河北省三河市第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考 数学试题（含解析）

这是一份河北省三河市第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考 数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（）
A.B.C.D.
2.命题“对任意，都有”的否定是（）
A.对任意，都有B.对任意，都有
C.存在，使得D.存在，使得
3.若实数a，b满足，则下列不等式中正确的是（）
A.B.C.D.
4.函数的定义域是（）
A.B.C.D.
5.“”是“”的（）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6.若函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能是（）
A.B.C.D.
7.已知函数，且，则等于（）
A.-3B.-1C.1D.3
8.下列命题中真命题是（）
A.函数与是同一个函数
B.当时，不等式恒成立，则的取值范围是
C.不等式的解集为
D.若函数的定义域为[0，3]，则函数的定义域为[0，1]
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知集合M，N满足，则集合M，N可能是（）
A.B.
C.D.
10.已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（）
A.B.若，则的值是
C.的解集为D.的值域为
11.给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作，即.例如:.在此基础上给出下列关于函数的四个命题中假命题是（）
A.B.
C.D.的定义域是，值域是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.满足关系的集合有_____________个.
13.已知，则的最小值为_____________.
14.定义在上的函数满足:，则_____________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题13分）已知集合.
（1）求集合;
（2）设集合，且，求实数的取值范围.
16.（本小题15分）已知命题:方程有两个不相等的实数根;命题.
（1）若为假命题，求实数的取值范围;
（2）若p，q中一真一假，求实数的取值范围.
17.（本小题15分）（1）已知是二次函数，且满足，求解析式;
（2）已知，求的解析式;
（3）已知一次函数满足，求的解析式.
18.（本小题17分）某工厂生产某种产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系可近似地表示为.已知此工厂的年产量最小为150吨，最大为250吨.
（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求出最低平均成本;
（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求出最大利润.
19.（本小题17分）已知函数.
（1）关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集;
（2）已知，当时，，
①若存在正实数a，b，使不等式有解，求的取值范围;
②求的最小值.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解:因为，所以.
故选:D.
根据已知条件，结合交集的定义，即可求解.
本题主要考查交集及其运算，属于基础题.
2.【答案】D
【解析】解：命题“对任意，都有”的否定是存在，使得.
故选:D.
利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可.
本题考查命题的否定，是基础题.
3.【答案】D
【解析】解：A中，因为，可得，所以A不正确；
B中，因为，而a，b的绝对值的大小不定，所以的符号不定，所以B不正确;
C中，a，b的绝对值大小不定，所以的大小关系不定，所以C不正确；D中，因为，所以，所以D正确.
故选:D.
由表达式的性质判断出所给命题的真假.
本题考查不等式的性质的应用，属于基础题.
4.【答案】A
【解析】解:依题意，，解得，所以函数的定义域为.
故选:A.
根据函数定义域的求法求得正确答案.本题主要考查了函数定义域的求解，属于基础题.
5.【答案】A
【解析】解：由题意，“”是“”的充分而不必要条件.
故选:A.
根据充分而不必要条件的定义判断.
本题考查充分而不必要条件的应用，属于基础题.
6.【答案】A
【解析】【分析】本题主要考查了函数三要素的应用，属于基础题.通过函数的定义域和值域，分析四个选项的定义域和值域，即可得出正确图像.
【解答】解：由题意，在中，定义域为，值域为，
选项A，定义域为，值域为，满足题意，A正确.
选项B，定义域为，值域不是，不满足定义域和值域，B错误.
选项C，定义域为，值域为，不满足定义域，故C错误.
选项D，根据函数定义知，对于每一个都有唯一确定的对应，故D中图像不是函数的图像，D错误.
故选A.
7.【答案】A
【解析】解:因为，所以，故
所以当时，，解得，舍去;
当时，，解得，满足题意；
综上：.
故选:A.
分类讨论与两种情况，代入解方程即可.
本题主要考查函数的值，属于基础题.
8.【答案】D
【解析】解：对于A，函数的定义域为的定义域为，
函数与不是同一个函数，所以A不正确；
对于B，当时，不等式恒成立，
当时，恒成立，
当时，则需满足，可得，
综合可得的取值范围是，所以B不正确；
对于C，不等式即，则或，
其解集为或，所以C不正确；
对于D，函数的定义域为[0，3]，即，
则对于函数有，所以，即其定义域为[0，1]，所以D正确.
故选:D.
根据函数的定义，可判断出的真假；根据不等式恒成立，讨论的取值，结合一元二次不等式恒成立，判断出B的真假；解一元二次不等式，判断出C的真假；根据抽象函数的定义域求法，判断出D的真假.
本题考查不等式的解集的求法及分类讨论的思想，属于基础题.
9.【答案】BD
【解析】解：对于A，若，则，故A错误；
对于B，若，则，故B正确；
对于C，若，则，故C错误；
对于D，若，则，故D正确.
故选:BD.
根据交、并集的定义和运算，结合选项即可求解.
本题主要考查了集合交集运算，属于基础题.
10.【答案】ABD
【解析】解：由，得，
又，
，故A正确;
当时，由，解得:（舍），
当时，由，解得:（舍）或，
的解为，故B正确;
当时，由，解得:，
当时，由，解得:，
的解集为，故C错误;
当时，，
当时，，
的值域为，故D正确.
故选:ABD.
将代入，得，将代入，可知A正确;分别在和的情况下，根据解析式构造不等式和方程可判断BC正误；分别在和的情况下，结合一次函数和二次函数的值域求法可知D正确.
本题考查分段函数的应用，考查运算求解能力，是中档题.
11.【答案】BD
【解析】解:因为，
，所以，
所以正确;
错误;
因为，所以，故C正确;
的定义域是，
因为，所以，即，
所以值域是，故D错误.
故选:BD.
根据定义可以得到，进而求得各个函数值，然后判定，根据，可以得到，即得的值域，从而判定.本题考查函数综合应用，属于中档题.
12.【答案】4
【解析】解：因为，则.
故答案为：4.
由已知结合集合子集的定义即可求解.
本题主要考查了集合子集个数的判断，属于基础题.
13.【答案】4
【解析】解:，
，当且仅当时取等号.
故答案为：2.
利用“乘1法”和基本不等式即可得出.
本题考查了“乘1法”和基本不等式，属于基础题.
14.【答案】0
【解析】解：定义在上的函数满足：，
令时，，则，
令时，即，则.
故答案为:0.
令时，可计算的值，再令时，可直接求.
本题考查函数求值相关知识，属于基础题.
15.【答案】解:（1），则，
又，则;
（2），
，且，
，解得
实数的取值范围为.
【解析】（1）进行补集和交集的运算即可;（2）根据可得出，然后即可得出，然后解出的范围即可.
本题主要考查了集合的基本运算，还考查了集合的基本关系的应用，属于基础题.
16.【答案】解：（1）根据为假命题，可得是真命题，
即方程有两个不相等的实数根，
所以，即，解得，
即实数的取值范围是；
（2）若命题为真命题，
由（1）可知此时必定为真命题，不符合题意；
所以若p、q中一真一假，则为真命题且为假命题，
此时且，即，可得实数的取值范围是.
【解析】（1）若为假命题，则为真命题，从而利用一元二次方程根的判别式列式，算出实数的取值范围；
（2）若p、q中一真一假，结合（1）的结论，可知真假，进而求出实数的取值范围.
本题主要考查一元二次方程根的判别式及其应用、复合命题真假的判断、不等式的解法等知识，属于基础题.
17.【答案】解：（1）设，
因为，所以，则.
由题意可知:，
对照系数可得，解得.
所以.
（2）令，则，
所以.
所以.
（3）设，
因为，所以，
对照系数可得，解得，
所以.
【解析】（1）利用待定系数法即可得到解析式;
（2）利用换元法即可得到解析式；
（3）利用待定系数法即可得到解析式.
本题考查利用换元法和待定系数法求函数解析式，属于中档题.
18.【答案】解:（1）由题意可得，生产每吨产品的平均成本为，
又因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以年产量为200吨时，平均成本最低为20万元；
（2）设利润为，
则，
又因为，
所以当时，.
即年产量为220吨时，最大利润为840万元.
【解析】（1）由题意可得，再利用基本不等式求最值即可;
（2）设利润为，则，再结合二次函数的性质求解.
本题主要考查了函数的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，属于中档题.
19.【答案】解:（1）因为关于的不等式的解集为，
所以，即
所以不等式可转化为，
又，所以，即，
当，即时，解得;
当，即时，解得;
当，即时，解得，
综上所述:当时，不等式的解集为;
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为.
（2）因为当时，，所以，即，所以，
①若存在正实数a，b，使不等式有解，
则，
，
当且仅当，即时，，
所以，解得或，
即的取值范围是.
②由，可得，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为36.
【解析】（1）由不等式的解集为，确定，代入，再分类讨论即可；
（2）由条件得到，①由不等式有解，可得，利用基本不等式求出，再解一元二次不等式即可得解；
②将化简，利用乘“1”法，结合基本不等式即可求解最小值.
本题主要考查一元二次不等式的解法，基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中档题.