2024-2025学年江苏省宿迁市泗阳县高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省宿迁市泗阳县高二（上）期末数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，a4=8，则S5的值为( )
A. 6B. 20C. 25D. 30
2.函数f(x)=x2−sinx在区间[0,π]上的平均变化率为( )
A. −π−1πB. −πC. πD. π+1π
3.已知直线l过直线x−2y=0与直线x+y+3=0的交点，且与直线3x+y−1=0平行，则直线l的方程为( )
A. 3x+y+7=0B. 3x+y−7=0C. 3x+y+3=0D. 3x+y−3=0
4.若方程x22−k+y2k−1=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是( )
A. (1,2)B. (1,32)C. (32,2)D. (1,32)∪(32,2)
5.若圆x2+y2=4上恰有三个点到直线l：y=2x+m的距离等于1，则m的值为( )
A. ±2 5B. ± 5C. ±3 5D. 5
6.当某种针剂药注入人体后，血液中该药的浓度C与时间t的关系式近似满足C(t)=tet，其中t≥0，则血液中该药的浓度，在t=3时的瞬时变化率约是t=4时的瞬时变化率的多少倍(e≈2.7)( )
A. −1.8B. 1.8C. 3.6D. −3.6
7.设Sn为数列{an}的前n项和，若3Sn+2=2an，则数列{an}的通项公式为( )
A. an=(−12)nB. an=−(12)nC. an=−2nD. an=(−2)n
8.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与双曲线的左支相交于A，B两点，且|AF1|=3|BF1|，∠F1BF2=90°，则双曲线的离心率为( )
A. 52B. 62C. 102D. 52
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的有( )
A. 直线x+(k−1)y+2=0过定点(2,0)
B. 点(1,1)关于直线x−y+1=0的对称点为(0,2)
C. 两条平行直线x+3y−4=0与2x+6y−9=0之间的距离为 1020
D. 当实数m=2时，直线2x+y−2=0和x−my+1=0互相垂直
10.已知数列{an}的首项a1=2，则下列说法中正确的有( )
A. 若{an}是公差为2的等差数列，则{2an+1}是以5为首项，4为公差的等差数列
B. 若{an}是公差为2的等差数列，则{3an}是以9为首项，3为公比的等比数列
C. 若{an}是公比为3的等比数列，则{anan+1}是以8为首项，3为公比的等比数列
D. 若{an}是公比为3的等比数列，则{lg3an}是以lg32为首项，1为公差的等差数列
11.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的通径为2，焦点为F，经过点F的直线交抛物线C于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，则下列说法中正确的有( )
A. x1⋅x2=14
B. 点F的坐标为(12,0)
C. 设点E(3,−2)，若点P为C上的动点，则|PE|+|PF|的最小值为4
D. 过点H(−2,1)作抛物线C的两条切线，切点分别为M、N，点T为C的曲线段MON上任意一点，则△TMN面积的最大值为5 52
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数a的值为______．
13.已知点A(−1,0)，B(1,0)，若直线y=kx+4上存在点M，使MA2+MB2=10，则实数k的取值范围是______．
14.令f(x)=x2，对抛物线y=f(x)持续实施下面“牛顿切线法”的步骤：
在点(1,1)处作抛物线的切线，交x轴于点(x1,0)；
在点(x1,f(x1))处作抛物线的切线，交x轴于点(x2,0)；
在点(x2,f(x2))处作抛物线的切线，交x轴于点(x3,0)；
…
得到一个数列{xn}，则x1的值为______；数列{xn⋅lg12xn+1}的前n项和Sn= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=13x3−ax+13，a∈R，且满足f′(2)=0．
(1)求实数a的值；
(2)求函数y=f(x)在区间[−3,3]上的最大值和最小值．
16.(本小题15分)
已知圆C的圆心在直线x−2y=0上，且过两点A(0,2)，B(4,6)．
(1)求圆C的方程；
(2)直线l过点P(6,1)，且与圆C相交于M，N两点，若|MN|=4 3，求直线l方程．
17.(本小题15分)
已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，且过点(1,32)，其中O为坐标原点．
(1)求椭圆C1的方程；
(2)过椭圆C1的右顶点作直线与抛物线C2：y2=2x相交于A，B两点；
①求证：OA⊥OB；
②设射线OA，OB分别与椭圆C1相交于点M，N，求O到直线MN的距离．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=−lnx+ax+a−2，a∈R．
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线方程为y=x+1，求实数a的值；
(2)设函数y=ω(x)在区间I上有定义，若对任意的x1，x2∈I，都有ω(x1+x22)≤ω(x1)+ω(x2)2，则称函数y=aω(x)为区间l上的下凸函数.利用上述定义证明：函数y=f(x)为定义域上的下凸函数；
(3)若对任意的x∈(0,+∞)，都有f(x)≥0，求实数a的最小值．
19.(本小题17分)
北宋的数学家沈括博学多才，善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢？”他想堆积的酒坛、棋子等虽然看起来像实体，但中间是有空隙的，应该把它们看成离散的量.经过反复尝试，沈括提出对于上底有ab个，下底有cd个，共n层的堆积物(如图1所示)，可以用公式Sn=n6[(2b+d)a+(b+2d)c]+n6(c−a)求出物体的总数.这就是所谓的“隙积术”，相当于求数列ab，(a+1)(b+1)，(a+2)(b+2)，…，(a+n−1)(b+n−1)=cd的和.然而，“隙积术”的意义不仅在于提出了二阶等差数列的一个求和公式，而且在于发展了自《九章算术》以来对等差数列问题的研究，开创了我国“垛积数”的研究．

(1)若a=3，b=4，求S6的值；
(2)若由小球堆成的上述垛积共7层，小球总个数为238，求该垛积最上层的小球个数ab；
(3)三角垛是堆积垛的一种特殊情况，即指的是顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个，…，设第n层放an个物体堆成的堆垛(如图2所示)，利用上述材料，求从上往下n层三角垛的物体总数Tn．
参考答案
1.D
2.C
3.A
4.B
5.B
6.B
7.D
8.C
9.BCD
10.AD
11.ABD
12.±1
13.(−∞,− 3]∪[ 3,+∞)
14.12 3−n+32n
15.解：(1)因为f(x)=13x3−ax+13，
所以f′(x)=x2−a，
令f′(2)=0，即方程22−a=0，
解得a=4．
(2)由(1)知，f(x)=13x3−4x+13，所以f′(x)=x2−4，
令f′(x)=0，即x2−4=0，解得x=±2．
则f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表所示：
所以f(x)的极大值为f(−2)=173，f(x)的极小值为f(2)=−5，
又f(−3)=103,f(3)=−83．
所以函数f(x)在区间[−3,3]上的最大值为173，最小值为−5．
16.解：(1)由题意圆C的圆心在直线x−2y=0上，且过两点A(0,2)，B(4,6)，
可设圆C的方程为(x−a)2+(x−b)2=r2，
因为圆C的圆心在直线x−2y=0上，所以a=2b．
因为圆C过A(0,2)，B(4,6)，
代入圆C方程可得(0−a)2+(2−b)2=r2(4−a)2+(6−b)2=r2，
解得a=4，b=2，r=4，
故圆C的标准方程为(x−4)2+(y−2)2=16；
(2)设C到l的距离为d，由MN=2 16−d2=4 3，解得d=2，
当直线l斜率不存在时，l：x=6，d=2，满足题意．
当直线l斜率存在时，设直线l方程为y−1=k(x−6)，即kx−y−6k+1=0，
则圆心C(4,2)到直线l的距离为d=|2k+1| k2+1=2，解得k=34，
直线l方程为y=34x−72，
综上，直线l方程为x=6或3x−4y−14=0．
17.解：(1)由椭圆C1的离心率为12，
可得：a2−b2a2=14，
整理得：3a2=4b2，
则椭圆C1：x2a2+y2b2=1的方程可化为x2a2+4y23a2=1．
代入点(1,32)得a2=4，
则椭圆C1的方程为x24+y23=1．
(2)由椭圆C1方程为x24+y23=1可得：该椭圆的右顶点为(2,0)．
①证明：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
当直线AB的斜率为0时，直线AB与抛物线C2只有一个交点，不满足题意．
当直线AB的斜率不为0时，设直线AB的方程为x=my+2，
联立方程组y2=2xx=my+2，
整理得y2−2my−4=0，
则y1，y2为方程y2−2my−4=0的两不等根，
有Δ=4m2+16>0y1+y2=2my1y2=−4．
因为OA=(x1,y1),OB=(x2,y2)，
所以OA⋅OB=x1x2+y1y2=y12y224+y1y2=164−4=0，
故OA⊥OB．
②设M(x3,y3)，N(x4,y4)，直线MN为x=ny+t．
由联立方程组x=ny+tx24+y23=1，
整理得：(3n2+4)y2+6nty+3t2−12=0(∗)，
由y3，y4为方程∗的两不等实数根，得Δ=36n2t2−12(3n2+4)(t2−4)>0y3+y4=−6nt3n2+4y3y4=3t2−123n2+4．
由①知OA⊥OB，
则OM⊥ON，有OM⋅ON=0．
因为OM=(x3,y3),ON=(x4,y4)，
所以x3x4+y3y4=(ny3+t)(ny4+t)+y3y4=(n2+1)y3y4+nt(y3+y4)+t2=0，
整理得：(n2+1)3t2−123n2+4+nt−6nt3n2+4+t2=7t2−12n2−123n2+4=0，
则有7t2=12(n2+1)．
则根据点到直线距离公式可得：点O到直线MN的距离为d=|t| n2+1= 12 n2+1 7 n2+1=2 217．
18.解：(1)∵f′(x)=−1x+a，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线方程为y=x+1，
∴f′(1)=−1+a=1，解得a=2．
(2)证明：函数f(x)的定义域为(0,+∞)，设∀x1，x2∈(0,+∞)，
则f(x1)+f(x2)−2f(x1+x22)
=−lnx1+ax1+a−2−lnx2+ax2+a−2−2(−lnx1+x22+a⋅x1+x22+a−2)
=−lnx1−lnx2+2lnx1+x22=ln(x1+x22)2−ln(x1x2)
=ln(x1+x2)24x1x2，
∵x1，x2∈(0,+∞)，
∴(x1+x2)2=x12+x22+2x1x2≥4x1x2>0，
∴(x1+x2)24x1x2≥1(当且仅当x1=x2时取等号)，
∴ln(x1+x2)24x1x2≥ln1=0(当且仅当x1=x2时取等号)，
∴f(x1)+f(x2)−2f(x1+x22)≥0，
即f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2，
∴f(x)是定义域内的下凸函数．
(3)法1：由f(x)=−lnx+ax+a−2≥0且x>0，
得a≥lnx+2x+1对任意x>0恒成立，
设H(x)=lnx+2x+1，∴H′(x)=−lnx+1x−1(x+1)2，
令t(x)=−lnx+1x−1，则t′(x)=−1x−1x2=−x+1x20，∴g(a)在(0,+∞)是增函数，
又g(1)=ln1+1−1=0，
∴当a≥1时，g(a)≥0；
当0