河北省承德市2024-2025学年高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份河北省承德市2024-2025学年高一上学期期末数学试题（解析版），共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，则．
故选：C.
2. 函数的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得，解得或或．
所以函数的定义域为：.
故选：A.
3. 若幂函数的图象过点()，则是（ ）
A. 奇函数B. 偶函数
C. 上的增函数D. R上的增函数
【答案】C
【解析】设幂函数，则，解得，
所以，
由于该函数定义域为，故既不是奇函数也不是偶函数，
且是上的增函数，所以A、B、D都是错误的.
故选：C.
4. 已知函数，且)图象经过定点A，则点A的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】令，则，
所以过的定点的坐标为．
故选：B.
5. "”是“关于x的不等式有解”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若关于的不等式有解，
则，得．
由“”可以推出“”，由“”不能推出“”，
所以“”是“关于的不等式有解”的充分不必要条件．
故选：A.
6. 已知，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为，
所以．
故选：D.
7. 如图，这是一块扇形菜地，是弧的中点，是该扇形菜地的弧所在圆的圆心，D为和的交点，若米，则该扇形菜地的面积是（ ）
A. 平方米B. 平方米
C. 平方米D. 平方米
【答案】A
【解析】如图，连接．因为是弧的中点，所以，米．
因为，所以，所以，
所以是等边三角形，则．
因为米，所以米，米，
则该扇形菜地的面积是平方米．
故选：A.
8. 已知，则的最小值为（ ）
A. 25B. 6C. 10D. 5
【答案】D
【解析】由题意得，则
，
当且仅当，即时，等号成立．
故的最小值为5．
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知角的终边经过点，则（ ）
A B.
C. D. 第四象限角
【答案】AC
【解析】由题意得，AC正确，B错误．
易得为第二象限角，D错误．
故选：AC.
10. 已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则（ ）
A.
B. 的图象关于点对称
C.
D.
【答案】ACD
【解析】对A：因为为奇函数，所以，
令，则，A正确；
对B：由，得，则，
即的图象关于点对称，B错误；
对C：当时，，则，，
，故C正确；
对D：根据C选项，递推可得：，因为，所以，则，得，故D正确．
故选：ACD.
11. 已知函数则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若在上单调递增，则的值可以为
C. 存在，使得在上单调递减
D. 若的值域为，则的取值范围为
【答案】ABD
【解析】由题意得，得，得，A正确；
若在上单调递增，则，得，B正确；
若在上单调递减，则，不等式组无解，C错误；
若的值域为，则，得在上单调递增．
当时，在上单调递增，则，得，
即．
当时，在上单调递减，在上单调递增，则，
得恒成立，即2．
综上，的取值范围为，D正确．
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在世界级的比赛当中，参加滑雪大跳台项目的女子选手所进行的空中转体动作的旋转度数分为720度、900度、1080度、1260度、1440度5个维度，则1260度的弧度数为_______.
【答案】
【解析】因为．
13. 已知函数，则函数的值域为_______.
【答案】
【解析】易得是减函数，所以．
令，则，因为函数在上单调递增，
所以，即值域为．
14. 如图，已知是半径为的扇形，，是弧上的动点，过点作，垂足为，某地区欲建一个风景区，该风景区由和矩形组成，且，则该风景区面积的最大值为_____________.
【答案】
【解析】设，则，，
则，
则，
设该风景区面积为，则，
令，则，
即，
函数对称轴，
即当时，面积取最大值，此时.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （1）求值：（为正数）.
（2）若（且），求的值．
解：（1）原式．
（2）由题意得，
由，得，则，即．
故．
16. 已知.
（1）求的值；
（2）求的值．
解：（1）由，
得，所以.
（2）.
17. 已知函数
（1）证明：在内至少有一个零点．
（2）讨论函数的零点个数.
解：（1）由题意得，，
因为的图象是一条连续不断的曲线，且，
所以在内至少有一个零点．
（2）由题意得．
令，得．
令，函数，
则的零点个数等于的图象与直线的公共点个数．
的大致图象如图所示．
当时，的图象与直线的公共点个数为0，即函数的零点个数为0．
当或时，的图象与直线的公共点个数为1，
即函数的零点个数为1．
当时，的图象与直线的公共点个数为2，即函数的零点个数为2．
18. 已知是偶函数，，且在上单调递增．
（1）比较与2的大小；
（2）求不等式的解集；
（3）若函数，且，且不等式在上恒成立，求的取值范围．
解：（1）因为是偶函数，所以．
又在上单调递增，所以在上单调递减，
则，即．
（2）由，得，
得，解得或，
即不等式的解集为．
（3）当时，在上单调递减，在值域为，
所以不等式不恒成立．
当时，在上单调递减，在上单调递增，
要使不等式在上恒成立，则，得，得，即．
综上，的取值范围为．
19. 已知函数的定义域为．若且，则称是凹函数；若且，则称是凸函数．
（1）已知函数．
①求的解析式；
②判断是凹函数还是凸函数，根据凹函数，凸函数的定义证明你的结论．
（2）讨论函数在定义域上的凹凸性.
解：（1）①根据题意，，
所以.
②是凹函数；
，且，
则
，
因为，所以，
所以，即，
故是凹函数.
（2），
则
，
因为，
所以，
所以当时，，
即，函数在定义域上为凸函数，
当时，，
即，函数在定义域上为凹函数.