2025年中考数学几何专项复习专题19几何最值之阿氏圆巩固练习(提优)(原卷版+解析)

这是一份2025年中考数学几何专项复习专题19几何最值之阿氏圆巩固练习(提优)(原卷版+解析)，共12页。
2.如图，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，⊙B的半径为2，P为⊙B上一动点，则的最小值为 .
3.如图，在平面直角坐标系中，A（2，0）、B（0，2）、C（4，0）、D（3，2），P是△AOB外部的第一象限内一动点，且∠BPA＝135º，则2PD＋PC的最小值是 .
4.如图，点A、B在上，且OA＝OB＝6，且OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB上，且OD＝4，动点P在上.
（1）求2PC＋PD的最小值；
（2）求2PC＋3PD的最小值.
5.如图1，抛物线y＝ax2＋（a＋3）x＋3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．
（1）求a的值和直线AB的函数表达式；
（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；
（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E’A＋E’B的最小值．
6.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP、BP，求AP＋BP的最小值．
（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有＝＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP．∴＝，∴PD＝BP，∴AP＋BP＝AP＋PD．
请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP＋BP的最小值为 ．
（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，AP＋BP的最小值为 ．
（3）拓展延伸：已知扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝5，点P是上一点，求2PA＋PB的最小值．
几何最值之阿氏圆巩固练习
1.如图，已知AC＝6，BC＝8，AB＝10，⊙C的半径为4，点D是⊙C上的动点，连接AD，连接AD、BD，则的最小值为 .
【解答】
【解析】连接CD，在BC上取点E，使得CE＝2，连接AE、ED，如图所示：
∵CD＝4，BC＝8，CE＝2，，
，
∵∠BCD＝∠BCD，∴△CDE∽△CBD，
，，
∴BD＝2DE，，
，
根据两点之间，线段最短，当点D在AE上时，AD＋DE最小，最小值就是AE的长，
，∴∠ACB＝90º，
的最小值是.
2.如图，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，⊙B的半径为2，P为⊙B上一动点，则的最小值为 .
【解答】
【解析】在BC上取一点G，使得BG＝1，过点D作DF⊥BC的延长线交于点F，连接DG、BP，如图所示：
∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG ∽△CBP，
，∴当D、G、P三点共线时，的值最小，最小值为DG，
在Rt△CDF中，∠DCF＝60º，CD＝4，，
在Rt△GDF中，
的最小值为.
3.如图，在平面直角坐标系中，A（2，0）、B（0，2）、C（4，0）、D（3，2），P是△AOB外部的第一象限内一动点，且∠BPA＝135º，则2PD＋PC的最小值是 .
【解答】
【解析】依题意可得OA＝OB＝2，∠BPA＝135º，∴点P的轨迹是以原点为圆心，OA长为半径的圆O上的劣弧AB，构造圆O，连接OP，在OC上截取OE＝1，连接PE、ED，过点D作DF⊥OC于点F，如图所示：
，∠POC＝∠EOP，∴△POC ∽△EOP，
，，
，
当E、P、D三点共线时，PD＋PE的值最小，最小值为DE的值，
∵DF⊥OC于点F，则DF＝2，EF＝2，，
∴的最小值为2DE.
4.如图，点A、B在上，且OA＝OB＝6，且OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB上，且OD＝4，动点P在上.
（1）求2PC＋PD的最小值；
（2）求2PC＋3PD的最小值.
【解答】（1）；（2）
【解析】（1）连接OP，在射线OA上截取AE＝6，连接PE，如图所示：
则OE＝OA＋AE＝12，
∵C是OA的中点，，
又∵∠POC＝∠EOP，∴△OPC ∽△OEP，，
∴PE＝2CP，∴2PC＋PD＝PE＋PD≥DE，
当P、D、E三点共线时，2PC＋PD的值最小，
在Rt△ODE中，，
∴2PC＋PD的最小值是；
（2）在射线OB上截取BF＝3，连接CF交于点P，连接OP，如图所示：
OF＝OB＋BF＝9，
∵OD＝4，，
，
当C、P、F三点共线时，2PC＋3PD的值最小，
在Rt△OCF中，，
∴2PC＋3PD的最小值为.
5.如图1，抛物线y＝ax2＋（a＋3）x＋3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．
（1）求a的值和直线AB的函数表达式；
（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；
（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E’A＋E’B的最小值．
【解答】（1）；（2）m＝2；（3）
【解析】（1）令y＝0，则ax2＋（a＋3）x＋3＝0，
∴（x＋1）（ax＋3）＝0，
∴x＝﹣1或，
∵抛物线y＝ax2＋（a＋3）x＋3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），
∴＝4，
∴a＝．
∵A（4，0），B（0，3），
设直线AB解析式为y＝kx＋b，则，
解得，
∴直线AB解析式为．
（2）如图1中，
∵PM⊥AB，PE⊥OA，
∴∠PMN＝∠AEN，∵∠PNM＝∠ANE，
∴△PNM∽△ANE，
∴，
∵NE∥OB，
∴，
∴AN＝（4﹣m），
∵抛物线解析式为，
∴PN＝﹣（）＝，
∴，解得m＝2．
（3）如图2中，在y轴上 取一点M′使得OM′＝，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE．
∵OE′＝2，OM′•OB＝×3＝4，
∴OE′2＝OM′•OB，
∴，∵∠BOE′＝∠M′OE′，
∴△M′OE′∽△E′OB，
∴，
∴M′E′＝BE′，
∴AE′＋BE′＝AE′＋E′M′＝AM′，此时AE′＋BE′最小（两点间线段最短，A、M′、E′共线时），
最小值＝AM′＝．
6.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP、BP，求AP＋BP的最小值．
（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有＝＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP．∴＝，∴PD＝BP，∴AP＋BP＝AP＋PD．
请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP＋BP的最小值为 ．
（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，AP＋BP的最小值为 ．
（3）拓展延伸：已知扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝5，点P是上一点，求2PA＋PB的最小值．
【解答】（1）；（2）；（3）13
【解析】（1）如图1，
连结AD，
∵AP＋BP＝AP＋PD，要使AP＋BP最小，
∴AP＋AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP＋AD最小，
即：AP＋BP最小值为AD，
在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝6，
∴，
AP＋BP的最小值为；
（2）如图2，
连接CP，在CA上取点D，使CD＝，
∴，
∵∠PCD＝∠ACP，
∴△PCD∽△ACP，
∴，
∴PD＝AP，
∴AP＋BP＝BP＋PD，
∴同（1）的方法得出AP＋BP的最小值为；
（3）如图3，
延长OA到点E，使CE＝6，
∴OE＝OC＋CE＝12，
连接PE、OP，
∵OA＝3，
∴，
∵∠AOP＝∠AOP，
∴△OAP∽△OPE，
∴，
∴EP＝2PA，
∴2PA＋PB＝EP＋PB，
∴当E、P、B三点共线时，取得最小值为：.