2025年中考数学几何专项复习专题15几何最值之将军饮马巩固练习(提优)(原卷版+解析)

这是一份2025年中考数学几何专项复习专题15几何最值之将军饮马巩固练习(提优)(原卷版+解析)，共14页。试卷主要包含了已知等内容，欢迎下载使用。
A. B. C. 6D. 3
2.如图，在四边形ABCD中，DA⊥AB，DA＝6，∠B＋∠C＝150º，CD与BA的延长线交于E点，A刚好是EB中点，P、Q分别是线段CE、BE上的动点，则BP＋PQ最小值是( )
A. 12B. 15C. 16D. 18
3.如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM＝CN，连接BM、BN，当BM＋BN最小时，∠MBN＝ 度.
4.如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD内一动点，且，则PC＋PD的最小值为 .
5.如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，点D是直线BC上一点.
（1）如图1，若AC＝BC＝2，点D是BC边的中点，点M是线段AB上一动点，求△CMD周长的最小值；
（2）如图2，若AC＝4，BC＝8，是否存在点D，使以A，D，B为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直按写出线段CD的长度；若不存在，请说明理由.
6.如图，在锐角三角形ABC中，BC＝4 ，∠ABC＝45º，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，试求CM＋MN的最小值.
7.如图，在平行四边形ABCD中，BD是对角线，∠ADB＝90º，E、F分别为边AB、CD的中点.
（1）求证：四边形DEBF是菱形；
（2）若BE＝4，∠DEB＝120º，点M为BF的中点，当点P在BD边上运动时，求PF＋PM的最小值.
8.已知：矩形ABCD中，AD＝2AB，AB＝6，E为AD中点，M为CD上一点，PE⊥EM交CB于点P，EN平分∠PEM交BC于点N.
（1）求证：PE＝EM；
（2）用等式表示BP2、PN2、NC2三者的数量关系，并加以证明；
（3）过点P作PG⊥EN于点G，K为EM中点，连接DK、KG，求DK＋KG＋PG的最小值.
几何最值之将军饮马巩固练习
1.如图所示，在四边形ABCD中，∠A＝90º，∠C＝90º，∠D＝60º，AD＝3，AB＝，若点M、N分别为边CD，AD上的动点，则△BMN的周长最小值为（ ）
A. B. C. 6D. 3
【解答】C
【解析】作点B关于CD、AD的对称点分别为点B'和点B''，连接B'B''交DC和AD于点M和点N，连接MB、NB；再DC和AD上分别取一动点M’和N’（不同于点M和N），连接M'B，M'B'，N’B和N'B''，如图1所示：
∵B'B''＜M'B'＋M'N'＋N'B"，B'M'＝BM'， B"N'＝BN'，∴BM'＋M'N'＋BN'＞B'B"，
又∵B'B"＝B'M＋MN＋NB"，MB＝MB'，NB＝NB''，
∴NB＋NM ＋BM＜ BM'＋M’N'＋BN'，＝NB＋NM＋BM时周长最小；
连接DB，过点B'作B'H⊥DB''于B’’D的延长线于点H，如图示2所示：
在Rt△ABD中，AD＝3，AB＝，
，∴∠2＝30º，
∴∠5＝30º，DB＝DB''，
又∵∠ADC＝∠1＋∠2＝60º，∴∠1＝30º，
∴∠7＝30º，DB'＝DB，
∴∠B'DB''＝∠1＋∠2＋∠5＋∠7＝120º，
DB'＝DB''＝DB＝，
又∵∠B'DB"＋∠6＝180º，∴∠6＝60º，∴HD＝，HB'＝3，
在Rt△B'HB''中，由勾股定理得：
B'B"＝，
∴＝NB＋NM＋BM＝6，故选C.
2.如图，在四边形ABCD中，DA⊥AB，DA＝6，∠B＋∠C＝150º，CD与BA的延长线交于E点，A刚好是EB中点，P、Q分别是线段CE、BE上的动点，则BP＋PQ最小值是( )
A. 12B. 15C. 16D. 18
【解答】D
【解析】如图，作点B关于CE的对称点F，连接BF，EF，则EB＝EF，
∵∠B＋∠C＝150º，∴∠BEC＝30º，
∴∠BEF＝60º，∴△BEF是等边三角形，
连接BP，PF，PQ，则BP＝FP，∴BP＋QP＝FP＋PQ，
当F，P，Q在同一直线上且FQ⊥EB时，BP＋PQ的最小值为FQ的长，
此时，Q为EB的中点，故与A重合，
∵DA⊥AB.DA＝6，∴AE ＝，
∴Rt△QEF中，FQ＝AE＝18，
∴BP＋PQ最小值值为18，故选D.
3.如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM＝CN，连接BM、BN，当BM＋BN最小时，∠MBN＝ 度.
【解答】30º
【解析】作CH⊥BC，使得CH＝BC，连接NH，BH，如图所示：
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，CH⊥BC，
∴∠DAC＝∠DAB＝30º，AD∥CH，
∴∠HCN＝∠CAD＝∠BAM＝30º，
∵AM＝CN，AB＝BC＝CH，
∴△ABM≌△CHN（SAS），
∴BM＝HN，
∵BN＋HN≥BH，
∴B，N，H共线时，BM＋BN＝NH＋BN的值最小，
当B，N，H共线时，如图所示：
∵△ABM≌△CHN，∴∠ABM＝∠CHB＝∠CBH＝45º，
∵∠ABD＝60º，∴∠DBM＝15º，∴∠MBN＝45º－15º＝30º，
当BM＋BN的值最小时，∠MBN＝30º.
4.如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD内一动点，且，则PC＋PD的最小值为 .
【解答】
【解析】如图，作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC.设AM＝，
∵四边形ABC都是矩形，
AB//CD， AB＝ CD＝4， BC＝AD＝6，
，
∴，∴＝2，
∴AM＝2，DM＝EM＝4，
在Rt△ECD中，，
∵PM垂直平分线段DE，∴PD＝PE，
∴PC＋PD＝PC＋PE≥EC，∴PD＋PC≥，
∴PD＋PC的最小值为.
5.如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，点D是直线BC上一点.
（1）如图1，若AC＝BC＝2，点D是BC边的中点，点M是线段AB上一动点，求△CMD周长的最小值；
（2）如图2，若AC＝4，BC＝8，是否存在点D，使以A，D，B为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直按写出线段CD的长度；若不存在，请说明理由.
【解答】（1）△CMD周长的最小值为；（2）存在，详细见解析
【解析】（1）如图，作C关于AB的对称点E，连接DE交AB于M，此时，△CMD周长的值最小，
∵AC＝BC，∠ACB＝90º，
∴∠BCE＝45º，
连接BE，∴BC＝BE＝2，
△CBE是等腰直角三角形，
，
∴△CMD周长的最小值＝ ；
（2）存在，
∵AC＝4，BC＝8，
，
当AD1＝AB时，△AD1B的等腰三角形，
∵AC⊥BC，∴CD1＝BC＝8
当BD2＝AB＝ 时，△AD2B是等腰三角形，
，
当AD3＝D3B时，△AD3B的等腰三角形，∴BD3＝8－CD3，
解得CD2＝3，
当BD4＝AB＝ 时，△AD4B的等腰三角形，
∴CD4＝8＋ ，
综上所述，以A，D，B为顶点的三角形是等腰三角形，线段CD的长度为8或－8或3或＋8.
6.如图，在锐角三角形ABC中，BC＝4 ，∠ABC＝45º，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，试求CM＋MN的最小值.
【解答】4
【解析】如图所示，过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M'，过点M'作M'N'⊥BC于N'，则CE即为CM＋MN的最小值.
∵BC＝，∠ABC＝45º，BD平分∠ABC，
∴△BCE是等腰直角三角形，
，
故CM＋MN的最小值为4.
7.如图，在平行四边形ABCD中，BD是对角线，∠ADB＝90º，E、F分别为边AB、CD的中点.
（1）求证：四边形DEBF是菱形；
（2）若BE＝4，∠DEB＝120º，点M为BF的中点，当点P在BD边上运动时，求PF＋PM的最小值.
【解答】（1）见解析；（2）
【解析】（1）证明：∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DBC＝∠ADB＝90º，
∵△ABD中，∠ADB＝90º，E时AB的中点，
∴DE＝AB＝AE＝BE，
同理，BF＝DF，
∵平行四边形ABCD中，AB＝CD，
∴DE＝BE＝BF＝DF，∴四边形DEBF是菱形；
（2）连接BF，如图所示：
∵菱形DEBF中，∠DEB＝120º，∴∠EBF＝60º，
∴△BEF是等边三角形，
∵M是BF的中点，∴EM⊥BF，
则，
即PF＋PM的最小值是.
8.已知：矩形ABCD中，AD＝2AB，AB＝6，E为AD中点，M为CD上一点，PE⊥EM交CB于点P，EN平分∠PEM交BC于点N.
（1）求证：PE＝EM；
（2）用等式表示BP2、PN2、NC2三者的数量关系，并加以证明；
（3）过点P作PG⊥EN于点G，K为EM中点，连接DK、KG，求DK＋KG＋PG的最小值.
【解答】（1）见解析；（2）BP2＋NC2＝PN2；（3）
【解析】（1）证明：过P作PQ⊥AD于Q，则PQ＝AB，如图所示：
∵AD＝2AB，E为AD中点，∴AD＝2DE，∴PQ＝DE，
∵PE⊥EM，
∴∠PQE＝∠D＝∠PEM＝90º，
∴∠QPE＋∠PEQ＝∠PEQ＋∠DEM＝90º，
∴∠QPE＝∠DEM，
∴△PQE≌△EDM（ASA），∴PE＝EM；
（2）三者的数量关系是：BP2＋NC2＝PN2
①点N与点C重合时，P为BC的中点，显然BP2＋NC2＝PN2成立；
②点P与点B重合时，N为BC的中点，显然BP2＋NC2＝PN2成立；
③证明：连接BE、CE，如图所示：
∵四边形ABCD为矩形，AD＝2AB，E为AD中点，
∴∠A＝∠ABC＝90º，AB＝CD＝AE＝DE，
∴∠AEB＝45º，∠DEC＝45º，
在△ABE和△DCE中，，
∴△ABE≌△DCE（SAS），∠BEC＝90º，∴BE＝CE，
∴∠EBC＝∠ECB＝45º，∴∠EBC＝∠ECD，
又∵∠BEC＝∠PEM＝90º，∴∠BEP＝∠MEC，∠EBP＝∠ECM
在△BEP和△CEM中，，
∴△BEP≌△CEM（ASA），∴BP＝MC，PE＝ME，
∵EN平分∠PEM，∴∠PEN＝∠MEN＝45º，
在△EPN和△EMN中，，
∴△EPN≌△EMN（SAS），∴PN＝MN，
在Rt△MNC中有：MC2＋NC2＝MN2，
∴BP2＋NC2＝PN2；
（3）连接PM，如图所示：
由（2），可得PN ＝MN， PE＝ ME，
∴EN垂直平分PM，PG⊥EN，
∴P、G、M三点共线，且G为PM的中点，
∵K为EM中点，，
又∵∠D＝90º，，
由（2），可得△PEM为等腰直角三角形，
根据勾股定理，可得，
，
∴当ME取得最小值时，DK＋GK＋PG取得最小值，
即当ME＝DE＝6时，DK＋GK＋PG有最小值，最小值为.