2024-2025学年安徽省宿州市泗县一中高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年安徽省宿州市泗县一中高二（上）期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知{a,b,c}是空间向量的一个基底，则可以与向量p=a+b，q=a−b构成基底的向量是( )
A. aB. bC. a+2bD. a+2c
2.设x，y∈R，向量a=(x,1,1)，b=(1,y,1)，c=(2,−2,2)，且a⊥c，b//c，则|a+b|=( )
A. 2 2B. 3C. 5D. 4
3.已知公差不为零的等差数列{an}中，a3+a5+a7=12，a1，a3，a6成等比数列，则等差数列{an}的前8项和S8为( )
A. 20B. 30C. 35D. 40
4.过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程为( )
A. 2x+y−4=0B. x+2y−5=0C. x+3y−7=0D. 3x+y−5=0
5.已知⊙M：x2+y2−2x−2y−2=0，直线l：2x+y+2=0，P为l上的动点.过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当四边形PAMB面积最小时，直线AB的方程为( )
A. 2x−y−1=0B. 2x+y−1=0C. 2x+y+1=0D. 2x−y+1=0
6.已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线C2：x2m2−y2n2=1(m>0,n>0)有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，且∠F1PF2=60°，若椭圆离心率e1= 22，则双曲线C2的离心率e2=( )
A. 72B. 62C. 2D. 3
7.在圆幂定理中有一个切割线定理：如图1所示，QR为圆O的切线，R为切点，QCD为割线，则QR2=QC⋅QD.如图2所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(−1,0)，点P是圆O:x2+y2=4上的任意一点，过点B1,0作直线BT垂直AP于点T，则2|PA|+3|PT|的最小值是( )
A. 6 2B. 8 2C. 4 2D. 2 2
8.已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=(2n−1)⋅2n.设bn=2n+1nan，Sn为数列{bn}的前n项和．若Sn0与双曲线x2m2−y2n2=1(m>0,n>0)具有相同的焦点F1，F2，且在第一象限交于点P，设椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，若∠F1PF2=π3，则e12+e22的最小值为_______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知平行六面体ABCD−A1B1C1D1，底面是正方形，AD=AB=2，AA1=1，∠A1AB=∠DAA1=60°，A1C1=3NC1，D1B=2MB，设AB=a,AD=b,AA1=c．
(1)试用a、b、c表示AN；
(2)求MN的长度．
16.(本小题15分)
已知斜率k=−12且过点A(5,−4)的直线l1与直线l2：x−2y−5=0相交于点C．
(1)求以点C为圆心且过点B(4,2)的圆C的标准方程：
(2)求过点Q(−3,1)且与(1)中的圆C相切的直线方程．
17.(本小题15分)
在如图1所示的图形中，四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，△PAD和△BCQ均为直角三角形，∠PDA=∠QCB=90°，PD=AD=2CQ=2，现沿AD，BC将△PAD和△BCQ进行翻折，使PD//QC(PD,QC在平面ABCD同侧)，如图2．

(1)当二面角P−AD−B为90°时，判断DQ与平面PAB是否平行；
(2)探究当二面角P−AD−B为120°时，平面PBQ与平面PBD是否垂直；
(3)在(2)的条件下，求平面PBD与平面QBC夹角的余弦值．
18.(本小题17分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=32an−12，n∈N∗，数列{bn}满足：b1=a1，b2=3，bn+bn+2=2bn+1，n∈N∗．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)求数列{an⋅bn}的前n项和Tn；
(3)若不等式k⋅(23)n⋅an+1−bn+6≥0对任意n∈N∗恒成立，求实数k的取值范围．
19.(本小题17分)
已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点是F1,F2，且C1的离心率为 32.抛物线C2:y2=2px(p>0)的焦点为F2，过OF2的中点Q垂直于x轴的直线截C2所得的弦长为2 6．
(1)求椭圆C1的标准方程；
(2)设椭圆C1上一动点T满足：OT=λOA+2μOB，其中A,B是椭圆C1上的点，且直线OA,OB的斜率之积为−14.若N(λ,μ)为一动点，点P满足 PQ=12F1F2.试探究|NP|+|NQ|是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由．
参考答案
1.D
2.C
3.B
4.B
5.C
6.B
7.A
8.D
9.ACD
10.BCD
11.ACD
12.5
13.{34}∪(1,+∞)
14.2+ 32
15.解：(1)AN=AC+CC1+C1N=AB+AD+AA1−13A1C1
=AB+AD+AA1−13(AB+AD)=23AB+23AD+AA1
=23a+23b+c；
(2)∵D1B=2MB，∴M是线段D1B的中点，
∴A、M、C1三点共线，且M是线段AC1的中点，
∴AM=12AC1=12(a+b+c)，
∴MN=AN− AM=(23a+23b+c)−12(a+b+c)
=16a+16b+12c，
∵|a|=2，|b|=2，|c|=1，a⋅b=0，a⋅c=2×1×cs60°=1，b⋅c=2×1×cs60°=1，
∴|MN|= (16a+16b+12c)2= 136a2+136b2+14c2+16a⋅c+16b⋅c+118a⋅b
= 19+19+14+16+16+0= 296．
即MN的长度为 296．
16.解：(1)l1：y+4=−12(x−5)即x+2y+3=0，l2：x−2y−5=0；
由x+2y+3=0x−2y−5=0，得x=1y=−2，即C(1,−2)．
因为B(4,2)，所以|CB|=5；
所以圆C的方程为：(x−1)2+(y+2)2=25；
(2)因为点Q(−3,1)在圆C上，设过Q点圆的切线方程为l，
显然l斜率存在，可设为k，
则l的方程为y−1=k(x+3)即kx−y+3k+1=0，
点C(1,−2)到直线l的距离为d=|4k+3| k2+1=5，
即k=43，
即所求直线的方程为4x−3y+15=0，
所以过Q点圆C的切线方程为方程4x−3y+15=0．

17.解：(1)若二面角P−AD−B为90°，则平面PAD⊥平面ABCD，
因为平面PAD∩平面ABCD=AD，且PD⊥AD，所以PD⊥平面ABCD，
如图，以D为坐标原点，DA,DP的方向分别为x，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则P(0,0,2),D(0,0,0),B(1, 3,0),Q(−1, 3,1),A(2,0,0)，

设平面PAB的法向量为n=(x,y,z)，因为BP=(−1,− 3,2),BA=(1,− 3,0)，
所以n⋅BP=−x− 3y+2z=0,n⋅BA=x− 3y=0,
令x=3，得n=(3, 3,3)，
因为DQ=(−1, 3,1)，
所以DQ⋅n=−1×3+ 3× 3+1×3≠0，
所以DQ不与平面PAB平行．
(2)取BC的中点E，连接DE，则DE⊥AD，
因为AD⊥PD，所以二面角P−AD−B的平面角为∠PDE，即∠PDE=120°，
如图，以D为坐标原点，DA,DE的方向分别为x，y轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则P(0,−1, 3),D(0,0,0),B(1, 3,0)，Q(−1, 3−12, 32)，

设平面PBD的法向量为m=(x1,y1,z1)，因为DB=(1, 3,0),DP=(0,−1, 3)，
所以m⋅DB=x1+ 3y1=0,m⋅DP=−y1+ 3z1=0,令z1=1，得m=(−3, 3,1)，
设平面PBQ的法向量为n=(x2,y2,z2)，
因为BP=(−1,− 3−1, 3),BQ=(−2,−12, 32)，
则n⊥BPn⊥BQ，所以n⋅BP=−x2−( 3+1)y2+ 3z2=0n⋅BQ=−2x2−12y2+ 32z2=0,
令x2= 3，得n=( 3,3,4+ 3)，
因为m⋅n=4+ 3≠0，
所以m,n不垂直，所以平面PBQ不与平面PBD垂直．
(3)在(2)中的坐标系中，设平面QBC的法向量为p=(x,y,z)，
因为BC=(−2,0,0),BQ=(−2,−12, 32)，
则p⊥BCp⊥BQ，所以p⋅BC=−2x=0,p⋅BQ=−2x−12y+ 32z=0,
令z=1，得p=(0, 3,1)，
设平面PBD与平面QBC的夹角为θ，
则csθ=|cs|=|m⋅p||m||p|=42 13=2 1313，
所以平面PBD与平面QBC夹角的余弦值为2 1313．
18.解：(1)∵Sn=32an−12，
∴当n=1时，a1=32a1−12，∴a1=1，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=32an−32an−1，
∴an=3an−1，
∴数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列，
∴an=3n−1，
∵b1=a1=1，b2=3，bn+bn+2=2bn+1，
∴数列{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，
∴bn=1+2(n−1)=2n−1．
(2)an⋅bn=(2n−1)⋅3n−1，
∴Tn=1×30+3×31+5×32+……+(2n−1)⋅3n−1，
∴3Tn=1×31+3×32+5×33+……+(2n−1)⋅3n，
两式相减得−2Tn=1+2(31+32+……+3n−1)−(2n−1)⋅3n，
∴−2Tn=1+2×3(1−3n−1)1−3−(2n−1)⋅3n，
∴−2Tn=−2−(2n−2)⋅3n
∴Tn=1+(n−1)⋅3n．
(3)若不等式k⋅(23)n⋅an+1−bn+6≥0对任意n∈N∗恒成立，
∴k⋅(23)n⋅3n−(2n−1)+6≥0对任意n∈N∗恒成立，
∴k⋅2n−2n+7≥0对任意n∈N∗恒成立，
∴k≥2n−72n对任意n∈N∗恒成立，
设f(n)=2n−72n，n∈N∗，
∴f(n+1)−f(n)=2(n+1)−72n+1−2n−72n=2n−5−2(2n−7)2n+1=9−2n2n+1，
∴当1≤n≤4时，f(n+1)−f(n)>0，即f(n+1)>f(n)，所以f(n)单调递增，
当n≥5时，f(n+1)−f(n)