2025高考数学专项讲义第12讲新高考新结构命题下的解三角形解答题综合训练(学生版+解析)

这是一份2025高考数学专项讲义第12讲新高考新结构命题下的解三角形解答题综合训练(学生版+解析)，共78页。

在新课标、新教材和新高考的“三新”背景下，高考改革又一次具有深度的向前推进。这不仅仅是一场考试形式的变革，更是对教育模式和教育理念的全面革新。
当前的高考试题设计，以“三维”减量增质为核心理念，力求在减少题目数量的同时，提升题目的质量和考查的深度。这具体体现在以下三个方面：
三考
题目设计着重考查学生的知识主干、学习能力和学科素养，确保试题能够全面、客观地反映学生的实际水平。
三重
强调对学生思维深度、创新精神和实际应用能力的考查，鼓励学生不拘泥于传统模式，展现个人的独特见解和创造力。
三突出
试题特别突出对学生思维过程、思维方法和创新能力的考查，通过精心设计的题目，引导学生深入思考和探索，培养逻辑思维和创新能力。
面对新高考新结构试卷的5个解答题，每个题目的考查焦点皆充满变数，无法提前预知。解三角形版块作为一个重要的考查领域，其身影可能悄然出现在第15题中，作为一道13分的题目，难度相对较为适中，易于学生入手。然而，同样不能忽视的是，解三角形版块也可能被置于第16、17题这样的中等大题中，此时的分值将提升至15分，挑战学生的解题能力和思维深度，难度自然相应加大。
面对如此多变的命题趋势，教师在教学备考过程中必须与时俱进。不仅要深入掌握不同题目位置可能涉及的知识点及其命题方式，更要能够灵活应对，根据试题的实际情况调整教学策略。本文基于新高考新结构试卷的特点，结合具体的导数解答题实例，旨在为广大师生提供一份详尽的导数解答题综合训练指南，以期在新高考中取得更好的成绩。
考点一、面积及最值
1．（2024·河南焦作·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，已知点为线段上的一点，且，，.
(1)求的值；
(2)求面积的最大值.
2．（2024·贵州铜仁·模拟预测）在中，已知，，．
(1)求角；
(2)若为锐角三角形，且，求的面积.
3．（2024·全国·模拟预测）在中，.
(1)若，求；
(2)若，求面积的最大值.
4．（2024·全国·模拟预测）在中，内角的对边分别为．已知．
(1)求．
(2)若点为边的中点，且，求面积的最大值．
5．（2024·全国·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)若，，求b；
(2)若，求的面积S的最大值.
考点二、周长及最值
1．（23-24高三·河北沧州·模拟）的内角，，的对边分别为，，，．
(1)求角的大小；
(2)若，的面积为，求的周长．
2．（2024·河南新乡·二模）已知的内角的对边分别为．
(1)求的值；
(2)若的面积为，且，求的周长．
3．（2024·陕西·模拟预测）的内角的对边分别为．
(1)求；
(2)若，求的周长最小值．
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数.
(1)求的最小正周期与图象的对称中心；
(2)在中，，求周长的取值范围.
5．（2024·陕西汉中·二模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，请从下列条件中选择一个条件作答：（注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．）
①记的面积为S，且；②已知．
(1)求角A的大小；
(2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．
考点三、边长、线段及最值
1．（2024·陕西西安·模拟预测）在平面四边形中，，，，.
(1)若，求的面积.
(2)求的最大值.
2．（2024·全国·模拟预测）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)证明：；
(2)求的取值范围.
3．（2024·江苏扬州·模拟预测）记的内角的对边分别为，若，且的面积为.
(1)求角；
(2)若，求的最小值.
4．（2024·江西鹰潭·二模）的内角的对边分别为，，，满足.
(1)求证：；
(2)求的最小值.
5．（2024·全国·一模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且AD是BC边上的高．．
(1)求角A；
(2)若，，求AD．
6．（2024·陕西西安·模拟预测）在中，角的对边分别为，已知，
(1)求角的大小；
(2)若的角平分线交于点，且，求的最小值，
考点四、三角函数值及最值
1．（2024·上海·三模）已知在中，角所对的边分别为，且满足．
(1)若，求的面积；
(2)求的最大值，并求其取得最大值时的值．
2．（2024·全国·模拟预测）设的内角，，的对边分别为，，，若．
(1)求的值；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围．
3．（2024·广东广州·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知且.
(1)求证：；
(2)求的取值范围.
4．（23-24高三上·重庆·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，满足
(1)求证：；
(2)若为锐角三角形，求的最大值．
5．（23-24高三上·重庆·阶段练习）在中，内角、、的对边分别为、、，已知．
(1)若，，求的面积；
(2)求的最小值，并求出此时的大小．
考点五、内切圆、外接圆半径问题
1．（22-23高一下·浙江·阶段练习）在中，角的对边分别为，在以下条件中选择一个条件：①；②；③．求解以下问题．（选择多个条件的，以所选的第一个计分）
(1)求角；
(2)若，且，求的内切圆半径．
2．（2024·全国·模拟预测）已知中，角，，的对边分别是，，，．
(1)求角的大小；
(2)若，外接圆的半径为，内切圆半径为，求的最小值．
2．3．（2022·湖北·三模）在中，内角所对的边分别为，，，已知，．
(1)求角的大小；
(2)求外接圆半径的最小值.
4．4．（2024·吉林·二模）已知 的三个内角的对边分别为的外接圆半径为 ，且 .
(1)求;
(2)求的内切圆半径 的取值范围
5．（2023·广西南宁·一模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且．
(1)求的外接圆半径R；
(2)求内切圆半径r的取值范围．
6．（2023·山东·一模）如图，平面四边形中，，，．的内角的对边分别为，且满足．
(1)判断四边形是否有外接圆？若有，求其半径；若无，说明理由；
(2)求内切圆半径的取值范围．
考点六、中线、角平分线、高线问题
1．（2024·四川成都·三模）在中，．
(1)求的长；
(2)求边上的高．
2．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）记的内角的对边分别为，面积为，且．
(1)求的外接圆的半径；
(2)若，且，求边上的高．
3．（23-24高三上·黑龙江·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，.
(1)求角；
(2)若，求边上高的最大值.
4．（2023·广东广州·模拟预测）在锐角中，角所对的边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若边，边的中点为，求中线长的取值范围.
5．（2023·浙江·模拟预测）在中，角的对边分别为且，
(1)求；
(2)求边上中线长的取值范围．
6．（2023·安徽马鞍山·模拟预测）在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在中，内角，，的对边分别为，，，且满足________.
(1)求；
(2)若的面积为，为的中点，求的最小值.
7．（23-24高一下·辽宁·期中）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，．
(1)若，求边上的角平分线长；
(2)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围．
8．（23-24高一下·四川成都·期中）已知的内角，，的对边为，，，且，
(1)求；
(2)若的面积为；
①已知为的中点，且，求底边上中线的长：
②求内角的角平分线长的最大值．
考点七、三角形中的证明问题
1．（2024·内蒙古包头·一模）如图，在中，，D是斜边上的一点，，.

(1)若，求和；
(2)若，证明：.
2．（2022·广东·二模）如图，已知△ABC内有一点P，满足．
(1)证明：．
(2)若，，求PC．
3．（22-23高一下·北京·期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角C的大小；
(2)CD为△ACB的内角平分线，且CD与直线AB交于点D.
（i）求证:；
（ii）若，，求CD的长.
4．（2024·全国·模拟预测）在中，点D，E都是边BC上且与B，C不重合的点，且点D在B，E之间，．
(1)求证：．
(2)若，求证：．
5．（2022·湖北·模拟预测）已知的外心为，为线段上的两点，且恰为中点.
(1)证明：
(2)若，，求的最大值.
6．（22-23高一下·山东枣庄·期中）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)若BD是的角平分线.
（i）证明：；
（ii）若，求的最大值.
考点八、图形类综合
1．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知平面四边形ABDC中，对角线CB为钝角的平分线，CB与AD相交于点O，，，.

(1)求CO的长；
(2)若，求的面积.
2．（21-22高三上·广东珠海·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求B；
(2)已知，D为边上的一点，若，，求的长．
3．（23-24高三上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，角A，B，C所对的边分别为，，，且．
(1)求；
(2)已知，为边上的一点，若，，求的长．
4．如图，在中，，，为内一点，．
(1)若，求；
(2)若，求的面积．
5．（2023·河南信阳·模拟预测）在中，，的面积为，为的中点，于点于点.

(1)求的面积；
(2)若，求的值.
考点九、参数类问题
1．（2024·全国·模拟预测）在锐角三角形中，角所对的边分别为，，且．
(1)求；
(2)若，且，求实数的取值范围．
2．（2023·全国·模拟预测）已知在中，角所对的边分别为，且.
(1)求的值；
(2)若，且，求实数的取值范围.
3．（2023·湖北咸宁·模拟预测）在中，角所对的边分别为，满足，.
(1)证明：外接圆的半径为；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
4．（2024·江苏苏州·三模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)若，求的面积;
(2)若，求使得恒成立时，实数的最小值.
考点十、解三角形与其他知识点杂糅问题
1．（2022·陕西宝鸡·模拟预测）已知，，
(1)求的单调递增区间；
(2)设的内角所对的边分别为，若，且，求的取值范围.
2．（2022·山东淄博·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．
(1)求证：；
(2)若，求的最小值．
3．（2022·江苏南通·模拟预测）已知圆的内接四边形ABCD中，，BC=2，．
(1)求四边形ABCD的面积；
(2)设边AB，CD的中点分别为E，F，求的值．
4．（2022·浙江杭州·模拟预测）的内角的对边分别为,已知,
(1)若为边上一点,,且,求;
(2)若为平面上一点,,其中,求的最小值.
5．（22-23高三上·四川内江·阶段练习）已知函数．
(1)求的最小正周期和单调增区间；
(2)在中，角、、的对边分别为、、．若，，求的面积的最大值．
6．（22-23高三上·重庆南岸·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，．
(1)求角A的大小；
(2)求的取值范围．
7．（2023·浙江金华·模拟预测）在中，角A，B，C所对应的边为a，b，c．已知的面积，其外接圆半径，且．
(1)求；
(2)若A为钝角，P为外接圆上的一点，求的取值范围．
8．（2024·广东·二模）已知正项数列，满足（其中）.
(1)若，且，证明：数列和均为等比数列；
(2)若，以为三角形三边长构造序列（其中），记外接圆的面积为，证明：；
(3)在（2）的条件下证明：数列是递减数列
新高考新结构命题下的
解三角形解答题综合训练
（10类核心考点精讲精练）
在新课标、新教材和新高考的“三新”背景下，高考改革又一次具有深度的向前推进。这不仅仅是一场考试形式的变革，更是对教育模式和教育理念的全面革新。
当前的高考试题设计，以“三维”减量增质为核心理念，力求在减少题目数量的同时，提升题目的质量和考查的深度。这具体体现在以下三个方面：
三考
题目设计着重考查学生的知识主干、学习能力和学科素养，确保试题能够全面、客观地反映学生的实际水平。
三重
强调对学生思维深度、创新精神和实际应用能力的考查，鼓励学生不拘泥于传统模式，展现个人的独特见解和创造力。
三突出
试题特别突出对学生思维过程、思维方法和创新能力的考查，通过精心设计的题目，引导学生深入思考和探索，培养逻辑思维和创新能力。
面对新高考新结构试卷的5个解答题，每个题目的考查焦点皆充满变数，无法提前预知。解三角形版块作为一个重要的考查领域，其身影可能悄然出现在第15题中，作为一道13分的题目，难度相对较为适中，易于学生入手。然而，同样不能忽视的是，解三角形版块也可能被置于第16、17题这样的中等大题中，此时的分值将提升至15分，挑战学生的解题能力和思维深度，难度自然相应加大。
面对如此多变的命题趋势，教师在教学备考过程中必须与时俱进。不仅要深入掌握不同题目位置可能涉及的知识点及其命题方式，更要能够灵活应对，根据试题的实际情况调整教学策略。本文基于新高考新结构试卷的特点，结合具体的导数解答题实例，旨在为广大师生提供一份详尽的导数解答题综合训练指南，以期在新高考中取得更好的成绩。
考点一、面积及最值
1．（2024·河南焦作·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，已知点为线段上的一点，且，，.
(1)求的值；
(2)求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理和余弦定理即可求得.
（2）由余弦定理、向量运算、三角形面积公式和基本不等式即可求出面积的最大值.
【详解】（1）
因为，，
则，化简得，
由余弦定理得，.
（2）在中，，，
则，
由得，，
即，所以.
由基本不等式，得，
即，当且仅当，即，时等号成立，
所以的面积，
故当，时，面积的最大值为.
2．（2024·贵州铜仁·模拟预测）在中，已知，，．
(1)求角；
(2)若为锐角三角形，且，求的面积.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）利用两角和的正切公式化简等式，利用诱导公式求出，再利用正弦定理求出角；
（2）根据得到点为三角形重心，由直接求解即可.
【详解】（1），
在三角形中，，
，，，
在中，，
，
又，
，，
由正弦定理，得，
，或；
（2）因为为锐角三角形，所以，
，
点为三角形重心，
所以，
又，
所以，
所以的面积为.
3．（2024·全国·模拟预测）在中，.
(1)若，求；
(2)若，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解法一 先利用同角三角函数基本关系求得，再利用正弦定理结合两角和正弦公式化简求解即可；
解法二 结合已知利用余弦定理求得，然后利用同角三角函数基本关系求解即可.
（2）利用余弦定理得，然后利用三角形面积公式结合二次函数性质求解即可.
【详解】（1）解法一 因为，所以.
在中，由正弦定理得，
所以，
所以，则.
解法二 设，则，
在中，由余弦定理得，
所以， 所以，
所以，所以.
（2）由（1）中解法二可知，，
在中，由余弦定理得，
所以
，当时取等号，
故面积的最大值为.
4．（2024·全国·模拟预测）在中，内角的对边分别为．已知．
(1)求．
(2)若点为边的中点，且，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）由二倍角公式化简已知等式，然后由正弦定理角化边再结合余弦定理求得.
（2）由向量建立等量关系，结合基本不等式求得面积的最大值即可.
【详解】（1）由二倍角公式，得，
即．
由正弦定理，得，即．
由余弦定理，得．
因为，所以．
（2）因为点为边的中点，所以，
所以，
即，解得，当且仅当时，等号成立．
所以，
所以面积的最大值为．
5．（2024·全国·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)若，，求b；
(2)若，求的面积S的最大值.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）根据正弦定理，由得到，进而求得，再由，求得角B，A，得到，再由正弦定理求得b；
（2）根据正弦定理角化边得到，用余弦定理求得A，再根据基本不等式求得，然后利用三角形面积公式，即可求得S的最大值.
【详解】（1）∵，由正弦定理得，
又，所以，所以，
又，所以，所以B为锐角，所以，
，所以，
故，
又，所以.
（2）因为，
由正弦定理得，即，
所以，
又，所以.
因为，所以，
即，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时取等号，
所以S的最大值是.
考点二、周长及最值
1．（23-24高三·河北沧州·模拟）的内角，，的对边分别为，，，．
(1)求角的大小；
(2)若，的面积为，求的周长．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用同角公式切化弦，正弦定理边化角求解即得.
（2）利用三角形面积公式求出，再余弦定理列方程求解即得.
【详解】（1）依题意，，
在中，由正弦定理得，
因此，而，则，又，
所以.
（2）由的面积为，得，解得，
由余弦定理得，
而，则，解得，，
所以的周长为.
2．（2024·河南新乡·二模）已知的内角的对边分别为．
(1)求的值；
(2)若的面积为，且，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简求得，进而得到的值；
（2）由若的面积为，求得，再由余弦定理，求得，进而求得的周长.
【详解】（1）解：因为，由正弦定理得，
可得，
即，
因为，可得，所以，即，
所以.
（2）解：由（1）知，
因为若的面积为，可得，即，解得，
又因为，
由余弦定理得，
整理得，解得，
所以，
所以的周长为.
3．（2024·陕西·模拟预测）的内角的对边分别为．
(1)求；
(2)若，求的周长最小值．
【答案】(1)
(2)9
【分析】（1）首先利用正弦定理，边角互化，转化为边的关系，利用余弦定理求角的值；
（2）根据（1）中等式结合基本不等式求周长的最小值.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
整理得，
由余弦定理知，
且，所以．
（2）由（1）可知：，整理得，
且，当且仅当时，等号成立，
则，即，可得，
所以的周长最小值.
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数.
(1)求的最小正周期与图象的对称中心；
(2)在中，，求周长的取值范围.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）易得，再利用正弦函数的性质求解；
（2）由结合正弦定理得到外接圆的半径，从而有周长，再利用正弦函数的性质求解.
【详解】（1）解：由题意得，
，
所以的最小正周期；
令，则，
故图象的对称中心为.
（2）由，得，
又，所以，
所以，则，则.
设的内角所对的边分别为，
由正弦定理得，
，，
则周长，
，
因为，所以，
故，因此.
5．（2024·陕西汉中·二模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，请从下列条件中选择一个条件作答：（注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．）
①记的面积为S，且；②已知．
(1)求角A的大小；
(2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）选①，利用数量积的定义及三角形面积公式求解；选②，利用正弦定理边化角，再利用差角的余弦化简即得.
（2）利用正弦定理化为角B的函数，再利用三角恒等变换及正弦函数性质求出范围.
【详解】（1）选条件①，由，得，整理得，而，
所以.
选条件②，由及正弦定理，得，
而，则，整理得，而，
所以.
（2）由（1）知，由正弦定理得，
因此
由为锐角三角形，得，解得，因此，
则，于是，，
所以周长的取值范围是.
考点三、边长、线段及最值
1．（2024·陕西西安·模拟预测）在平面四边形中，，，，.
(1)若，求的面积.
(2)求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意计算出、及，借助面积公式即可得；
（2）借助中定长，定角，则外接圆圆心到点的距离为定值，再计算出圆心到点的距离，由三角形三边关系即可得.
【详解】（1）
由，，，
则，
即，有，故，
由，，则为正三角形，
即有，，
则；
（2）
由，，
作出外接圆，令圆心为，
则外接圆半径，
即有，，
则，则，
即有，
即，
则，当且仅当、、三点共线时等号成立，
即的最大值为.
2．（2024·全国·模拟预测）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)证明：；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由正弦定理结合两角差的正弦公式化简已知式，即可得出答案；
（2）由是锐角三角形，可求出，进而求出，由正弦定理结合两角和的正弦定理可得，令，，由的单调性即可求出答案.
【详解】（1）由，结合正弦定理得，
即，
所以，
所以或（舍去），所以.
（2）在锐角中，，，，
即，所以.
.
令，，，
因为在上单调递增，
所以，，
所以.
3．（2024·江苏扬州·模拟预测）记的内角的对边分别为，若，且的面积为.
(1)求角；
(2)若，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）借助余弦定理与面积公式可得，结合二倍角公式可得，即可得解；
（2）结合题意借助向量，可得，结合模长与数量积的关系计算即可得，利用基本不等式即可得其最值.
【详解】（1），
结合余弦定理得，，
，，
即，又，，故；
（2）由（1）知：，
，，
，
又，
当且仅当时，长取最小值，此时，
长的最小值为.
4．（2024·江西鹰潭·二模）的内角的对边分别为，，，满足.
(1)求证：；
(2)求的最小值.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）根据题意，化简得到，即可得证；
（2）由（1）知且，利用正弦定理得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】（1）证明：由，可得且，
所以，
因为为三角形的内角，可得，即，得证.
（2）解：由（1）知，且，
所以
所以，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为
5．（2024·全国·一模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且AD是BC边上的高．．
(1)求角A；
(2)若，，求AD．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）已知条件利用正弦定理角化边，化简后由余弦定理求出，得角A；
（2）由，，得，有，得，有，再由即，解出的值.
【详解】（1）中，，
由正弦定理，有，即，
得，
由余弦定理，，
由，得.
（2），
，
解得，则都为锐角，
有，得，
锐角中，，则有，，
由，则，
又，得，
由，得，即，
，，解得.
6．（2024·陕西西安·模拟预测）在中，角的对边分别为，已知，
(1)求角的大小；
(2)若的角平分线交于点，且，求的最小值，
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦函数的和差公式化简题设条件，从而得到，由此得解；
（2）利用三角面积公式推得，从而利用基本不等式“1”的妙用即可得解.
【详解】（1）因为，
所以，
所以，
由于，则，所以，即，
又，所以.
（2）因为的角平分线交于点，且，，

根据三角形面积公式可得，
等式两边同除以可得，则，
则，
当且仅当，即时，等式成立，
故的最小值为.
考点四、三角函数值及最值
1．（2024·上海·三模）已知在中，角所对的边分别为，且满足．
(1)若，求的面积；
(2)求的最大值，并求其取得最大值时的值．
【答案】(1)或；
(2)最大值，.
【分析】（1）首先由余弦定理求出c，再结合三角形面积公式即可求解；
（2）由正弦定理边化角，结合三角恒等变换即可求解．
【详解】（1），，，
又，，
．
又在中，，，，
因为，所以，
又在中，，，
再由三角形的余弦定理得：，，
即，解得或，
当时，，
当时，，
（2），，．
．
其中，，，，
在中，，，
当时，取到最大值，
此时，．
2．（2024·全国·模拟预测）设的内角，，的对边分别为，，，若．
(1)求的值；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）根据题意，由三角恒等变换公式化简，再由正弦定理以及余弦定理公式，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由余弦定理可得，构造函数，求导即可得到其值域.
【详解】（1）因为，
所以
，
即，
由正弦定理及余弦定理的推论得，
所以．
（2）由（1）知，即，
所以．
因为是锐角三角形，
所以解得．
令函数，则，
令，得，令，得，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，有极小值，即最小值为，
当时，，当时，，
所以，
故的取值范围为．
3．（2024·广东广州·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知且.
(1)求证：；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理可把题设中的边角关系化简为，结合诱导公式及可证.
（2）根据及，结合诱导公式和二倍角余弦公式将化为，先求出角A的范围，然后利用余弦函数和二次函数的性质求解即可.
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理得，，由余弦定理得，
所以，又，所以.
又，，所以或，
所以或，
又，所以，所以，得证.
（2）由（1）知，所以，
又，所以
，
因为，所以，所以，
因为函数在单调递增，
所以，
所以的取值范围为.
4．（23-24高三上·重庆·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，满足
(1)求证：；
(2)若为锐角三角形，求的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，借助三角恒等变换公式化简即可.
（2）利用为锐角三角形，求出，表示出，并进行换元转化为二次函数,进而求得最大值.
【详解】（1）由题，
由正弦定理：，
所以，
整理，
所以，
或（舍）,
.
（2）为锐角三角形,
解得：,所以，
且
由（1）问，，
令，
则，
所以
因为,
当时，所求的最大值为.
5．（23-24高三上·重庆·阶段练习）在中，内角、、的对边分别为、、，已知．
(1)若，，求的面积；
(2)求的最小值，并求出此时的大小．
【答案】(1)
(2)的最小值是5，此时
【分析】（1）结合余弦定理与面积公式即可得；
（2）结合三角恒等变换与三角形内角和，将原式中多变量换成单变量，再结合基本不等式即可得.
【详解】（1）由题意得，
因为，
所以，故，
又，所以．
因为、是的内角，所以为钝角，
所以，所以，
所以是等腰三角形，则，
所以．
（2）由（1）可知，在中，，
即为钝角，则，
因为，，
所以，
设，
则
，
由，
故，
当且仅当，即，
结合为钝角，即当时等号成立，
所以的最小值是5，此时．
考点五、内切圆、外接圆半径问题
1．（22-23高一下·浙江·阶段练习）在中，角的对边分别为，在以下条件中选择一个条件：①；②；③．求解以下问题．（选择多个条件的，以所选的第一个计分）
(1)求角；
(2)若，且，求的内切圆半径．
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）选①．由已知得，由正弦定理得化边为角，进而得，结合的范围可得．
选②．由正弦定理化角为边得，则，可得．
选③．由已知得，即，则，可得．
（2）因为，所以，由余弦定理求得，求得的面积，利用面积法求得内切圆半径．
【详解】（1）选①．
因为，所以，
所以，因为，
所以，
所以，
因为，所以，所以，
因为，所以，所以．
选②．
，则，
所以，即，所以，
因为，所以．
选③．
因为，所以，
又，所以，
因为，所以．
（2）因为，由（1）可知，所以，又，
则，
所以，又的面积，
设的内切圆半径为，则，
所以，解得．
2．（2024·全国·模拟预测）已知中，角，，的对边分别是，，，．
(1)求角的大小；
(2)若，外接圆的半径为，内切圆半径为，求的最小值．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）利用正弦定理、诱导公式及两角和的正弦公式得，由，得到，得到;
（2）利用余弦定理及基本不等式求得，利用等面积法求得的最大值，利用正弦定理求得，求出
【详解】（1）由及正弦定理，
得，
故，
即，
即．
由，则，故，即．
因为，所以．
（2）由（1）和余弦定理可得，，
故，，
即，当且仅当时等号成立．
故．
由利用等面积法求得的最大值，易知，
故，故，
利用正弦定理，所以的最小值为2．
3．（2022·湖北·三模）在中，内角所对的边分别为，，，已知，．
(1)求角的大小；
(2)求外接圆半径的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由平面向量数量积的定义结合三角形的面积公式化简即可得出答案.
（2）由余弦定理结合均值不等式可得，所以外接圆半径的最小值，代入即可得出答案.
【详解】（1）因为，所以，
整理得，所以，又，所以．
（2）因为，，
所以，故，即，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为4．
所以.
4．（2024·吉林·二模）已知 的三个内角的对边分别为的外接圆半径为 ，且 .
(1)求;
(2)求的内切圆半径 的取值范围
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理化为边，再由余弦定理求解即可；
（2）根据等面积法可得出的表达式，利用正弦定理转化为函数，再由三角函数求值域即可得出范围.
【详解】（1）由正弦定理可得，，即，
所以，
由可知，，
所以，故.
（2）因为的内切圆半径 ，
所以，
即，
又因为，所以，
所以，
由正弦定理
，
又，则，
所以，故，
所以.
5．（2023·广西南宁·一模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且．
(1)求的外接圆半径R；
(2)求内切圆半径r的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦边角关系可得，应用余弦定理即可求，进而确定其大小；
（2）由正弦定理有，，根据余弦定理有，结合（1）及，应用三角恒等变换有，由三角形内角性质、正弦函数性质求范围即可.
【详解】（1）因为，由正弦边角关系得，即，
由余弦定理，得，又，所以，
由，则.
（2）由正弦定理得，所以，，
由余弦定理，得，所以，
利用等面积法可得，
则
，
∵，∴，故，则，
所以，故.
6．（2023·山东·一模）如图，平面四边形中，，，．的内角的对边分别为，且满足．
(1)判断四边形是否有外接圆？若有，求其半径；若无，说明理由；
(2)求内切圆半径的取值范围．
【答案】(1)有，
(2)
【分析】(1)先由余弦定理求，再由正弦定理结合条件得，所以，，所以四点共圆，则四边形的外接圆半径就等于外接圆的半径．由正弦定理即可求出；
(2)由三角形面积公式得到，则，由正弦定理得，，化简得，因为，所以，即可得到的取值范围，从而得到半径的取值范围．
【详解】（1）在中，，
所以，
由正弦定理，，可得，
再由余弦定理，，又，所以．
因为，所以，所以四点共圆，
则四边形的外接圆半径就等于外接圆的半径．
又，所以．
（2）由（1）可知：，则，
，
则．
在中，由正弦定理，，
所以，，
则
，
又，所以，
所以，，即，
因为，所以．
考点六、中线、角平分线、高线问题
1．（2024·四川成都·三模）在中，．
(1)求的长；
(2)求边上的高．
【答案】(1)4
(2)
【分析】（1）根据题意，由余弦定理代入运算得解；
（2）求出，由等面积法求解.
【详解】（1）由题，，，，由余弦定理得，
，解得，即.
（2）在中，，，设边上的高为，
则，即，解得.
所以边上的高为.
2．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）记的内角的对边分别为，面积为，且．
(1)求的外接圆的半径；
(2)若，且，求边上的高．
【答案】(1)1；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理、三角形面积公式求解即得.
（2）结合（1）的信息，求出边a，再利用余弦定理结合已知面积关系求解即得.
【详解】（1）在中，，解得，
由正弦定理得的外接圆的半径.
（2）由（1）知，，
由余弦定理得，则，
令边上的高为，则，即，
所以边上的高为.
3．（23-24高三上·黑龙江·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，.
(1)求角；
(2)若，求边上高的最大值.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）用正弦定理边化角即可求解；
（2）用余弦定理结合基本不等式即可求解.
【详解】（1）由正弦定理及，得.
因为，所以，
所以，所以.
因为，所以.因为，所以.
（2）由（1）及余弦定理得：，所以，
所以，当且仅当时等号成立，
设边上的高为，又因为，所以.
即边上高的最大值为.
4．（2023·广东广州·模拟预测）在锐角中，角所对的边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若边，边的中点为，求中线长的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）由余弦定理结合正弦定理，可得出角的正切即可求出角；
（2）由，结合正弦定理应用辅助角公式，根据锐角三角形中角的范围，即可应用三角函数值域求出范围
【详解】（1）由余弦定理得，
即，
由正弦定理得
，
，即，
.
（2）由余弦定理得：，则.
由正弦定理得
所以，
因为是锐角三角形，所以，即，
则.
中线长的取值范围是.
5．（2023·浙江·模拟预测）在中，角的对边分别为且，
(1)求；
(2)求边上中线长的取值范围．
【答案】(1)6
(2)
【分析】（1）根据题意利用正弦定理进行边角转化，分析运算即可；
（2）利用余弦定理和基本不等式可得，再根据，结合向量的相关运算求解.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
整理得，
且，则，可得，即，
且，则，
由正弦定理，其中为的外接圆半径，
可得，
又因为，
所以.
（2）在中，由余弦定理，即，
则，当且仅当时，等号成立，
可得，即
设边上的中点为D，
因为，则
，
即，所以边上中线长的取值范围为.
6．（2023·安徽马鞍山·模拟预测）在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在中，内角，，的对边分别为，，，且满足________.
(1)求；
(2)若的面积为，为的中点，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若选择条件①，利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；选择条件②，利用正弦定理将边化角，再由同角三角函数的基本关系将切化弦，结合两角和的正弦公式计算可得；选择条件③，利用诱导公式求出，即可得解；
（2）由面积公式求出，再由，将两边平方，结合数量积的运算律及基本不等式求出的最小值，即可得解.
【详解】（1）选择条件①，，
则，
由正弦定理可得，即，
所以，由，所以.
选择条件②，，
由正弦定理可得
即
，
由，所以，，显然，
所以，由，所以.
选择条件③，，
即，
所以，则，
由，，则，
所以，则.
（2）由，解得.
又，
所以
，
所以，当且仅当时等式成立，
所以取最小值是.
7．（23-24高一下·辽宁·期中）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，．
(1)若，求边上的角平分线长；
(2)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由正弦定理结合两角和的正弦求出，再根据余弦定理及已知得，然后利用面积分割法列方程求解即可；
（2）利用向量加法运算及数量积模的运算得，利用正弦定理得，然后利用正弦函数的性质求解范围即可.
【详解】（1）
由及正弦定理得，
即，
即，
所以，因为，所以.
因为，所以.
由余弦定理得，又，所以，
由得，
所以，所以，解得.
（2）
因为为的中点，所以，
则，
由正弦定理得
，
因为为锐角三角形，所以，所以，
所以，所以，所以，
所以，所以，
即边上的中线的取值范围为.
8．（23-24高一下·四川成都·期中）已知的内角，，的对边为，，，且，
(1)求；
(2)若的面积为；
①已知为的中点，且，求底边上中线的长：
②求内角的角平分线长的最大值．
【答案】(1)；
(2)①；②
【分析】（1）根据正弦定理边角互化，由余弦定理可得，即可由同角关系求解，
（2）①根据面积公式可得，结合以及向量的模长公式即可求解，②利用等面积法可得，进而根据半角公式可得，即可得，利用基本不等式即可求解.
【详解】（1）由正弦定理，得，即，
故，因为，所以，
所以；
（2）①由（1）知，因为的面积为，
所以，解得，
且，解得，由于，
所以
，所以；
②因为为角的角平分线，所以，
由于，
所以，
由于，所以，
由于，
又，所以
由于，当且仅当时，等号取得到，
故，故，
考点七、三角形中的证明问题
1．（2024·内蒙古包头·一模）如图，在中，，D是斜边上的一点，，.

(1)若，求和；
(2)若，证明：.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）利用正弦定理及几何关系得出，进而得出是等边三角形及边长，进而可求解.
（2）在与中，利用余弦定理列出方程组，化简即可证明.
【详解】（1）由，，可得.
因为，所以在中，由正弦定理可得，即，
则或60°，又因为，故.
因此，又因为，所以是等边三角形，
所以，
又在中，，，故，
所以.
（2）证明：令，，，.
因为，则.
在与中，由余弦定理可得
消去，得，整理得，
所以，即.
2．（2022·广东·二模）如图，已知△ABC内有一点P，满足．
(1)证明：．
(2)若，，求PC．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由正弦定理得，即，即要证明即可，由此利用三角形内角和证明可得结论；
（2）由题意求得，继而求得，在 中利用余弦定理求得，即可求得答案.
【详解】（1）证明：
在△ABP中，由正弦定理得，
即，
要证明，只需证明，
在△ABP中，，
在△ABC中，，
所以，
所以，
所以．
（2）由（1）知，又因为，，
所以，
由已知得△ABC为等腰直角三角形，所以，
则，
所以在△PBC中，，
由正弦定理得，
即，
即．
由余弦定理得，
由题意知，
故解得，
所以．
3．（22-23高一下·北京·期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角C的大小；
(2)CD为△ACB的内角平分线，且CD与直线AB交于点D.
（i）求证:；
（ii）若，，求CD的长.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【分析】（1）由正弦边角关系得，应用余弦定理求C的大小；
（2）（i）由角平分线两侧三角形面积比，结合等面积法及三角形面积公式证明结论；
（ii）由正弦定理可得，进而得，设并表示出，应用余弦定理列方程求k，最后求CD的长.
【详解】（1）由题设，则，故，
所以，又，故.
（2）（i）由题设，若上的高为，
又，
，
所以，即.
（ii）由，则，又为锐角，故，
若，则，且，，
由余弦定理知：，
所以，可得或，
当，则，，此时，则；
当，则，即，不合题设；
综上，.
4．（2024·全国·模拟预测）在中，点D，E都是边BC上且与B，C不重合的点，且点D在B，E之间，．
(1)求证：．
(2)若，求证：．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）分别在，，中，利用正弦定理即可得证；
（2）设，则，，在，中，利用正弦定理即可得证.
【详解】（1）如图．在中，由正弦定理，得．
在中，由正弦定理，得．
在中，由正弦定理，得．
所以，
所以．
（2）因为，
所，所以．
由可知，均为锐角．
由（1）知，．
设，则，．
由，得．
在中，由正弦定理，得．
在中，由正弦定理，得．
所以．
5．（2022·湖北·模拟预测）已知的外心为，为线段上的两点，且恰为中点.
(1)证明：
(2)若，，求的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设，利用余弦定理求得，，再根据，化简，可求得，同理可求得，即可得证；
（2）利用余弦定理求得，，再根据结合（1）求得，设，可求得，再根据三角形的面积公式结合基本不等式即可得出答案.
【详解】（1）证明：设，
由余弦定理知：，，
由是外心知，
而，
所以，
即，
而，因此，
同理可知，
因此，
所以；
（2）解：由（1）知，
由余弦定理知：，，
代入得，
设，则，
因此，
当且仅当时取到等号，
因此的最大值为.
6．（22-23高一下·山东枣庄·期中）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)若BD是的角平分线.
（i）证明：；
（ii）若，求的最大值.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简，即可得答案；
（2）（i）在和中，分别应用正余弦定理，得出线段之间的等量关系，结合角平分线以及分式的性质，即可证明结论；（ii）利用（i）的结论以及基本不等式即可求得答案.
【详解】（1）因为中，，
故
，
因为，故；
（2）（i）证明：中，由正弦定理得①，

又②，
同理在中，③，
④，
BD是的角平分线，则，
则，
又，故，
故①÷③得⑤，即，
由②④得，
，
则
，
即；
（ii）因为，故，
则由⑤得，则，
由以及（i）知，
即，则，
当且仅当，结合，即时等号成立，
故，即的最大值为.
【点睛】难点点睛：本题解答的难点在于的证明，证明时要利用正余弦定理得到涉及到的线段之间的等量关系，然后利用分式的性质进行变形，过程比较复杂，计算量较大，因此要十分注意.
考点八、图形类综合
1．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知平面四边形ABDC中，对角线CB为钝角的平分线，CB与AD相交于点O，，，.

(1)求CO的长；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理得，根据同角关系以及二倍角公式可得，进而根据面积公式即可求解，
（2）根据正弦定理得，进而由余弦定理得，利用和差角公式可得，即可由面积公式求解.
【详解】（1）在中，由余弦定理得，
解得或（舍去）.
因为，所以.
所以，解得（负值舍去），
所以.
因为，
所以.
所以.
所以.
（2）在中，由正弦定理可得，
则，由于为锐角，所以.
因为，所以，
所以，所以，
由余弦定理可得，解得.
因为，
所以
，
所以.
2．（21-22高三上·广东珠海·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求B；
(2)已知，D为边上的一点，若，，求的长．
【答案】(1)．
(2)．
【分析】（1）根据正弦定理边角化结合三角恒等变换即可求解，
（2）根据余弦定理求解，即可由正弦定理求解，进而由锐角三角函数即可求解.
【详解】（1）∵，根据正弦定理得，，
即，
所以，因为，
所以，所以，
因为，所以．
（2）因为，，，根据余弦定理得
，∴．
∵，∴．
在中，由正弦定理知，，∴，
∴，，所以
∴，∴．
3．（23-24高三上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，角A，B，C所对的边分别为，，，且．
(1)求；
(2)已知，为边上的一点，若，，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得，再结合三角函数的性质，即可求解；
（2）在中 ，利用余弦定理，求得，得到，进而求得，进而求得，再在中，利用正弦定理，即可求解.
【详解】（1）解：因为，
由正弦定理得，
因为，可得，所以，
即，所以，
又因为，可得，所以，可得.
（2）解：在中 ，由余弦定理得
，所以，
因为且，所以，
所以，
又因为，所以，
所以 ，
在中，由正弦定理得， 即，解得.
4．如图，在中，，，为内一点，．
(1)若，求；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）中利用三角函数的定义，求出，可得，从而，
再在中算出，利用余弦定理，即可得出答案；
（2）设，在中根据正弦定理建立关于的等式，解出，
利用同角三角函数的关系可得，，，，
利用余弦定理，即可得出答案．
【详解】（1）在中，，，
，可得，．
，
在中，由余弦定理得，
即，
；
（2）设，可得，，
在中，，
中，由正弦定理得，即，
，化简得，
，因此，，，
所以的面积.
5．（2023·河南信阳·模拟预测）在中，，的面积为，为的中点，于点于点.

(1)求的面积；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意，可得，，作于点，于点，可得，，代入上式得解；
（2）延长到点，使，连接，在中，利用余弦定理可得，在中由正弦定理可求得结果.
【详解】（1）在四边形中，，，
故，
故，
作于点，于点，

又为的中点，
则，
，
故.
（2）设的三条边，，分别为，，，
由，知，
延长到点，使，连接，
则，，
则在中，，，
故由与可得，，则，
，则，
由正弦定理得，
则.
考点九、参数类问题
1．（2024·全国·模拟预测）在锐角三角形中，角所对的边分别为，，且．
(1)求；
(2)若，且，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理边角化，结合三角恒等变换即可求解，
（2）根据正弦定理求解,即可利用三角恒等变换，结合三角函数的性质求解，即可结合特殊角的三角函数值以及不等式的性质求解.
【详解】（1）由题意及正弦定理得，
，，，
．
，
又．
（2）在中，，由正弦定理得．
在中，由正弦定理得．
，
，
由于．
为锐角三角形，
进而，
且，解得．
又，
．
又，
．
2．（2023·全国·模拟预测）已知在中，角所对的边分别为，且.
(1)求的值；
(2)若，且，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先化简题给条件，再利用正弦定理即可求得的值；
（2）先化简题给条件求得，代入题干条件进而求得，从而得到的最小值，再结合条件求出实数的取值范围.
【详解】（1）依题意，，
因为，所以.
由正弦定理，得，
故上式可化为.
因为，所以，
由正弦定理，得.
（2）因为，
由正弦定理，，
因为，故，
则，
故，
因为，故，又，故，
代入中，得，即.
由余弦定理，，故，
则，当且仅当时等号成立，
故，又，
所以实数的取值范围为.
3．（2023·湖北咸宁·模拟预测）在中，角所对的边分别为，满足，.
(1)证明：外接圆的半径为；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由正弦定理结合角的范围求出角，再应用正弦定理求出外接圆半径即可；
（2）把已知恒成立，参数分离转化为恒成立，再求出的最大值可得范围.
【详解】（1）由，得，
由正弦定理得:
，
化简得.
因为，所以.
又，所以，
所以外接圆的半径为.
（2）要使恒成立，
即恒成立，
即求的最大值.
由余弦定理得，
所以
因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以实数的取值范围为.
4．（2024·江苏苏州·三模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)若，求的面积;
(2)若，求使得恒成立时，实数的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由条件可得，从而可得，再由三角形的面积公式代入计算，即可求解；
（2）根据题意，由余弦定理代入计算，即可得到，再由基本不等式代入计算，即可得到，从而得到结果.
【详解】（1）因为，即，所以，
即，则，所以，
所以，且，由正弦定理可得，则，
所以，则.
（2）因为，由余弦定理可得，
又，则，即，
所以，化简可得，
因为，所以，所以，
即，所以，当且仅当时，等号成立，
又，所以，故即可，所以的最小值为.
考点十、解三角形与其他知识点杂糅问题
1．（2022·陕西宝鸡·模拟预测）已知，，
(1)求的单调递增区间；
(2)设的内角所对的边分别为，若，且，求的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标表示及三角函数恒等变换的应用可求，利用正弦函数的单调性即可求解．
（2）由已知可求，求得，利用余弦定理，基本不等式可求，可得，根据，即可得解．
【详解】（1）解：因为，且，
所以
即，
令，，解得，．
所以函数的单调递增区间为，，
（2）解：因为，
所以．
因为，所以，所以，所以，
又因为，
所以由余弦定理，
即，即．
而，当且仅当时取等号，
所以，即，
又因为，
所以，即．
2．（2022·山东淄博·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．
(1)求证：；
(2)若，求的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先将括号打开整理可得，利用同角的三角函数关系化切为弦，结合正弦的和角公式整理可得，根据正弦定理即可证明；
（2）结合余弦定理与数量积的定义可得，利用基本不等式即可求解.
【详解】（1）证明：因为，
所以，
所以，即，
两边同时乘，可得，
即。所以，
因为，所以，
由正弦定理可得，即.
（2）因为，
所以由余弦定理可得，
因为，，
所以 ，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
3．（2022·江苏南通·模拟预测）已知圆的内接四边形ABCD中，，BC=2，．
(1)求四边形ABCD的面积；
(2)设边AB，CD的中点分别为E，F，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理与面积公式求解
（2）以为基底分解，由平面向量数量积的运算律求解
【详解】（1）解：在中，
在中，
∵A，B，C，D四点共圆，∴，
∴，∴，因为，所以，
所以，，
（2）解：由（1）可知即外接圆的直径，设的中点为，
所以，
．
4．（2022·浙江杭州·模拟预测）的内角的对边分别为,已知,
(1)若为边上一点,,且,求;
(2)若为平面上一点,,其中,求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)先根据正弦定理求出角的值,再利用求出的值,由正弦定理可得即可求解;
(2)根据已知条件可以求出的值,,再把用表示,从而表示为关于的二次函数求解最小值即可.
【详解】（1）由可得,
即,
,,
,.
,
即,
则,
,,
在中,由正弦定理可得,
即,
解得.
（2）,
即,
则,
,
(*),
根据已知条件,
,
代入(*)式得:,
当时,取得最小值为.
5．（22-23高三上·四川内江·阶段练习）已知函数．
(1)求的最小正周期和单调增区间；
(2)在中，角、、的对边分别为、、．若，，求的面积的最大值．
【答案】(1)函数的最小正周期为，单调递增区间是
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换化简得出，利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期，解不等式可得出函数的单调递增区间；
（2）由结合角的取值范围可求得角的值，利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，再利用三角形的面积公式可求得面积的最大值.
【详解】（1）解：
，
所以，函数的最小正周期为，
令，解得，
故函数的单调递增区间是.
（2）解：，即，
，则，，可得，
由余弦定理以及基本不等式可得，
即，当且仅当时，等号成立，
故，即面积的最大值为.
6．（22-23高三上·重庆南岸·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，．
(1)求角A的大小；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)．
【分析】(1)由正弦定理可得，再利用余弦定理求解即可；
(2)由题意可得，，，则有，，结合二次函数的性质求解即可.
【详解】（1）解：由正弦定理及，
得，整理得，
由余弦定理得，
又，∴；
（2）解：因为，
令，
则函数为，
由（1）知，，
∴，
∴，
∴，
所以在上单调递增，
函数，
即的取值范围为．
7．（2023·浙江金华·模拟预测）在中，角A，B，C所对应的边为a，b，c．已知的面积，其外接圆半径，且．
(1)求；
(2)若A为钝角，P为外接圆上的一点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由三角形面积公式求得，已知等式由正弦定理边化角，化简得，可解得；
（2）由（1）得，则，建立平面直角坐标系，设，利用向量的坐标运算求，由三角函数的值域求取值范围.
【详解】（1）由，得，
，
由正弦定理，，
则，
由，
得，
化简得，由，，
解得，因此.
（2）由（1）得，若A为钝角，则，则，如图建立平面直角坐标系，
则，设．
则，，，
有，，，
则．
由，则，
所以的取值范围为.
8．（2024·广东·二模）已知正项数列，满足（其中）.
(1)若，且，证明：数列和均为等比数列；
(2)若，以为三角形三边长构造序列（其中），记外接圆的面积为，证明：；
(3)在（2）的条件下证明：数列是递减数列.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）对两式相加和相减即可证明数列和均为等比数列；
（2）由（1）得是等比数列，可知，由（1）得为常值数列，故，再由余弦定理结合基本不等式即可证明，即，再由正弦定理可证得，即可证明；
（3）由（1）（2）可得，可求出，即可证明是递减数列，结合进而证明数列是递减数列.
【详解】（1）正项数列，满足，
两式相减可得：，
因为，所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
由两式相加可得：，
即，因为，
所以，所以是以为首项，为公比的等比数列.
（2）因为，由（1）得是等比数列，
所以，即，
由（1）知，，
因为，所以，
所以为常值数列，故，
由
，因为，所以等号不成立，
故，因为，所以，
所以，
由正弦定理得外接圆的直径，
所以，所以.
（3）由（1）可知，，
由（2）可知，，
解得：，
所以，
随着的增大而减小，又因为，
所以随着的增大而减小，所以是递减数列，
因为，所以是递增数列，所以是递减数列，
所以数列是递减数列.
【点睛】关键点睛：本题（2）问的关键点在于由（1）可得为常值数列，故，再由余弦定理结合基本不等式即可证明，即，再由正弦定理可证得，即可证明