河北省石家庄二中润德学校2024-2025学年高一上学期第一次月考 数学试题（含解析）

这是一份河北省石家庄二中润德学校2024-2025学年高一上学期第一次月考 数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题要求．）
1. 已知集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求得集合，由集合的并集的定义求解即可.
，又，
所以.
故选：D.
2. 若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据图中阴影部分表示求解即可.
由题知：图中阴影部分表示，
，则.
故选：A
3. 命题“，”的否定为（）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用全称量词命题的否定直接写出结论即可.
命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
因此命题“，”的否定是，.
故选：A
4. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解出集合，再利用交集含义即可.
或，
，
则.
故选：D.
5. 若，，则下列不等式正确的是（）
AB.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对BD举反例即可，对AC根据不等式性质即可判断.
对A，因为，则，故A错误；
对B，当时，则，故B错误；
对C，因为，则，故C正确；
对D，当时，则，故D错误.
故选：C.
6. “”是“”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】解出不等式，根据充分不必要条件的判定即可得到答案.
，解得或，
则“”可以推出“”，但“”无法推出“”，
则“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
7. 关于的一元二次方程有实数根，且，则下列结论中错误的说法是（）
A. 当时，，B. 当时，
C. 当时，D. 当时，
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，借助二次函数的图象，逐项分析判断即可.
对于A，当时，方程的二实根为，A正确；
对于B，方程，即，，解得，
当时，，B错误；
对于C，令，依题意，是函数的图象与直线交点的横坐标，
在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图，
观察图象知，当时，，C正确；
对于D，当时，，D正确.
故选：B
8. 设集合，集合若中恰有一个整数，则实数a的取值范围（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出集合，再根据中恰有一个整数，列出不等式求解.
由已知可得集合或x>1,
由解得，，
所以，
因为，所以，则，且小于0，
由中恰有一个整数，所以，
即，也即，解得，
故选：B．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 已知关于的不等式的解集为，则（）
A. B. 不等式的解集是
C. D. 不等式的解集为
【答案】BC
【解析】
【分析】利用一元二次不等式的解集用表示，再逐项分析判断即得.
对于A，由不等式的解集为，得是方程的两个根，且，A错误；
对于B，，则，
不等式，即，解得，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，不等式，即，整理得，解得或，D错误
故选：BC
10. 已知都是正数，且满足，则下列说法正确的是（）
A. 的最大值为1B. 的最小值为2
C. 的最小值为2D. 的最小值为1
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据给定条件，借助基本不等式及“1”的妙用逐项计算判断即得.
对于A，由，，得，当且仅当时取等号，A正确；
对于B，，当且仅当时取等号，B错误；
对于C，，
当且仅当时取等号，C正确；
对于D，
，当且仅当，即时取等号，D正确.
故选：ACD
11. 用表示非空集合中元素的个数，定义，已知集合，则下面正确结论正确的是（）
A. ，
B. ，
C. “”是“”的充分不必要条件
D. 若，则
【答案】AC
【解析】
【分析】根据集合新定义，结合一元二次方程，逐项分析判断即可.
对于A，当时，，此时，A正确；
对于B，当时，，此时，B错误；
对于C，当时，，则，而，，因此；
当时，而，则或，若，满足，解得；
若，则方程的两个根都不是方程的根，
且，解得，因此“”是“”的充分不必要条件，C正确；
对于D，由，而，得或，由C知：或，
因此，，D错误.
故选：AC
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12. 已知集合，，若，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用交集的定义，结合集合的包含关系求解即得.
由，得，而，，则，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
13. 若一个直角三角形的斜边长等于，当这个直角三角形周长取最大值时，其面积为______．
【答案】18
【解析】
【分析】由题意画出图形，结合勾股定理并通过分析得知当最大值，这个直角三角形周长取最大值，根据基本不等式的取等条件即可求解.
如图所示：
在中，，
而直角三角形周长，
由勾股定理可知，
若要使最大，
只需即最大即可，
又，等号成立当且仅当，
所以，，，
等号成立当且仅当，
此时，其面积为.
故答案为：18.
14. 若不等式对于恒成立，则实数的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】分与两种情况求解即可.
当时，不等式变形为，对恒成立，满足题意；
当时，由题得不等式，对恒成立，
应满足，解得，
综上所述：，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题，共77分）
15. 设集合，，．
（1），求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围．
【答案】（1）或
（2）或.
【解析】
【分析】（1）根据集合的补集定义以及集合的交集运算，即可求得答案；
（2）依题意可得，讨论集合是否为空集，列出相应的不等式，即可求得结果.
【小问1详解】
当时，可得，
故可得或，而，
所以或.
【小问2详解】
由“”是“”的充分不必要条件可得；
当时，，解得，符合题意；
当时，需满足，且和中的等号不能同时取得，
解得；
综上可得，m的取值范围为或.
16. 已知命题，，命题，.若p真、q假，求实数m的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】
命题p是真命题，再利用参变分离求恒成立问题得，再由为真，解一元二次方程得，从而求得的范围.
若命题p是真命题，则对恒成立，即对恒成立.
当时，，所以，即.
若命题q是假命题，则，使得为真命题.
即关于x的方程有正实数根.
当时，有正实数根；
当时；依题意得，即，设两根为、，
①当方程有个两正实数根时，，且，解得，此时；
②当方程有一正一负两个实数根时，，解得，此时；
综上所述，.
因为p真、q假，所以实数m的取值范围是.
【点睛】本题考查全称命题和特称命题的真假求参数、一元二次方程根的分布，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.
17. （1）已知，求的最大值；
（2）已知，，且，求的最小值；
（3）解关于的不等式（其中）．
【答案】（1）；（2）；（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）化简得，再利用基本不等式即可；
（2）利用基本不等式构造出，解出即可；
（3）因式分解为，再对进行分类讨论即可.
（1），
当且仅当，即，即时等号成立.
则的最大值为.
（2）因为 , 且 ,
则，
解得 或 （舍去），
当且仅当时等号成立，
则的最小值为.
（3）不等式化为，（其中），
当时，解得；
当时，不等式化为，
若，即，解得；
若，无实数解；
若，即，解得，
所以当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
18. 已知集合．
（1）判断10，11，12是否属于集合A；
（2）若集合，证明：；
（3）写出所有满足集合A的偶数构成的集合，并说明理由．
【答案】（1）；；
（2）证明见详解（3），理由见详解
【解析】
【分析】（1）先由平方差公式因数分解，再利用方程组思想确定是否有整数解，从而得出判断；
（2）根据题意结合子集关系分析证明即可；
（3）利用平方差因数分解，利用奇偶数思想分析，即可得到满足集合中的偶数一定是4的倍数，再证明4的倍数一定是集合中的元素，从而可得集合中的偶数一定是.
【小问1详解】
假设，
则，且，
由于，所以或，显然均无整数解，
所以；
由于，满足集合A中元素特征，所以；
由于，满足集合A中元素特征，所以.
小问2详解】
对任意，均有，
可知，所以.
【小问3详解】
集合，而，
①当和同为奇数和偶数时，均为偶数，所以为4的倍数，
反之当，则不妨令，
可解得，满足集合A中元素特征，
所以满足集合A的偶数为；
②当和一奇一偶时，和均为奇数，
所以为奇数，不满足题意；
综上所述：所有满足集合A的偶数构成的集合为.
【点睛】关键点点睛：本题第3小问的解决关键是分类讨论和同为奇数和偶数与和一奇一偶两种情况，结合因式分解即可得解.
19. 已知方程．
（1）若对任意实数m，方程恒有两个不相等的实数解，求实数n的取值范围；
（2）若方程有两个不相等实数解，且．求的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由根的判别式大于0得到，求出，从而得到；
（2）由韦达定理得到，代入中得到，结合立方和公式化简得到，令，由单调性得到，结合基本不等式求出的最小值，得到答案.
【小问1详解】
因为，所以，
故，所以，
其中，当且仅当时，等号成立，
故，所以的取值范围为；
【小问2详解】
有两个不相等的实数解，
，
由韦达定理得，
故，所以，此时，
所以
，因为，
所以，
令，其在上单调递增，故，
故，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为．
【点睛】关键点点睛：变形得到，换元后，由函数单调性和基本不等式求最值.