2024-2025学年江苏省宿迁市泗阳县高二（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省宿迁市泗阳县高二（下）期中数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知a=(2,−3,1)，b=(−2,1,x)，若a⊥b，则x的值为( )
A. 7B. −8C. 6D. −5
2.(2x3−12x2)n展开式中的第7项为常数项，则n的值为( )
A. 7B. 8C. 9D. 10
3.3张卡片的正、反面分别写有数字1和2、3和4、5和6.将这3张卡片排成一排，可构成不同的三位数的个数为( )
A. 120B. 48C. 8D. 6
4.在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1，P为B1C1的中点，则直线BP与平面ACC1A1所成角的正弦值为( )
A. 1510B. 3 516C. 104D. 3 1517
5.在四棱锥P−ABCD中，AB=(2,3,−1)，AC=(−2,0,1)，AP=(3,−1,−2)，则该四棱锥的高为( )
A. 2 53B. 23C. 12D. 55
6.6名同学排成一排照相，其中甲、乙两人相邻的排法共有( )
A. 240种B. 360种C. 480种D. 540种
7.若(2+x)10=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a10(1+x)10，则a2=( )
A. 30B. 45C. 60D. 90
8.将6封不同的信放入编号为1，2，3，4的4个邮筒，则恰有2个空邮筒的不同的放法共有( )
A. 372种B. 380种C. 492种D. 496种
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.数学竞赛小组有高一学生2人，高二学生4人，高三学生6人，则( )
A. 若每个年级各选1名学生外出培训，则共有12种不同的选法
B. 若选派2名学生外出培训，这2人来自不同年级，则共有44种不同的选法
C. 若选派3名学生外出培训，恰好有1人来自高二年级，则有116种不同的选法
D. 若选派3名学生外出培训，高三年级的甲乙两位同学不能同时参加，则共有210种不同的选法
10.若(x− ax2)6展开式中的常数项为60，则( )
A. 展开式中第4项的二项式系数最大B. 实数a的值为4
C. 展开式中奇数项的二项式系数和为64D. 展开式中系数最大的项是第5项
11.正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P满足AP=xAB+yAD+zAA1(x,y,z∈[0,1])，若正方体棱长为1，则下列正确的有( )
A. 若x=0，y+z=1，则C1P//平面AB1C
B. 若x+y+z=1，则三棱锥P−B1CD1的体积为定值13
C. 若2x=y=z，则点P到直线D1D的距离的最小值为 55
D. 若x+z=23，y=13，则二面角P−A1D1−B1的正弦值的最小值为3 1313
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知a=(1,0,2)，b=(−5,2,3)，则向量b在向量a上的投影向量是______．
13.(1+2x)5(1−3x)的展开式中含x2项的系数为______．
14.在华为的三进制数据处理研究中，设计了一种独特的三进制编码规则.将一个长度为8位的三进制数按位权展开并转化为十进制数，例如三进制数a7a6a5a4a3a2a1a0，转化为十进制数N=a3×37+a4×36+a5×35+a4×34+a3×33+a2×32+a1×31+a0×30，其中ai∈{−1,0,1}，i=0，1，2，…7，则三进制数00001110对应的十进制数为______，现有一个8位三进制数，包含3个−1，3个0，2个1，若要求首位a7不能为0，且相邻两位不能同时为−1，则这样的不同的三进制数个数共有______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在平行六面体ABCD−A′B′C′D′中，AB=AD=AA′=1，∠DAB=90°，∠A′AB=∠A′AD=60°，点O为BC′的中点，AO=xAB+yAD+zAA′．
(1)求x+y+z的值；
(2)求AO与DC所成的角的余弦值．
16.(本小题15分)
有6名同学报名参加数学、物理、化学三科兴趣小组，每人选择一个小组.(数字作答)
(1)求一共有多少种不同的报名方法；
(2)若三科均要有人报名，求一共有多少种不同的报名方法；
(3)若甲乙两人都不报化学学科，且每个学科都要有人报名，求一共有多少种不同的报名方法．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，E为AD的中点，BD⊥PB，PA⊥AB，BE//CD，CD⊥AD，PA=AE=BE=2，CD=1．
(1)求平面PED与平面PBC所成角的正弦值；
(2)在线段PE上是否存在点M，使得DM//平面PBC？若存在，求出点M的位置；若不存在，说明理由．
18.(本小题17分)
设(1−2x)10=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a10x10．
(1)求实数a2的值；
(2)求−a12+a222−a323+…+(−1)10a10210的值；
(3)求i=310i(i−1)ai的值．
19.(本小题17分)
在空间直角坐标系O−xyz中，定义：过点A(x0,y0,z0)，且方向向量为m=(a,b,c)的直线方向式方程为x−x0a=y−y0b=z−z0c(abc≠0)；过点A(x0,y0,z0)，且法向量为n=(a,b,c)(a2+b2+c2≠0)的平面法向式方程为a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0，将其整理成一般式方程为ax+by+cz−d=0，其中d=ax0+by0+cz0.已知直线l的方向式方程为x−1 2=y+22=−z，平面α的一般式方程为2x− 2y+z+5=0，平面β的一般式方程为2x+3y+z−1=0，平面γ的一般式方程为x−y−2z+4=0，平面μ的一般式方程为(2m+1)x+(3m+2)y+(m+1)z−5=0．
(1)求直线l与平面α所成角的余弦值；
(2)求β与γ所成角的正弦值；
(3)若β∩γ=l′，l′不在平面μ内，证明：l′//μ．
参考答案
1.A
2.D
3.B
4.A
5.D
6.A
7.B
8.A
9.BD
10.ABD
11.ACD
12.(15,0,25)
13.10
14.39 140
15.(1)在平行六面体ABCD−A′B′C′D′中，AB=AD=AA′=1，
∠DAB=90°，∠A′AB=∠A′AD=60°，点O为BC′的中点，
AO=xAB+yAD+zAA′，
∴由空间向量运算法则得：
BO=12BC′=12(BB′+BC)=12(AA′+AD)=12AD+12AA′，
∴AO=AB+BO=AB+12AD+12AA′，
∴由AO=xAB+yAD+zAA′，得：x=1，y=z=12，
∴x+y+z=1+12+12=2．
(2)∵由向量数量积公式得：
|AO|2=(AB+12AD+12AA′)2
=AB2+14AD2+14AA′2+AB⋅AD+AB⋅AA′+12AD⋅AA′
=1+14+14+0+1×1×cs60°+12×1×1cs60°=94，
∴|AO|=32，
∵AO⋅DC=AO⋅AB=AB2+12AB⋅AD+12AB⋅AA′
=1+0+12×1×1×cs60°=54，
又|DC|=|AB|=1，
∴由空间向量夹角余弦公式得：
cs=AO⋅DC|AO|⋅|DC|=5432×1=56，
∵AO与DC所成的角是锐角或直角，
∴AO与DC所成的角的余弦值为56．
16.已知有6名同学报名参加数学、物理、化学三科兴趣小组，每人选择一个小组，
(1)因为每个人都有三种选择，所以一共有36=729种；
(2)因为三科均要有人报名，可分为以下三种情况：
①其中一科有4人，另外2科各1人，共有：C64C21C11A22A33=90种，
②其中一科1人，一科2人，一科3人，共有：C61C52C33A33=360种，
③三科均2人，共有：C62C42C22A33A33=90种，
所以一共有：90+360+90=540种．
(3)因为甲乙两人都不报化学学科，
所以按照另外4个人报化学学科的人数可分为以下4种情况：
①有1人报化学：C41(C51C44A22+C52C33A22)=120种，
②有2人报化学：C42(C41C33A22+C42C22A22A22)=84种，
③有3人报化学：C43C31C22A22=24种，
④有4人报化学：C44A22=2种，
所以一共有：120+84+24+2=230种．
17.(1)因为BE//CD，CD⊥AD，
所以BE⊥AD，
又因为E为AD的中点，AE=BE=2，
所以△AEB与△BED均为等腰直角三角形，
所以AB⊥BD，
又因为BD⊥PB，PB⊂面PAB，AB⊂平面PAB，PB∩AB=B，
所以BD⊥平面PAB，
又因为PA⊂平面PAB，
所以PA⊥BD，
又PA⊥AB，AB⊂面ABCD，BD⊂平面ABCD，
所以PA⊥平面ABCD，
在平面ABCD内，过点A作AF⊥AD，以{AF,AD,AP}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A−xyz：
则P(0,0,2)，B(2,2,0)，C(1,4,0)，E(0,2,0)，D(0,4,0)
所以PB=(2,2,−2)，PC=(1,4,−2)，
设平面PBC的一个法向量为n=(x0,y0,z0)，
则n⋅PB=0n⋅PC=0，即2x0+2y0−2z0=0x0+4y0−2z0=0，
令y0=1，则x0=2，z0=3，
平面PBC的一个法向量为n=(2,1,3)，
又因为平面PED的一个法向量为m=(1,0,0)，
所以cs〈m,n〉=m⋅n|m||n|=2 14= 147，
设平面PED与平面PBC所成角为θ，则sinθ= 1−cs2= 1−( 147)2= 357．
(2)假设线段PE上存在点M，使得DM/​/平面PBC，
设EM=λEP=λ(0,−2,2)=(0,−2λ,2λ)，
所以DM=EM−ED=(0,−2λ,2λ)−(0,2,0)=(0,−2λ−2,2λ)，
因为DM/​/平面PBC，
所以DM⋅n=(0,−2λ−2,2λ)⋅(2,1,3)=−2λ−2+6λ=0，
所以λ=12，即点M是线段PE的中点，
所以存在点M，点M为线段PE的中点．
18.(1)由题意知，Tr+1=C10r⋅110−r⋅(−2x)r=(−2)rC10rxr，
所以T3=C102(−2x)2=180x2，即a2=180．
(2)令x=0，则a0=1，
令x=−12，则有210=a0−a12+a222−a323+...+(−1)a10210，
所以有所求式等于210−1=1023．
(3)对(1−2x)10=a0+a1x+a2x2+...+a10x10两边求导得：
−20(1−2x)9=a1+2a2x+3a3x2+⋯+10a10x9，
继续求导得：
360(1−2x)8=2a2+3×2a3x+4×3a4x2+...+10×9a10x8，
令x=1，则有360=2a2+3×2a3+4×3a4+...+10×9a10，
所以所求式等于360−2a2=0．
19.(1)设直线l与平面α所成角为θ1，
因为直线l的方向式方程为x−1 2=y+22=−z，平面α的一般式方程为2x− 2y+z+5=0，
所以直线l的一个方向向量为m1=( 2,2,−1)，
平面α的一个法向量为n1=(2,− 2,1)．
所以cs〈m1,n1〉=m1⋅n1|m1||n1|=2 2−2 2−1 7× 7=−17．
所以csθ1= 1−cs2= 1−(−17)2=4 37．
(2)设平面β和γ所成角为θ2，
因为平面β的一般式方程为2x+3y+z−1=0，
平面γ的一般式方程为x−y−2z+4=0，
所以平面β的一个法向量为n2=(2,3,1)，平面γ的一个法向量为n3=(1,−1,−2)．
所以cs=n2⋅n3|n2||n3|=2−3−2 14× 6=− 2114，
所以sinθ2= 1−cs2= 1−(− 2114)2=5 714，
(3)证明：设直线l′的一个方向向量为m2=(a,b,c)，
则m2⊥n2m2⊥n3，则m2⋅n2=0m2⋅n3=0，所以2a+3b+c=0a−b−2c=0，
令b=1，则a=c=−1，所以直线l′的一个方向向量为m2=(−1,1,−1)．
因为平面μ的一般式方程为(2m+1)x+(3m+2)y+(m+1)z−5=0，
所以平面μ的一个法向量为n4=(2m+1,3m+2,m+1)．
所以m2⋅n4=−2m−1+3m+2−m−1=0，
所以m2⊥n4，又因为l′⊄平面μ，
所以l′//μ．