2023-2024学年辽宁省大连市金州重点中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省大连市金州重点中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含解析），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知空间点P(−3,1,−4)，则点P关于y轴对称的点的坐标为( )
A. (−3,−1,−4)B. (−3,−1,4)C. (−3,1,4)D. (3,1,4)
2.已知向量a=(1,2,1)，b=(1,−1,m)，且a⋅b=−2，则m=( )
A. −1B. 1C. −2D. 2
3.已知直线经过A(3,5)，B(2,6)两点，则该直线的倾斜角为( )
A. 30°B. 45°C. 135°D. 150°
4.已知直线l经过点(3,2)，而且(3,−4)是直线l的一个法向量，则直线l的方程为( )
A. 4x−3y−6=0B. 4x+3y−18=0
C. 3x+4y−17=0D. 3x−4y−1=0
5.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马，如图，四棱锥P−ABCD为阳马，PA⊥平面ABCD，且EC=2PE，若DE=xAB+yAC+zAP，则x−y+z=( )
A. 3
B. 73
C. 53
D. 1
6.如图，二面角α−l−β等于120°，A、B是棱l上两点，BD、AC分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB=AC=BD=2，则CD的长等于( )
A. 2 3B. 2 2C. 4D. 2
7.已知点P是棱长为4的正四面体S−ABC表面上的动点，若MN是该四面体内切球的一条直径，则PM⋅PN的最大值是( )
A. 163B. 43C. −43D. −163
8.在四面体P−ABC中，Q为△ABC的重心，分别为侧棱PA，PB，PC上的点，若PE=13PA，PF=23PB，PG=12PC，PQ与平面EFG交于点D，则PDQD=( )
A. 67B. 56C. 45D. 34
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知直线l的方程为x+ 3y+1=0，则( )
A. 点(−2, 3)在l上B. l的倾斜角为5π6
C. l的图像不过第一象限D. l的一个方向向量为( 3,1)
10.已知a=(1,0,1)，b=(−1,2,−3)，c=(2,−4,6)，则( )
A. a⊥c
B. b/​/c
C. 〈a,b〉为钝角
D. b在a方向上的投影向量为(−2,0,−2)
11.已知函数f(x)=1x，设曲线y=f(x)在第一象限内的图像为E，过O点作斜率为1的直线交E于B1，过B1点作斜率为−1的直线交x轴于A1，再过A1点作斜率为1的直线交E于B2，过B2点作斜率为−1的直线交x轴于A2，…，依这样的规律继续下去，得到一系列等腰直角三角形，如图所示.给出下列四个结论，其中正确的是( )
A. A1B2的长为 22
B. 点A3的坐标为(2 3,0)
C. △A2B3A3与△A3B4A4的周长之比是( 3− 2)：(2− 3)
D. 在直线x=90左侧有2023个三角形
12.在棱长为1正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P为线段CC1上异于端点的动点，( )
A. 三角形D1BP面积的最小值为 64
B. 直线D1B与DP所成角的余弦值的取值范围为(0, 33)
C. 二面角A1−BD−P的正弦值的取值范围为( 63,1)
D. 过点P作平面α，使得正方体的每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的取值范围为(0, 32)
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.在空间直角坐标系中，已知点A(2,3,0)，B(−1,2,3)，C(8,x,y)，若A，B，C三点共线，则BC的长为______ ．
14.已知三棱锥P−ABC的体积为43，AP=PC=2，AC=BC=2 2，AB=4，则二面角P−AC−B的大小为______ ．
15.经过点P(0,−1)作直线l，若直线l与连接A(1,−2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线l的倾斜角α的范围为______ ．
16.如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=1，E，F分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l.若直线l上存在点Mi(i=1,2)，使直线MiP分别与平面AEF、直线EF所成的角互余，则M1M2的长为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10.0分)
如图，在直棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=AB=AC=2，AB⊥AC，点D、E、F分别是A1B1、CC1、BC的中点．
(1)求直线AE与直线DF所成角的大小；
(2)求点A到平面DEF的距离．
18.(本小题12.0分)
已知三角形ABC的顶点A(4,6)、B(−1,1)，C(3,3)．
(1)求BC边上中线的长；
(2)求BC边上中线所在直线的方程．
(3)过A引直线l，若l被两坐标轴截得的线段中点为A，求直线l的方程．
19.(本小题12.0分)
如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，DA=DB=DC，∠BDC=90°，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC．
(1)求证：PQ/​/平面BCD；
(2)求PQ与平面BCM所成角的正弦值．
20.(本小题12.0分)
设直线l的方程为(a+1)x+y+2−a=0(a∈R)．
(1)求证：不论a为何值，直线必过定点M；
(2)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；
(3)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，△AOB的面积为S，求S的最小值．
21.(本小题12.0分)
已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是直角梯形，AD//BC，AB⊥BC，BC=2AD=2，AB= 3，E为CD的中点，PB⊥AE．
(1)证明：平面PBD⊥平面ABCD；
(2)若PB=PD，PC与平面ABCD所成的角为π4，试问在侧面PCD内是否存在一点N，使得BN⊥平面PCD？若存在，求出点N到直线PD的距离；若不存在，请说明理由．
22.(本小题12.0分)
如图，多面体ABCEF中，AB=AC，BF⊥CE，D为BC的中点，四边形ADEF为矩形．
(1)证明：BE⊥CE；
(2)若AB=2，∠BAC=120°，当三棱锥E−BCF的体积最大时，求二面角A−BF−E的余弦值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：已知点P(−3,1,−4)，再由空间直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标和竖坐标互为相反数，纵坐标不变，
可得：点P关于y轴对称的点的坐标为(3,1,4)．
故选：D．
根据空间坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标和竖坐标互为相反数即可求解结论．
本题考查了空间中的点的坐标，点关于x轴，y轴及原点对称时横纵坐标的符号，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：由题意，
可得a⋅b=1×1+2×(−1)+1×m=−2，
解得m=−1．
故选：A．
本题根据空间向量的数量积运算的定义进行计算即可推导出m的值．
本题主要考查空间向量的数量积运算，属基础题．
3.【答案】C
【解析】解：因为直线经过A(3,5)，B(2,6)两点，
所以直线AB的斜率k=6−52−3=−1，
因为直线倾斜角的范围为[0,π)，
则该直线的倾斜角为135°．
故选：C．
由已知先求出直线AB的斜率，然后结合斜率与倾斜角的关系可求．
本题主要考查了直线的斜率公式及直线的倾斜角与斜率关系的应用，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：由于(3,−4)是直线l的一个法向量，则(4,3)是直线l的一个方向向量，故直线的斜率为34．
再根据直线l经过点(3,2)，可得它的方程为y−2=34(x−3)，即3x−4y−1=0．
故选：D．
由题意，根据直线的法向量求出方向向量，可得直线的斜率，再用点斜式求出直线的方程．
本题主要考查直线的法向量和方向向量，直线的斜率，用点斜式求直线的方程，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：因为四棱锥P−ABCD为阳马，PA⊥平面ABCD，且EC=2PE，
所以PE=13PC，
所以DE=AE−AD=AP+PE−AD=AP+13PC−AD=AP+13(AC−AP)−AD
=23AP+13AC−AD=23AP+13AC−(AC+CD)=23AP−23AC−CD=23AP−23AC+AB，
又因为DE=xAB+yAC+zAP，
所以x=1y=−23z=23，则x−y+z=1+23+23=73．
故选：B．
根据空间向量线性运算法则计算可得．
本题考查空间向量线性运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】C
【解析】解：由二面角的平面角的定义知〈BD,AC〉=120°，
∴BD⋅AC=|BD||AC|cs〈BD,AC〉=2×2×cs120°=−2，
由AC⊥l，BD⊥l，得AC⋅BA=0,BD⋅BA=0，又DC=DB+BA+AC，
∴|DC|2=(DB+BA+AC)2=DB2+BA2+AC2+2DB⋅BA+2DB⋅AC+2BA⋅AC
=22+22+22−2BD⋅AC=12−2×(−2)=16，
所以|DC|=4，即CD=4．
故选：C．
根据题意，可得DC=DB+BA+AC，再由空间向量的模长计算公式，代入计算，即可得到结果．
本题考查利用向量法求两点间的距离，考查二面角的应用，属于中档题．
7.【答案】A
【解析】解：如图所示，正四面体SABC的棱长为4，其内切球球心为点O，连接SO并延长交底面ABC于点E，
则E为正△ABC的中心，且SE⊥平面ABC，连接BE并延长交CA于点F，则F为AC的中点，且BF⊥AC，BF= BC2−CF2=2 3，BE=23BF=4 33，
∵SE⊥平面ABC，BE⊂平面ABC，∴AE⊥BE，
则SE= SB2−BE2=4 63，△ABC的面积为SΔABC=12AC⋅BF=4 3，
∴正四面体SABC的体积为VS−ABC=13SΔABC⋅SE=16 23，
设球O的半径为R，
则VS−ABC=VO−ABC+VO−SAC+VO−SAB+VO−SBC=4VO−ABC=4×13SΔABC⋅R，R=3VS−ABC4SΔABC= 63，
∴SO=SE−OE=SE−R= 6，PM=PO+OM，PN=PO+ON=PO−OM，
PM⋅PN=(PO+OM)(PO−OM)=PO2−OM2=PO2−23≤SO2−23=6−23=163，
当点P位于正四面体SABC的顶点时，PM⋅PN取最大值，最大值为163．
故选：A．
作出图形，计算出正四面体SABC内切球O的半径，由此可求得SO，由空间向量数量积的运算性质得出PM⋅PN=PO2−23，进而可知当点P为正四面体的顶点时，PM⋅PN取得最大值，即可得解．
本题考查空间向量数量积的最值的计算，同时也考查了正四面体内切球半径的计算，考查计算能力，属于较难题．
8.【答案】A
【解析】解：连接如图，设AB的中点为R，PR∩EF=S，连接SG，由P，R，C，Q，S，G共面可知，PQ与平面EFG的交点即PQ与SG的交点D，
因为PE=13PA，PF=23PB，PG=12PC，设PS=λPR，(0