2025年中考数学几何专项复习专题01角平分线模型巩固练习(提优)(原卷版+解析)

这是一份2025年中考数学几何专项复习专题01角平分线模型巩固练习(提优)(原卷版+解析)，共17页。
A．50B．56C．60D．72
2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC边于点D，过点D作BC的平行线交AB于点E．已知AD＝3，DE＝4，则下列结论正确的是（ ）
A．AE＝BEB．DE垂直平分AC
C．D．
3．如图，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分线AP，BP相交于点P，PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，下列结论：（1）PE＝PF；（2）点P在∠COD的平分线上；（3）∠APB＝90°﹣∠O，其中正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
4.在中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F，且，则AC= ．
5.如图，在中，，，、的平分线相交于点E，过点E作交AC于点F，则EF的长为 .
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，CE⊥BE于点E，连接AE．若AC＝BC＝4，则△ABE的面积为 ．
7.如图，，BE平分，CE平分，点E在AD上，求证：.
8.如图，在中，三条角平分线相交于点P，求点P到AB的距离.
9.如图，在中，AB为直径，CD平分交于点D，求证：.
10.如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点A在的斜边DE上，若，求两个三角形的重叠部分面积是多少？
11．已知：如图，AD∥BC，DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，交AB于点E，BD于点O．求证：点O到EB与ED的距离相等．
12．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）直接写出AB+AC与AE之间的等量关系．
角平分线模型巩固练习（提优）
1．如图，四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝8，BD＝13，BC＝12，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．50B．56C．60D．72
【解答】A
【解析】过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，则∠E＝∠C＝90°，
∵∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，
∴DE＝DC，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：
∴DE＝5，
在Rt△BED中，由勾股定理得：，
∵AB＝8，
∴AE＝BE﹣AB＝12﹣8＝4，
∴四边形ABCD的面积S＝S△BCD+S△BED﹣S△AED
＝50，
故选：A．
2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC边于点D，过点D作BC的平行线交AB于点E．已知AD＝3，DE＝4，则下列结论正确的是（ ）
A．AE＝BEB．DE垂直平分AC
C．D．
【解答】D
【解析】过D点作DF⊥AB于点F，
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC边于点D，
∴DC＝DF，
∵过点D作BC的平行线交AB于点E．
∴DE∥BC，
∴∠ADE＝∠C＝90°，
∵AD＝3，DE＝4，
∴，
∴，
∴DC＝DF＝≠3，故DE不能平分AC，故B说法错误；
∵，
∴AE≠BE，故A说法错误；
∵，
∴故C说法错误；
∵，故D说法正确；
故选：D．
3．如图，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分线AP，BP相交于点P，PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，下列结论：（1）PE＝PF；（2）点P在∠COD的平分线上；（3）∠APB＝90°﹣∠O，其中正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】C
【解析】（1）证明：作PH⊥AB于H，
∵AP是∠CAB的平分线，
∴∠PAE＝∠PAH，
在△PEA和△PHA中，
，
∴△PEA≌△PHA（AAS），
∴PE＝PH，
∵BP平分∠ABD，且PH⊥BA，PF⊥BD，
∴PF＝PH，
∴PE＝PF，
∴（1）正确；
（2）与（1）可知：PE＝PF，
又∵PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，
∴点P在∠COD的平分线上，
∴（2）正确；
（3）∵∠O+∠OEP+∠EPF+∠OFP＝360°，
又∵∠OEP+∠OFP＝90°+90°＝180°，
∴∠O+∠EPF＝180°，
即∠O+∠EPA+∠HPA+∠HPB+∠FPB＝180°，
由（1）知：△PEA≌△PHA，
∴∠EPA＝∠HPA，
同理：∠FPB＝∠HPB，
∴∠O+2（∠HPA+∠HPB）＝180°，
即∠O+2∠APB＝180°，
∴∠APB＝90°﹣，
∴（3）错误；
故选：C．
4.在中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F，且，则AC= ．
【解答】
【解析】过点E作于G，连接CF，如图所示：
分别是和的平分线，，CF是的平分线，
，
在中，，
由勾股定理可得.
5.如图，在中，，，、的平分线相交于点E，过点E作交AC于点F，则EF的长为 .
【解答】
【解析】延长FE交AB于点D，作于点G，作于点H，如图所示：
四边形BDEG是矩形，
平分，CE平分，四边形BDEG是正方形，在和中，
，
同理可得，
设，则，
，
，解得，，
，即，解得，.
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，CE⊥BE于点E，连接AE．若AC＝BC＝4，则△ABE的面积为 ．
【解答】4
【解析】作EH⊥AB于H，EK⊥BC于K．在EB上取一点J，使得EJ＝EC，连接CJ．设EC＝EJ＝m．
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，
∴AB＝，
∵BE平分∠ABC，CE⊥BE于点E，
∵∠ACB＝45°，BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝22.5°，
∵EC＝EJ＝m，∠CEJ＝90°，
∴∠EJC＝45°，
∵∠EJC＝∠JCB+∠JBC，
∴∠JCB＝∠JBC＝22.5°，
∴JC＝JB＝m，
∴EB＝m+m，
∵EC2+EB2＝BC2，
∴m2+（m+m）2＝42，
∴m2＝8﹣4，
∴S△ECB＝•EC•EB＝•m（m+m）＝•（1+）m2＝2，
∵EB平分∠ABC，EH⊥AB，EK⊥BC，
∴EH＝EK，
∴，
∴S△AEB＝2×＝4．
解法二：延长CE交AB于点F，证明△ABE的面积等于△ABC的一半，可得S△AEB＝4．
故答案为4．
7.如图，，BE平分，CE平分，点E在AD上，求证：.
【解答】见解析
【解析】在直线BC上截取，连接EF，如图所示：
在和中，，
，
在和中，，
又，即.
8.如图，在中，三条角平分线相交于点P，求点P到AB的距离.
【解答】3
【解析】过点P作于点D，于点E，于点F，如图所示：
，
点P是三条角平分线的交点，，

又，即，
点P到AB的距离为3.
9.如图，在中，AB为直径，CD平分交于点D，求证：.
【解答】见解析
【解析】连接AD、BD，过点A作，过点B作，垂足分别为点M、N，如图所示：
是的直径，CD平分交于点D，，
与都是等腰直角三角形，
在中，，
在中，，
，
是的直径，
，，
又，
.
10.如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点A在的斜边DE上，若，求两个三角形的重叠部分面积是多少？
【解答】重叠部分面积为
【解析】连接BD，AB与CD相交于点O，过点O作于点M，ON⊥BD于点N，如图所示：
又，，
，
在中，由勾股定理可得，
在中，，解得，
平分，
又于点M，于点N，，
，，
.
11．已知：如图，AD∥BC，DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，交AB于点E，BD于点O．求证：点O到EB与ED的距离相等．
【解答】见解析
【解析】证明：∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∵DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，
∴∠ODC+∠OCD＝90°，
∴∠DOC＝90°，
∴∠DOC＝∠BOC，
又∵CO＝CO，∠DCO＝∠BCO，
∴△DCO≌△BCO（ASA）
∴CB＝CD，
∴OB＝OD，
∴CE是BD的垂直平分线，
∴EB＝ED，又∠DOC＝90°，
∴EC平分∠BED，
∴点O到EB与ED的距离相等．
12．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）直接写出AB+AC与AE之间的等量关系．
【解答】（1）见解析；（2）AB+AC＝2AE．
【解析】（1）证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
∴△BDE与△CDF均为直角三角形，
∵
∴△BDE≌△CDF，
∴DE＝DF，即AD平分∠BAC；
（2）AB+AC＝2AE．
证明：∵BE＝CF，AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵∠E＝∠AFD＝90°，
∴∠ADE＝∠ADF，
在△AED与△AFD中，
∵，
∴△AED≌△AFD，
∴AE＝AF，
∴AB+AC＝AE﹣BE+AF+CF＝AE+AE＝2AE．