初中数学中考复习 专题39 几何最值之阿氏圆问题【热点专题】（原卷版）

问题分析：“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA:PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。

模型展示：如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P构成的图形为圆．

（1）角平分线定理：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，则．

证明：，，即

（2）外角平分线定理：如图，在△ABC中，外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D，则．

证明：在BA延长线上取点E使得AE=AC，连接BD，则△ACD≌△AED（SAS），CD=ED且AD平分∠BDE，则，即．

接下来开始证明步骤：

如图，PA：PB=k，作∠APB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理，，故M点为定点，即∠APB的角平分线交AB于定点；作∠APB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理，，故N点为定点，即∠APB外角平分线交直线AB于定点；又∠MPN=90°，定边对定角，故P点轨迹是以MN为直径的圆．

模型最值技巧：

计算的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形

问题：在圆上找一点P使得的值最小，解决步骤具体如下：

① 如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OB

② 计算出这两条线段的长度比

③ 在OB上取一点C，使得，即构造△POM∽△BOP，则，

④ 则，当A、P、C三点共线时可得最小值

【例1】如图，已知正方ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______．

【例2】如图，菱形的边长为2，锐角大小为，与相切于点E，在上任取一点P，则的最小值为___________．

【例3】如图，在中，∠C=90°，CA=3，CB=4．的半径为2，点P是上一动点，则的最小值______________的最小值_______

1．如图，矩形中，，以B为圆心，以为半径画圆交边于点E，点P是弧上的一个动点，连结，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

2．如图，已知菱形的边长为4，，的半径为2，P为上一动点，则的最小值_______．的最小值_______

3．如图，在中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D．连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是　　．

4．如图，抛物线与轴交于，，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，的平分线交轴于点，过点且垂直于的直线交轴于点，点是轴下方抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为，交直线于点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点的横坐标为，当时，求的值；

（3）当直线为抛物线的对称轴时，以点为圆心，为半径作，点为上的一个动点，求的最小值．

5．如图1，抛物线y＝ax2﹣6ax+6（a≠0）与x轴交于点A（8，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜8），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．

（1）分别求出直线AB和抛物线的函数表达式．

（2）设△PMN的面积为S1，△AEN的面积为S2，若S1：S2＝36：25，求m的值．

（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B．①在x轴上找一点Q，使△OQE′∽△OE′A，并求出Q点的坐标．

②求BE′+AE′的最小值．

6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线交抛物线于点P．连接AC．

（1）求点P的坐标及直线AC的解析式；

（2）如图2，过点P作x轴的垂线，垂足为E，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OF，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接FA、FC．求AF+CF的最小值；

7．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B．

（1）求抛物线解析式及B点坐标；

（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；

（3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．