河北省石家庄正定中学2024-2025学年高一上学期第一次月考 数学试题（含解析）

这是一份河北省石家庄正定中学2024-2025学年高一上学期第一次月考 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知全集，，则=（ ）
A． B．C．D．
2．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知，则的最小值是（ ）
A．4B．8C．12D．16
4．设，为实数，甲：，乙：，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．下列表示集合和关系的Venn图中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．若，，，则ab的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知命题为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知表示不超过x的最大整数，集合，，且，则集合B的子集个数为（ ）．
A．4B．8C．16D．32
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．若，则下列结论一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
三、单选题
11．群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：①对任意的a，，有；②对任意的a，b，，有；③存在，使得对任意的，有，e称为单位元；④对任意的，存在，使，称a与b互为逆元.则称G关于“”新构成一个群.则下列说法不正确的有（ ）
A．关于数的乘法构成群
B．自然数集关于数的加法构成群
C．实数集R关于数的乘法构成群
D．关于数的加法构成群
四、填空题
12．若，则的取值范围为 .
13．某校“田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则三项比赛都参加的有 人.
14．已知，且，则的最小值为 .
五、解答题
15．已知集合.
(1)求；
(2)求.
16．如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，每间虎笼的长为a（单位：）、宽为b（单位：）（a，b都为正数）.
(1)现有可围长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)若使每间虎笼面积为，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？
17．已知关于x的不等式：.
(1)若，求该不等式的解集；
(2)设命题P：实数x满足，其中；命题q：实数x满足，且q是p的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
18．根据要求完成下列问题：
(1)已知，求出的最小值，以及取最小值x，y的值；
(2)已知a，b，c，，比较与的大小并说明理由；
(3)利用（2）的结论解决下面问题：已知m，n均为正数，且，求的最大值.
19．设数集A由实数构成，且满足：若且，则.
(1)若，试证明A中还有另外两个元素；
(2)集合A是否为只含有两个元素的集合，并说明理由；
(3)若A中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A.
（提示：）
参考答案：
1．B
【分析】根据并集定义即可求解.
【详解】，，=.
故选：B.
【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.
2．B
【分析】根据全称命题的否定是特称命题得出结果即可；
【详解】命题“”的否定是.
故选：B.
3．D
【分析】由基本不等式可得答案.
【详解】已知，则，，
当且仅当，即时“”成立，故所求最小值是16.
故选：D．
4．B
【分析】根据不等式的性质及充分条件、必要条件的概念得解.
【详解】因为，推不出，
而，
所以甲是乙的必要不充分条件，
故选：B
5．A
【分析】依题意可求得集合，根据集合中的元素可判断两集合之间的关系.
【详解】根据题意由可得，即；
解方程可得或，解得或或或，
即可得；
因此可得集合有交集，但没有包含关系.
故选：A
6．D
【分析】根据题意利用基本不等式可得，以为整体，解一元二次不等式即可.
【详解】因为，，由基本不等式可得，
即，解得或（舍去），即，
当且仅当，即时，等号成立，
故ab的取值范围是．
故选：D．
7．D
【分析】问题转化为不等式的解集为，根据一元二次不等式解集的形式求参数的值.
【详解】因为命题为真命题，所以不等式的解集为.
所以：若，则不等式可化为，不等式解集不是；
若，则根据一元二次不等式解集的形式可知：.
综上可知：
故选：D
8．C
【分析】由新定义及集合的概念可化简集合，再由可知，分类讨论的归属，从而得到集合的元素个数，由此利用子集个数公式即可求得集合的子集的个数.
【详解】由题设可知，，
又因为，所以，
而，
因为的解为或，的两根满足，
所以分属方程与的根，
若是的根，是的根，则有，解得，
代入与，解得或与或，
故；
若是的根，是的根，则有，解得，
代入与，解得或与或，
故；
所以不管如何归属方程与，集合总是有4个元素，
故由子集个数公式可得集合的子集的个数为.
故选：C
9．BCD
【分析】根据数集的定义以及子集的概念即可得到结果.
【详解】对于A，是整数集，所以，故A错误；
对于B，是自然数集，所以，故B正确；
对于C，是的一个子集，所以，故C正确；
对于D，，这样的实数不存在，所以，故D正确；
故选：BCD.
10．BD
【分析】根据给定条件，利用不等式性质，结合作差法比较大小即得.
【详解】对于A，由，得，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，，D正确.
故选：BD
11．D
【分析】反例判断A，B，C是否满足④，对于D，对所有的，设，求出，依次看是否满足要求.
【详解】A：由且，使，但，不存在，使，故A错误；
B：由且，都有，但，不存在，使，故B错误；
C：由且，使，但，不存在，使，故C错误；
D：对所有的，可设，
则，
①满足加法结合律，即，有；
②，使得，有；
③，设，使，正确.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：对于D，对所有的，，求出.
12．
【分析】根据已知条件结合不等式性质求范围即可.
【详解】因为,所以,
又因为,所以.
故答案为：.
13．2
【分析】根据容斥原理可分析出3项都参加的人数.
【详解】根据题意，设是参加100米的同学，是参加400米的同学，是参加1500米的同学，
，
则，
且，
则，
所以三项比赛都参加的有2人，
故答案为：2.
14．2
【分析】先由题意得且，接着将代入整理得，再根据基本不等式中常数“1”的妙用方法即可计算求解.
【详解】因为，且，
所以且，
所以
，
当且仅当即时等号成立，
所以的最小值为2.
故答案为：2.
15．(1)；
(2)；；
或.
【分析】（1）由交集以及并集的运算，即可得到结果；
（2）根据题意，先求，，再由交集的运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）因为，
所以，.
（2）由题意可得或，或，
则，
，
或.
16．(1)每间虎笼的长设计为、宽设计为时，可使每间虎笼面积最大，面积最大为.
(2)每间虎笼的长设计为、宽设计为时，可使围成四间笼的钢筋网总长最小，最小值为48m.
【分析】（1）先由题意得，，每间虎笼面积为，再利用基本不等式即可求出面积S的最大值以及此时的值.
（2）先由题意得，钢筋网总长为，再利用基本不等式即可求出l的最小值以及此时的值.
【详解】（1）由题得即，，
设每间虎笼面积为S，则，
因为，当且仅当时等号成立，
所以即，
所以每间虎笼的长、宽时，可使每间虎笼面积最大，面积最大为.
（2）由题意可得，
设钢筋网总长为l，则，
因为，当且仅当即时等号成立，
所以每间虎笼的长设计为、宽设计为时，可使围成四间笼的钢筋网总长最小，最小值为48m.
17．(1)
(2)
【分析】（1）将代入进去求不等式即可；
（2）根据题意可得是的真子集，再根据取值范围求解即可.
【详解】（1）当时，不等式为，
因式分解为，
所以解集为；
（2）命题P：实数x满足，
因式分解为，因为，
所以解集为，
命题q：实数x满足，则解集为或，
因为q是p的必要不充分条件，得是的真子集，
所以或，解得或，
又，所以，
所以a的取值范围为.
18．(1)的最小值为24，此时；
(2)，理由见解析；
(3)的最大值为5.
【分析】（1）根据基本不等式“1”的妙用方法去计算即可求解；
（2）两式作差，根据差值情况即可比较；
（3）由（2）得，由该不等式即可得解.
【详解】（1）因为，
所以，
当且仅当即时等号成立，
所以的最小值为24，此时.
（2），理由如下：
因为
，
所以
（3）由（2）可得，
所以，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为5.
19．(1)证明见解析；
(2)不是，理由见解析；
(3)
【分析】（1）根据集合的性质代入3计算可得集合中还含有两个元素；
（2）根据集合中元素的互异性，易证明集合中至少含有三个元素；
（3）利用（2）中的结论可知集合中的元素个数需为3的倍数，再由元素个数不超过8个以及所有元素的积可确定A中的元素个数必为6个，再由所有元素的和为即可得出结论.
【详解】（1）证明：根据题意若，则，
若，则，
若，则，
因此可得集合，
即可知集合中除了含有3之外，还含有两个元素.
（2）由且，可得，
由可得，
由可得，且，易知方程均无解；
所以；
即可得集合中至少含有3个元素，
所以集合A不可能为只含有两个元素的集合.
（3）由（2）可知，若，则，
易知集合中的元素个数需为3的倍数，
若A中元素个数不超过8个，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，
由可知集合A中不可能只有3个元素，则集合A中的元素个数必为6个；
因此6个元素的积必为1，不妨取，解得或(舍)；
可知，
又所有元素的和为，不妨设，
根据提供解析式可解得或或,
所以.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据集合A中的元素性质，证明得出集合A中的元素个数必是3的倍数，再由元素个数以及所有元素的和及其积的性质计算即可得出集合A.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
D
B
A
D
D
C
BCD
BD
题号
11









答案
D