2025年中考数学几何专项复习专题09相似模型巩固练习(提优)(原卷版+解析)

这是一份2025年中考数学几何专项复习专题09相似模型巩固练习(提优)(原卷版+解析)，共23页。试卷主要包含了阅读下面材料，完成学习任务等内容，欢迎下载使用。

2．如图，小亮、小明利用家门口路灯的灯光来测量该路灯的高度，小明在A处时，小亮测得小明的影长AM为2米，小明向前走2米到B处时，小亮测得小明的影长BM'为1米．已知小明的身高AA'（BB'）为1.72米，求灯高CD的长．
3．如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并测得OE＝1m，OF＝5m，求围墙AB的高度．
4．如图，河对岸有一路灯杆AB，在灯光下，小明在点D处，自己的影长DF＝3m，沿BD方向到达点F处再测自己的影长FG＝4m，如果小明的身高为1.6m，求路灯杆AB的高度．
5．如图所示，AD、BC为两路灯，身高相同的小明、小亮站在两路灯杆之间，两人相距6.5m，小明站在P处，小亮站在Q处，小明在路灯C下的影长为2m，已知小明身高1.8m，路灯BC高9m．小明在路灯BC下的影子顶部恰好位于路灯DA的正下方，小亮在路灯AD下的影子顶部恰好位于路灯BC的正下方．
①计算小亮在路灯D下的影长；
②计算建筑物AD的高．
6．如图，平台AB上有一棵直立的大树CD，平台的边缘B处有一棵直立的小树BE，平台边缘B外有一个向下的斜坡BG．小明想利用数学课上学习的知识测量大树CD的高度．一天，他发现大树的影子一部分落在平台CB上，一部分落在斜坡上，而且大树的顶端D与小树顶端E的影子恰好重合，且都落在斜坡上的F处，经测量，CB长53米，BF长2米，小树BE高1.8米，斜坡BG与平台AB所成的∠ABG＝150°．请你帮小明求出大树CD的高度（结果保留一位小数）．
7．街道旁边有一根电线杆AB和一块半圆形广告牌，有一天，小明突然发现，在太阳光照射下，电线杆的顶端A的影子刚好落在半圆形广告牌的最高处G，而半圆形广告牌的影子刚好落在地面上一点E，已知BC＝5米，半圆形的直径为6米，DE＝2米．求电线杆的高度．
8．甲乙两位同学利用灯光下的影子来测量一路灯A的高度，如图，当甲走到点C处时，乙测得甲直立身高CD与其影子长CE正好相等，接着甲沿BC方向继续向前走，走到点E处时，甲直立身高EF的影子恰好是线段EG，并测得EG＝2.5m．已知甲直立时的身高为1.75m，求路灯的高AB的长．（结果精确到0.1m）
9．如图（1）是一种广场三联漫步机，其侧面示意图如图（2）所示，其中AB＝AC＝120cm，BC＝80cm，AD＝30cm，∠DAC＝90°．求点D到地面的高度是多少？
10．阅读下面材料，完成学习任务：
数学活动 测量树的高度
在物理学中我们学过光的反射定律．数学综合实践小组想利用光的反射定律测量池塘对岸一棵树的高度AB测量和计算的部分步骤如下：
①如图，在地面上的点C处放置了一块平面镜，小华站在BC的延长线上，当小华从平面镜中刚好看到树的顶点A时．测得小华到平面镜的距离CD＝2米，小华的眼睛E到地面的距离ED＝1.5米；
②将平面镜从点C沿BC的延长线向后移动10米到点F处，小华向后移动到点H处时，小华的眼睛G又刚好在平面镜中看到树的顶点A，这时测得小华到平面镜的距离FH＝3米；
③计算树的高度AB：设AB＝x米，BC＝y米．
∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD
∴△ABC∽△EDC
∴ABED=BCDC⋯⋯
任务：请你根据材料中得到的测量数据和计算步骤，将剩余的计算部分补充完整．
11．小明用这样的方法来测量建筑物的高度：如图所示，在地面上（E处）放一面镜子，他刚好从镜子中看到建筑物（AB）的顶端B，他的眼睛离地面1.25米（CD＝1.25米），如果小明离镜子1.50米（CE＝1.50米），与建筑物的距离是181.50米（CA＝181.50米）．那么建筑物的高是多少米？
12．如图，一条东西走向的笔直公路，点A、B表示公路北侧间隔150米的两棵树所在的位置，点C表示电视塔所在的位置．小王在公路PQ南侧直线行走，当他到达点P的位置时，观察树A恰好挡住电视塔，即点P、A、C在一条直线上，当他继续走180米到达点Q的位置时，以同样方法观察电视塔，观察树B也恰好挡住电视塔．假设公路两侧AB∥PQ，且公路的宽为60米，求电视塔C到公路南侧PQ的距离．
13．小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．
（1）如图1，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，边长AB为30cm，在其正上方有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子A′B，D′C的长度和为6cm．那么灯泡离地面的高度为 ．
（2）不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30cm的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子A′B，D′C的长度和为多少？
（3）有n个边长为a的正方形按图3摆放，测得横向影子A′B，D′C的长度和为b，求灯泡离地面的距离．（写出解题过程，结果用含a，b，n的代数式表示）
14．小明想知道学校旗杆的高，他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长0.9米，此时他测旗杆影长时，因为旗杆靠近建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他测得落在地面上的影长BC为2.7米，又测得墙上影高CD为1.2米，请你求旗杆AB的高度．
15．问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：
甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm．
乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm．
丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm．任务要求：
（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；
（2）如图3，设太阳光线NH与⊙O相切于点M．请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．（友情提示：如图3，景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式1562+2082＝2602）
相似模型巩固练习
1．新型冠状病毒感染引发“疫情就是命令，现场就是战场”．家住武汉火神山医院旁的小华，目睹这与时间赛跑的建设场面，在家里的小华从离窗台A水平距离2m的M点望去，通过窗台A处刚好俯瞰到远处医院箱式板房顶部远端E点，小华又向窗户方向前进0.8m到Q点，恰好通过窗台A处看到板房顶部近处D点，已知AB、CD、EF、MN都垂直于地面BC，N、F在直线BC上，MQ、DE都平行于地面BC，BC长300m，请你帮助小华计算DE的长度．
【解答】200m．
【解析】延长ED交AB于H，延长MQ交BA的延长线于T．
由题意MT＝2m，MQ＝0.8m，
∴QT＝MT﹣MQ＝2﹣0.8＝1.2（m），
∵四边形BCDH是矩形，
∴DH＝BC＝300（m），
∵QT∥DH，
∴TAAH=QTDH=1.2300=1250，
∵MT∥DE，
∴MTEH=ATAH，
∴2EH=1250，
∴EH＝500（m），
∴DE＝500﹣300＝200（m）
2．如图，小亮、小明利用家门口路灯的灯光来测量该路灯的高度，小明在A处时，小亮测得小明的影长AM为2米，小明向前走2米到B处时，小亮测得小明的影长BM'为1米．已知小明的身高AA'（BB'）为1.72米，求灯高CD的长．
【解答】5.16米
【解析】由题意知AA′∥CD，则△MAA′∽△MCD．
所以AA'CD=AMMC，即1.72CD=22+2+BC①．
同理，△M′BB′∽△M′CD，
所以BB'CD=M'BM'C，即1.72CD=11+BC②．
联立①②并解得：BC＝2，CD＝5.16．
答：灯高CD的长是5.16米．
3．如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并测得OE＝1m，OF＝5m，求围墙AB的高度．
【解答】4m
【解析】延长OD，
∵DO⊥BF，
∴∠DOE＝90°，
∵OD＝1m，OE＝1m，
∴∠DEB＝45°，
∵AB⊥BF，
∴∠BAE＝45°，
∴AB＝BE，
设AB＝EB＝xm，
∵AB⊥BF，CO⊥BF，
∴AB∥CO，
∴△ABF∽△COF，
∴ABBF=COOF，
∴xx+(5−1)=1.5+15，
解得：x＝4．
经检验：x＝4是原方程的解．
答：围墙AB的高度是4m．
4．如图，河对岸有一路灯杆AB，在灯光下，小明在点D处，自己的影长DF＝3m，沿BD方向到达点F处再测自己的影长FG＝4m，如果小明的身高为1.6m，求路灯杆AB的高度．
【解答】6.4m
【解析】∵CD∥EF∥AB，
∴可以得到△CDF∽△ABF，△ABG∽△EFG，
∴CDAB=DFBF，EFAB=FGBG，
又∵CD＝EF，
∴DFBF=FGBG，
∵DF＝3，FG＝4，BF＝BD+DF＝BD+3，BG＝BD+DF+FG＝BD+7，
∴3DB+3=4BD+7，
∴BD＝9，BF＝9+3＝12，
∴1.6AB=312，
解得，AB＝6.4m．
答：路灯杆AB的高度为6.4m．
5．如图所示，AD、BC为两路灯，身高相同的小明、小亮站在两路灯杆之间，两人相距6.5m，小明站在P处，小亮站在Q处，小明在路灯C下的影长为2m，已知小明身高1.8m，路灯BC高9m．小明在路灯BC下的影子顶部恰好位于路灯DA的正下方，小亮在路灯AD下的影子顶部恰好位于路灯BC的正下方．
①计算小亮在路灯D下的影长；
②计算建筑物AD的高．
【解答】①1.5；②12
【解析】①∵EP⊥AB，CB⊥AB，
∴∠EPA＝∠CBA＝90°
∵∠EAP＝∠CAB，
∴△EAP∽△CAB
∴EPBC=APAB
∴1.89=2AB
∴AB＝10
BQ＝10﹣2﹣6.5＝1.5；
②∵FQ⊥AB，DA⊥AB，
∴∠FQB＝∠DAB＝90°
∵∠FBQ＝∠DBA，
∴△BFQ∽△BDA
∴HPDA=BQAB
∴1.8DA=1.510
∴DA＝12．
6．如图，平台AB上有一棵直立的大树CD，平台的边缘B处有一棵直立的小树BE，平台边缘B外有一个向下的斜坡BG．小明想利用数学课上学习的知识测量大树CD的高度．一天，他发现大树的影子一部分落在平台CB上，一部分落在斜坡上，而且大树的顶端D与小树顶端E的影子恰好重合，且都落在斜坡上的F处，经测量，CB长53米，BF长2米，小树BE高1.8米，斜坡BG与平台AB所成的∠ABG＝150°．请你帮小明求出大树CD的高度（结果保留一位小数）．
【解答】15.8米
【解析】延长CB交EF于点H，过点F作FM⊥EB的延长线于点M
∵∠ABG＝150°，BE⊥CB
∴∠MBF＝150°﹣90°＝60°
∴∠MFB＝30°
∵BF的长为2米，
∴BM＝1米，MF=3米
∵BE⊥CB，MF⊥BE
∴BH∥MF
∴△EBH∽△EMF
∴BHMF=EBEM
又∵EB＝1.8米
∴BH3=1.81.8+1
∴BH=9314
∵BE∥CD
∴△HBE∽△HCD
∴BHCH=BECD
∵CB＝53
∴931453+9314=1.8CD
∴CD＝15.8米
∴大树CD的高度为15.8米．
7．街道旁边有一根电线杆AB和一块半圆形广告牌，有一天，小明突然发现，在太阳光照射下，电线杆的顶端A的影子刚好落在半圆形广告牌的最高处G，而半圆形广告牌的影子刚好落在地面上一点E，已知BC＝5米，半圆形的直径为6米，DE＝2米．求电线杆的高度．
【解答】9米
【解析】连接OF，过点G作GH⊥AB于H，则BOGH是矩形．
OG＝3m，BO＝BC+CO＝8（m），
∴BH＝3m，GH＝8m．
∵FE是⊙O的切线，
∴∠OFE＝90°
∴FE=OE2−OF2=52−32=4（m）．
∵太阳光线是平行光线，
∴AG∥EF，
又∵GH∥OE，
∴∠E＝∠AGH．
又∵∠OFE＝∠AHG＝90°，
∴△AGH∽△OEF，
∴EFHG=OFAH，即48=3AH，
解得：AH＝6．
即AB＝AH+HB＝6+3＝9（m），
答：电线杆的高度为9米．
8．甲乙两位同学利用灯光下的影子来测量一路灯A的高度，如图，当甲走到点C处时，乙测得甲直立身高CD与其影子长CE正好相等，接着甲沿BC方向继续向前走，走到点E处时，甲直立身高EF的影子恰好是线段EG，并测得EG＝2.5m．已知甲直立时的身高为1.75m，求路灯的高AB的长．（结果精确到0.1m）
【解答】5.8米
【解析】如图，设AB＝x，
由题意知AB⊥BG，CD⊥BG，FE⊥BG，CD＝CE，
∴AB∥CD∥EF，
∴BE＝AB＝x，
∴△ABG∽△FEG，
∴ABFE=BGEG，即x1.75=x+2.52.5，
∴x74=x+5252，
解得：x=356≈5.8m
答：路灯高AB约为5.8米．
9．如图（1）是一种广场三联漫步机，其侧面示意图如图（2）所示，其中AB＝AC＝120cm，BC＝80cm，AD＝30cm，∠DAC＝90°．求点D到地面的高度是多少？
【解答】（10+802）cm
【解析】过A作AF⊥BC，垂足为F，过点D作DH⊥AF，垂足为H．
∵AF⊥BC，垂足为F，
∴BF＝FC=12BC＝40cm．
根据勾股定理，得AF=AB2−BF2=1202−402=802（cm），
∵∠DHA＝∠DAC＝∠AFC＝90°，
∴∠DAH+∠FAC＝90°，∠C+∠FAC＝90°，
∴∠DAH＝∠C，
∴△DAH∽△ACF，
∴AHFC=ADAC，
∴AH40=30120，
∴AH＝10cm，
∴HF＝（10+802）cm．
答：D到地面的高度为（10+802）cm．
10．阅读下面材料，完成学习任务：
数学活动 测量树的高度
在物理学中我们学过光的反射定律．数学综合实践小组想利用光的反射定律测量池塘对岸一棵树的高度AB测量和计算的部分步骤如下：
①如图，在地面上的点C处放置了一块平面镜，小华站在BC的延长线上，当小华从平面镜中刚好看到树的顶点A时．测得小华到平面镜的距离CD＝2米，小华的眼睛E到地面的距离ED＝1.5米；
②将平面镜从点C沿BC的延长线向后移动10米到点F处，小华向后移动到点H处时，小华的眼睛G又刚好在平面镜中看到树的顶点A，这时测得小华到平面镜的距离FH＝3米；
③计算树的高度AB：设AB＝x米，BC＝y米．
∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD
∴△ABC∽△EDC
∴ABED=BCDC⋯⋯
任务：请你根据材料中得到的测量数据和计算步骤，将剩余的计算部分补充完整．
【解答】见解析
【解析】设AB＝x米，BC＝y米．
∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD
∴△ABC∽△EDC
∴ABED=BCDC，
∴x1.5=y2，
∵∠ABF＝∠GHF＝90°，∠AFB＝∠GFH
∴△ABF∽△GHF，
∴ABGH=BFHF，
∴x1.5=y+103，
∴y2=y+103，
解得y＝20，
把y＝20代入x1.5=y2中，
得x1.5=202解得x＝15
∴树的高度AB为15米．
11．小明用这样的方法来测量建筑物的高度：如图所示，在地面上（E处）放一面镜子，他刚好从镜子中看到建筑物（AB）的顶端B，他的眼睛离地面1.25米（CD＝1.25米），如果小明离镜子1.50米（CE＝1.50米），与建筑物的距离是181.50米（CA＝181.50米）．那么建筑物的高是多少米？
【解答】150米
【解析】∵AC＝181.5、CE＝1.5，
∴AE＝180，
根据题意得∠AEB＝∠CED，
∵Rt△AEB∽Rt△CED，
∴ABCD=AECE，即AB1.25=1801.5，
解得AB＝150．
答：建筑物的高是150米．
12．如图，一条东西走向的笔直公路，点A、B表示公路北侧间隔150米的两棵树所在的位置，点C表示电视塔所在的位置．小王在公路PQ南侧直线行走，当他到达点P的位置时，观察树A恰好挡住电视塔，即点P、A、C在一条直线上，当他继续走180米到达点Q的位置时，以同样方法观察电视塔，观察树B也恰好挡住电视塔．假设公路两侧AB∥PQ，且公路的宽为60米，求电视塔C到公路南侧PQ的距离．
【解答】360米
【解析】如图所示，作CE⊥PQ于E，交AB于D点，
设CD为x，则CE＝60+x，
∵AB∥PQ，
∴△ABC∽△PQC，
∴CDAB=CEPQ，即x150=x+60180，
解得x＝300，
∴x+60＝360米，
答：电视塔C到公路南侧所在直线PQ的距离是360米．
13．小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．
（1）如图1，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，边长AB为30cm，在其正上方有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子A′B，D′C的长度和为6cm．那么灯泡离地面的高度为 ．
（2）不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30cm的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子A′B，D′C的长度和为多少？
（3）有n个边长为a的正方形按图3摆放，测得横向影子A′B，D′C的长度和为b，求灯泡离地面的距离．（写出解题过程，结果用含a，b，n的代数式表示）
【解答】（1）180cm；（2）12cm；（3）na2+abb
【解析】（1）设灯泡离地面的高度为xcm，
∵AD∥A′D′，
∴∠PAD＝∠PA′D′，∠PDA＝∠PD′A′．
∴△PAD∽△PA′D′．
根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得ADA'D'=PNPM，
∴3036=x−30x，
解得x＝180．
（2）设横向影子A′B，D′C的长度和为ycm，
同理可得∴6060+y=150180，
解得y＝12cm；
（3）记灯泡为点P，如图：
∵AD∥A′D′，
∴∠PAD＝∠PA′D′，∠PDA＝∠PD′A′．
∴△PAD∽△PA′D′．
根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得ADA'D'=PNPM，
（直接得出三角形相似或比例线段均不扣分）
设灯泡离地面距离为x，由题意，得PM＝x，PN＝x﹣a，AD＝na，A′D′＝na+b，
∴nana+b=x−ax=1−ax
ax=1−nana+b
x=na2+abb．
14．小明想知道学校旗杆的高，他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长0.9米，此时他测旗杆影长时，因为旗杆靠近建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他测得落在地面上的影长BC为2.7米，又测得墙上影高CD为1.2米，请你求旗杆AB的高度．
【解答】4.2m
【解析】过点D作DE⊥AB于点E，则BE＝CD＝1.2m，
∵他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长0.9米，
∴AEED=10.9，即AE2.7=10.9，解得AE＝3m，
∴AB＝AE+BE＝3+1.2＝4.2m．
答：旗杆的高度是4.2m．
15．问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：
甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm．
乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm．
丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm．任务要求：
（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；
（2）如图3，设太阳光线NH与⊙O相切于点M．请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．（友情提示：如图3，景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式1562+2082＝2602）
【解答】（1）12m；（2）12cm
【解析】（1）由题意可知：∠BAC＝∠EDF＝90°，∠BCA＝∠EFD．
∴△ABC∽△DEF．
∴ABDE=ACDF，即80DE=60900，
∴DE＝1200（cm）．
所以，学校旗杆的高度是12m．
（2）解法一：
与①类似得：ABGN=ACGH，即80GN=60156，
∴GN＝208．
在Rt△NGH中，根据勾股定理得：NH2＝1562+2082＝2602，
∴NH＝260．
设⊙O的半径为rcm，连接OM，
∵NH切⊙O于M，∴OM⊥NH．
则∠OMN＝∠HGN＝90°，
又∵∠ONM＝∠HNG，
∴△OMN∽△HGN，
∴OMHG=ONHN
又ON＝OK+KN＝OK+（GN﹣GK）＝r+8，
∴r156=r+8260，
解得：r＝12．
∴景灯灯罩的半径是12cm．
解法二：
与①类似得：ABGN=ACGH，
即80GN=60156，
∴GN＝208．
设⊙O的半径为rcm，连接OM，
∵NH切⊙O于M，
∴OM⊥NH．
则∠OMN＝∠HGN＝90°，
又∵∠ONM＝∠HNG，
∴△OMN∽△HGN．
∴OMHG=MNGN，
即r156=MN208，
∴MN=43r，
又∵ON＝OK+KN＝OK+（GN﹣GK）＝r+8．
在Rt△OMN中，根据勾股定理得：
r2+（43r）2＝（r+8）2即r2﹣9r﹣36＝0，
解得：r1＝12，r2＝﹣3（不合题意，舍去），
∴景灯灯罩的半径是12cm．