2025年中考数学几何专项复习专题16几何最值之瓜豆原理巩固练习(提优)(原卷版+解析)

这是一份2025年中考数学几何专项复习专题16几何最值之瓜豆原理巩固练习(提优)(原卷版+解析)，共11页。
2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90º，AC＝8，BC＝6，点D是以A为圆心，4为半径的圆上一点，连接BD，M为BD的中点，则线段CM的长度的最大值为 .
3.如图，已知线段AB＝12，点C在线段AB上，且△ACD是边长为4的等边三角形，以CD为边的右侧作矩形CDEF，连接DF，点M是DF的中点，连接MB，则线段MB的最小值为 .
4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，∠A＝30º，BC＝2，D是AB上一动点，以DC为斜边向右侧作等腰Rt△DCE，使∠CED＝90º，连接BE，则线段BE的最小值为 .
5.如图，已知在扇形AOB中，OA＝3，∠AOB＝120º，C是在上的动点，以BC为边作正方形BCDE，当点C从点A移动至点B时，求点D运动的路径长？
6.如图，A（－1，1），B（－1，4），C（－5，4），点P是△ABC边上一动点，连接OP，以OP为斜边在OP的右上方作等腰直角△OPQ，当点P在△ABC边上运动一周时，求点Q的轨迹形成的封闭图形面积是多少？
7.如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，轴于点M，交直线于点N，若点P是线段ON上的一个动点，∠APB＝30º，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动，求当点P从点O运动到点N时，求点B的运动路径长？
几何最值之瓜豆原理巩固练习
1.点A是双曲线在第一象限上的一个动点，连接AO并延长交另一交令一分支点B，以AB为斜边作等腰Rt△ABC，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也在不断变化，但始终在某函数图像上运动，则这个函数的解析式为 .
【分析】动点C可看作是由主动点A绕着原点O逆时针旋转90º得到的，所说点C所在的图像必然也是双曲线.
【解答】
【解析】连接OC，作CD⊥轴于点D，AE⊥轴于点E，如图所示：
设点A的坐标为，∵A、B两点是正比例函数图像与反比例函数图像的交点，
∴点A与点B关于原点对称，∴OA＝OB，
∵△ABC为等腰直角三角形，∴OC＝OA，OC⊥OA，
∴∠DOC＋∠AOE＝90º，
∵∠DOC＋∠DCO＝90º，∴∠DCO＝∠AOE，
在△COD与△OAE中，，∴△COD≌△OAE（AAS），
，
，∴点C在反比例函数的图像上.
2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90º，AC＝8，BC＝6，点D是以A为圆心，4为半径的圆上一点，连接BD，M为BD的中点，则线段CM的长度的最大值为 .
【分析】本题即可用中点模型处理（详见本专辑的专题02中点模型），也可以用瓜豆原理得到点M的轨迹，将问题转化为点到圆的距离问题，然后求解.
【解答】7
【解析】法一、中点模型
取AB的中点E，连接EM、CE，如图所示：
在Rt△ABC中，，
∵E是Rt△ABC斜边上的中点，∴CE＝5，
∵M是BD的中点，E是AB的中点，，
∴在△CEM中，，即，
∴CM的长度最大值为7.
法二、瓜豆原理
由M为BD的中点，结合瓜豆原理内容可得点M的轨迹是一个圆，如图所示，M点的轨迹就是由圆A以定点B为位似中心，以为位似比缩小来的.
∴圆E的半径为2，
当C、E、M三点共线时，CM的长度最大，
∵E是Rt△ABC斜边的中点，∴CE＝5，∴CM＝CE＋EM＝5＋2＝7.
3.如图，已知线段AB＝12，点C在线段AB上，且△ACD是边长为4的等边三角形，以CD为边的右侧作矩形CDEF，连接DF，点M是DF的中点，连接MB，则线段MB的最小值为 .
【解答】6
【解析】法一、连接AM、CM，如图所示：
∵△ACD为等边三角形，∴AC＝AD，∠DAC＝60º，
∵四边形DCFE是矩形，点M是DF的中点，∴DM＝CM，
在△ADM与△ACM中，，∴△ADM≌△ACM（SSS），
∴∠DAM＝∠CAM，
∵∠DAC＝60º，∴∠ACM＝30º，∴当BM⊥AM时，MB有最小值，
此时.
法二、如图所示
∵∠FCB＝30º，∴F的路径是定射线DF，
又∵点M是DF的中点，∴，
∵D点为定点，F点为主动点，M点为从动点，由瓜豆原理内容可知M点的路径亦是一条射线，
取CD的中点N，连接NM并延长，则射线NM就是M点的路径，且NM∥CF，
作BG⊥NM于点G，交CF于点H，则BG⊥CF，故BG＝BH＋HG＝BH＋CN＝4＋2＝6，
∴线段BM的最小值即为BG，最小值为6.
4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，∠A＝30º，BC＝2，D是AB上一动点，以DC为斜边向右侧作等腰Rt△DCE，使∠CED＝90º，连接BE，则线段BE的最小值为 .
【解答】
【解析】由题意可知C为定点，D点为主动点，路径为线段AB，点E为从动点，
∵△DCE是等腰直角三角形，∴∠DCE＝45º，，
结合瓜豆原理内容可知从动点E的路径为一条线段，可以看成是由线段AB先绕着定点C逆时针旋转45º，再以定点C为位似中心，以为位似比缩小来的，
如图，将BE的最小距离转化为点到线的最小距离（点B到的最短距离），
由旋转相似可得，，
，在中，有，则，
∴线段BE的最小值为.
5.如图，已知在扇形AOB中，OA＝3，∠AOB＝120º，C是在上的动点，以BC为边作正方形BCDE，当点C从点A移动至点B时，求点D运动的路径长？
【解答】
【解析】将圆O补充完整，延长BO交圆O于点F，取的中点H，连接FH、HB、BD，如图所示：
由题意可得△FHB是等腰直角三角形，HF＝HB，∠FHB＝90º，
∵∠FDB＝45º＝∠FHB，∴点D在圆H上运动，轨迹如图中蓝色虚线，
∴∠HFG＝∠HCF＝15º，∴∠FHG＝150º，
∴∠CHB＝120º，∴，
∴点D的运动路径长度为.
6.如图，A（－1，1），B（－1，4），C（－5，4），点P是△ABC边上一动点，连接OP，以OP为斜边在OP的右上方作等腰直角△OPQ，当点P在△ABC边上运动一周时，求点Q的轨迹形成的封闭图形面积是多少？
【解答】3
【解析】根据△OPQ是等腰直角三角形可得：Q点运动轨迹与P点轨迹形状相同，根据OP:OQ＝ ，可得P点轨迹图形与Q点轨迹图形相似比为，故面积比为2:1，△ABC面积为1/2×3×4＝6，故Q点轨迹形成的封闭图形面积为3．
7.如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，轴于点M，交直线于点N，若点P是线段ON上的一个动点，∠APB＝30º，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动，求当点P从点O运动到点N时，求点B的运动路径长？
【解答】
【解析】由题意可知，点N在直线上，于点M，则△OMN是等腰直角三角形，∴，
如图1，设动点P在O点（起点）时 ，点B的位置为，动点P在N点（终点）时，点B的位置为，连接，
，
又∵，
，相似比为，
，
如图2，当点P运动至ON上任意一点时，设其对应的点B为，连接AP、、，
∵，
∵，
，，
又，，
∴点在线段上，即线段就是点B运动的路径，
综上所述，点B运动的路径是线段，其长度为.