2024-2025学年辽宁省鞍山海城市高二上册12月月考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年辽宁省鞍山海城市高二上册12月月考数学检测试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．点关于点的对称点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
2．关于空间向量，以下说法错误的是（ ）
A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B．若，则与的夹角是锐角
C．已知向量是不共面的向量，则也是不共面的向量
D．若对空间中任意一点，有，则四点共面
3．已知两条直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知直线与圆交于两点，且，则（ ）
A．4B．C．2D．
6．在棱长为2的正方体中，E，F分别是和的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知直线与椭圆相交于A，B，且AB的中点为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知为抛物线上任意一点，为抛物线的焦点，为圆上任意一点，则的最小值为（ ）
A．6B．10C．4D．8
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角为
B．方程与方程可表示同一直线
C．经过点，且在，轴上截距互为相反数的直线方程为
D．过两点的直线都可用方程表示
10．已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点在抛物线上，则下列结论正确的有（ ）
A．双曲线的离心率为2B．双曲线的渐近线为
C．D．点P到抛物线的焦点的距离为4
11．在长方体中，，E为的中点，点P满足，则（ ）
A．若M为的中点，则三棱锥体积为定值
B．存在点P使得
C．当时，平面截长方体所得截面的面积为
D．若Q为长方体外接球上一点，，则的最小值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．下列说法正确的是 .
①直线恒过定点
②直线在轴上的截距为1
③直线的倾斜角为
④已知直线过点，且在轴上截距相等，则直线的方程为
13．椭圆（）的右顶点为，上顶点为，右焦点为，若直线与以为圆心半径为的圆相切，则椭圆离心率等于 .
14．已知抛物线、分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，且与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则b＝ .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知圆C的圆心在y轴上，并且过原点和.
(1)求圆C的方程；
(2)若线段的端点，端点B在圆C上运动，求线段的中点M的轨迹方程.
16．如图，已知平面平面，为等腰直角三角形，，四边形为直角梯形，，.
(1)求二面角的余弦值；
(2)线段QB上是否存在点M，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
17．已知椭圆：（），离心率，且点在椭圆上.
(1)求该椭圆的方程；
(2)直线交椭圆于，两点，直线，的斜率之和为0，且，求的面积.
18．如图，PC是圆台的一条母线，是圆的内接三角形，AB为圆的直径，．

(1)证明：；
(2)若圆台的高为3，体积为，求直线AB与平面PBC夹角的正弦值．
19．已知点，，动点满足直线与的斜率之积为．记的轨迹为曲线．
(1)求的方程，并说明是什么曲线；
(2)过坐标原点的直线交于，两点，点在第一象限，轴，垂足为，连结并延长交于点．
（ⅰ）证明：以为直径的圆必然经过点．
（ⅱ）求的取值范围，并求当取得最小值时的直线的方程．
答案
1．【正确答案】B
【详解】设点坐标为，
则由题意可得，解得，
所以点坐标为,
故选：B
2．【正确答案】B
【详解】选项A：根据共线向量的概念可知，空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，A说法正确；
选项B：若，则与的夹角是锐角或与同向，即夹角为0，B说法错误；
选项C：假设是共面向量，则存在使得，
因为向量是不共面的向量，所以无解，则也是不共面的向量，C说法正确；
选项D：因为，且，所以四点共面，D说法正确；
故选：B
3．【正确答案】A
【分析】由两直线平行求出，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】当时，，则，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选A.
4．【正确答案】D
【详解】因为双曲线的离心率为，
所以，所以，
所以，所以，
所以双曲线的渐近线方程是.
故选：D
5．【正确答案】D
【详解】由题意可得圆的圆心为，半径，
则圆心到直线的距离．因为，
所以，即，解得.
故选：D.
6．【正确答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，根据题意，求得向量和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】由空间直角坐标系中有棱长为2的正方体，
点分别是和的中点，
可得，
则，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
设直线与平面所成角，则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
故选B.

7．【正确答案】B
【分析】利用过椭圆上两点的直线方程为，结合中点及直线方程，化简得到，利用即可求解.
【详解】设两点坐标分别为，因为AB的中点为，
所以，
因为在椭圆上，
所以①，，
两式相减，得，
根据，上式可化简为，
整理得，又，所以，即，
所以.
故选B.
8．【正确答案】D
【详解】如图，过点作垂直准线于点，连接交于点.
由题意可得的准线方程为.
因为，所以，
当三点共线时，取得最小值，最小值为，
所以的最小值为.
故选：D
9．【正确答案】AD
【分析】对于A项，先求斜率，进而可得倾斜角；对于B项，注意区分方程与方程的不同之处；对于C项，设直线l：，进而可得截距，根据题意进行求解即可；对于D项，根据两点式方程的变形进行判断即可.
【详解】对于A项，直线的斜率，倾斜角为，所以A正确；
对于B项，表示过点斜率为k的直线，但不含点，而表示过点斜率为k的直线，且含点，所以B错误；
对于C项，经过点，斜率存在，设直线为，若在，轴上截距互为相反数，则，解得或，
所以直线方程为或，所以C错误；
对于D项，方程为直线两点式方程的变形，可以表示经过任意两点Px1,y1、Qx2,y2的直线，所以D正确；
故选AD.
10．【正确答案】ACD
【详解】双曲线的离心率为，故A正确；
双曲线的渐近线为，故B错误；
由有相同焦点，即，即，故C正确；
抛物线焦点为，点在上，则，故或，所以P到的焦点的距离为4，故D正确．
故选：ACD．
11．【正确答案】ACD
【详解】对于A：因为M为的中点，E为的中点，所以，所以面，
则P到面的距离为定值，所以体积为定值，所以A正确．
对于B：AP在平面的投影在线段上，若，又，
且，所以平面，又平面，所以，
因为四边形为正方形，所以与BE不垂直，所以B错误．
对于C：平面与平面重合，平面与平面重合，所以延长会
与直线有交点N，因为，又，所以，
即N为点E，又平面平面，所以平面和平面的交线
与平行，取中点F，则平面截长方体所得截面为矩
形，所以面积为，所以C正确．
对于D：易知长方体的外接球半径为，球心是的中点O，由，得，
，，则点P在球外，点E在球内，，
如图，建立空间直角坐标系，设，则，
所以，即，
所以，所以D正确．
故选：ACD．
12．【正确答案】①③
【详解】对于①，因为，所以，所以直线过定点，故①对；
对于②，令x=0得y=−1，所以直线在轴上的截距为，故②错；
对于③，直线可变形为，设其倾斜角为，所以斜率，
因为，所以，故③对；
对于④，当直线的截距为0时，可设，
代入可得，解得，此时直线，即；
当直线的截距不为0时，因为直线在轴上的截距相等，可设，
代入得，解得，此时直线，即，故④错.
故答案：①③
13．【正确答案】
【分析】求出直线的方程为：，根据点到直线的距离得到方程，求出，求出离心率即可.
【详解】依题意，，，，所以直线的方程为：，
又直线与以为圆心半径为的圆相切，故，
即，，
方程两边同除以得，解得或，
又椭圆的离心率，所以.
故答案为.
14．【正确答案】
【详解】如图所示，因为抛物线所以，
因为抛物线的准线过双曲线的左焦点，所以，
所以，
又因为双曲线的一条渐近线，
所以，
因为，所以
即，化简得，
又因为，联立解得
故答案为.
15．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）设圆C方程：，
由已知，解得，
∴圆C的方程为.
（2）设点Mx,y，.
∵，
∴.
整理得，，
∵点B在圆C上，∴，
∴点M的轨迹方程为.
16．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）取的中点为.
平面平面平面，平面平面，平面.
以点为坐标原点，分别以直线为轴，轴，过且平行的直线为轴，
建立如图的空间直角坐标系，
，
，，，
设平面的法向量为
即
令，则.
又平面的法向量为，则，
设二面角的平面角为，由图形知为锐角，
，即二面角的余弦值为.
（2）设，，
.
又平面的法向量为平面，∴，
∴，，即.
∴，故在线段上存在点，使平面，且的值是.
17．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意得 ，解得，
故椭圆C.
（2）如图，设直线的倾斜角为，由，，
得，，，
即AP：，AQ：，
联立，解得或2（舍），故，
联立，解得或2（舍），故，
又，
，，
故.
18．【正确答案】(1)证明见详解；
(2).
【详解】（1）由题知，因为为圆的直径，所以，
又，所以，
因为为的中点，所以，
由圆台性质可知，平面，且四点共面，
因为平面，所以，
因为是平面内的两条相交直线，所以平面，
因为平面，所以.
（2）圆台的体积，其中，
解得或(舍去).
由（1）知两两垂直，分别以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
所以.
设平面的一个法向量为，
则解得
于是可取.
设直线与平面的夹角为，
则，
故所求正弦值为.
19．【正确答案】(1),曲线C是以坐标原点为中心，焦点在轴上，不包括左右两顶点的椭圆
(2)（ⅰ）证明过程见解析（ⅱ），满足题意的直线的方程为
【详解】（1）直线的斜率为，直线的斜率为，
由题意可知：，
所以曲线C是以坐标原点为中心，焦点在轴上，不包括左右两顶点的椭圆，
其方程为；
（2）（i）依题意设，
直线的斜率为，则，
所以．
又，所以，
进而有，即以为直径的圆必然经过点．
（ii）设，
则直线的方程为，联立，解得，
所以直线的方程为．
联立直线的方程和椭圆C的方程，
可得，
则，
，
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
所以，
当取最小值时，直线的方程为.