2024-2025学年辽宁省大连市高二上册10月月考数学检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年辽宁省大连市高二上册10月月考数学检测试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了 下列说法中，正确的有等内容，欢迎下载使用。
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 如图所示，在四面体A－BCD中，点E是CD的中点，记，，， 则等于（ ）
B.
C. D.
2. 若平面的法向量为，直线l的方向向量为，直线l与平面的夹角为，则下列关系式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 若直线的一个法向量是，则该直线的倾斜角为（ ）
A B. C. D.
4. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A. B.
C. D.
5. 设是的二面角内一点，，，、是垂足，，，则的长度为（ ）
A. B. C. D.
6. 对于空间一点和不共线三点，且有，则（ ）
A. 四点共面B. 四点共面
C. 四点共面D. 五点共面
7. 将正方形沿对角线折成直二面角，下列结论不正确的是（ ）
A.
B. ，所成角为
C. 等边三角形
D. 与平面所成角为
8. 正方形的边长为12，其内有两点，点到边的距离分别为3，2，点到边的距离也分别是3和2.如图，现将正方形卷成一个圆柱，使得和重合.则此时两点间的距离为（ ）

B.
C. D.
二､多项选择题：体题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的按部分得分，有选错的得0分.
9. 下列说法中，正确的有（ ）
A. 直线必过定点
B. 方程是直线的一般式方程
C. 直线斜率为
D. 点到直线的距离为1
10. 已知空间单位向量两两垂直，则下列结论正确的是（ ）
A. 向量与共线
B. 问量的模是
C. 可以构成空间一个基底
D. 向量和夹角的余弦值为
11. 如图，已知正六棱柱的底面边长为2，侧棱长为，所有顶点均在球的球面上，则下列说法错误的是（ ）
A. 直线与直线异面
B. 若是侧棱上的动点，则的最小值为
C. 直线与平面所成角的正弦值为
D. 球的表面积为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知点关于直线对称的点是，则直线在轴上的截距是__________.
13. 若三条直线相交于同一点，则点到原点的距离的最小值为__________.
14. 已知正三棱柱的底面边长为，高为2，点是其表面上的动点，该棱柱内切球的一条直径是，则的取值范围是__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：
（1）过定点A（－3，4）；
（2）斜率为．
16. 如图，在四面体中，面是中点，是的中点，点在棱上，且.请建立适当的空间直角坐标系，证明：面.
17. 如图所示，平行六面体中，．
（1）用向量表示向量，并求；
（2）求．
18. 如图，在五棱锥中，平面，､三角形是等腰三角形.
（1）求证：平面平面：
（2）求直线与平面所成角的大小；
19. 如图，在三棱柱中，棱的中点分别为在平面内的射影为D，是边长为2的等边三角形，且，点F在棱上运动（包括端点）．请建立适当的空间直角坐标系，解答下列问题：

（1）若点为棱的中点，求点到平面的距离；
（2）求锐二面角的余弦值的取值范围．
2024-2025学年辽宁省大连市高二上学期10月月考数学检测试卷
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 如图所示，在四面体A－BCD中，点E是CD的中点，记，，， 则等于（ ）
B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】利用空间向量的线性运算，用基底表示向量.
【详解】连接AE，如图所示，
∵E是CD的中点，，，∴＝＝．
在△ABE中，，又，
∴.
故选：A.
2. 若平面的法向量为，直线l的方向向量为，直线l与平面的夹角为，则下列关系式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】由线面角的向量求法判断
【详解】由题意得，
故选：D
3. 若直线的一个法向量是，则该直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】先由直线的法向量求出直线的方向向量，从而得到直线的斜率，最后由倾斜角和斜率的关系得到直线的倾斜角的值.
【详解】由直线的一个法向量是，则方向向量为，
直线斜率为，所以倾斜角满足，所以.
故选：B.
4. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】直接利用投影向量的计算公式计算即可.
【详解】向量在向量上的投影向量
故选：C
5. 设是的二面角内一点，，，、是垂足，，，则的长度为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】作出图形，可知，以及，利用空间向量数量积的运算可求得的长度.
【详解】如下图所示：
因为二面角的大小为，，，、是垂足，
由图可知，，
又因为，，且，
所以，
，故.
故选：D.
6. 对于空间一点和不共线三点，且有，则（ ）
A. 四点共面B. 四点共面
C. 四点共面D. 五点共面
【正确答案】B
【分析】根据题意，化简得到，得到四点共面，即可求解.
详解】由，得，
可得，由于，
根据空间向量的基本定理，得四点共面.
故选：B.
7. 将正方形沿对角线折成直二面角，下列结论不正确的是（ ）
A.
B. ，所成角为
C. 为等边三角形
D. 与平面所成角为
【正确答案】D
【分析】作出此直二面角的图象，由图形中所给的位置关系对选项逐一判断，即可得出正确结论．
【详解】如图，是的中点，易得即为此直二面角的平面角.
A：易知，又平面，
所以面，由平面，得AC⊥BD，故A正确；
B：可取中点的中点，连接，则是中位线，
故或其补角为异面直线与所成角，
又其长度为正方形边长一半，而是的中线，
其长度是的一半即正方形边长的一半，故是等边三角形，
由此与所成的角为，故B正确；
C：在等腰中等于正方形的边长，故是等边三角形，故C正确；
D：与平面所成的线面角的平面角是，故D错误.
故选：D
8. 正方形的边长为12，其内有两点，点到边的距离分别为3，2，点到边的距离也分别是3和2.如图，现将正方形卷成一个圆柱，使得和重合.则此时两点间的距离为（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】解法一：建立空间直角坐标系，利用数量积的坐标运算进行求解；
解法二：过点，分别作底面的平行圆，利用空间向量数量积的运算律求解即可.
【详解】解法一：如图建系

设圆柱底面半径为，则，所以，
则
所以.
解法二：如图，设过点且平行底面的截面圆心为，

过点且平行底面的截面圆心为，设圆柱底面半径为，则，
所以，则，
.
故选：B.
二､多项选择题：体题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的按部分得分，有选错的得0分.
9. 下列说法中，正确的有（ ）
A. 直线必过定点
B. 方程是直线的一般式方程
C. 直线斜率为
D. 点到直线的距离为1
【正确答案】AD
【分析】A选项，化为点斜式，求出定点坐标；B选项，，当不全为0时，方程是直线的一般式方程；C选项，直线斜率为；D选项，利用点到直线距离公式得到答案.
【详解】A选项，直线，必过定点，A正确；
B选项，当不全为0时，方程是直线的一般式方程，B错误；
C选项，直线的斜率为，C错误；
D选项，点到直线的距离为，D正确.
故选：AD
10. 已知空间单位向量两两垂直，则下列结论正确的是（ ）
A. 向量与共线
B. 问量的模是
C. 可以构成空间的一个基底
D. 向量和夹角的余弦值为
【正确答案】BCD
【分析】在空间取一点，以向量的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标表示及运算，逐项判断即得.
【详解】由空间单位向量两两垂直，
则在空间取点为原点，以向量的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，
于是，
对于A，，则向量与不共线，A错误；
对于B，，则，B正确；
对于C，，假设共面，
则存在使得，即，
于是，矛盾，从而不共面，C正确；
对于D，，，令向量和夹角为，
则，D正确.
故选：BCD
11. 如图，已知正六棱柱的底面边长为2，侧棱长为，所有顶点均在球的球面上，则下列说法错误的是（ ）
A. 直线与直线异面
B. 若是侧棱上的动点，则的最小值为
C. 直线与平面所成角的正弦值为
D. 球的表面积为
【正确答案】AC
【分析】根据平行的传递性可得，即可判断A；如图②，则，即可判断B；利用空间向量法求解线面角即可判断C；如图③，确定球心的位置，求出球的半径，结合球的表面积公式计算即可判断D.
【详解】对于A，如图①，连接，则，所以，
所以直线与直线共面，故A错误；
对于B，将平面沿着翻折到与平面共面的位置，得到矩形，
如图②所示.因为底面边长为，所以，
则的最小值为，故B正确；
对于C，以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图
①所示的空间直角坐标系，
则，
所以.
设平面的法向量为，则，即，
令，得，所以平面的一个法向量为.
设直线与平面所成角为，则，故C错误；
对于D，如图③，设球的半径为，根据对称性可知，正六棱柱的外接球的球心在上
下底面的中心的连线的中点处.
，则，
所以球的表面积，故D正确.
故选：AC
思路点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的思路是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知点关于直线对称的点是，则直线在轴上的截距是__________.
【正确答案】
【分析】根据题意，结合斜率公式和两直线的位置关系，求得，再由中点公式，求得的中点坐标，代入直线方程，求得的值，进而得到答案.
【详解】因为点关于直线对称的点是，
可得，所以，可得，即，
设的中点为，可得，即，
将点代入，可得，即，
令，可得，所以直线在轴上的截距是.
故−8
13. 若三条直线相交于同一点，则点到原点的距离的最小值为__________.
【正确答案】
【分析】先求出线和的交点，进而得到，再根据点到直线的距离公式结合二次函数的性质求解即可.
【详解】由，解得，
把代入，可得，所以，
所以点到原点的距离为
，
所以当时，此时，此时，
所以点到原点的距离的最小值为.
故答案为.
14. 已知正三棱柱的底面边长为，高为2，点是其表面上的动点，该棱柱内切球的一条直径是，则的取值范围是__________.
【正确答案】
【分析】根据条件，得出棱柱的内切球的半径为，利用数量积的运算得，，再求出范围，即可求出结果.
【详解】因为正三棱柱的底边长为，如图，设内切圆的半径为，
所以，得到，又正三棱柱的高为2，
所以棱柱的内切球的半径为，与上下底面有两个切点且切点为上下底面的中心，
又是该棱柱内切球的一条直径，如图，取上下底面有两个切点为，
则，
又点是正三棱柱表面上的动点，
当与（或）重合时，的值最小，此时，
由对称性知，当为正三棱柱的顶点时，的值最大，
连接，并延长交于，则，
此时，得到.
故
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：
（1）过定点A（－3，4）；
（2）斜率为．
【正确答案】（1）2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0；（2）x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0．
【详解】试题分析：（1）要求直线方程，关键是求得直线的斜率，为此设直线方程为y＝k（x＋3）＋4，求出直线的横、纵截距，再利用直线与坐标轴围成的三角形面积为3求出k；（2）已知直线斜率，只要设直线方程为y＝x＋b，同样求得横截距是－6b，由|－6b·b|＝6，求得b值，得直线方程．
试题解析：（1）设直线l的方程是y＝k（x＋3）＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－－3，3k＋4，
由已知，得（3k＋4）＝±6，解得k1＝－或k2＝－．
故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0．
（2）设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是
y＝x＋b，它在x轴上的截距是－6b，由已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1．
∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0．
考点：直线方程．
16. 如图，在四面体中，面是的中点，是的中点，点在棱上，且.请建立适当的空间直角坐标系，证明：面.
【正确答案】证明见解析
【分析】解法一：以为坐标原点，所在直线为z轴，线段的延长线为y轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面平行的方法进行证明；
解法二：取的中点为坐标原点，的方向分别为x轴､y轴､z轴正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面平行的方法进行证明.
【详解】解法一：
以为坐标原点，所在直线为z轴，线段的延长线为y轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
设，由题意得，，
因为，所以
即，即，
所以，所以，
又因为面的一个法向量为，所以，所以，
又因为面，所以面.
解法二：
取的中点，连接，因为为的中点，
所以，所以平面，
过作，交BC于，
以为坐标原点，的方向分别为x轴､y轴､z轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系.
因为为中点，设，
则，
设点的坐标为.
因为，所以.
因为为的中点，故，又为的中点，故，
所以，
又平面的一个法向量为，故，所以，
又平面，所以平面.
17. 如图所示，平行六面体中，．
（1）用向量表示向量，并求；
（2）求．
【正确答案】（1），
（2）
【分析】（1）借助空间向量的线性运算与模长与数量积的关系计算即可得；
（2）结合题意，借助空间向量的线性运算与夹角公式计算即可得.
【小问1详解】
，
则
，
所以.
【小问2详解】
由空间向量的运算法则，可得，
因为且，
所以
，
，
则.
18. 如图，在五棱锥中，平面，､三角形等腰三角形.
（1）求证：平面平面：
（2）求直线与平面所成角的大小；
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）利用余弦定理得，所以由平行关系，利用线面垂直的性质得，即得平面,然后利用面面垂直的判定定理即可证出；
（2）以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【小问1详解】
在中由余弦定理得，解得，
所以，即，
又因为，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
【小问2详解】
因为平面，平面，所以，
由（1）得，所以两两垂直，
以坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴,建立如图所示空间直角坐标系，
设,
因为是等腰三角形，所以，，，
过作交于，所以，
因为，所以，
又因为，所以，，
所以，，，
设平面的法向量，
所以，取，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角为.
19. 如图，在三棱柱中，棱的中点分别为在平面内的射影为D，是边长为2的等边三角形，且，点F在棱上运动（包括端点）．请建立适当的空间直角坐标系，解答下列问题：

（1）若点为棱的中点，求点到平面的距离；
（2）求锐二面角的余弦值的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据点面距公式求得正确答案.
（2）利用向量法求得锐二面角的余弦值的表达式，结合函数的单调性求得其取值范围.
【小问1详解】
连接，依题意可知平面，
由于平面，所以，
由于三角形是等边三角形，所以，，又，
以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，

则，，
又，故，，
则，，
设平面的法向量为，
则，故可设，
又，所以点到平面的距离为.
【小问2详解】
设，，
则，
设平面的法向量为，
则，故可设，
设锐二面角为，
则，
令，
所以，
设， 则，
二次函数的开口向上，对称轴为，
所以当时，该二次函数单调递增，
所以当时，该二次函数有最小值，
当时，该二次函数有最大值，
所以，即.
所以锐二面角的余弦值的取值范围.