为，，所以，故A错误；
对于B，设，，满足戴德金分割，
此时没有最大元素，有一个最小元素为0，故B正确；
对于C，若有一个最大元素，有一个最小元素，
则不能同时满足，，故C错误；
对于D，设，，满足戴德金分割，
此时没有最大元素，也没有最小元素，故D正确．
故选：BD.
三、填空题
7．已知集合，且，则 ．
【答案】2
【分析】根据集合自己的概念即可求解．
【详解】∵，且，
∴集合A里面的元素均可在集合B里面找到，
∴a=2．
故答案为：2
四、解答题
8．已知集合，，全集，且，
(1)求集合；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据补集的定义和运算即可求解；
（2）根据交集的定义和运算即可求解.
【详解】（1）因为，
所以.
（2），由（1）知，
.
9．已知集合，.
(1)求及；
(2)求.
【答案】(1)，
(2)
【分析】利用交集，并集及补集运算直接求解.
【详解】（1）集合，,
故，
（2）.
【综合提升练】
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知集合，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先求出一元二次不等式的解集，依题借助于数轴得到关于的不等式组，解之即得.
【详解】或，或，
又，解得.
故选:D.
2．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据集合的并集与补集运算即可.
【详解】因为，所以，又，
所以．
故选：D.
3．（23-24高三下·湖北·阶段练习）已知集合，，若定义集合运算：，则集合的所有元素之和为（ ）
A．6B．3C．2D．0
【答案】A
【分析】计算出的所有取值即可得.
【详解】可为、，可为、，有、、，
故，所以集合的所有元素之和为6.
故选：A．
4．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分析集合A可知或，结合并集和补集的定义与运算即可求解.
【详解】对于集合中的元素，
当，时，；当，时，，
所以或或，
故.
故选：B．
5．设全集，集合．集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求集合，再结合集合间的运算求解.
【详解】因为等价于，解得，即，
又因为，可得，
所以.
故选：D.
6．（2024·陕西咸阳·二模）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】计算出集合、后，借助补集定义及交集定义即可得.
【详解】由，即，解得，故，
由，可得，即或，故，
故.
故选：B.
7．已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当（其中正整数、且）或（其中正整数、且）．现有如下两个命题：①；②集合．则下列判断正确的是（ ）
A．①对②对B．①对②错C．①错②对D．①错②错
【答案】A
【分析】根据集合的定义即可判断①是假命题，根据集合的定义先判断，，再由，有，，且，所以，可判断 ②是真命题.
【详解】因为若，则当且仅当其中且，或其中且，
且集合是由某些正整数组成的集合，
所以，，
因为，满足其中且，所以，
因为，且，，所以，
因为，，，所以，故①对；
下面讨论元素与集合的关系，
当时，；
当时，，，，所以；
当时，，，，所以；
当时，，，，所以；依次类推，
当时，，，，
所以，则，故②对.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于判断，，，，再根据集合的定义求解.
8．已知函数，为高斯函数，表示不超过实数的最大整数，例如，.记，，则集合，的关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意分别求出集合，然后利用集合的交集运算从而求解.
【详解】由题意得，所以，
因为，所以，所以，所以，，
当时，，，此时，
当时，，，此时，
当时，，此时，
综上：，所以，故C正确.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：根据高斯函数对分情况讨论具体的取值求出集合，从而求解.
二、多选题
9．若全集，，，则集合等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】根据交并补的混合运算逐个选项判断即可.
【详解】对A，，，故，故A错误；
对B，，故，故B正确；
对C，，故，故C正确；
对D，，故，故D正确.
故选：BCD
10．（2024·辽宁辽阳·一模）已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】求出集合，根据集合的运算即可判断A，B；结合，可判断C；由，结合判别式，可求得a的范围，即可判断D.
【详解】由题意得，
故，，A错误，B正确；
由于，故，则，C正确；
若，则能取到所有的正数，
即，则或，
即，D正确，
故选：BCD
11．已知集合满足，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则中的元素的个数为1
B．若，则中的元素的个数为15
C．若，则中的元素的个数为45
D．若，则中的元素的个数为78
【答案】BCD
【分析】对于A，由集合的定义即可列举出集合中所有的元素即可判断；对于B，中的元素均为正奇数，对分类讨论即可验算；对于C，原问题等价于将11个大小相同、质地均匀的小球分给甲､乙､丙3个人，每人至少分1个，利用隔板法即可验算；对于D，原问题等价于将14个大小相同、质地均匀的小球分给甲、乙、丙3个人，每人至少分1个，利用隔板法验算即可.
【详解】由题意得，所以中的元素的个数为，A错误.
由题意得中的元素均为正奇数，在中，
当时，有共5个元素，
当时，有共4个元素，
当时，有共3个元素，
当时，有共2个元素，
当时，有共1个元素，
所以中的元素的个数为，B正确.
，可转化为将11个大小相同、质地均匀的小球分给甲､乙､丙3个人，每人至少分1个，
利用隔板法可得分配的方案数为，所以中的元素的个数为45，C正确.
，
可转化为将14个大小相同、质地均匀的小球分给甲、乙、丙3个人，每人至少分1个，
利用隔板法可得分配的方案数为，所以中的元素的个数为，D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：判断CD选项的关键是将问题进行适当的转换，并利用隔板法，由此即可顺利得解.
三、填空题
12．已知集合，，若，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】依题意可得，即可求出的取值范围，从而得解.
【详解】因为，且，
所以，则，所以的最大值为.
故答案为：
13．（2024·广东湛江·一模）已知全集为实数集，集合，，则 ．
【答案】
【分析】解不等式可分别求得集合，根据并集和补集定义可得到结果.
【详解】由得：，即；
由得：，即，，.
故答案为：.
14．（2024·辽宁·一模）已知集合，，则 ， .
【答案】
【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得.
【详解】由，即，解得，
所以，
又，所以.
故答案为：；
四、解答题
15．（2024高三·全国·专题练习）已知集合A＝{x|x2－2x＋a＝0}，B＝{1，2}，且A⊆B，求实数a的取值范围．
【答案】[1，＋∞).
【详解】解：若A＝∅，则Δ＝4－4a＜0，解得 a＞1；
若1∈A，由1－2＋a＝0得a＝1，此时A＝{1}，符合题意；
若2∈A，由4－4＋a＝0得a＝0，此时A＝{0，2}，不符合题意．
综上，实数a的取值范围是[1，＋∞).
【考查意图】利用集合间的关系求参数的取值范围．
16．（2024高三·全国·专题练习）已知集合A＝{x|x2－4x－5≤0}，B＝{x|2x－6≥0}，M＝A∩B.
(1)求集合M；
(2)已知集合C＝{x|a－1≤x≤7－a，a∈R}，若M∩C＝M，求实数a的取值范围．
【答案】(1)[3，5]
(2)（－∞，2]
【详解】（1） 由x2－4x－5≤0，得－1≤x≤5，
所以A＝[－1，5].
由2x－6≥0，得x≥3，所以B＝[3，＋∞）.
所以M＝[3，5].
（2） 因为M∩C＝M，所以M⊆C，
则解得a≤2.
故实数a的取值范围是（－∞，2].
17．已知为实数，设集合．
(1)设集合，若，求实数的取值范围．
(2)若集合，求实数的取值范围；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据包含关系可得，故可求参数的取值范围.
（2）根据解集为可得判别式的符号，故可求参数的取值范围.
【详解】（1），因为，故，故即.
（2）因为，故即在上恒成立，
故，故.
18．对于集合，定义函数．对于两个集合，定义集合．已知集合．
(1)求与的值；
(2)用列举法写出集合；
(3)用表示有限集合所包含元素的个数．已知集合是正整数集的子集，求的最小值，并说明理由.
【答案】(1)，；
(2)；
(3)4.
【分析】（1）根据给定的定义计算即得.
（2）求出，再结合定义及运算写出集合.
（3）根据给定的定义分析得出取最小值的条件，即可求得答案.
【详解】（1）依题意，，所以，.
（2）由，得，
因此属于不属于的元素为，属于不属于的元素为，
所以.
（3）依题意，对于集合，，
①若且，则，
②若且，则，
因此要使的值最小，3，5，9一定属于集合，
是否属于集合不影响的值，集合不能含有之外的元素，
所以当为集合的子集与集合的并集时，取得最小值.
【点睛】关键点点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义进行集合的分拆并结合集合元素的性质、包含关系以及集合运算等知识综合解决.
19．对于数集，其中，，定义向量集，若对任意，存在，使得，则称X具有性质P．
(1)设，请写出向量集Y并判断X是否具有性质P（不需要证明）．
(2)若，且集合具有性质P，求x的值；
(3)若X具有性质P，且，q为常数且，求证：．
【答案】(1)，具有性质；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据向量集Y的定义，结合的元素，直接写出，再判断是否满足性质即可；
（2）根据性质的定义，任取，，讨论的取值，结合的范围，即可求得的取值；
（3）根据性质的定义推出为定值，结合，即可推证.
【详解】（1）根据向量集的定义可得：
，
若，则存在，使得，
同理亦可证明对任意，也满足性质，
故具有性质P．
（2）对任意a，，都存在c，，使得，
即对于，都存在，使得，其中a，b，c，，
因为集合具有性质P，
选取，，则有，
假设，则有，解得，这与矛盾，
假设，则有，解得，这与矛盾，
假设，则有，解得，这与矛盾，
假设，则有，解得，满足，故；
经检验，集合具有性质P．
（3）证明：取，设且满足，
由得，从而s，t异号，
∵－1是x中唯一的负数，
∴s，t中一个为－1，另一个为1，故．
因为，所以，
X具有性质P，取，，
设，因为，且c，d中的正数大于等于1，
所以只能，
所以，．
又X中只有个大于1的正数，
即，
且，这个大于1的正整数都属于集合X，
所以只能，，…，
即，
即．
【点睛】关键点点睛：处理本题第三问的关键是能够根据性质的定义，推出，以及为定值，进而根据X中只有个大于1的正数解决问题.
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2023·上海宝山·一模）已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当其中且，或其中且.现有如下两个命题: ①；②集合.则下列选项中正确的是（ ）
A．①是真命题， ②是真命题；B．①是真命题， ②是假命题
C．①是假命题， ②是真命题；D．①是假命题， ②是假命题.
【答案】C
【分析】根据集合的定义即可判断①是假命题，根据集合的定义先判断，，再由，有，，且，所以，可判断 ②是真命题.
【详解】因为若，则当且仅当其中且，或其中且，
且集合是由某些正整数组成的集合，
所以，，
因为，满足其中且，所以，
因为，且，，所以，故①是假命题；
记，
当时，，因为，，，所以；
下面讨论元素与集合的关系，
当时，，当时，，，，所以，
当时，，，，所以，
当时，，，，所以，依次类推，
当时，，，，所以，
下面讨论时，集合中元素与集合的关系，
因为，有，，且，所以，
综上所述，，有，
即，故②是真命题.
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于判断，，，，再根据集合的定义求解.
2．已知函数，若非空集合，满足，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】不妨设的解集为，从而得，进而得到且，又，为方程的两个根，可得，由此得到关于的不等式组，解之即可得解.．
【详解】因为，
不妨设的解集为，则由得，
所以，
又，，所以且，
因为的解集为，所以是，即的两个根，
故，即，
此时由，得，则，
因为，显然，且开口向上，对称轴为，
所以，则，
又，解得，即.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于假设的解集为，进而得到且，从而得解.
3．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解即得.
【详解】集合，，所以.
故选：D
4．（2024·全国·模拟预测）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求解不等式和求函数的值域得到集合的范围，再根据交并补和集合间的关系的定义分别判断各选项即得.
【详解】，，
因故A项错误；
由，知B项错误；
由知C项错误；
因，故D项正确.
故选：D.
5．（23-24高三上·上海·期中）设且，n为正整数，集合．有以下两个命题：①对任意a，存在n，使得集合S中至少有2个元素；②若存在两个n，使得S中只有1个元素，则，那么（ ）
A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题
C．①、②都是假命题D．①、②都是真命题
【答案】A
【分析】
对于①命题，令函数，分和两种情况，利用零点存在定理得即可判断；对于②命题，通过举例说明.
【详解】对于①命题，设，令函数，
因为，，
所以存在有，
当时，，
所以存在有，
对于，因为是偶函数，
所以和情况一样，故①是真命题；
对于②命题，通过①得出一下结论：越小，集合元素数量越少，同理得出如果集合只能有一个元素，只能是的区间存在一个零点，
因此先讨论的零点情况（如果只有一个零点，也只有一个零点），
其图象如下图：

即时，也满足
故②是假命题.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于零点存在定理的应用以及由①得出的结论.
二、多选题
6．设集合是实数集的子集，如果点满足：对任意，都存在，使得，称为集合的聚点，则在下列集合中，以0为聚点的集合有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据集合聚点的定义，逐一分析每个集合中元素的性质，并判断是否满足集合聚点的定义，从而得到答案.
【详解】对于集合，对任意的，都存在，使得，
所以0是集合的聚点，A选项正确；
对于集合，对于某个实数，比如，
此时对任意的，都有，
也就是说不可能，从而0不是集合的聚点，B选项错误；
对于集合，对任意的，都存在，即，
使，所以0是集合的聚点，C选项正确；
对于集合，，随着n增大而增大，
的最小值为，故当时，即不存在x，使得，D选项错误.
故选：AC
【点睛】关键点点睛：集合新定义的应用，其中解答中认真审题，正确理解集合的新定义——集合中聚点的含义，结合集合的表示及集合中元素的性质，逐项判定是解答的关键，着重考查推理与论证能力.
7．下列说法正确的是（ ）
A．已知集合，，则
B．终边落在轴上的角的集合可表示为
C．若，则
D．在中，若，则为等腰三角形
【答案】AC
【分析】根据集合，表示终所在的位置，即可判断A；根据角度与弧度不能混用即可判断B；根据辅助角公式结合正弦函数的性质即可判断C；由题意可得或，即可判断D.
【详解】集合表示终边落在直线上角的集合，
集合表示终边落在直线及坐标轴上角的集合，因此A正确；
B选项出现角度与弧度混用错误；
C选项，即，即，
所以，解得，故C正确；
D选项，若，
因为，所以，
所以或，所以或，
所以为等腰三角形或直角三角形，故D错误．
故选：AC.
三、填空题
8．（23-24高三下·上海·开学考试）已知集合，集合，若，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】由题意分集合是否为空集进行讨论，结合，列出相应的不等式（组），从而即可得解.
【详解】集合，集合，且，
若，则，即，此时满足，即满足题意；
若，则，即，此时若要使得，
则还需或，解得或，
注意到此时，从而此时满足题意的的范围为或；
综上所述，实数的取值范围为.
故答案为： .
9．（2024·四川遂宁·二模）已知等差数列的公差为，集合有且仅有两个元素，则这两个元素的积为 ．
【答案】/
【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答.
【详解】，
则，
其周期为，而，即最多3个不同取值，
集合有且仅有两个元素，设，
则在中，或，
或，又，即，
所以一定会有相邻的两项相等，设这两项分别为,
于是有，即有，解得，
不相等的两项为，
故，.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：此题关键是通过周期性分析得到相等的项为相邻的两项，不相等的两项之间隔一项，从而求得答案.
10．（23-24高三上·江西·期末）定义：有限集合，则称为集合的“元素和”，记为.若集合，集合的所有非空子集分别为，，…，，则 .
【答案】
【分析】根据错位相减可得中的元素和，根据每一个元素在子集中出现的次数为，因此，即可求解．
【详解】由题意知集合中的元素分别为，，，，，
设①，则②，
①②，得，所以．
由于集合中每一个元素在子集中出现的次数为，所以．
故答案为：．
四、解答题
11．设自然数，由个不同正整数构成集合，若集合的每一个非空子集所含元素的和构成新的集合，记为集合元素的个数
(1)已知集合，集合，分别求解．
(2)对于集合，若取得最大值，则称该集合为“极异集合”
①求的最大值（无需证明）．
②已知集合是极异集合，记求证：数列的前项和．
【答案】(1),；
(2)①；②证明见解析
【分析】（1）根据定义求出集合的子集个数即可得出结果；
（2）①根据元素个数可得集合共有个非空子集，的最大值为 ；
②根据极异集合的定义，利用等比数列前项和即可得只需证明，再由元素互异性和元素的取值范围可得结论.
【详解】（1）已知集合的非空子集有15个：
计算可得，即．
集合的非空子集有15个：
计算可得，即
（2）①集合共有个非空子集，的最大值为
②，

即证
不妨设，即的非空子集中元素和最小的子集的为，最大的为
集合是极异集合，，代表有个不同的正整数，
即，
所以中有个元素，由元素互异性可得
又，即可得，
因此数列的前项和.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解新的定义，并结合数列及其前项和性质进行化简计算，并由集合元素的互异性得出结论.
12．（23-24高三下·北京·阶段练习）设k是正整数，A是的非空子集（至少有两个元素），如果对于A中的任意两个元素x，y，都有，则称A具有性质．
(1)试判断集合和是否具有性质？并说明理由．
(2)若．证明：A不可能具有性质．
(3)若且A具有性质和．求A中元素个数的最大值．
【答案】(1)不具有性质，具有性质，理由见解析
(2)证明见解析
(3)920
【分析】（1）根据定义判断是否具有性质即可；
（2）将分为个子集，结合抽屉原理证明结论；
（3）先证明连续个自然数中至多有个元素属于，由此可得集合A中元素个数不超过个，再举例说明存在含有个元素的满足要求的集合.
【详解】（1）因为，又，
但，所以集合不具有性质，
因为，又，
但，
所以集合具有性质.
（2）将集合中的元素分为如下个集合，
，
所以从集合中取个元素，则前个集合至少要选10个元素，
所以必有个元素取自前个集合中的同一集合，即存在两个元素其差为，
所以A不可能具有性质.
（3）先说明连续11项中集合中最多选取5项，
以为例.
构造抽屉，，，，，，.
①同时选，因为具有性质和，
所以选5则不选；选6则不选；选7则不选；
则只剩. 故中属于集合的元素个数不超过5个.
②选2个，
若只选，则不可选，又只能选一个元素，
可以选，故中属于集合的元素个数不超过5个.
若选，则只能从中选，但不能同时选，
故中属于集合的元素个数不超过5个.
若选，则不可选，又只能选一个元素，
可以选，故中属于集合的元素个数不超过5个.
③中只选1个，
又四个集合，，，每个集合至多选1个元素，
故中属于集合的元素个数不超过5个.
由上述①②③可知，连续11项自然数中属于集合的元素至多只有5个，
如取.
因为2023=183×11+10，则把每11个连续自然数分组，前183组每组至多选取5项；
从2014开始，最后10个数至多选取5项，故集合的元素最多有个.
给出如下选取方法：从中选取；
然后在这5个数的基础上每次累加11，构造183次.
此时集合的元素为：；；；；
，共个元素.
经检验可得该集合符合要求，故集合的元素最多有个.
【点睛】关键点点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.
13．（2024·北京·模拟预测）已知集合，其中都是的子集且互不相同，记的元素个数，的元素个数.
(1)若，直接写出所有满足条件的集合；
(2)若，且对任意，都有，求的最大值；
(3)若且对任意，都有，求的最大值.
【答案】(1)或或或
(2)
(3)
【分析】（1）根据新定义对交集情况分类讨论即可；
（2）将集合的子集进行两两配对得到16组，写出选择的16个含有元素1的子集即可得到；
（3）分中有一元集合和没有一元集合但有二元集合，以及均为三元集合讨论即可.
【详解】（1）因为，则和的元素个数均为1，
又因为，则，
若，，则或；
若，，则或；
综上或或或.
（2）集合共有32个不同的子集，
将其两两配对成16组，
使得，则不能同时被选中为子集，故.
选择的16个含有元素1的子集:，符合题意.
综上，.
（3）结论:，令，集合符合题意.
证明如下：
①若中有一元集合，不妨设，则其它子集中都有元素1，且元素都至多属于1个子集，
所以除外的子集至多有个，故.
②若中没有一元集合，但有二元集合，不妨设.其它子集分两类:
或，和或，
其中互不相同，互不相同且均不为1，2.
若，则，有
若，则由得每个集合中都恰包含中的1个元素（不是2)，且互不相同，
因为中除2外至多还有2个元素，所以.
所以.
③若均为三元集合，不妨设.将其它子集分为三类：
，其中.
若，则(除1，2，3外，其它元素两个一组与1构成集合)，
所以.
若，不妨设，则由得每个集合中都或者有4、或者有5，
又中除1外无其它公共元素，所以.
所以.
综上，.
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是充分理解集合新定义，然后对中集合元素个数进行分类讨论；当均为三元集合时，不妨设，再将其它子集分为三类讨论.
集合
非负整数集(或自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
表示
运算
集合语言
图形语言
记法
并集
{x|x∈A，或x∈B}
A∪B
交集
{x|x∈A，且x∈B}
A∩B
补集
{x|x∈U，且x∉A}
∁UA