湖南省长沙市2024-2025学年九年级下学期开学模拟考 数学练习卷（含解析）

这是一份湖南省长沙市2024-2025学年九年级下学期开学模拟考 数学练习卷（含解析），共33页。

A．20°B．25°C．30°D．35°
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A．y＝3xB．y＝x2+x（3﹣x）
C．y＝ax2+bx+cD．y＝2x2﹣3x
4．（3分）如图在⊙O中，若点C是AB的中点，∠AOC＝45°，则∠AOB＝（ ）
A．45°B．80°C．85°D．90°
5．（3分）圆的半径是6cm，若圆心与直线的距离为6.5cm，则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交或相切B．相交
C．相切D．相离
6．（3分）下列事件中是必然事件的是（ ）
A．明天太阳从东边升起B．明天下雨
C．明天的气温比今天高D．明天买彩票中奖
7．（3分）下列关于反比例函数y=−6x的结论中正确的是（ ）
A．图象过点（2，3）
B．图象在二、四象限内
C．在每个象限内，y随x的增大而减小
D．当x＞﹣1时，y＞6
8．（3分）如图△BCD中，BD＝CD＝5，延长CD至点A，使AD＝3，连结AB，此时△ABC∽△ADB．则BC的长为（ ）
A．1063B．5153C．203D．45
9．（3分）在抛物线y＝x2上任取一点A（非坐标原点O），连接OA，在OA上取点B，使OB=13OA，则顶点在原点且过点B的抛物线的表达式为（ ）
A．y=13x2B．y＝9x2C．y=19x2D．y＝3x2
10．（3分）如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻R来控制电流I实现灯光亮度的变化．电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图2所示．下列结论正确的是（ ）
A．I=200RB．当I＞10时，R＞22
C．当I＝5时，R＝40D．当I＞2时，0＜R＜110
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．（注：频率=钉尖向上的次数投掷次数）
下面有四个推断：
①当投掷次数是600时，计算机记录“钉尖向上”的次数是400，所以“钉尖向上”的概率是0.667；
②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；
③若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率一定是0.620；
④若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的情况一定高于500次．
其中合理的是 ．
12．（3分）双曲线y1、y2在第一象限的图象如图，y1=4x，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于B，交y轴于C，若S△AOB＝3，则y2的解析式是 ．
13．（3分）抛物线y＝x2+bx+c图象向右平移2个单位再向下平移1个单位，所得图象的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，则c＝ ．
14．（3分）如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，OC＝5，则ABCD= ．
15．（3分）如图，正六边形ABCDEF的边长为1，分别以其对角线AD，CE为边作正方形，则两个阴影部分的面积差a﹣b的值为 ．
16．（3分）若抛物线y＝x2+x﹣m与坐标轴有1个交点，则m的取值范围是 ．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）在直角坐标系中，图案△ABO经过变化后，得到的相应图案如图①～⑥所示（虚线为原图案）．图①～图⑥中的图案变化前后，其中一点P（x，y）与之对应点的坐标之间各有什么关系？（填写表格）
18．（6分）一个不透明的袋子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同．
（1）小明认为，搅匀后从中任意摸出一个球，不是白球就是红球，因此摸出白球和摸出红球是等可能的．你同意他的说法吗？为什么？
（2）任意摸出一个球，摸到白球和摸到红球的概率各是多少？
（3）任意摸出一个球，摸到黄球的概率呢？
19．（6分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，F为AD上一点，且BF＝BD．BF的延长线交AC于点E．
（1）求证：AB•AD＝AF•AC；
（2）若∠BAC＝60°，AB＝4，AC＝6，求DF的长．
20．（8分）如图，正比例函数y＝x与反比例函数y=kx（k≠0，x＞0）的图象交于点A（22，m ），点P是反比例函数y=kx（k≠0，x＞0）图象上的一动点．过点P作PH上x轴，垂足为H，交直线y＝x于点G．
（1）求k与m的值；
（2）若△OPG的面积是2，求此时点P的坐标．
21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD交AC于点E，AD=CD．
（1）求证：OD//BC；
（2）若AC＝8，DE＝2，求BC的长．
22．（9分）某商品市场销售抢手，其进价为每件80元，售价为每件130元，每个月可卖出500件；据市场调查，若每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件（每件售价不能高于240元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的涨价多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
（3）每件商品的涨价多少元时，每个月的利润恰为40000元？根据以上结论，请你直接写出x在什么范围时，每个月的利润不低于40000元？
23．（9分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E．
（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，若∠ABC＝60°，BE＝33，求图中阴影部分的面积．
24．（10分）【问题情境】
如图①，在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝10，矩形DEFG的顶点分别在△ABC的边上，设DG的长为x，矩形DEFG的面积为y．
【分析及解决问题】
（1）①填空：FG＝ （用含x的代数式表示）；
②当x的值为多少时，矩形DEFG的面积最大？最大面积是多少？
【拓展应用】
（2）如图②，某酒店后面有一块梯形空地ABCD，其中AB＝40m，CD＝200m，∠C＝∠D＝45°，为缓解车位紧张，该酒店计划在这块空地上修建一个矩形停车场EFGH，其余部分铺设为草坪，为方便车辆进出，矩形停车场的一边GH和空地的最长边CD重合，E、F分别在边AD、BC上，求修建的矩形停车场的面积的最大值．
25．（10分）若凸四边形的两条对角线所夹锐角为60°，我们称这样的凸四边形为“完美四边形”．
（1）在“平行四边形、梯形、菱形、正方形”中，一定不是“完美四边形”的有 ；
（2）如图1，“完美四边形”ABCD内接于⊙O，AC与BD相交于点P，且对角线AC为直径，AP＝1，PC＝5，求另一条对角线BD的长；
（3）如图2，平面直角坐标系中，已知“完美四边形”ABCD的四个顶点A（﹣3，0）、C（2，0），B在第三象限，D在第一象限，AC与BD交于点O，直线BD的解析式为y=3x，且四边形ABCD的面积为153，若二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象同时经过这四个顶点，求a的值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度至△AB′C′处，使得点C恰好在线B′C′上，若∠ACB＝75°，则∠BCB′的度数为（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
【考点】旋转的性质．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】C
【分析】如图，BC与AB′相交于O点，先利用旋转的性质得到AC＝AC′，∠ACB＝∠C′＝75°，∠B＝∠B′，∠BAB′＝∠CAC′，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出∠CAC′＝30°，所以∠BAB′＝30°，然后利用三角形的内角和可求出∠B′CO＝30°．
【解答】解：如图，BC与AB′相交于O点，
∵△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度至△AB′C′处，使得点C恰好在线B′C′上，
∴AC＝AC′，∠ACB＝∠C′＝75°，∠B＝∠B′，∠BAB′＝∠CAC′，
∵AC＝AC′，
∴∠ACC′＝∠C′＝75°，
∴∠CAC′＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∴∠BAB′＝30°，
∵∠COB′＝∠AOB，∠B′＝∠B，
∴∠B′CO＝∠BAB′＝30°，
即∠BCB′的度数为30°．
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
故选：A．
【点评】此题考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题关键．
3．（3分）下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A．y＝3xB．y＝x2+x（3﹣x）
C．y＝ax2+bx+cD．y＝2x2﹣3x
【考点】二次函数的定义．
【专题】二次函数的应用；推理能力．
【答案】D
【分析】根据二次函数的定义进行判断作答即可．
【解答】解：y＝3x，是一次函数，故A不符合题意；
y＝x2+x（3﹣x）＝3x，是一次函数，故B不符合题意；
当a＝0时，y＝ax2+bx+c，不是二次函数，故C不符合题意；
y＝2x2﹣3x，是二次函数，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的定义．熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
4．（3分）如图在⊙O中，若点C是AB的中点，∠AOC＝45°，则∠AOB＝（ ）
A．45°B．80°C．85°D．90°
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】与圆有关的计算；应用意识．
【答案】D
【分析】根据垂径定理推出AC=BC，推出∠AOC＝∠BOC＝45°即可解决问题．
【解答】解：∵AC=BC，
∴∠AOC＝∠BOC＝45°，
∴∠AOB＝45°+45°＝90°，
故选：D．
【点评】本题考查垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．（3分）圆的半径是6cm，若圆心与直线的距离为6.5cm，则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交或相切B．相交
C．相切D．相离
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】D
【分析】若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
【解答】解：根据题意，可知圆的半径为6cm．
因为圆心到直线l的距离为6.5cm，
d＞r，
直线和圆相离，
故选：D．
【点评】主要考查了直线与圆的位置关系，利用d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离是解题关键．
6．（3分）下列事件中是必然事件的是（ ）
A．明天太阳从东边升起B．明天下雨
C．明天的气温比今天高D．明天买彩票中奖
【考点】随机事件．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】A
【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．
【解答】解：A、明天太阳从东边升起，是必然事件，故此选项正确；
B、明天下雨，事件可能发生，也可能不发生，为不确定事件，即随机事件，故不符合题意；
C、明天的气温比今天高，事件可能发生，也可能不发生，为不确定事件，即随机事件，故不符合题意；
D、明天买彩票中奖事件可能发生，也可能不发生，为不确定事件，即随机事件，故不符合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了随机事件，关键是理解必然事件就是一定发生的事件；解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．
7．（3分）下列关于反比例函数y=−6x的结论中正确的是（ ）
A．图象过点（2，3）
B．图象在二、四象限内
C．在每个象限内，y随x的增大而减小
D．当x＞﹣1时，y＞6
【考点】反比例函数的性质．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】B
【分析】直接利用反比例函数的性质进行判断即可．
【解答】解：A、当x＝2时，y＝﹣3，图象不经过点（2，3），故此选项错误；
B、∵k＝﹣6＜0，∴图象在二，四象限内，故此选项正确；
C、∵k＝﹣6＜0，∴在每个象限内，y随x的增大而增大，故此选项错误；
D、当x＞﹣1时，则y＞6或y＜0，故此选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数增减性是解题的关键．
8．（3分）如图△BCD中，BD＝CD＝5，延长CD至点A，使AD＝3，连结AB，此时△ABC∽△ADB．则BC的长为（ ）
A．1063B．5153C．203D．45
【考点】相似三角形的性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】A
【分析】根据相似三角形的对应边成比例解答．
【解答】解：∵CD＝5，AD＝3，
∴AC＝AD+CD＝8
∵△ABC∽△ADB，
∴BCDB=ACAB=ABAD．
∴AB2＝AC•AD＝24．
∴AB＝26．
∴BC5=263．
∴BC=1063．
故选：A．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，解题过程中，利用了“相似三角形的对应边成比例”的性质，属于基础题．
9．（3分）在抛物线y＝x2上任取一点A（非坐标原点O），连接OA，在OA上取点B，使OB=13OA，则顶点在原点且过点B的抛物线的表达式为（ ）
A．y=13x2B．y＝9x2C．y=19x2D．y＝3x2
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；应用意识．
【答案】D
【分析】过A作AD⊥x轴于D，过B作BC⊥x轴于C，设A（m，m2），证明△OBC∽△OAD，由OB=13OA，可得B（13m，13m2），令x=13m，y=13m2，即可得y＝3x2．
【解答】解：过A作AD⊥x轴于D，过B作BC⊥x轴于C，如图：
设A（m，m2），
∵AD⊥x轴，BC⊥x轴，
∴BC∥AD，
∴∠OCB＝∠ODA，∠OBC＝∠OAD，
∴△OBC∽△OAD，
∴OBOA=OCOD=BCAD，
∵OB=13OA，
∴OC=13OD，BC=13AD，
∴B（13m，13m2），
令x=13m，y=13m2，
∴m＝3x，
∴y=13×（3x）2＝3x2，
即顶点在原点且过点B的抛物线的表达式为y＝3x2，
故选：D．
【点评】本题考查求二次函数解析式，解题的关键是证明△OBC∽△OAD，用含m的代数式表示B的坐标．
10．（3分）如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻R来控制电流I实现灯光亮度的变化．电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图2所示．下列结论正确的是（ ）
A．I=200RB．当I＞10时，R＞22
C．当I＝5时，R＝40D．当I＞2时，0＜R＜110
【考点】反比例函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】D
【分析】设电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系为I=kR，根据待定系数法求得I=220R，以此判断A选项；分别将I＝10、2代入函数关系中，在根据反比例函数的性质即可判断B、D选项；将I＝5代入函数关系式中，求出R即可判断C选项．
【解答】解：由图象可知，电流I（A）与电阻R（Ω）之间满足反比例函数关系，
设电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系为I=kR，
∵点（50，4.4）在函数I=kR的图象上，
∴k50=4.4，
解得：k＝220，
∴电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系为I=220R，故A选项错误，不符合题意；
当I＝10时，则10=220R，
∴R＝22，
由函数图象可知，该函数在第一象限内y随x的增大而减小，
∴当I＞10时，0＜R＜22，故B选项错误，不符合题意；
当I＝5时，则5=220R，
∴R＝44，故C选项错误，不符合题意；
当I＝2时，则2=220R，
∴R＝110时，
由函数图象可知，该函数在第一象限内y随x的增大而减小，
∴当I＞2时，0＜R＜110，故D选项正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查反比例函数的应用、用待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的图象与性质．要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．（注：频率=钉尖向上的次数投掷次数）
下面有四个推断：
①当投掷次数是600时，计算机记录“钉尖向上”的次数是400，所以“钉尖向上”的概率是0.667；
②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；
③若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率一定是0.620；
④若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的情况一定高于500次．
其中合理的是 ② ．
【考点】利用频率估计概率；概率的意义．
【专题】概率及其应用；推理能力．
【答案】②．
【分析】根据图象和各个推断的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：当投掷次数是600时，计算机记录“钉尖向上”的次数是400，所以此时“钉尖向上”的频率是：400÷600≈0.667，但“钉尖向上”的概率不一定是0.667，故①错误；
随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618．故②正确；
若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率可能是0.620，但不一定是0.620，故③错误；
由图可知，用计算机模拟实验，当投掷次数为1000时，则“钉尖向上”的频率是0.620，由此可得当投掷次数为1000时，则“钉尖向上”的频率在0.620左右，但不代表一定是0.620，则“钉尖向上”的情况不一定高于500次，故④错误，不符合题意．
故答案为：②．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
12．（3分）双曲线y1、y2在第一象限的图象如图，y1=4x，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于B，交y轴于C，若S△AOB＝3，则y2的解析式是 y2=10x ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【专题】数形结合．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据k的几何意义得出△CAO的面积为2，进而得出△CBO面积为5，即可得出y2的解析式．
【解答】解：∵y1=4x，
∴S△CAO＝2，
又∵S△AOB＝3，
∴S△CBO＝5，
故可得反比例函数y2的k值为10，
即y2的解析式为：y2=10x．
故答案为：y2=10x．
【点评】此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，根据已知得出△CAO的面积为2，进而得出△CBO面积为5是解决问题的关键．
13．（3分）抛物线y＝x2+bx+c图象向右平移2个单位再向下平移1个单位，所得图象的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，则c＝ ﹣2 ．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】﹣2．
【分析】只需要将函数y＝x2﹣2x﹣3向左平移2个单位长度再向上平移1个单位长度得到的抛物线解析式即为抛物线y＝x2+bx+c的解析式，由此即可得到答案．
【解答】解：把抛物线y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4向左平移2个单位长度再向上平移1个单位长度得到的抛物线解析式为y＝（x﹣1+2）2﹣4+1＝（x+1）2﹣3＝x2+2x﹣2，
∴y＝x2+bx+c＝x2+2x﹣2，
∴c＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查二次函数图象与几何变换，熟知二次函数图象的平移规律是解题的关键．
14．（3分）如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，OC＝5，则ABCD= 25 ．
【考点】位似变换．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】25．
【分析】直接利用位似图形的性质进而分析得出答案．
【解答】解：∵以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，OC＝5，
∴△BOA∽△DOC，
∴OAOC=ABDC，
∴ABDC=25．
故答案为：25．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确得出对应边的比值是解题关键．
15．（3分）如图，正六边形ABCDEF的边长为1，分别以其对角线AD，CE为边作正方形，则两个阴影部分的面积差a﹣b的值为 1 ．
【考点】正多边形和圆；正方形的性质．
【专题】正多边形与圆；运算能力；推理能力．
【答案】1．
【分析】根据正六边形、正三角形的性质求出AD，CE，再根据正方形的面积的计算方法进行计算即可．
【解答】解：∵正六边形ABCDEF的边长为1，
∴OA＝OB＝OD＝OE＝1，∠AOB＝∠DOE＝60°，
∴AD＝2OA＝2，EG=32OE=32，DG=12OE=12，
∴CE＝2EG=3，
∴a﹣b＝AD2﹣CE2
＝4﹣3
＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正三角形、正方形、正六边形的性质是正确解答的关键．
16．（3分）若抛物线y＝x2+x﹣m与坐标轴有1个交点，则m的取值范围是 m＜−14 ．
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】m＜−14．
【分析】已知抛物线与y轴交于点（0，﹣m），由抛物线y＝x2+x﹣m与坐标轴有1个交点，可得出抛物线与x轴没有交点，x2+x﹣m＝0没有实数根，即Δ＜0，即可判断m的范围．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+x﹣m与y轴交于点（0，﹣m），与坐标轴有1个交点，
∴y＝x2+x﹣m与x轴没有交点，
∴x2+x﹣m＝0没有实数根，
∴Δ＜0，
∴12﹣4×1×（﹣m）＜0，
解得m＜−14，
故答案为m＜−14．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要牢记抛物线与x轴交点个数的判定方法．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）在直角坐标系中，图案△ABO经过变化后，得到的相应图案如图①～⑥所示（虚线为原图案）．图①～图⑥中的图案变化前后，其中一点P（x，y）与之对应点的坐标之间各有什么关系？（填写表格）
【考点】几何变换的类型；坐标与图形性质．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平移规律写出图（1）～图（6）中的图案变化前后，其对应点的坐标的关系即可．
【解答】解：填写如下：
【点评】本题考查了利用平移设计图案、几何变换的类型，解决本题的关键是掌握平移的性质．
18．（6分）一个不透明的袋子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同．
（1）小明认为，搅匀后从中任意摸出一个球，不是白球就是红球，因此摸出白球和摸出红球是等可能的．你同意他的说法吗？为什么？
（2）任意摸出一个球，摸到白球和摸到红球的概率各是多少？
（3）任意摸出一个球，摸到黄球的概率呢？
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】（1）不同意，理由见解答；
（2）23，13；
（3）0．
【分析】（1）根据白球和红球的个数即可判断；
（2）分别用白球和红球的个数除以球的总个数即可得出答案；
（3）摸到黄球是不可能事件，据此可得答案．
【解答】解：（1）不同意，
因为白球的个数比红球的个数多，
所以摸到白球的可能性大；
（2）摸到白球的概率为23，红球的概率为13；
（3）任意摸出一个球，摸到黄球的概率为0．
【点评】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
19．（6分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，F为AD上一点，且BF＝BD．BF的延长线交AC于点E．
（1）求证：AB•AD＝AF•AC；
（2）若∠BAC＝60°，AB＝4，AC＝6，求DF的长．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】（1）见解析；（2）435．
【分析】（1）证△AFB∽△ADC即可
（2）作BH⊥AD于H，作CN⊥AD于N，则BH=12AB＝2，CN=12AC＝3，再证△BHD∽△CND即可．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠DAC，
又∵BF＝BD，
∴∠BFD＝∠FDB，
∴∠AFB＝∠ADC，
∴△AFB∽△ADC，
∴AFAD=ABAC．
∴AB•AD＝AF•AC；
（2）解：作BH⊥AD于H，作CN⊥AD于N，则BH=12AB＝2，CN=12AC＝3，
∴AH=3BH＝23，AN=3CN＝33，
∴HN=3，
∵∠BDH＝∠CDN，
∴△BHD∽△CND，
∴HDDN=BHCN=23，
∴HD=235，
又∵BF＝BD，BH⊥DF，
∴DF＝2HD=435．
【点评】此题主要考查相似三角形的性质，灵活运用相似三角形的边的比例关系是解题的关键．
20．（8分）如图，正比例函数y＝x与反比例函数y=kx（k≠0，x＞0）的图象交于点A（22，m ），点P是反比例函数y=kx（k≠0，x＞0）图象上的一动点．过点P作PH上x轴，垂足为H，交直线y＝x于点G．
（1）求k与m的值；
（2）若△OPG的面积是2，求此时点P的坐标．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）k＝8，m＝22；
（2）（2，4）或（23，433）．
【分析】（1）利用正比例函数的解析式求得m＝22，然后利用待定系数法即可求得k＝8；
（2）设H点的横坐标为x，则G（x，x），即可求得S△GOH=12x2，由S△POH=12k＝4，得出S△OPG＝S△POH﹣S△GOH＝4−12x2＝2或S△OPG＝S△GOH﹣S△POH=12x2﹣4＝2，进而求得P点的坐标．
【解答】解：（1）∵正比例函数y＝x与反比例函数y=kx（k≠0，x＞0）的图象交于点A（22，m ），
∴m＝22，k＝22m，
∴k＝8，
（2）设H点的横坐标为x，则G（x，x），
∴S△GOH=12x2，
∵S△POH=12k＝4，
当P在A的上方时，S△OPG＝S△POH﹣S△GOH＝4−12x2＝2，
∴x＝2（负数舍去），
∴P点的横坐标为2，
∴y=82=4，
∴P点的坐标为（2，4）；
当P在A的下方时，S△OPG＝S△GOH﹣S△POH=12x2﹣4＝2，
∴x＝23（负数舍去），
∴P点的横坐标为23，
∴P点的坐标为（23，433）；
故P点的坐标为（2，4）或（23，433）．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，表示出点的坐标是解题的关键．
21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD交AC于点E，AD=CD．
（1）求证：OD//BC；
（2）若AC＝8，DE＝2，求BC的长．
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的计算；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；（2）6．
【分析】（1）根据垂径定理得OD⊥AC，根据圆周角定理得BC⊥AC，然后由平行线的判定可得结论；
（2）根据垂径定理和等腰三角形的性质得DE＝4，设⊙O半径为R，则OA＝R，OE＝R﹣4，然后根据勾股定理和中位线性质可得答案．
【解答】解：（1）∵AD=CD，
∴OD⊥AC，
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，
∴：OD∥BC．
（2）∵AD＝CD，
∴OD⊥AC于点E且AE＝CE，
又∵AC＝8，
∴AE＝CE=12AC＝4，
∵DE＝2，
设⊙O半径为R，则OA＝R，OE＝R﹣2，
在Rt△AOE中，
OA2＝OE2+AE2，即R2＝（R﹣2）2+42，
∴R＝5，
又∵O，E为AB，AC的中点，
∴OE=12BC，OE∥BC，
∴BC＝2OE＝2×（5﹣2）＝6．
【点评】此题考查的是圆的性质，掌握圆周角定理、垂径定理是解决此题关键．
22．（9分）某商品市场销售抢手，其进价为每件80元，售价为每件130元，每个月可卖出500件；据市场调查，若每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件（每件售价不能高于240元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的涨价多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
（3）每件商品的涨价多少元时，每个月的利润恰为40000元？根据以上结论，请你直接写出x在什么范围时，每个月的利润不低于40000元？
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．
【专题】销售问题；一元二次方程及应用；二次函数图象及其性质；二次函数的应用；运算能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据总利润等于每件的利润乘以销售量，可列出y关于x的函数关系式；根据每件售价不能高于240元，可得关于x的不等式，求解即可；
（2）将（1）中的二次函数关系式写成顶点式，根据二次函数的性质，可得答案；
（3）令y＝40000，可得关于x的一元二次方程，解得x值，并根据问题的实际意义作出取舍，再结合二次函数的性质，可得x的取值范围．
【解答】解：（1）设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元，由题意得：
y＝（130﹣80+x）（500﹣2x）
＝﹣2x2+400x+25000
∵每件售价不能高于240元
∴130+x≤240
∴x≤110
∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x2+400x+25000，自变量x的取值范围为0＜x≤110，且x为正整数．
（2）∵y＝﹣2x2+400x+25000
＝﹣2（x﹣100）2+45000
∴当x＝100时，y有最大值45000元．
∴每件商品的涨价100元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是45000元．
（3）令y＝40000，得：
﹣2x2+400x+25000＝40000
解得：x1＝50，x2＝150
∵0＜x≤110
∴x＝50，即每件商品的涨价为50元时，每个月的利润恰为40000元；
由二次函数的性质及问题的实际意义，可知当50≤x≤110，且x为正整数时，每个月的利润不低于40000元．
∴每件商品的涨价为50元时，每个月的利润恰为40000元；当50≤x≤110，且x为正整数时，每个月的利润不低于40000元．
【点评】本题考查了二次函数和一元二次方程在成本利润问题中的应用，明确成本利润问题的基本关系式，并明确二次函数和一元二次方程的性质及解法，是解题的关键．
23．（9分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E．
（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，若∠ABC＝60°，BE＝33，求图中阴影部分的面积．
【考点】直线与圆的位置关系；扇形面积的计算；勾股定理；垂径定理；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【答案】（1）详见证明过程；
（2）4π−332．
【分析】（1）连接OD，只要证明出OD⊥DE即可，根据角平分线的意义，等腰三角形的性质以及直角三角形两锐角互余可得结论；
（2）求出圆的半径及相应的圆心角度数，根据扇形面积与三角形面积之间的关系进行计算即可．
【解答】证明：（1）连接OD，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
又∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵DE⊥BC，
∴∠E＝90°，
∴∠CBD+∠BDE＝90°，
∴∠ODB+∠BDE＝90°，
即OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵DF⊥AB，
∴∠DFB＝90°＝∠E，
又∵∠ABD＝∠CBD=12∠ABC＝30°，BD＝BD，
∴△BDF≌△BDE （AAS）
∴BF＝BE＝33，
在Rt△BDF中，∠FBD＝30°，BF＝33，
∴DF＝tan30°×BF=33×33=3，
在Rt△ODF中，∠DOF＝2∠OBD＝30°×2＝60°，DF＝3，
∴OF＝tan30°×DF=33×3=3，OD＝2•OF＝23，
∴S阴影＝S扇形OAD﹣S△ODF
=60360π×（23）2−12×3×3
＝2π−332
=4π−332．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直角三角形的边角关系，圆周角定理以及与圆有关的计算，掌握切线的判断方法和直角三角形的边角关系是证明和解答的关键．
24．（10分）【问题情境】
如图①，在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝10，矩形DEFG的顶点分别在△ABC的边上，设DG的长为x，矩形DEFG的面积为y．
【分析及解决问题】
（1）①填空：FG＝ 102−2x （用含x的代数式表示）；
②当x的值为多少时，矩形DEFG的面积最大？最大面积是多少？
【拓展应用】
（2）如图②，某酒店后面有一块梯形空地ABCD，其中AB＝40m，CD＝200m，∠C＝∠D＝45°，为缓解车位紧张，该酒店计划在这块空地上修建一个矩形停车场EFGH，其余部分铺设为草坪，为方便车辆进出，矩形停车场的一边GH和空地的最长边CD重合，E、F分别在边AD、BC上，求修建的矩形停车场的面积的最大值．
【考点】相似形综合题．
【专题】几何综合题；二次函数图象及其性质；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】（1）①102−2x；②当x=522时，矩形DEFG的面积最大，最大面积是25；
（2）该矩形停车场的最大面积为5000m2．
【分析】（1）①利用等腰直角三角形的性质和矩形的性质即可求得答案；
②根据矩形的面积公式和二次函数的性质即可求得答案；
（2）延长DA，CB交于点M，利用等腰直角三角形性质可求得DM，设EH＝x m，由等腰直角三角形性质得出DE，进而求得EM，EF，再运用矩形面积公式及二次函数的性质即可求得答案．
【解答】解：（1）①∵等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝10，
∴∠B＝∠C＝45°，AC＝AB＝10，BC=2AB＝102，
∵矩形DEFG的顶点分别在△ABC的边上，DG＝x，
∴EF＝DG＝x，FG＝DE，∠BDG＝∠CEF＝90°，
∴△BDG和△CEF均为等腰直角三角形，
∴BD＝DG＝x，CE＝EF＝x，
∴DE＝BC﹣BD﹣CE＝102−2x，
∴FG＝102−2x；
故答案为：102−2x；
②S矩形DEFG＝DE•DG＝（102−2x）x＝﹣2x2+102x，
当x=−1022×(−2)=522时，S矩形DEFG取得最大值，最大面积为25；
（2）如图，延长DA，CB交于点M，
根据题意可知，△CDM，△EFM，△DEH均为等腰直角三角形，
∵AB＝40m，CD＝200m，
∴DM＝1002m，
设EH＝x m，则DE=2EH=2x（m），
∴EM＝DM﹣DE＝1002−2x=2（100﹣x）m，
∴EF=2EM＝（200﹣2x）m，
∴S矩形EFGH＝EH•EF＝x（200﹣2x）＝﹣2x2+200x＝﹣2（x﹣50）2+5000，
∵﹣2＜0，0＜x≤80，
∴当x＝50时，四边形EFGH的面积最大，最大面积为5000m2，
答：该矩形停车场的最大面积为5000m2．
【点评】此题是相似三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质等知识，能够根据相似三角形求出矩形的宽是解答此题的关键．
25．（10分）若凸四边形的两条对角线所夹锐角为60°，我们称这样的凸四边形为“完美四边形”．
（1）在“平行四边形、梯形、菱形、正方形”中，一定不是“完美四边形”的有 菱形、正方形 ；
（2）如图1，“完美四边形”ABCD内接于⊙O，AC与BD相交于点P，且对角线AC为直径，AP＝1，PC＝5，求另一条对角线BD的长；
（3）如图2，平面直角坐标系中，已知“完美四边形”ABCD的四个顶点A（﹣3，0）、C（2，0），B在第三象限，D在第一象限，AC与BD交于点O，直线BD的解析式为y=3x，且四边形ABCD的面积为153，若二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象同时经过这四个顶点，求a的值．
【考点】二次函数综合题．
【专题】综合题；新定义；数形结合；方程思想；待定系数法；一元二次方程及应用；一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；圆的有关概念及性质；与圆有关的计算；解直角三角形及其应用；几何直观；运算能力；推理能力；创新意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由菱形、正方形的对角线互相垂直即可作出判断；
（2）过点O作OH⊥BD于点H，连接OD，由AP＝1，PC＝5可得直径的长，由“完美四边形”的定义可得∠OPH＝60°，在Rt△OPH中，由三角函数求得OH；在Rt△ODH中，由勾股定理求得DH的长，由垂径定理可得BD＝2DH，计算即可；
（3）过点B作BM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N，求得直线BD的解析式，设二次函数解析式为y＝a（x+3）（x﹣2），联立得方程组，整理得一元二次方程，根据韦达定理得出xB+xD=−a−3a，xB•xD＝﹣6，从而可用a表示出（xB﹣xD）2，然后由四边形的面积可得xD﹣xB＝6，则可得关于a的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵菱形、正方形的对角线互相垂直，
∴菱形、正方形不是“完美四边形”．
故答案为：菱形、正方形；
（2）过点O作OH⊥BD于点H，连接OD，如图1：
∴∠OHP＝∠OHD＝90°，BH＝DH=12BD，
∵AP＝1，PC＝5，
∴⊙O直径AC＝AP+PC＝6，
∴OA＝OC＝OD＝3，
∴OP＝OA﹣AP＝3﹣1＝2，
∵四边形ABCD是“完美四边形”，
∴∠OPH＝60°，
在Rt△OPH中，sin∠OPH=OHOP=32，
∴OH=32OP=3，
在Rt△ODH中，由勾股定理得：DH=OD2−OH2=32−(3)2=6，
∴BD＝2DH＝26．
（3）过点B作BM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N，如图2：
∴∠BMO＝∠DNO＝90°，
∵四边形ABCD是“完美四边形”，
∴∠COD＝60°，
∴直线BD解析式为y=3x，
∵二次函数的图象过点A（﹣3，0）、C（2，0），即与x轴交点为A、C，
∴设二次函数解析式为y＝a（x+3）（x﹣2），
联立y=a(x+3)(x−2)y=3x，整理得：ax2+（a−3）x﹣6a＝0，
∴xB+xD=−a−3a，xB•xD＝﹣6，
∴（xB﹣xD）2＝（xB+xD）2﹣4xB•xD＝（−a−3a）2+24，
∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD
=12AC•BM+12AC•DN
=12AC（BM+DN）
=12AC（yD﹣yB）
=12AC（3xD−3xB）
=532（xD﹣xB），
∵四边形ABCD的面积为153，
∴532（xD﹣xB）＝153，
∴xD﹣xB＝6，
∴（−a−3a）2+24＝36，
解得：a1=−6−311，a2=6−311，
∴a的值为−6−311或6−311．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、新定义在几何图形中的应用、平行四边形的性质、圆的性质及相关计算、勾股定理、解直角三角形及一元二次方程的应用等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．图号
图形的变化
对应点坐标的变化
①

②

③


④


⑤


⑥


图号
图形的变化
对应点坐标的变化
①
向右平移3个单位长度
P（x，y）→P1（x+3，y）
②
向上平移2个单位长度
P（x，y）→P1（x，y+2）
③
向右平移4个单位、向上平移2个单位
P（x，y）→P1（x+4，y+2）
④
缩小四分之三
P（x，y）→P1（34x，34y）
⑤
沿x轴翻折
P（x，y）→P1（x，﹣y）
⑥
放大为原图形的2倍
P（x，y）→P1（2x，2y）