中考数学二轮复习几何专项知识精讲+基础提优训练专题18 几何最值之费马点巩固练习（基础）（2份，原卷版+解析版）

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【解析】如图，在等腰Rt△DEF中，，
过点D作DM⊥EF于点M，过E、f分别作∠MEP＝∠MFP＝30°，则EM＝DM＝1，
，解得，则，
，
.
2.如图，点P为锐角△ABC的费马点，且PA＝3，PC＝4，∠ABC＝60°，则费马距离为 .
【解答】
【解析】如图所示，
∵∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120，∠ABC＝60°，
∴∠1＋∠3＝60°，∠1＋∠2＝60°，∠2＋∠4＝60°，
∴∠1＝∠4，∠2＝∠3，∴△BPC∽△APB，
，即，
.
3.已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求此正方形的边长．
【解答】2
【解析】如图，连接AC，把△AEC绕着点C顺时针旋转60º得到△GFC，连接EF、BG、AG，
易证△EFG、△AGC都是等边三角形，则EF＝CE，
又∵FG＝AE，∴AE＋BE＋CE＝BE＋EF＋FG，如下图所示：
∵点B、G为定点，∴线段BG即为点E到A、B、C三点距离之和的最小值，此时E、F两点都在BG上，
设正方形的边长为，则，
，
∵点E到A、B、C三点的距离之和的最小值是，
∴，解得.
4.若点P 为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°， 则点P叫做△ABC的费马点．
（1） 若P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC＝60°，PA＝3，PC＝4， 则PB的值为 ；
（2）如图，在锐角△ABC的外侧作等边△ACB′，连结BB′．求证：BB′ 过△ABC的费马点P，且BB′＝PA＋PB＋PC．
【解答】（1）；（2）见解析
【解析】（1）∵∠PAB＋∠PBA＝180º－∠APB＝60º，∠PBC＋∠PBA＝∠ABC＝60º，
∴∠PAB＝∠PBC，
又∵∠APB＝∠BPC＝120º，∴△ABP ∽△BCP，
；
（2）设点P为锐角△ABC的费马点，即∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°
如图，把△ACP绕点C顺时针旋转60°到△B′CE，连结PE，则△EPC为正三角形．
∵∠B′EC ＝ ∠APC ＝120°，∠PEC＝60°
∴∠B′EC＋∠PEC＝180°
即 P、E、B′ 三点在同一直线上，
∵∠BPC＝120°， ∠CPE＝60° ，∴∠BPC ＋∠CPE ＝180°，
即 B、P、E 三点在同一直线上
∴ B、P、E、B′ 四点在同一直线上，即BB′ 过△ABC的费马点P．
又PE＝PC，B′E＝ PA，∴ BB′＝E B′＋PB＋PE＝PA＋PB＋PC．
5.如图，向△ABC外作等边三角形△ABD，△AEC.连接BE，DC相交于点P，连接AP.
（1）证明：点P就是△ABC费马点；
（2）证明：PA＋PB＋PC＝BE＝DC；
【解答】（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，设AB交CD于O，如图所示：
∵△ADB，△ACE都是等边三角形，
∴AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝60°，
∴∠DAB＝∠BAE，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴CD＝BE，S△DAC＝S△ABE，∠ADC＝∠ABE，
∵AM⊥CD，AN⊥BE，
，
∴AM＝AN，
∴∠APM＝∠APN，
∵∠AOD＝∠POB，
∴∠OPB＝∠DAO＝60°，
∴∠APN＝∠APM＝60°，
∴∠APC＝∠BPC＝∠APC＝120°，
∴点P是就是△ABC费马点；
（2）在线段PD上取一点T，使得PA＝PT，连接AT，如图所示：
∵∠APT＝60°，PT＝PA，
∴△APT是等边三角形，
∴∠PAT＝60°，AT＝AP，
∵∠DAB＝∠TAP＝60°，
∴∠DAT＝∠BAP，
∵AD＝AB，
∴△DAT≌△BAP（SAS），
∴PB＝DT，
∴PD＝DT＋PT＝PA＋PB，
. PA＋PB＋PC＝PD＋PC＝CD＝BE.
6.如图，在△MNG中，，点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和最小值是 .
【解答】
【解析】以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME，连接ND，作DF⊥NM，交M的延长线于F，如图所示：
∵△MGD和△OME是等边三角形
∴OE＝OM＝ME，∠DMG＝∠OME＝60°，MG＝MD，
∴∠GMO＝∠DME，
在△GMO和△DME中，，
∴△GMO≌△DME（SAS），∴OG＝DE，
∴NO＋GO＋MO＝DE＋OE＋NO，
∴当D、E、O、M四点共线时，NO＋GO＋MO值最小，
∵∠NMG＝75°，∠GMD＝60°，
∴∠NMD＝135°，
∴∠DMF＝45°，
∵MG＝3，，
，
∴NO＋GO＋MO的最小值是.