2024-2025学年上海市徐汇区高二上册期中考试数学检测试卷

这是一份2024-2025学年上海市徐汇区高二上册期中考试数学检测试卷，共5页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 在空间中，如果两条直线没有交点，那么这两条直线的位置关系是___________.
2. 半径为2的球的表面积为________.
3. 已知长方体棱，，则异面直线与所成角的余弦值为______．
4. 在四面体中，若底面的一个法向量为，且，则顶点到底面的距离为_____________．
5. 已知一圆锥侧面展开图是一半径为2的半圆，则该圆锥的侧面积为___________.
6. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的面积为_________.

7. 三棱锥中，三条侧棱，则顶点在平面内射影是的______．（填“内心”、“外心”、“重心”、“垂心”）
8. 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，若四边形对角线，对角线AC与BD所成的角为，则FH=______．
9. 如图，在圆柱O1 O2 内有一个球O，该球与圆柱上、下底面及母线均相切．记圆柱O1 O2 的体积为V1 ,球O的体积为V2 ，则 的值是_____
10. 已知二面角为30°，P是半平面内一点，点P到平面的距离是1，则点P在平面内的投影到的距离是_________．
11. 如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周，则圆锥的母线长为_____
12. 如图，正方体的棱长为4，点P在正方形的边界及其内部运动.平面区域W由所有满足的点P组成，则四面体的体积的取值范围_________.
二、选择题（共4小题，第13、14题每题4分，15、16题每题5分）
13. 已知直线和平面，则“垂直于内的两条直线”是“”的（ ）．
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件
14. 把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为1:4，母线（原圆锥母线在圆台中的部分）长为12，则原圆锥的母线长为（ ）
A. 16B. 18C. 20D. 22
15. 为空间中两条直线，为空间中两个不同平面，下列命题中正确的个数为（ ）
①二面角的范围是；
②经过3个点有且只有一个平面；
③若两条异面直线，，则．
④若为两条异面直线，且，则．
A. 0B. 1C. 2D. 3
16. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图，在堑堵中，，且.下列说法错误的是（ ）
A. 四棱锥为“阳马”
B. 四面体为“鳖臑”
C. 四棱锥体积的最大值为
D. 过A点作于点E，过E点作于点F，则面AEF
三、解答题（本题满分78分，共5小题）
17. 如图，棱长为2的正方体中，分别是的中点．
（1）证明：平面．
（2）求异面直线与所成角的大小．（结果用反三角表示）
18. 如图，已知PA＝AC＝PC＝AB＝a，，，M为AC的中点．
（1）求证：平面ABC；
（2）求直线PB与平面ABC所成角的大小．
19. 现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥，下部的形状是正四棱柱 (如图所示)，并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.

（1）若，，则仓库的容积是多少？
（2）若正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？
20. 如图，是圆柱的底面直径，，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点．
（1）求圆柱的表面积；
（2）证明：平面平面；
（3）若，是中点，点在线段上，求的最小值．
21. 已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形.
（1）求证：；
（2）求点到平面的距离；
（3）若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并说明点此时所在的位置.