2025高考数学专项讲义第02讲数列中的新定义综合(学生版+解析)

这是一份2025高考数学专项讲义第02讲数列中的新定义综合(学生版+解析)，共130页。学案主要包含了斐波那契数列，差数列及阶差数列，平方数列与类平方数列，数列的单调性，数列的凹凸性，数列的周期性，数列的新概念，数列的新性质等内容，欢迎下载使用。

新高考改革后，数列作为高中数学的重要组成部分，在考试中占据了重要的地位。数列的考查不仅限于传统的等差数列、等比数列等基础知识，还涉及到了一些新的定义和概念。这些新定义通常要求考生具备较强的逻辑推理能力和创新思维。
在新定义数列的考题中，有以下几种情况：
新定义的数列类型：例如，斐波那契数列的变种、递推数列、分段定义的数列等。这些数列的定义和性质可能与传统数列有所不同，需要考生仔细阅读题目，准确理解新定义。
数列性质的探究：考生可能需要探究新定义数列的通项公式、递推关系、特殊项的性质等。这要求考生能够灵活运用数学归纳法、数列极限等数学工具。
数列与函数、不等式等其他数学知识的综合应用：新定义数列的题目往往与其他数学知识相结合，考查考生的综合运用能力。例如，数列与函数的图像、数列与不等式的解法等。
实际问题的数学建模：新高考数学注重考查学生的实际应用能力，因此，数列问题可能会与实际问题相结合，要求考生建立数学模型来解决实际问题。
为了应对新定义数列的考题，考生需要：
熟悉并掌握高中数学数列的基本概念和性质。
增强阅读理解能力，准确把握新定义数列的特点。
培养逻辑推理和创新思维，能够独立探究数列的性质。
加强与其他数学知识的联系，提高综合运用数学知识解决问题的能力。
注重实际问题的数学建模训练，提升解决实际问题的能力。
总之，新高考数学数列部分的考查更加注重考生的综合能力，考生需要在平时的学习中注重基础知识的积累，同时加强思维训练和实际应用能力的培养。
考点一、斐波那契数列
1．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样的一列数：，该数列的特点是：从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，则是斐波那契数列中的第 项．
2．（2024·贵州遵义·模拟预测）（多选）数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…称为斐波那契数列，又称黄金分割该数列，从第三项开始，各项等于其前相邻两项之和，即（），则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24高三上·河北廊坊·期末）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即，故此数列称为斐波那契数列，又称为“兔子数列”，其通项公式为，设是不等式的正整数解，则的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
1．（2024·河南·模拟预测）我们把由0和1组成的数列称为数列，数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛应用，把斐波那契数列（，）中的奇数换成0，偶数换成1可得到数列an，若数列an的前项和为，且，则的值可能是（ ）
A．100B．201C．302D．399
2．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）在数学上，斐波纳契数列定义为：，，，斐波纳契数列有种看起来很神奇的巧合，如根据可得，所以，类比这一方法，可得（ ）
A．714B．1870C．4895D．4896
3．（2024·山东·模拟预测）（多选）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，….该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，若用表示斐波那契数列的第项，则数列满足：，.则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点二、差数列及阶差数列
1．（23-24高二上·云南昆明·期末）数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列．其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2，4，7，11，16从第二项起，每一项与前一项的差组成的新数列2，3，4，5是等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其前六项分别为1，3，6，10，15，21，则的最小值为 ．
2．（23-24高三下·重庆·阶段练习）定义：满足 为常数，）的数列 称为二阶等比数列，为二阶公比.已知二阶等比数列的二阶公比为，则使得 成立的最小正整数为（ ）
A．7B．8C．9D．10
3．（2024·全国·模拟预测）给定数列，称为的差数列（或一阶差数列），称数列的差数列为的二阶差数列……
(1)求的二阶差数列；
(2)用含的式子表示的阶差数列，并求其前项和．
1．（2024·四川自贡·一模）南末数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前项分别为，则该数列的第项（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·四川南充·三模）对于数列，规定为数列的一阶差分，其中，规定为数列的k阶差分，其中．若，则（ ）
A．7B．9C．11D．13
3．（2024·吉林长春·模拟预测）对于数列，称为数列的一阶差分数列，其中.对正整数，称为数列的阶差分数列，其中已知数列的首项，且为的二阶差分数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列的一阶差分数列，对，是否都有成立？并说明理由；（其中为组合数）
(3)对于（2）中的数列，令，其中.证明：.
考点三、平方数列与类平方数列
1．（23-24高三上·四川绵阳·阶段练习）若数列满足则称为 “平方递推数列”. 已知数列是 “平方递推数列”， 且则（ ）
A．是等差数列B．是等差数列
C．是 “平方递推数列”D．是 “平方递推数列”
1．（2024·海南·模拟预测）（多选）已知数列an满足：①；②，，，，则称数列an为“类平方数列”，若数列bn满足：①数列bn不是“类平方数列”；②将数列bn中的项调整一定的顺序后可使得新数列成为“类平方数列”，则称数列bn为“变换类平方数列”，则（ ）
A．已知数列，则数列an为“类平方数列”
B．已知数列an为：3，5，6，11，则数列an为“变换类平方数列”
C．已知数列an的前顶和为，则数列an为“类平方数列”
D．已知，.则数列an为“变换类平方数列”
考点四、数列的单调性
1．（2024·江西新余·模拟预测）我们规定：若数列为递增数列且也为递增数列，则为“数列”.
(1)已知：，，，数列中其中只有一个数列，它是： ；请从另外两个数列中任选一个证明其不是数列.
(2)已知数列an满足：，为an的前项和，试求an的通项并判断数列是否为数列并证之.
(3)已知数列an、bn均为数列，且，，求证：数列也为数列.
1．（24-25高三上·河南·开学考试）若数列的相邻两项或几项之间的关系由函数确定，则称为的递归函数．设的递归函数为．
(1)若，（），证明：为递减数列；
(2)若，且，的前项和记为．
①求；
②我们称为取整函数，亦称高斯函数，它表示不超过的最大整数，例如，．若，求．
2．（2024·广东深圳·模拟预测）已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中的元素个数，特别规定：若时，．
(1)若，写出，及的值；
(2)若数列是等差数列，求数列的通项公式；
(3)设集合，，求证：且．
考点五、数列的凹凸性
1．（2024·安徽池州·模拟预测）定义：若对恒成立，则称数列为“上凸数列”．
(1)若，判断是否为“上凸数列”，如果是，给出证明；如果不是，请说明理由．
(2)若为“上凸数列”，则当时，．
（ⅰ）若数列为的前项和，证明：；
（ⅱ）对于任意正整数序列（为常数且），若恒成立，求的最小值．
1．（24-25高三上·安徽亳州·开学考试）已知数列，对于任意的，都有，则称数列为“凹数列”．
(1)判断数列是否为“凹数列”，请说明理由；
(2)已知等差数列，首项为4，公差为，且为“凹数列”，求的取值范围；
(3)证明：数列为“凹数列”的充要条件是“对于任意的，当时，有”．
2．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知数列，对于任意的正整数，都有则称数列是严格凹数列．
(1)若数列，的通项公式分别为，判断数列，是否为严格凹数列，无需说明理由；
(2)证明：“对于任意正整数的，当时，有”是“数列为严格凹数列”的充要条件；
(3)函数是定义在正实数集上的严格增函数，且数列是严格凹数列，严格增数列（正整数为常数且）各项均为互不相等的正整数，若恒成立，求实数λ的取值范围．
考点六、数列的周期性
1．（2024·上海青浦·二模）若无穷数列满足：存在正整数，使得对一切正整数成立，则称是周期为的周期数列．
(1)若（其中正整数m为常数，），判断数列是否为周期数列，并说明理由；
(2)若，判断数列是否为周期数列，并说明理由；
(3)设是无穷数列，已知．求证：“存在，使得是周期数列”的充要条件是“是周期数列”．
2．（2024·广东珠海·一模）对于数列an，若存在常数，，使得对任意的正整数，恒有成立，则称数列an是从第项起的周期为的周期数列．当时，称数列an为纯周期数列；当时，称数列an为混周期数列．记x为不超过的最大整数，设各项均为正整数的数列an满足：.
(1)若对任意正整数都有，请写出三个满足条件的的值；
(2)若数列an是纯周期数列，请写出满足条件的的表达式，并说明理由；
(3)证明：不论为何值，总存在使得．
3．（2024·湖南长沙·一模）对于数列，如果存在正整数，使得对任意，都有，那么数列就叫做周期数列，叫做这个数列的周期.若周期数列满足：存在正整数，对每一个，都有，我们称数列和为“同根数列”.
(1)判断数列是否为周期数列.如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由；
(2)若和是“同根数列”，且周期的最小值分别是和，求的最大值.
1．（24-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）对于数列，若存在常数，，使得对任意的正整数，恒有成立，则称数列是从第项起的周期为的周期数列．当时，称数列为纯周期数列；当时，称数列为混周期数列．记为不超过的最大整数，设各项均为正整数的数列满足：.
(1)若对任意正整数都有，请写出三个满足条件的的值；
(2)若数列是常数列，请写出满足条件的的表达式，并说明理由；
(3)证明：不论为何值，总存在使得．
2．（23-24高三上·北京丰台·期末）对于数列，如果存在正整数，使得对任意，都有，那么数列就叫做周期数列，叫做这个数列的周期．若周期数列，满足：存在正整数，对每一个，都有，我们称数列和为“同根数列”．
(1)判断下列数列是否为周期数列．如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由；
①；②
(2)若和是“同根数列”，且周期的最小值分别是3和5，求证：；
(3)若和是“同根数列”，且周期的最小值分别是和，求的最大值．
考点七、数列的新概念
1．（2024·江苏南通·模拟预测）定义：已知数列的首项，前项和为.设与是常数，若对一切正整数，均有成立，则称此数列为“”数列.若数列是“”数列，则数列的通项公式（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）对于无穷数列，若对任意，且，存在，使得成立，则称为“数列”.
(1)若数列bn的通项公式为，试判断数列bn是否为“数列”，并说明理由；
(2)已知数列an为等差数列，
①若an是“数列”，，且，求所有可能的取值；
②若对任意，存在，使得成立，求证：数列an为“数列”.
3．（2024·辽宁·三模）若实数列满足，有，称数列为“数列”.
(1)判断是否为“数列”，并说明理由；
(2)若数列为“数列”，证明：对于任意正整数，且，都有
(3)已知数列为“数列”，且.令，其中表示中的较大者.证明：，都有.
4．（2024·福建泉州·模拟预测）若无穷数列满足：对于，其中为常数，则称数列为数列．
(1)若一个公比为的等比数列为“数列”，求的值；
(2)若是首项为1，公比为3的等比数列，在与之间依次插入数列中的项构成新数列，求数列中前30项的和．
(3)若一个“数列"满足，设数列的前项和为．是否存在正整数，使不等式对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
1．（2024·北京东城·二模）设无穷正数数列，如果对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得，那么称为内和数列，并令，称为的伴随数列，则（ ）
A．若为等差数列，则为内和数列
B．若为等比数列，则为内和数列
C．若内和数列为递增数列，则其伴随数列为递增数列
D．若内和数列的伴随数列为递增数列，则为递增数列
2．（2024·湖北荆州·三模）“数列”定义：数列的前项和为，如果对于任意的正整数，总存在正整数使则称数列是“数列”.
(1)若数列的前项和为求证：数列是“数列”；
(2)已知数列是“数列”，且数列是首项为，公差小于的等差数列，求数列的通项公式；
(3)若数列满足：求数列的前项和.
3．（2024·黑龙江·二模）如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都大于3，则称这个数列为“型数列”．
(1)若数列满足，判断是否为“型数列”，并说明理由；
(2)已知正项数列为“型数列”，，数列满足，，是等比数列，公比为正整数，且不是“型数列”，求数列的通项公式．
4．（2024·全国·模拟预测）定义：若对于任意的，数列满足，则称这个数列是“数列”．
(1)已知首项为1的等差数列是“数列”，且恒成立，求的取值范围．
(2)已知各项均为正整数的等比数列是“数列”，数列不是“数列”．记，若数列是“数列”．
①求数列的通项公式．
②是否存在正整数，使成等差数列？若存在，求出的所有值；若不存在，请说明理由．
考点八、数列的新性质
1．（2024·山东青岛·三模）（多选）若有穷整数数列满足：，且，则称具有性质.则（ ）
A．存在具有性质的
B．存在具有性质的
C．若具有性质，则中至少有两项相同
D．存在正整数，使得对任意具有性质的，有中任意两项均不相同
2．（2024·河南·三模）已知数列的前项和为，若存在常数，使得对任意都成立，则称数列具有性质．
(1)若数列为等差数列，且，求证：数列具有性质；
(2)设数列的各项均为正数，且具有性质．
①若数列是公比为的等比数列，且，求的值；
②求的最小值．
1．（23-24高二下·安徽六安·期末）如果无穷数列满足“对任意正整数，都存在正整数，使得”，则称数列具有“性质”.
(1)若等比数列的前项和为，且公比，求证：数列具有“性质”；
(2)若等差数列的首项，公差，求证：数列具有“性质”，当且仅当；
(3)如果各项均为正整数的无穷等比数列具有“性质”，且四个数中恰有两个出现在数列中，求的所有可能取值之和.
2．（2024·湖北·模拟预测）若项数为的数列满足两个性质：①；②存在，使得，并记是数列的最大项，．则称数列具有性质．
(1)若，写出所有具有性质的数列；
(2)数列具有性质,若，求的最大项的最大值；
(3)数列具有性质,若，且还满足以下两条性质：（ⅰ）对于满足的项和，在的余下的项中，总存在满足的项和，使得；（ⅱ）对于满足的项和，在的余下的项中，总存在满足的项和，使得．求满足上述性质的的最小值．
一、填空题
1．（2023·陕西铜川·一模）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列是等和数列，且，公和为1，那么这个数列的前2024项和 .
2．（2024·北京通州·三模）若数列、均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得，则称数列为数列的“M数列”．已知数列的前n项和为，则下列结论中正确的是 ．
①存在等差数列，使得是的“M数列”
②存在等比数列，使得是的“M数列”
③存在等差数列，使得是的“M数列”
④存在等比数列，使得是的“M数列”
3．（2024·全国·模拟预测）将正整数n分解为两个正整数，的积，即，当，两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如，其中即为12的最优分解，当，是n的最优分解时，定义，则数列的前2024项的和为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·江苏镇江·三模）若对项数为的数列中的任意一项，也是该数列中的一项，则称这样的数列为“可倒数数列”.已知正项等比数列是“可倒数数列”，其公比为，所有项和为，写出一个符合题意的的值 .
5．（2024·江苏南通·模拟预测）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“数列”.已知数列（）的前项和为，且满足，.设为正整数.若存在“数列”（），对任意正整数，当时，都有成立，则的最大值为 .
二、多选题
6．（2024·江苏南通·模拟预测）在数列中，若对，都有（为常数），则称数列为“等差比数列”，为公差比，设数列的前项和是，则下列说法一定正确的是（ ）
A．等差数列是等差比数列
B．若等比数列是等差比数列，则该数列的公比与公差比相同
C．若数列是等差比数列，则数列是等比数列
D．若数列是等比数列，则数列等差比数列
7．（23-24高三上·上海普陀·期末）对于无穷数列，给出如下三个性质：①；②对于任意正整数，都有；③对于任意正整数，存在正整数，使得定义：同时满足性质①和②的数列为“s数列”，同时满足性质①和③的数列为“t数列”，则下列说法正确的是（ ）
A．若为“s数列”，则为“t数列”
B．若，则为“t数列”
C．若，则为“s数列”
D．若等比数列为“t数列”则为“s数列”
8．（2024·河北承德·二模）对于给定的数列，如果存在实数，使得对任意成立，我们称数列是“线性数列”，则下列说法正确的是（ ）
A．等差数列是“线性数列”
B．等比数列是“线性数列”
C．若且，则
D．若且，则是等比数列的前项和
9．（2024·湖南衡阳·模拟预测）在股票市场中，股票的价格是有界的，投资者通常会通过价格的变化来确保自己的风险，这种变化的价格类似于我们数学中的数列，定义如果存在正数，使得对一切正整数，都有，则称为有界数列，数列收敛指数列有极限，我们把极限存在（不含无穷大）的数列称为收敛数列，如数列，显然对一切正整数都有，而的极限为，即数列既有界也收敛.如数列，显然对一切正整数都有，但不存在极限，即数列有界但不收敛.下列数列是有界数列但不收敛的数列有（ ）
A．B．
C．D．
10．（2024·河南·一模）对于数列（），定义为，，…，中最大值（）（），把数列称为数列的“M值数列”.如数列2，2，3，7，6的“M值数列”为2，2，3，7，7，则（ ）
A．若数列是递减数列，则为常数列
B．若数列是递增数列，则有
C．满足为2，3，3，5，5的所有数列的个数为8
D．若，记为的前n项和，则
三、解答题
11．（2024·内蒙古包头·二模）已知数列为有穷数列，且，若数列满足如下两个性质，则称数列为的增数列：
①；
②对于，使得的正整数对有个.
(1)写出所有4的1增数列；
(2)当时，若存在的6增数列，求的最小值.
12．（23-24高二下·广东深圳·阶段练习）若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．现对数列1，2进行构造，第一次得到数列1，3，2；第二次得到数列1，4，3，5，2；依次构造，第次得到的数列的所有项之和记为.
(1)设第次构造后得的数列为，则，请用含的代数式表达出，并推导出与满足的关系式；
(2)求数列的通项公式；
(3)证明：
13．（2024·贵州贵阳·二模）给定数列，若满足且，对于任意的，都有，则称数列an为“指数型数列".
(1)已知数列an满足，判断数列是不是“指数型数列"？若是，请给出证明，若不是，请说明理由;
(2)若数列an是“指数型数列”，且，证明:数列an中任意三项都不能构成等差数列.
14．（2024·湖北·模拟预测）若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互质，欧拉函数是指，对于一个正整数n，小于或等于n的正整数中与n互质的正整数（包括1）的个数，记作，例如，．
(1)求，，；
(2)设，，求数列an的前项和；
(3)设，，数列bn的前项和为，证明：，
15．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）表示正整数a，b的最大公约数，若，且，，则将k的最大值记为，例如：，．
(1)求，，；
(2)设．
（i）求数列的通项公式，
（ii）设，求数列的前n项和．
16．（2024·全国·模拟预测）设满足以下两个条件的有穷数列为阶“曼德拉数列”：
①；②.
(1)若某阶“曼德拉数列”是等比数列，求该数列的通项（，用表示）；
(2)若某阶“曼德拉数列”是等差数列，求该数列的通项（，用表示）；
(3)记阶“曼德拉数列”的前项和为，若存在，使，试问：数列能否为阶“曼德拉数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.
17．（2024·广东梅州·二模）已知an是由正整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，即；前项的最小值记为，即，令（），并将数列称为an的“生成数列”．
(1)若，求其生成数列的前项和；
(2)设数列的“生成数列”为，求证：；
(3)若是等差数列，证明：存在正整数，当时，，，，是等差数列．
18．（2024·山东潍坊·二模）数列中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列称为的一阶差数列，记为，依此类推，的一阶差数列称为的二阶差数列，记为，…．如果一个数列的p阶差数列是等比数列，则称数列为p阶等比数列．
(1)已知数列满足，．
（ⅰ）求，，；
（ⅱ）证明：是一阶等比数列；
(2)已知数列为二阶等比数列，其前5项分别为，求及满足为整数的所有n值．
19．（2024·贵州·模拟预测）若给定一个数列，其连续两项之差构成一个新数列：，，，…，，…，这个数列称为原数列的“一阶差数列”，记为，其中.再由的连续两项的差得到新数列，，，…，，…，此数列称为原数列的“二阶差数列”，记为，其中.以此类推，可得到的“p阶差数列”.如果数列的“p阶差数列”是非零常数数列，则称为“p阶等差数列”.
(1)证明由完全立方数组成的数列是“3阶等差数列”；
(2)若（且，），证明数列是“k阶等差数列”，并且若将的“k阶差数列”记作，则.
20．（2024·河南郑州·模拟预测）设任意一个无穷数列的前项之积为，若，，则称是数列．
(1)若是首项为，公差为的等差数列，请判断是否为数列？并说明理由；
(2)证明：若的通项公式为，则不是数列；
(3)设是无穷等比数列，其首项，公比为，若是数列，求的值．
21．（2024·广东佛山·模拟预测）定义：一个正整数称为“漂亮数”，当且仅当存在一个正整数数列，满足①②：
①；
②．
(1)写出最小的“漂亮数”；
(2)若是“漂亮数”，证明：是“漂亮数”；
(3)在全体满足的“漂亮数”中，任取一个“漂亮数”，求是质数的概率．
22．（24-25高三上·河南焦作·开学考试）对于一个正项数列，若存在一正实数，使得且，有，我们就称是-有限数列.
(1)若数列满足，，，证明：数列为1-有限数列；
(2)若数列是-有限数列，，使得且，，证明：.
23．（2024·北京门头沟·一模）已知数列 ， 数列 ， 其中 ， 且 ， ． 记 的前 项和分别为 ， 规定 ．记 ，且 ，， 且
(1)若，，写出 ；
(2)若，写出所有满足条件的数列 an， 并说明理由；
(3)若 ， 且 ． 证明： ， 使得 ．
24．（2024·湖北荆州·三模）对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意，都有成立，那么就把这样的一类数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，简称周期.
(1)判断数列和是否为周期数列，如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由.
(2)设（1）中数列前项和为，试问是否存在，使对任意，都有成立，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由.
(3)若数列和满足，且，是否存在非零常数，使得是周期数列？若存在，请求出所有满足条件的常数；若不存在，请说明理由.
25．（2024·安徽芜湖·三模）若数列的各项均为正数，且对任意的相邻三项，都满足，则称该数列为“对数性凸数列”，若对任意的相邻三项，都满足则称该数列为“凸数列”．
(1)已知正项数列是一个“凸数列”，且，（其中为自然常数，），证明：数列是一个“对数性凸数列”，且有；
(2)若关于的函数有三个零点，其中．证明：数列是一个“对数性凸数列”：
(3)设正项数列是一个“对数性凸数列”，求证：
26．（2024·新疆·二模）我们把满足下列条件的数列an称为数列：
①数列an的每一项都是正偶数；
②存在正奇数m，使得数列an的每一项除以m所得的商都不是正偶数．
(1)若a，b，c是公差为2的等差数列，求证：a，b，c不是数列；
(2)若数列bn满足对任意正整数p，q，恒有，且，判断数列是否是数列，并证明你的结论；
(3)已知各项均为正数的数列共有100项，且对任意，恒有，若数列为数列，求满足条件的所有两位数k值的和．
27．（2024·浙江·模拟预测）已知正整数，设，，…，，，，…，是个非负实数，.若对于任意，取，，，都有，则称这个数构成—孪生数组.
(1)写出8个不全相等的数，使得这8个数构成—孪生数组；
(2)求最小的，使得，，…，，，，…，构成—孪生数组；
(3)若，且，，…，，，，…，构成—孪生数组，求的最大值.
参考公式：（i），当且仅当时取等；（ii）当正偶数时，设，有；当正奇数时，设，有.
28．（2024·吉林·模拟预测）对于数列，若，对任意的，有，则称数列是有界的.当正整数n无限大时，若无限接近于常数a，则称常数a是数列的极限，或称数列收敛于a，记为.单调收敛原理：“单调有界数列一定收敛”可以帮助我们解决数列的收敛性问题.
(1)证明：对任意的，，恒成立；
(2)已知数列，的通项公式为：，，.
（i）判断数列，的单调性与有界性，并证明；
（ii）事实上，常数，以为底的对数称为自然对数，记为.证明：对任意的，恒成立.
29．（2024·广东江苏·高考真题）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列．
(1)写出所有的，，使数列是可分数列；
(2)当时，证明：数列是可分数列；
(3)从中任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：．
30．（2024·北京·高考真题）已知集合．给定数列，和序列，其中，对数列进行如下变换：将的第项均加1，其余项不变，得到的数列记作；将的第项均加1，其余项不变，得到数列记作；……；以此类推，得到，简记为．
(1)给定数列和序列，写出；
(2)是否存在序列，使得为，若存在，写出一个符合条件的；若不存在，请说明理由；
(3)若数列的各项均为正整数，且为偶数，求证：“存在序列，使得的各项都相等”的充要条件为“”．
1．（2024·新Ⅰ卷·高考真题）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列．
(1)写出所有的，，使数列是可分数列；
(2)当时，证明：数列是可分数列；
(3)从中任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：．
2．（2024·北京·高考真题）已知集合．给定数列，和序列，其中，对数列进行如下变换：将的第项均加1，其余项不变，得到的数列记作；将的第项均加1，其余项不变，得到数列记作；……；以此类推，得到，简记为．
(1)给定数列和序列，写出；
(2)是否存在序列，使得为，若存在，写出一个符合条件的；若不存在，请说明理由；
(3)若数列的各项均为正整数，且为偶数，求证：“存在序列，使得的各项都相等”的充要条件为“”．
3．（2023·北京·高考真题）已知数列的项数均为m，且的前n项和分别为，并规定．对于，定义，其中，表示数集M中最大的数.
(1)若，求的值；
(2)若，且，求；
(3)证明：存在，满足 使得．
4．（2022·北京·高考真题）已知为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为连续可表数列．
(1)判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由；
(2)若为连续可表数列，求证：k的最小值为4；
(3)若为连续可表数列，且，求证：．
5．（2021·北京·高考真题）设p为实数.若无穷数列满足如下三个性质，则称为数列：
①，且；
②；
③，．
（1）如果数列的前4项为2，-2，-2，-1，那么是否可能为数列？说明理由；
（2）若数列是数列，求；
（3）设数列的前项和为.是否存在数列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，说明理
第02讲 数列中的新定义综合
（8类核心考点精讲精练）
新高考改革后，数列作为高中数学的重要组成部分，在考试中占据了重要的地位。数列的考查不仅限于传统的等差数列、等比数列等基础知识，还涉及到了一些新的定义和概念。这些新定义通常要求考生具备较强的逻辑推理能力和创新思维。
在新定义数列的考题中，有以下几种情况：
新定义的数列类型：例如，斐波那契数列的变种、递推数列、分段定义的数列等。这些数列的定义和性质可能与传统数列有所不同，需要考生仔细阅读题目，准确理解新定义。
数列性质的探究：考生可能需要探究新定义数列的通项公式、递推关系、特殊项的性质等。这要求考生能够灵活运用数学归纳法、数列极限等数学工具。
数列与函数、不等式等其他数学知识的综合应用：新定义数列的题目往往与其他数学知识相结合，考查考生的综合运用能力。例如，数列与函数的图像、数列与不等式的解法等。
实际问题的数学建模：新高考数学注重考查学生的实际应用能力，因此，数列问题可能会与实际问题相结合，要求考生建立数学模型来解决实际问题。
为了应对新定义数列的考题，考生需要：
熟悉并掌握高中数学数列的基本概念和性质。
增强阅读理解能力，准确把握新定义数列的特点。
培养逻辑推理和创新思维，能够独立探究数列的性质。
加强与其他数学知识的联系，提高综合运用数学知识解决问题的能力。
注重实际问题的数学建模训练，提升解决实际问题的能力。
总之，新高考数学数列部分的考查更加注重考生的综合能力，考生需要在平时的学习中注重基础知识的积累，同时加强思维训练和实际应用能力的培养。
考点一、斐波那契数列
1．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样的一列数：，该数列的特点是：从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，则是斐波那契数列中的第 项．
【答案】2025
【分析】根据“斐波那契数列”的递推关系可得结果.
【详解】依题意有：
，
所以：，
故答案为：2025.
2．（2024·贵州遵义·模拟预测）（多选）数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…称为斐波那契数列，又称黄金分割该数列，从第三项开始，各项等于其前相邻两项之和，即（），则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据递推公式进行验证．
【详解】由已知，A正确；
，B正确；
，C错；
，D正确，
故选：ABD．
3．（23-24高三上·河北廊坊·期末）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即，故此数列称为斐波那契数列，又称为“兔子数列”，其通项公式为，设是不等式的正整数解，则的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】D
【分析】利用对数运算将变形化简得到，结合的表达式可得，结合，即可求出答案.
【详解】因为，
所以，
即
故，
故，所以，
由斐波那契数列可知，则，
所以的最小值为9，
故选：D.
1．（2024·河南·模拟预测）我们把由0和1组成的数列称为数列，数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛应用，把斐波那契数列（，）中的奇数换成0，偶数换成1可得到数列an，若数列an的前项和为，且，则的值可能是（ ）
A．100B．201C．302D．399
【答案】C
【分析】根据题意求出an的前若干项，找出规律，从而逐一检验各选项即可得解.
【详解】因为，，
所以，
所以数列an的前若干项为：
，
则，
所以，，
，.
故选：C.
2．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）在数学上，斐波纳契数列定义为：，，，斐波纳契数列有种看起来很神奇的巧合，如根据可得，所以，类比这一方法，可得（ ）
A．714B．1870C．4895D．4896
【答案】C
【分析】根据题意，分析可得，进而变形可得，据此可得，计算可得答案.
【详解】根据题意，数列满足，即，
两边同乘以，可得，
则
.
故选：C.
3．（2024·山东·模拟预测）（多选）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，….该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，若用表示斐波那契数列的第项，则数列满足：，.则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】对于A，根据题意求出斐波那契数列的前10项进行判断，对于B，当时，，，，三式相加判断，对于C，根据，对依次取1，2，……，2023，得到2023个式子相加进行判断，对于D，由，得，对依次取1，2，……，2022，然后相加进行判断.
【详解】对于A，由题意可知斐波那契数列的前10项为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，
所以，所以A错误，
对于B，当时，，，，
所以三式相加得，
所以，所以B正确，
对于C，因为数列满足：，，
所以，，，……，
，，，
以上2023个等式相加得,
因为，所以，所以C正确，
对于D，因为，，
所以，,
,,
……,
,
所以，所以D正确，
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：此题考查斐波那契数列的性质，解题的关键是理解斐波那契数列中项之间的关系，充分利用分析判断，考查推理能力和理解能力，属于较难题.
考点二、差数列及阶差数列
1．（23-24高二上·云南昆明·期末）数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列．其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2，4，7，11，16从第二项起，每一项与前一项的差组成的新数列2，3，4，5是等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其前六项分别为1，3，6，10，15，21，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】先得出递推公式，并用叠加法求出通项公式，再用基本不等式求最小值.
【详解】数列的前六项分别为1，3，6，10，15，21，
依题知，，，，，
叠加可得：，
整理得，
当，，满足，
所以，
所以，
当且仅当时，即，时等号成立，
又，所以等号取不到，所以最小值在时取得，
当时，，所以最小值为.
故答案为：
2．（23-24高三下·重庆·阶段练习）定义：满足 为常数，）的数列 称为二阶等比数列，为二阶公比.已知二阶等比数列的二阶公比为，则使得 成立的最小正整数为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】B
【分析】根据数列新定义可得，利用累乘法求得的表达式，解数列不等式，即可求得答案.
【详解】由题意知二阶等比数列的二阶公比为，则，
故，
将以上各式累乘得：，
故，令，由于，
故，即，
又的值随n的增大而增大，且，
当时，，
当时，，
故n的最小值为8，
故选：B
3．（2024·全国·模拟预测）给定数列，称为的差数列（或一阶差数列），称数列的差数列为的二阶差数列……
(1)求的二阶差数列；
(2)用含的式子表示的阶差数列，并求其前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据差数列的定义，依次求出数列的一阶差数列和二阶差数列即得；
（2）根据（1）的规律，猜想的阶差数列为，接着运用数学归纳法进行证明；再根据等比数列的前项和公式求解即得.
【详解】（1）由差数列的定义，数列的一阶差数列为
数列的二阶差数列为的一阶差数列，即
故数列的二阶差数列为．
（2）通过找规律得，的阶差数列为，下面运用数学归纳法进行证明：
①当时，显然成立；时，由（1）得结论也成立．
②假设该结论对时成立，尝试证明其对时也成立．
由差数列的定义，的阶差数列即的阶差数列的一阶差数列，即
故该结论对时也成立，证毕．
故的阶差数列为．该数列是以为首项，2为公比的等比数列，
故其前项和为
故的阶差数列为，其前项和为.
1．（2024·四川自贡·一模）南末数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前项分别为，则该数列的第项（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据“高阶等差数列”的定义求得第项.
【详解】，
设，
，
设，
所以，所以是首项为，公差为的等差数列，
所以，即，
所以.
故选：D
2．（2024·四川南充·三模）对于数列，规定为数列的一阶差分，其中，规定为数列的k阶差分，其中．若，则（ ）
A．7B．9C．11D．13
【答案】D
【分析】由数列的新定义计算即可.
【详解】由可得
，
，
由可得，
所以，
故选：D.
3．（2024·吉林长春·模拟预测）对于数列，称为数列的一阶差分数列，其中.对正整数，称为数列的阶差分数列，其中已知数列的首项，且为的二阶差分数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列的一阶差分数列，对，是否都有成立？并说明理由；（其中为组合数）
(3)对于（2）中的数列，令，其中.证明：.
【答案】(1)；
(2)成立，理由见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）由二阶差分数列的定义可得，将，可得，构造等差数列即可求解；
（2）由一阶差分数列的定义可得，要证成立，即证，根据二项式定理即可证明；
（3）作差可得，故，根据等比数列的求和公式即可证明.
【详解】（1）因为为an的二阶差分数列，所以，
将，代入得，整理得，即，
所以.故数列是首项为，公差为的等差数列，
因此，，即.
（2）因为为数列bn的一阶差分数列，所以，
故成立，即为.①
当时，①式成立；
当时，因为，且，
所以①成立，故对都有成立.
（3），因为，所以，
故，即，
所以.
【点睛】关键点点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.
考点三、平方数列与类平方数列
1．（23-24高三上·四川绵阳·阶段练习）若数列满足则称为 “平方递推数列”. 已知数列是 “平方递推数列”， 且则（ ）
A．是等差数列B．是等差数列
C．是 “平方递推数列”D．是 “平方递推数列”
【答案】C
【分析】对于AB，由题意得，然后根据等差数列的定义分析判断即可，对于CD，由平方递推数列的定义分析判断.
【详解】对于AB，因为 是 “平方递推数列”， 所以.
又， 所以 则，，
所以，不是等差数列， 所以AB不正确.
对于C，因为 ，所以 是 “平方递推数列”， 所以C 正确.
对于D，因为 ，
所以不是 “平方递推数列”， D 不正确.
故选：C
1．（2024·海南·模拟预测）（多选）已知数列an满足：①；②，，，，则称数列an为“类平方数列”，若数列bn满足：①数列bn不是“类平方数列”；②将数列bn中的项调整一定的顺序后可使得新数列成为“类平方数列”，则称数列bn为“变换类平方数列”，则（ ）
A．已知数列，则数列an为“类平方数列”
B．已知数列an为：3，5，6，11，则数列an为“变换类平方数列”
C．已知数列an的前顶和为，则数列an为“类平方数列”
D．已知，.则数列an为“变换类平方数列”
【答案】CD
【分析】利用“类平方数列”的定义判断AC；利用“变换类平方数列”的定义判断BD.
【详解】对于A，，，当时，不是正整数的平方，数列an不为“类平方数列”，A错误；
对于B，，当时，，
即无论为数列的第几项，都不可能为正整数的平方，数列an不为“变换类平方数列”，B错误；
对于C，当时，，
而满足上式，则，当时，，
数列an为“类平方数列”，C正确；
对于D，数列的4项依次为，将此数列调整为时，
有，因此数列an为“变换类平方数列”，D正确.
故选：CD
考点四、数列的单调性
1．（2024·江西新余·模拟预测）我们规定：若数列为递增数列且也为递增数列，则为“数列”.
(1)已知：，，，数列中其中只有一个数列，它是： ；请从另外两个数列中任选一个证明其不是数列.
(2)已知数列an满足：，为an的前项和，试求an的通项并判断数列是否为数列并证之.
(3)已知数列an、bn均为数列，且，，求证：数列也为数列.
【答案】(1)，证明见解析
(2)，不是数列，证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）利用幂函数的单调性可得与都是递增数列；利用特殊项的大小比较可得an与bn均不是数列；
（2）由已知等式变形裂项可得，再由累加法可求通项，进而可得，利用等差数列求和公式可得，由可证明不是数列；
（3）由“数列”的定义可得，，结合不等式的性质与放缩法得，由此分别证明与即可得证.
【详解】（1）空格处填.
原因如下：因为，则，
由幂函数与在上都是增函数，由，
故数列与都是递增数列，则为“数列”.
若选an，下面证明an不是数列.
证明：由，则 .
故，所以不是递增数列.
故an不是数列；
若选bn，下面证明bn不是数列.
证明：由，则 .
所以不是递增数列.
故bn不是数列.
（2）由可得，
所以
设，则，，...，，
累加得，
又，故，
所以. 由，
故an是以为首项，为公差的等差数列.
所以，则，.
即数列是递增数列，但不是递增数列，故不是数列.
（3）数列an、bn均为数列，且，，
由题意可得，
且，，
由不等式的性质可得，，又，
则，所以为递增数列，
且有，
则，
故也是递增数列，故为数列.
1．（24-25高三上·河南·开学考试）若数列的相邻两项或几项之间的关系由函数确定，则称为的递归函数．设的递归函数为．
(1)若，（），证明：为递减数列；
(2)若，且，的前项和记为．
①求；
②我们称为取整函数，亦称高斯函数，它表示不超过的最大整数，例如，．若，求．
【答案】(1)证明见解析
(2)① ；②
【分析】（1）根据定义得出，再根据即可证明；
（2）根据等比数列的定义及等比数列的求和公式即可求解①；结合①得出，当时，，所以；当时，由放缩得出，结合得出进而求解．
【详解】（1）证明：若，显然．
又，所以，，，，
所以，．
因为，，所以，
，所以，所以是递减数列．
（2）①由题意得，
又，所以，所以，
所以是以为首项，6为公比的等比数列，
则．
②由①得，所以．
当时，，所以；
当时，．
所以当时，，
所以当时，，
又，所以，
所以，，所以，
所以．
【点睛】关键点睛：求解时，关键是求出的取值范围，根据不等式放缩得出是解题关键．
2．（2024·广东深圳·模拟预测）已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中的元素个数，特别规定：若时，．
(1)若，写出，及的值；
(2)若数列是等差数列，求数列的通项公式；
(3)设集合，，求证：且．
【答案】(1)，，；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据数列bn的定义，分别求出，，；
（2）假设，，均与数列bn是等差数列矛盾，进而得到数列an是以为首项，为公差的等差数列，进而得到；
（3）根据定义得到数列是递增数列；用反证法证明，假设存在正整数，若，则推出，与假设矛盾，所以；，所以要证，只需证，且，能推出，所以，所以，所以结论成立.
【详解】（1）因为，所以，，
由得，，所以，
由得，，所以；
（2）由题可知，所以，即，
若，则，，
所以，，与bn是等差数列矛盾，所以，
设，因为an是各项均为正整数的递增数列，所以，
假设存在使得，设，由得，
由得，，与bn是等差数列矛盾，
所以对任意都有，
所以数列an是等差数列，；
（3）因为对于，，所以，所以，即数列是递增数列，
先证明，
假设，设正整数，
由于，故存在正整数使得，所以，
因为an是各项均为正整数的递增数列，所以，
所以，，
所以，，
又因为数列是递增数列，所以，与假设矛盾，
所以；
再证明，
由题可知，所以要证，只需证，设且，
因为数列是各项均为正整数的递增数列，所以存在正整数，使得，
令，
若则，即，所以，所以，所以，
若，则，所以所以，
因为，所以，所以，
所以；
综上所述，且.
【点睛】方法点睛：新定义问题解题策略
首先，明确新定义的特点；其次，根据定义中的步骤对具体题目进行运算；最后得到结论.
考点五、数列的凹凸性
1．（2024·安徽池州·模拟预测）定义：若对恒成立，则称数列为“上凸数列”．
(1)若，判断是否为“上凸数列”，如果是，给出证明；如果不是，请说明理由．
(2)若为“上凸数列”，则当时，．
（ⅰ）若数列为的前项和，证明：；
（ⅱ）对于任意正整数序列（为常数且），若恒成立，求的最小值．
【答案】(1)是，证明见解析
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【分析】（1）构造函数，利用导数研究其单调性结合“上凸数列”定义判定即可；
（2）（ⅰ）利用“上凸数列”定义及倒序相加法证明即可；令，利用条件及数列求和适当放缩计算即可.
【详解】（1）是“上凸数列”，理由如下：
因为，
令，
则．
当时，，
所以，
所以在区间上单调递减，
所以，
所以，
所以是“上凸数列”．
（2）（ⅰ）证明：因为是“上凸数列”，由题意可得对任意，
，
所以，
所以．
（ⅱ）解：令，
由（1）可得当时，是“上凸数列”，
由题意可知，当时，．
因为，
即
．
所以
，
当且仅当时等号成立，
所以．
综上所述，的最小值为．
1．（24-25高三上·安徽亳州·开学考试）已知数列，对于任意的，都有，则称数列为“凹数列”．
(1)判断数列是否为“凹数列”，请说明理由；
(2)已知等差数列，首项为4，公差为，且为“凹数列”，求的取值范围；
(3)证明：数列为“凹数列”的充要条件是“对于任意的，当时，有”．
【答案】(1)数列是“凹数列”，理由见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）计算出，故满足“凹数列”的定义；
（2）利用等差数列通项公式得到，由题意得对任意恒成立，化简得到，得到答案；
（3）先证明出必要性，放缩得到，故，再证明充分性，取，则有，即，所以为“凹数列”.
【详解】（1）因为，则，
又，故，即，数列是“凹数列”．
（2）因为等差数列bn的公差为，
所以，
因为数列是凹数列，
所以对任意恒成立，
即
所以，即，
因为，
解得．
所以的取值范围为．
（3）先证明必要性：
因为为“凹数列”所以对任意的，都有，即，
所以对任意的，当时，有
，
所以，
又，
所以．必要性成立，
再证明充分性：
对于任意的，当时，有，
取，则有，
即，所以为“凹数列”.
【点睛】方法点睛：数列新定义问题，主要针对于等差，等比，递推公式和求和公式等综合运用，对常见的求通项公式和求和公式要掌握牢固，同时涉及数列与函数，数列与解析几何，数列与二项式定理，数列与排列组合等知识的综合，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题.
2．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知数列，对于任意的正整数，都有则称数列是严格凹数列．
(1)若数列，的通项公式分别为，判断数列，是否为严格凹数列，无需说明理由；
(2)证明：“对于任意正整数的，当时，有”是“数列为严格凹数列”的充要条件；
(3)函数是定义在正实数集上的严格增函数，且数列是严格凹数列，严格增数列（正整数为常数且）各项均为互不相等的正整数，若恒成立，求实数λ的取值范围．
【答案】(1)不是严格凹数列；是严格凹数列.
(2)证明见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）根据定义条件分析验证即可；
（2）充分性，赋特值令可证；必要性，结合定义转化为，再将拆项为，然后利用不等式放缩可得，同理可证，二者变形结合不等式传递性可得；
（3）先举特例探求条件，猜想结论并证明.结合是否为1，对给定常数，分与两大类讨论.特殊情况当时，利用定义分析证明即可.一般情况下，利用（2）结论结合可证明，利用该不等式，将“首尾两项和”逐次放缩可得恒成立.
【详解】（1）an不是严格凹数列；bn是严格凹数列.
已知数列的通项公式为，
所以，
，
则，
所以，
故数列不是严格凹数列．
由数列的通项公式为，
则，，
，
所以，
故数列是严格凹数列．
（2）证明充分性：
若对于任意正整数的，当时，有.
对于任意的，令，则满足条件，，
则有,即,
所以数列 为严格凹数列.
证明必要性：
若数列为严格凹数列，
所以对任意的，都有，即.
所以对任意的，当时，
则有，
所以有，
由，则；
又有，
由，则；
又因为，
所以.
故“对于任意正整数的，当时，有” 是“数列为严格凹数列”的充要条件.
（3）特例1：令，
则函数y=fx是定义在正实数集上的严格增函数.
所以，
则，
故数列是严格凹数列，且，
令，且，则数列为严格增数列，
给定常数时，要使不等式恒成立，
则，即恒成立，
即，解得.
特例2：令，
则函数y=fx是定义在正实数集上的严格增函数.
所以，
则，
故数列是严格凹数列，且，严格增数列，
给定常数时，要使不等式恒成立，
则，即恒成立，
即，解得或.
猜想1：给定常数时，对任意满足题意的，数列，数列，
要使不等式恒成立，则.
特例3：给定常数，时，对严格增数列，
要使不等式恒成立，即使恒成立，
注意到：对于函数，，严格增数列，
为定义在正实数集上的严格增函数，满足，
且数列满足，
则，，
当时，恒成立.
考虑到满足题意的函数若不断逼近函数，则的值也不断接近于的值，给出猜想2.
猜想2：给定常数，时，对任意满足题意的，数列，数列，
要使不等式恒成立，则.
证明：由题意数列是严格凹数列，则由（2）所证结论可得，
对于任意，有，
即，
故对任意的，，
由，
所以，则；
故对任意的，，
又，
所以，则；
，依此类推可得，
当，且，时，则.
当时，令，
故，
又，则.
由题意，数列为严格增数列（正整数为常数且），且各项均为互不相等的正整数，
所以，且，
则，，
又，
①若给定常数，对任意满足题意的，数列，数列，
则，
要使，即恒成立.
（i）若且时，
任意满足题意的，数列，数列，
则
即当时， ，
故不成立.
当时，由，由单调性可得，
恒成立.
（ii）若且时，，
则，
而，
又是定义在正实数集上的严格增函数，
当时，，则，
则.
则当时，恒成立.
由（i）（ii）可知，给定常数时，任意满足题意的，数列，数列，
要使恒成立，则.
②若给定常数，时，
任意满足题意的，数列，数列，
由，，
.
又是定义在正实数集上的严格增函数，
则当时，，
则恒成立.
所以若给定常数，时，任意满足题意的，数列，数列，
要使不等式恒成立，则.
综上所述，给定常数，当时，要使恒成立，则；
当时，要使恒成立，则.
【点睛】关键点点睛：解决此题的关键点在于理解“严格凹数列”的定义，挖掘定义条件的变式结论并应用：如（2）问中拆项法中充分应用了结论再进行放缩处理从而得证；再如（3）问中探究应用结论再逐次放缩从而得到的取值范围.
考点六、数列的周期性
1．（2024·上海青浦·二模）若无穷数列满足：存在正整数，使得对一切正整数成立，则称是周期为的周期数列．
(1)若（其中正整数m为常数，），判断数列是否为周期数列，并说明理由；
(2)若，判断数列是否为周期数列，并说明理由；
(3)设是无穷数列，已知．求证：“存在，使得是周期数列”的充要条件是“是周期数列”．
【答案】(1)是周期为的周期数列，理由见解析
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题设定义，利用的周期，即可得出结果；
（2）分与两种情况讨论，当，易得到是周期为1的周期数列，当时，构造，则，利用导数与函数单调性间的关系，可得出是严格增（或减）数列，从而可得出结果；
（3）根据条件，利用充要条件的证明方法，即可证明结果.
【详解】（1）因为，
所以是周期为的周期数列．
（2）①当时，，，
所以当时，是周期为1的周期数列，
②当时，记，则，
，当且仅当时等号成立，
即，所以在上严格增，
若，则，即，进而可得，即是严格增数列，不是周期数列；
同理，若，可得是严格减数列，不是周期数列．
综上，当时，是周期为1的周期数列；当时，不是周期数列．
（3）必要性：
若存在，使得是周期数列，设的周期为，
则，所以是周期为的周期数列，
充分性：
若是周期数列，设它的周期为，记，则
，是关于x的连续函数；
，是关于x的连续函数；
…
，是关于x的连续函数；
，
令，则是连续函数，
且，，
所以存在零点，于是，
取，则，
从而，
，
……
一般地，对任何正整数n都成立，即是周期为T的周期数列．
（说明：关于函数连续性的说明不作要求）
【点睛】方法点晴：对于数列的新定义问题，解决问题的关键在于准确理解定义，并结合定义进行判断或转化条件.
2．（2024·广东珠海·一模）对于数列an，若存在常数，，使得对任意的正整数，恒有成立，则称数列an是从第项起的周期为的周期数列．当时，称数列an为纯周期数列；当时，称数列an为混周期数列．记x为不超过的最大整数，设各项均为正整数的数列an满足：.
(1)若对任意正整数都有，请写出三个满足条件的的值；
(2)若数列an是纯周期数列，请写出满足条件的的表达式，并说明理由；
(3)证明：不论为何值，总存在使得．
【答案】(1),,
(2)，理由见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）分别取，，，，，根据已知条件逐一验证即可求解；
（2）分别取，，，，，，，根据已知条件逐一验证得出猜想，并验证猜想；
（3）根据（2）的分析，时，满足题意；再证明，当时，也存在使得即可.
【详解】（1）因为对任意整数都有，
所以取，则，不符合题意；
取，，，
此时，数列为常数列；
取，，，不符合题意；
取，，，，
此时，数列的通项公式为；
取，，，
，
此时，数列的通项公式为；
所以满足条件的三个的值为,,；
（2）取，，，
此时数列为常数列，为纯周期数列；
取，则，，
此时数列的通项公式为，为混周期数列；
取，，，
此时，数列为常数列，为纯周期数列；
取，，，，
此时数列的通项公式为，为混周期数列；
取，，，，
此时，数列的通项公式为，为混周期数列；
取，，，
，
此时，数列的通项公式为，为混周期数列；
取， ，
，
此时，数列为常数列，为纯周期数列；
根据上述计算得出猜想，
当时，数列为常数列也是纯周期数列，
下面进行验证：
当时，，
，，
此时数列为常数列，也是纯周期数列；
（3）首先，根据（2）的分析，发现当时，数列为常数列，
也是纯周期数列，满足题意；
接下来证明，当时，也存在使得；
因为，
所以只需要证明数列中始终存在值为1的项即可，
当时，显然存在值为1的项，
当时，有或，
若为偶数，则，
若为奇数时，
则，
，
所以，
所以无论为奇数还是偶数，均有；
特别的，当为奇数时，且，
类似的，可得：无论为奇数还是偶数，均有；
特别的，当为奇数时，且；
所以无论无论为奇数还是偶数，均有；
若，则恒为奇数且，
于是，假设数列的且，
所以，恒为奇数且，
由于中仅有有限个正整数，故数列从某项起恒为常数；
设为第一个值为的项，
而，
故，
这与“是第一个值为的项”相矛盾，
所以，数列除第一项外，还存在不属于区间的项，
假设这些不属于区间的项全部属于区间，那么也会出现类似的矛盾，
所以，数列除第一项外，存在不属于区间和的项，
以此类推，数列一定存在小于值为的正整数的项，即存在值为的项，
得证.
【点睛】方法点睛：考查分段定义周期数列的相关知识，方法是给赋值，逐一根据已知题意进行验证.
3．（2024·湖南长沙·一模）对于数列，如果存在正整数，使得对任意，都有，那么数列就叫做周期数列，叫做这个数列的周期.若周期数列满足：存在正整数，对每一个，都有，我们称数列和为“同根数列”.
(1)判断数列是否为周期数列.如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由；
(2)若和是“同根数列”，且周期的最小值分别是和，求的最大值.
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据周期数列的定义进行判断即可；
（2）根据同根数列的定义分类讨论进行求解即可.
【详解】（1）均是周期数列，理由如下：
因为，
所以数列an是周期数列，其周期为1（或任意正整数）.
因为，
所以.
所以数列bn是周期数列，其周期为6（或6的正整数倍）.
（2）当是奇数时，首先证明不存在数列满足条件.
假设，即对于，都有.
因为，
所以，
即，及.
又时，，
所以，与的最小值是矛盾.
其次证明存在数列满足条件.
取
及，
对于，都有.
当是偶数时，首先证明时不存在数列满足条件.
假设，即对于，都有.
因为，
所以，
即，及.
又时，，
所以，与的最小值是矛盾.
其次证明时存在数列满足条件.
取
及
对于，都有.
综上，当是奇数时，的最大值为；
当是偶数时，的最大值为.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解同根数列的定义，运用分类讨论思想进行求解是解题的关键.
1．（24-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）对于数列，若存在常数，，使得对任意的正整数，恒有成立，则称数列是从第项起的周期为的周期数列．当时，称数列为纯周期数列；当时，称数列为混周期数列．记为不超过的最大整数，设各项均为正整数的数列满足：.
(1)若对任意正整数都有，请写出三个满足条件的的值；
(2)若数列是常数列，请写出满足条件的的表达式，并说明理由；
(3)证明：不论为何值，总存在使得．
【答案】(1),,；
(2)，理由见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）分别取，，，，，根据已知条件逐一验证即可求解.
（2）分别取，，，，，，，根据已知条件逐一验证得出猜想，并验证猜想.
（3）根据（2）的分析，时，满足题意；再证明，当时，也存在使得即可.
【详解】（1）对任意整数都有，
当时，，不符合题意；
当时，，，数列为常数列；
当时，，，不符合题意；
当时，，，，
数列的通项公式为；
取时，，，，
数列的通项公式为，
所以满足条件的三个的值为,,；
（2）当时，，，
此时数列为常数列；
当时，则，，
此时数列的通项公式为，不为常数列；
当时，由（1）知，数列为常数列；
当时，，，，
此时数列的通项公式为，不为常数列；
当时，由（1）知，数列的通项公式为，不为常数列；
当时，由（1）知，数列的通项公式为，不为常数列；
当时， ，，数列为常数列，
根据上述计算得出猜想，
当时，数列为常数列，
证明如下：
当时，，
，，
所以当时，数列为常数列.
（3）由（2）知，当时，数列为常数列，则存在使得；
当时，也存在使得，
而，则只需要证明数列中始终存在值为1的项即可，
当时，则，即数列存在值为1的项，
当时，有或，
若为偶数，则，
若为奇数时，则，
，
则，于是，即无论为奇数还是偶数，均有，
特别地，当为奇数时，且，
类似地，无论为奇数还是偶数，均有；
特别地，当为奇数时，且，当且仅当取等号，
因此无论为奇数还是偶数，均有，
若，则恒为奇数且，当且仅当取等号，
于是假设数列的且，
则恒为奇数且，当且仅当取等号，
由于中仅有有限个正整数，则数列从某项起恒为常数，
设为第一个值为的项，而，
于是，有，
这与“是第一个值为的项”相矛盾；
因此数列除第一项外，还存在不属于区间的项，
假设这些不属于区间的项全部属于区间，那么也会出现类似的矛盾，
则数列除第一项外，存在不属于区间和的项，
以此类推，数列一定存在小于值为的正整数的项，即存在值为的项，
所以不论为何值，总存在使得.
【点睛】方法点睛：考查分段定义周期数列的相关知识，方法是给赋值，逐一根据已知题意进行验证.
2．（23-24高三上·北京丰台·期末）对于数列，如果存在正整数，使得对任意，都有，那么数列就叫做周期数列，叫做这个数列的周期．若周期数列，满足：存在正整数，对每一个，都有，我们称数列和为“同根数列”．
(1)判断下列数列是否为周期数列．如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由；
①；②
(2)若和是“同根数列”，且周期的最小值分别是3和5，求证：；
(3)若和是“同根数列”，且周期的最小值分别是和，求的最大值．
【答案】(1)、均是周期数列，数列周期为1（或任意正整数），数列周期为6
(2)证明见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）由周期数列的定义求解即可；
（2）由“同根数列”的定义求解即可；
（3）是奇数时，首先证明不存在数列满足条件，其次证明存在数列满足条件.当是偶数时，首先证明时不存在数列满足条件,其次证明时存在数列满足条件．
【详解】（1）、均是周期数列，理由如下：
因为，
所以数列是周期数列，其周期为1（或任意正整数）．
因为，
所以．
所以数列是周期数列，其周期为6（或6的正整数倍）．
（2）假设不成立，则有，即对于，都有．
因为，，所以．
又因为，，所以．
所以，
所以，与的最小值是3矛盾．
所以．
（3）当是奇数时，首先证明不存在数列满足条件．
假设，即对于，都有．
因为，
所以，
即，及．
又时，，
所以，与的最小值是矛盾．
其次证明存在数列满足条件．
取
及，
对于，都有．
当是偶数时，首先证明时不存在数列满足条件．
假设，即对于，都有．
因为，
所以，
即，及．
又时，，
所以，与的最小值是矛盾．
其次证明时存在数列满足条件．
取
及，
对于，都有．
综上，当是奇数时，的最大值为；
当是偶数时，的最大值为．
【点睛】关键点睛：本题(3)的突破口是利用“同根数列”的定义分类讨论，当是奇数时，首先证明不存在数列满足条件，其次证明存在数列满足条件.当是偶数时，首先证明时不存在数列满足条件，其次证明时存在数列满足条件．
考点七、数列的新概念
1．（2024·江苏南通·模拟预测）定义：已知数列的首项，前项和为.设与是常数，若对一切正整数，均有成立，则称此数列为“”数列.若数列是“”数列，则数列的通项公式（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题可知，根据定义得，根据平方差公式化简得，求得，最后根据，即可求出数列an的通项公式.
【详解】因为数列是“”数列，则，
所以，而，
，
，
，
，
，，
，
.
故选：B
2．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）对于无穷数列，若对任意，且，存在，使得成立，则称为“数列”.
(1)若数列bn的通项公式为，试判断数列bn是否为“数列”，并说明理由；
(2)已知数列an为等差数列，
①若an是“数列”，，且，求所有可能的取值；
②若对任意，存在，使得成立，求证：数列an为“数列”.
【答案】(1)是，理由见解析
(2)①的可能值为.②证明见解析
【分析】（1）根据题意，推得，取，得到，即可求解；
（2）若an是“数列”，且为等差数列，得到，进而得到存在，使得，求得，得到的值，进而求得的可能值；
②设数列an公差为，得到，求得，鸡儿推得，得到答案.
【详解】（1）解：数列bn的通项公式为，
对任意的，都有，
取，则，所以 bn是“数列”.
（2）解：数列an为等差数列，
①若an是“数列”，，且，
则，
对任意的，
，由题意存在，使得，
即，显然，
所以，即，
.所以是8的正约数，即，
时，；
时；
时；
时.
综上，的可能值为.
②若对任意，存在，使得成立，
所以存在，
设数列an公差为，则，
可得，
对任意，
则，取，
可得，所以数列an是“数列”.
3．（2024·辽宁·三模）若实数列满足，有，称数列为“数列”.
(1)判断是否为“数列”，并说明理由；
(2)若数列为“数列”，证明：对于任意正整数，且，都有
(3)已知数列为“数列”，且.令，其中表示中的较大者.证明：，都有.
【答案】(1)数列是“数列”，数列不是“数列”；
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据“数列”的定义判断可得出结论；
（2）由可得出，利用累加法结合不等式的基本性质可得，以及，再结合可证得结论成立；
（3）首先当或2024时的情况，再考虑时，结合（2）中结论考虑用累加法可证得结论.
【详解】（1）因为，
所以数列是“数列”，
因为，
所以数列不是“数列”；
（2）令，因为数列为“数列”，所以
从而，所以
因为，所以
，
因为，所以.
（3）当或2024时，，
从而，
当时，因为，
由第(2)问的结论得，可推得，从而
对于，由第(2)问的结论得，从而也成立，从而
对于，由第(2)问的结论得，从而
也成立，从而
所以
由条件
可得，
所以.
【点睛】方法点睛：本题主要考查数列新定义的问题，处理此类问题时，通常根据题中的新定义，结合已知结论进行推导、求解；本题中，根据“数列”的定义“”结合作差法、不等式的性质进行推理、证明不等式成立，并在推导时，充分利用已有的结论进行推导，属于难题.
4．（2024·福建泉州·模拟预测）若无穷数列满足：对于，其中为常数，则称数列为数列．
(1)若一个公比为的等比数列为“数列”，求的值；
(2)若是首项为1，公比为3的等比数列，在与之间依次插入数列中的项构成新数列，求数列中前30项的和．
(3)若一个“数列"满足，设数列的前项和为．是否存在正整数，使不等式对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)1622
(3)存在，理由见解析
【分析】（1）根据等比数列的通项公式，列出“数列”的式子，变形后得，与无关，即可求解；
（2）由题意确定数列中前30项含有的前7项和数列的前23项，结合等差和等比数列的前项和公式，即可求解；
（3）首先求解出，可得数列的前项和，并假设存在，通过验证求得，再利用放缩法，证明结论成立.
【详解】（1）数列是等比数列，则，，
则，
因为与无关，所以，即；
（2）由题意可知，，而，所以，
是首项为1，公比为3的等比数列，
而新数列中项（含）前共有项，
令，结合，解得：，
故数列中前30项含有的前7项和数列的前23项，
所以数列中前30项的和；
（3）因为数列是“数列”，，，，
则，，得，
所以数列的前项和，
假设存在正整数，使得不等式，对一切都成立，
即
当时，，得，
又为正整数，得
下面证明：对一切都成立，
由于，，
所以，
，
所以存在，使不等式对一切都成立.
【点睛】思路点睛：本题第3问首先利用特殊值，首先确定的值，再用到了放缩法，求和后说明存在.
1．（2024·北京东城·二模）设无穷正数数列，如果对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得，那么称为内和数列，并令，称为的伴随数列，则（ ）
A．若为等差数列，则为内和数列
B．若为等比数列，则为内和数列
C．若内和数列为递增数列，则其伴随数列为递增数列
D．若内和数列的伴随数列为递增数列，则为递增数列
【答案】C
【分析】对于ABD：举反例说明即可；对于C：根据题意分析可得，结合单调性可得，即可得结果.
【详解】对于选项AB：例题，可知即为等差数列也为等比数列，
则，但不存在，使得，
所以不为内和数列，故AB错误；
对于选项C：因为，
对任意，，可知存在，
使得，
则，即，
且内和数列为递增数列，可知，
所以其伴随数列为递增数列，故C正确；
对于选项D：例如，
显然是所有正整数的排列，可知为内和数列，且的伴随数列为递增数列，
但不是递增数列，故D错误；
故选：C.
【点睛】方法点睛：对于新定义问题，要充分理解定义，把定义转化为已经学过的内容，简化理解和运算.
2．（2024·湖北荆州·三模）“数列”定义：数列的前项和为，如果对于任意的正整数，总存在正整数使则称数列是“数列”.
(1)若数列的前项和为求证：数列是“数列”；
(2)已知数列是“数列”，且数列是首项为，公差小于的等差数列，求数列的通项公式；
(3)若数列满足：求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】
（1）利用求出，再利用题中“数列”的定义进行证明.
（2）数列即是“数列”，又是等差数列，表示出通项公式和前项和，利用“数列”的定义求出公差，进而求出通项公式.
（3）由（1），（2）求出数列的通项公式，利用错位相减法求和即可.
【详解】（1）证明：当时，；
当时，，
所以，即.
所以数列bn是“数列”.
（2）设数列的公差为d,.
对，使；
取时，得，解得，
，又，
故，是小于2正整数.
此时对于任意的正整数，总存在正整数使，故.
（3），
当时，，
，
，
.
当时，，满足上式.
综上，.
3．（2024·黑龙江·二模）如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都大于3，则称这个数列为“型数列”．
(1)若数列满足，判断是否为“型数列”，并说明理由；
(2)已知正项数列为“型数列”，，数列满足，，是等比数列，公比为正整数，且不是“型数列”，求数列的通项公式．
【答案】(1)不是“型数列”，理由见解析；
(2)
【分析】（1）计算得出数列前两项验证即可得出结论，并证明即可；
（2）利用为“型数列”和是等比数列，且不是“型数列”可求得的公比为，即可求出数列的通项公式为.
【详解】（1）易知当时，可得，即；
而当时，，可得；
此时，不满足“型数列”定义，
猜想：数列不是“型数列”，
证明如下：
由可得，当时，，
两式相减可得，可得，
此时从第二项起，每一项与它前一项的比为，因此不是“型数列”；
（2）设数列的公比为，易知，
又因为数列不是“型数列”，可得
可得，即得；
又数列为“型数列”，可得；
易知“型数列”为递增数列，因此当趋近于正无穷大时，趋近于，即可得；
综上可得，即，可得；
所以数列是以为首项，公比为的等比数列；
即可得，可得；
所以数列的通项公式为.
4．（2024·全国·模拟预测）定义：若对于任意的，数列满足，则称这个数列是“数列”．
(1)已知首项为1的等差数列是“数列”，且恒成立，求的取值范围．
(2)已知各项均为正整数的等比数列是“数列”，数列不是“数列”．记，若数列是“数列”．
①求数列的通项公式．
②是否存在正整数，使成等差数列？若存在，求出的所有值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②存在，
【分析】（1）由等差数列是“数列”，可得其公差，利用等差数列的前项和公式将原不等式化为对任意的恒成立，再对的范围进行分类讨论即可得的取值范围；
（2）①分别求数列中的最小项，再根据是“数列”，数列不是“数列”求的值；再分类讨论并分别检验数列是否为“数列”，可得，即‘
②根据题意得到关于的方程,并判断的大小关系，分类讨论，分别求得的值，再对结果进行检验即可得出结论.
【详解】（1）因为等差数列是“数列”，所以其公差．
因为，所以，
由题意，得对任意的恒成立，
即对任意的恒成立．
当时，恒成立，故；
当时，对任意的恒成立，即对任意的恒成立，
因为，所以．
综上，，
所以，
即的取值范围是．
（2）①设等比数列的公比为，则，
因为“数列”的每一项均为正整数，由得，所以且，
所以在数列中，“”为最小项，
在数列中，“”为最小项．
若是“数列”，则只需，即，
若数列不是“数列”，则，即，
因为数列的每一项均为正整数，所以，
所以或．
当时，，则，
令，则，
又，
所以为递增数列，
又，
所以对于任意的，都有，即，
所以数列为“数列”，符合题意．
当时，，则，
因为，所以数列不是“数列”，不合题意．
综上所述，数列的通项公式为；
②假设存在正整数，使成等差数列，
则，即．
由于，所以数列为递减数列．
因为，所以且至少为2，
所以．
易知，
当时，，
又，所以，这与矛盾，不合题意；
当时，，所以，即，
由于为递减数列，故有唯一解，即．
综上，存在正整数，使成等差数列．
【点睛】破解新定义问题的攻略：
（1）理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、操作步骤和结论．
（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”，并归纳“举例”提供的解题方法．
（3）类比新定义的概念、原理、方法，解决问题．
考点八、数列的新性质
1．（2024·山东青岛·三模）（多选）若有穷整数数列满足：，且，则称具有性质.则（ ）
A．存在具有性质的
B．存在具有性质的
C．若具有性质，则中至少有两项相同
D．存在正整数，使得对任意具有性质的，有中任意两项均不相同
【答案】ACD
【分析】对A、D：举出符合题意的例子即可得；对B：根据所给定义，借助反证法设，，，中有个，个，从而有，推出矛盾；对C：，，，，中的最大值为，则存在，使得或，若存在，使，先证：，，，可以取遍到之间所有的整数，再对分类讨论，即可得证；
【详解】对A：取数列，易得其满足题意，此时该数列具有性质，故A正确；
对B：假设存在数列具有性质，则，
且，
设中有个，则有个，
则有
，即，
其与为整数矛盾，故假设错误，故B错误；
对C：设，，，，中的最大值为，
则存在，使得或，
若存在，使，下证：，，，可以取遍到之间所有的整数，
假设存在正整数使得，，，中各项均不为，
令集合，设是集合中元素的最大值，
则有，
这与矛盾，
所以，，，可以取遍到之间所有的整数，
若，则，，，，的取值只能为，中的数，
此时，，，，中必有两项相同，
若，则，，，，的取值只能为，，中的数，
此时，，，，中必有两项相同，
若，则，，，，中一定有异于和的正整数，
再由，，，可以取遍到之间所有的整数，
所以，，，，中必有两项相同，
当，同理可证：，，，可以取遍到之间所有的整数，
从而，，，，中必有两项相同，故C正确；
对D：取数列，此时该数列具有性质，
且中任意两项均不相同，即存在，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题关键是对“性质”的定义的理解，灵活利用反证法是解答的关键.
2．（2024·河南·三模）已知数列的前项和为，若存在常数，使得对任意都成立，则称数列具有性质．
(1)若数列为等差数列，且，求证：数列具有性质；
(2)设数列的各项均为正数，且具有性质．
①若数列是公比为的等比数列，且，求的值；
②求的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)①；②的最小值为4.
【分析】（1）根据给定条件，求出等差数列的公差，进而求出通项公式及前项和，再利用定义判断即得.
（2）①根据给定条件，可得，再按，探讨，当时，，又按且讨论得解；②由定义，消去结合基本不等式得，再迭代得，借助正项数列建立不等式求解即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为，由，得，
解得，则，
于是，即，
所以数列具有性质．
（2）①由数列具有性质，得，又等比数列的公比为，
若，则，解得，与为任意正整数相矛盾；
当时，，而，整理得，
若，则，解得，与为任意正整数相矛盾；
若，则，当时，恒成立，满足题意；
当且时，，解得，与为任意正整数相矛盾；
所以.
②由，得，即，
因此，即，
则有，
由数列各项均为正数，得，从而，即，
若，则，与为任意正整数相矛盾，
因此当时，恒成立，符合题意，
所以的最小值为4．
【点睛】易错点睛：等比数列公比q不确定，其前n项和直接用公式处理问题，漏掉对的讨论.
1．（23-24高二下·安徽六安·期末）如果无穷数列满足“对任意正整数，都存在正整数，使得”，则称数列具有“性质”.
(1)若等比数列的前项和为，且公比，求证：数列具有“性质”；
(2)若等差数列的首项，公差，求证：数列具有“性质”，当且仅当；
(3)如果各项均为正整数的无穷等比数列具有“性质”，且四个数中恰有两个出现在数列中，求的所有可能取值之和.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)，
【分析】(1)利用等比数列的性质求解即可；
(2)利用等差数列的性质结合题目的定义求解即可；
(3)利用枚举法，结合题目的新定义求解即可.
【详解】（1）
解得：则即
且
若则
则当对任意正整数，都存在正整数使得
则等比数列an满足性质.
（2）因为数列bn具有“性质”，
则
若数列具有性质则，
则，
又则
则，
，
则，
又则当时上式成立，
当时.，
则
因为则时，则则则则
反之，若则则上面各式成立，则数列bn具有“性质”
综上数列bn具有“性质”，当且仅当.
（3）从这四个数中任选两个，共有以下6种情况：，；，；
，; ，; ，; ，.
①对于， 因为为正整数，可以认为an是等比数列中的项，，首项的最小值为1.
下面说明此数列具有性质P：
=，=，任取，，则，
为正整数，因此此数列具有性质P，
②对于，.因为为正整数，认为是等比数列an中的项，，
首项的最小值为，下面说明此数列不具有性质P：
，，若不为等比数列an中的项，
因此此数列不具有性质P，
同理可得，；，；，；，
每组所在等比数列an不具有“性质P’’
【点睛】方法点睛：1.求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.
2.对于新型数列，首先要了解数列的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将新定义的数列类比已经学习了的等比、等差数列求解.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.
2．（2024·湖北·模拟预测）若项数为的数列满足两个性质：①；②存在，使得，并记是数列的最大项，．则称数列具有性质．
(1)若，写出所有具有性质的数列；
(2)数列具有性质,若，求的最大项的最大值；
(3)数列具有性质,若，且还满足以下两条性质：（ⅰ）对于满足的项和，在的余下的项中，总存在满足的项和，使得；（ⅱ）对于满足的项和，在的余下的项中，总存在满足的项和，使得．求满足上述性质的的最小值．
【答案】(1)或或；
(2)
(3)4067
【分析】（1）由条件②入手知或，或，由此得到数列的所有可能值，再验证条件即可；
（2）结合条件②的比值关系，由不等式性质分别利用累乘法可得两个通项范围，两式相乘可得，再给出一个最大项的最大值为的数列即可；
（3）根据题意数列满足的性质，将数列分为项数满足与前后两部分研究，由性质可得两部分分别具有“不减”与“不增”性质，再由求解最小值，使前部分各项尽可能大，后部分各项尽可能小，由此得到取最小值时的数列.
【详解】（1）所有具有性质的数列有三个：或或.
理由如下：
当，即数列有项，且，
条件②由存在，即存在，使得.
故或，或.由，可知或，或，
故满足题意的数列可能有；；；.
（i）令，条件②为存在，使得，
由，数列，满足题意；
数列与，都有，数列，均不合题意；
（ii）再令，条件②为存在，使得，
由，数列，也不合题意；
数列，；数列与，都有；
这3个数列均满足题意；
综上所述，所有具有性质的数列有三种：或或.
（2）当时，．
由，
累乘得①；
又由，
累乘得②；
将①②相乘得，
又，所以．
给出数列，通项公式为.
数列的最大项为.
综上所述，数列的最大项的最大值为.
（3）①讨论满足的项的取值情况：
因为数列满足：当时，则有恒成立.
所以，又因为当，都有，
所以或，
当时，，此时，
这与“在剩下的项中总存在满足的项和，使得”矛盾，所以，
同理可得，，要使得值要尽量小，则需要每项尽可能大，，
则或，若，，由，
同样不存在项和，使得，故，
验证知，前项满足条件“在剩下的项中总存在满足的项和，使得”；
再由每项尽可能大的原则，且满足，
且前项也满足条件“在剩下的项中总存在满足的项和，使得”；
同理，，
由对称性同理可得，
最后6项为，.
当中间各项为公比为2的等比数列时，可使得值最小，
且的最小值为，满足已知条件．
②讨论满足的项的取值情况：
因为数列满足：当时，则有恒成立.
类比①可知
，，，
．
综上所述，的最小值为.
故满足上述性质的的最小值为．
【点睛】关键点点睛：本题解题关键主要有以下两点：一是新定义具有性质的数列单调性的理解，由条件②，存在，使得，将抽象的符号语言转化，可以把分段数列单调性形象理解为：前段“不减性”与“不增性”；二是取最值时的特殊数列探究，根据数列变化的规律，确定好每段的前后6项后，为使取最小值，则数列各项增减最快即可，即前段中间的数列为公比为2等比数列，而后段中间的数列则为公比为的等比数列.
一、填空题
1．（2023·陕西铜川·一模）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列是等和数列，且，公和为1，那么这个数列的前2024项和 .
【答案】1012
【分析】直接根据等和数列的概念找出规律然后求和.
【详解】由等和数列概念可得，，，，，
所以.
故答案为：1012
2．（2024·北京通州·三模）若数列、均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得，则称数列为数列的“M数列”．已知数列的前n项和为，则下列结论中正确的是 ．
①存在等差数列，使得是的“M数列”
②存在等比数列，使得是的“M数列”
③存在等差数列，使得是的“M数列”
④存在等比数列，使得是的“M数列”
【答案】①②④
【分析】对于①取分析判断，对于②④取分析判断，对于③，根据题意结合等差数列的性质分析判断.
【详解】对于①：例如，则为等差数列，可得，则，
所以，，
故、均为严格增数列，
取，则，即恒成立，
所以是的“数列”，故①正确；
对于②，例如，则为等比数列，可得，则，
所以，，
故、均为严格增数列，
取，则，即恒成立 ，
所以是的“数列”，故②正确；
对于③，假设存在等差数列，使得是的“数列”，
设等差数列的公差为，
因为为严格增数列，则，
又因为为严格增数列，所以，即当时，恒成立，
取，满足，可知必存在，使得成立，
又因为为严格增数列，
所以对任意正整数，则有，即，
对任意正整数，则有，即，
故当时，不存在正整数，使得，故③不成立；
对于④，例如，则为等比数列，且、均为严格增数列，可得，
所以，，
故、均为严格增数列，
取，则，即恒成立，
所以是的“数列”，故④正确.
故答案为：①②④.
3．（2024·全国·模拟预测）将正整数n分解为两个正整数，的积，即，当，两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如，其中即为12的最优分解，当，是n的最优分解时，定义，则数列的前2024项的和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，对分奇数和偶数进行讨论，进而可以得到的表达式，再利用等比数列的求和公式求解即可.
【详解】当时，，
所以，
当时，，
则，
故数列的前2024项的和为.
故选：C.
4．（2024·江苏镇江·三模）若对项数为的数列中的任意一项，也是该数列中的一项，则称这样的数列为“可倒数数列”.已知正项等比数列是“可倒数数列”，其公比为，所有项和为，写出一个符合题意的的值 .
【答案】或（答案不唯一）
【分析】由题意依次得出，，进一步结合已知列方程求出即可.
【详解】已知正项等比数列是“可倒数数列”，
首先，
若，结合，解得，此时，但不在这5个数中，矛盾，故，
则若，则也在数列中，若在数列中，则（且）也在数列中，
因为正项等比数列是“可倒数数列”，
所以数列严格单调，而，
所以只能，
（否则，不妨设，那么或一定有三个数小于1，而他们的倒数都大于1，这必定导致有一个数的倒数不在中），
从而，所以，
解得或（舍去），
所以解得或.
故答案为：或（答案不唯一）.
5．（2024·江苏南通·模拟预测）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“数列”.已知数列（）的前项和为，且满足，.设为正整数.若存在“数列”（），对任意正整数，当时，都有成立，则的最大值为 .
【答案】5
【分析】根据可得，即可判断数列bn为等差数列，即可求出通项公式；根据题意有，构造函数，利用导数可得，即可求解.
【详解】由，
得，则，则，
当时，由，得，整理得，
所以数列bn是首项为1，公差为1的等差数列，
所以，则，
因为数列为“数列”，设公比为，所以，
因为，所以，其中，
当时，有；
当时，有，
设，则，
当，f′x>0，单调递增；当，f′x