2025高考数学专项讲义第05讲新高考新结构命题下的数列解答题综合训练(学生版+解析)

这是一份2025高考数学专项讲义第05讲新高考新结构命题下的数列解答题综合训练(学生版+解析)，共94页。

在新课标、新教材和新高考的“三新”背景下，高考改革又一次具有深度的向前推进。这不仅仅是一场考试形式的变革，更是对教育模式和教育理念的全面革新。
当前的高考试题设计，以“三维”减量增质为核心理念，力求在减少题目数量的同时，提升题目的质量和考查的深度。这具体体现在以下三个方面：
三考
题目设计着重考查学生的知识主干、学习能力和学科素养，确保试题能够全面、客观地反映学生的实际水平。
三重
强调对学生思维深度、创新精神和实际应用能力的考查，鼓励学生不拘泥于传统模式，展现个人的独特见解和创造力。
三突出
试题特别突出对学生思维过程、思维方法和创新能力的考查，通过精心设计的题目，引导学生深入思考和探索，培养逻辑思维和创新能力。
面对新高考新结构试卷的5个解答题，每个题目的考查焦点皆充满变数，无法提前预知。数列版块作为一个重要的考查领域，其身影可能悄然出现在第15题中，作为一道13分的题目，难度相对较为适中，易于学生入手。同样不能忽视的是，解三角形版块也可能被置于第18、19题这样的压轴大题中，此时的分值将提升至17分，挑战学生的解题能力和思维深度，难度自然相应加大。
面对如此多变的命题趋势，教师在教学备考过程中必须与时俱进。不仅要深入掌握不同题目位置可能涉及的知识点及其命题方式，更要能够灵活应对，根据试题的实际情况调整教学策略。本文基于新高考新结构试卷的特点，结合具体的导数解答题实例，旨在为广大师生提供一份详尽的导数解答题综合训练指南，以期在新高考中取得更好的成绩。
考点一、构造等差数列
1．（2024·河北衡水·三模）已知数列的前项和为，．
(1)证明：是等差数列；
(2)求数列的前项积．
2．（2024·全国·模拟预测）已知正项数列满足，.
(1)求证：数列为等差数列；
(2)设，求数列的前n项和.
3．（2024·陕西西安·模拟预测）已知数列的前项的积记为，且满足.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)设，求数列的前项和.
4．（2024·湖南·模拟预测）已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
5．（2024·新疆·一模）非零数列满足，且．
(1)设，证明：数列是等差数列；
(2)设，求的前项和．
考点二、构造等比数列
1．（2024·四川成都·二模）已知数列的首项为3，且满足.
(1)求证：是等比数列；
(2)求数列的通项公式，并判断数列是否是等比数列.
2．（2024·安徽合肥·模拟预测）设数列的前n项和为，已知，，．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)记，为数列的前n项和，求．
3．（2024·四川绵阳·模拟预测）设数列的前n项和为，．
(1)求证数列为等比数列，并求数列的通项公式．
(2)若数列的前m项和，求m的值，
7．4．（2024·全国·模拟预测）记为数列的前项和，已知，．
(1)证明数列是等比数列，并求的通项公式；
(2)若，数列的最大项为，求的值．
5．（2024·全国·模拟预测）数列的前项和满足．
(1)令，求的通项公式；
(2)令，设的前项和为，求证：．
考点三、等差数列前n顶和
1．（23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）等差数列 中，已知是其前项和，,求与
2．（23-24高三上·辽宁·阶段练习）记为等差数列的前项和，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)求的最小值.
3．（23-24高二上·甘肃金昌·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求的最小值及取得最小值时n的值．
4．（23-24高三上·辽宁朝阳·阶段练习）已知等差数列的前项和为，，.
(1)求的通项公式；
(2)求使成立的n的取值集合.
5．（2023·山西·模拟预测）已知等差数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，且，若，求的最小值.
考点四、等比数列前n项和
1．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知数列是等差数列，其前项和为，且，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
2．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知等比数列的公比，记其前项和为，且成等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)求的前项和.
3．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）在数列中，且满足（且）．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和．
4．（20-21高一下·贵州黔东南·阶段练习）已知等差数列的前项和为，且，.
(1)求的通项公式；
(2)若是等比数列，且，，求数列的前项和.
5．（23-24高二上·北京·期中）已知数列是等比数列，满足，，数列满足，，设，且是等差数列.
(1)求数列和的通项公式；
(2)求的通项公式和前项和.
考点五、裂项相消求和
1．（2024·全国·模拟预测）已知数列的各项均不小于1，前项和为是公差为1的等差数列．
(1)求数列的通项公式．
(2)求数列的前项和．
2．（2024·山西临汾·二模）已知数列满足．
(1)计算，并求数列的通项公式；
(2)设数列满足，求数列的前项和．
3．（2024·四川·模拟预测）已知为正项数列的前项和，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求的前10项和．
4．（2024·河北邯郸·二模）已知正项数列的前项和为，，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
5．（23-24高二下·四川成都·期中）已知数列满足：（）．
(1)求数列的通项公式；
(2)设（），数列前项和为，试比较与的大小并证明．
考点六、错位相减求和
1．（2024·浙江宁波·二模）已知等差数列的公差为2，记数列的前项和为且满足.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前项和.
2．（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，关于的方程有两个相等的实数根．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）记为数列的前项和．已知，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求的前项和．
4．（2024·四川凉山·二模）设等比数列的前n项和为，，．
(1)求；
(2)设，求数列的前n项和．
5．（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，且满足（），数列满足．
(1)求，的通项公式．
(2)求数列的前项和．
考点七、周期与类周期求和
1．（2023高三·全国·专题练习）已知数列满足，且，求数列的前2023项和S．
2．（2023高三·全国·专题练习）已知数列满足（为实数），，求．
6．3．（2024·福建福州·模拟预测）已知数列中，，．
(1)证明：数列为常数列；
(2)求数列的前2024项和．
4．（22-23高三上·贵州遵义·阶段练习）已知数列满足，，．
(1)求，，，并写出一个符合题意的的通项公式（不需要证明）；
(2)设，记为数列的前项和，求．
5．（22-23高三上·山东青岛·期中）已知正项数列满足，且，.
(1)已知，求的通项公式；
(2)求数列的前2023项和.
考点八、奇偶并项求和
1．（2024·福建莆田·二模）已知等差数列的前项和为，公差，且成等比数列，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
2．（2024·河北石家庄·二模）已知数列满足
(1)写出;
(2)证明:数列为等比数列;
(3)若，求数列的前项和.
3．（2024·湖南·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且.等比数列是正项递增数列，且.
(1)求数列的通项和数列的通项；
(2)若，求数列的前项和.
4．（2024·河南新乡·二模）已知数列满足，．
(1)记，证明数列是等比数列，并求的通项公式；
(2)求的前项和，并证明．
5．（2023·山东·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，数列满足，设．
(1)求的通项公式，并证明：；
(2)设，求数列的前项和．
考点九、数列与不等式
1．（2024·河北秦皇岛·二模）已知等比数列的前项和为，且数列是公比为2的等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前n项和为，求证：.
2．（2024·江苏·三模）设数列的前项的和为.
(1)若是公差为的等差数列，且成等比数列，求；
(2)若，求证：.
3．（23-24高二下·福建福州·期中）记数列的前项和，．
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，证明：．
4．（23-24高二下·江西吉安·期末）已知为数列的前n项和，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列的前n项和，求证：．
5．（2024·天津·模拟预测）数列是等差数列，其前n项和为，数列是等比数列，，，，，．
(1)求数列、的通项公式；
(2)的前n项和，求证：．
考点十、数列与极限、放缩
1．（2024·全国·模拟预测）已知数列的前n项和．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
2．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）已知数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)若，证明：的前项和.
3．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，证明：．
4．（23-24高三上·河北·期末）设为数列的前项和，已知为等比数列，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，设，记为数列的前项和，证明：．
5．（2021·贵州贵阳·模拟预测）数列中，，，数列是公比为的等比数列.
（1）求使成立的的取值范围；
（2）若，求的表达式；
（3）若，求.
考点十一、数列与参数综合
1．（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围．
2．（2024·广东广州·模拟预测）已知数列的前项和为，数列是公差为的等差数列，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围.
3．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列满足.
①求数列的前n项和；
②若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
4．（2024·江苏无锡·二模）已知正项数列的前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列的前项和.若对任意的恒成立，求k的取值范围.
5．（2024·天津·二模）设是等差数列，其前项和，是等比数列，且，，.
(1)求与的通项公式；
(2)设，求数列的前项和；
(3)若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围.
考点十二、数列与三角综合
1．（2022·江西赣州·一模）设正项数列的前项和为，已知.
(1)求的通项公式；
(2)记，是数列的前项和，求.
2．（2024·浙江台州·二模）已知数列满足，.
(1)求（只需写出数值，不需要证明）；
(2)若数列的通项可以表示成的形式，求，.
3．已知数列的通项公式
（1）求证：；
（2）设数列的前项和为，求证：．
4．数列可以看作是定义在正整数集的特殊函数，具有函数的性质特征，有些周期性的数列和三角函数紧密相连.记数列2，，，2，，，2，，-1，…为，三角形式可以表达为，其中，，.
（1）记数列的前n项和为，求，，及；
（2）求数列的三角形式通项公式.
5．已知函数，方程在上的解按从小到大的顺序排成数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，数列的前项和为，求的表达式．
考点十三、数列与概率综合
1．（23-24高三上·广东广州·阶段练习）某商场拟在周末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：该游戏进行10轮，若在10轮游戏中，参与者获胜5次就送2000元礼券，并且游戏结束：否则继续游戏，直至10轮结束．已知该游戏第一次获胜的概率是，若上一次获胜则下一次获胜的概率也是，若上一次失败则下一次成功的概率是．记消费者甲第次获胜的概率为，数列的前项和，且的实际意义为前次游戏中平均获胜的次数．
(1)求消费者甲第2次获胜的概率；
(2)证明：为等比数列；并估计要获得礼券，平均至少要玩几轮游戏才可能获奖．
2．（2024·全国·模拟预测）某商场为促销设计了一项回馈客户的抽奖活动，抽奖规则是：有放回地从装有大小相同的4个红球和2个黑球的袋中任意抽取一个，若第一次抽到红球则奖励40元的奖券，抽到黑球则奖励20元的奖券；第二次开始，每一次抽到红球则奖券数额是上一次奖券数额的2倍，抽到黑球则奖励20元的奖券．记顾客甲第n次抽奖所得的奖券数额的数学期望为．
(1)求及的分布列；
(2)写出与的递推关系式，并证明为等比数列；
(3)若顾客甲一共有6次抽奖机会，求该顾客所得的所有奖券数额的期望值．（参考数据：）
3．（2023高三·全国·专题练习）某工厂在2020年的“减员增效”中对部分人员实行分流，规定分流人员第一年可以到原单位领取工资的100％，从第二年起，以后每年只能在原单位按上一年工资的领取工资．该厂根据分流人员的技术特长，计划创办新的经济实体，该经济实体预计第一年属投资阶段，第二年每人可获得b元收入，从第三年起每人每年的收入可在上一年的基础上递增50％，如果某人分流前工资收入为每年a元，分流后进入新经济实体，第n年的收入为元．
(1)求的通项公式．
(2)当时，这个人哪一年的收入最少？最少为多少？
(3)当时，是否一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入？
4．（23-24高二下·陕西西安·期末）某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会.已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为．记该顾客第次摸球抽中奖品的概率为．
(1)求的值；
(2)探究数列的通项公式，并求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程．
5．（2024·山东泰安·模拟预测）在足球比赛中，有时需通过点球决定胜负．
(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将(也称为守门员)也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数的分布列和期望；
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外人中的 人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外人中的人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第次传球之前球在甲脚下的概率为，易知．
① 试证明：为等比数列；
② 设第次传球之前球在乙脚下的概率为，比较与的大小．
考点十四、数列与导数综合
1．已知函数．
（1）若，求a的值；
（2）设m为整数，且对于任意正整数n，，求m的最小值．
2．（2022·全国·高考真题）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，，求a的取值范围；
(3)设，证明：．
3．已知函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明:；
（3）试比较与 ，并证明你的结论．
4．（22-23高二下·四川成都·期末）已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若恒成立，求的取值范围；
(3)若数列满足，记为数列的前项和．证明：．
5．（2024·广西来宾·模拟预测）已知数列满足：，，其中为数列的前n项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)设m为正整数，若存在首项为1且公比为正数的等比数列（），对任意正整数k，当时，都有成立，求m的最大值．
考点十五、数列与新定义综合
1．（2024·全国·模拟预测）约数，又称因数.它的定义如下：若整数除以整数所得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数.设正整数共有个正约数，即为，.
(1)若，求的值；
(2)当时，若为等比数列，求正整数；
(3)记，证明：.
2．（2024·江苏泰州·模拟预测）数列的前n项和为，若存在正整数r，t，且，使得，同时则称数列为“数列”．
(1)若首项为3，公差为d的等差数列是“数列”，求d的值；
(2)已知数列为等比数列，公比为q．
①若数列为“数列”，，求q的值；
②若数列为“数列”，，求证：r为奇数，t为偶数．
3．（2024·江苏盐城·模拟预测）在数列的第项与第项之间插入个1，称为变换．数列通过变换所得数列记为，数列通过变换所得数列记为，以此类推，数列通过变换所得数列记为（其中）．
(1)已知等比数列的首项为1，项数为，其前项和为，若，求数列的项数；
(2)若数列的项数为3，的项数记为．
①当时，试用表示；
②求证：．
4．（2024·重庆开州·模拟预测）设有穷数列的项数为，若正整数满足：，则称为数列的“点”．
(1)若，求数列的“点”；
(2)已知有穷等比数列的公比为，前项和为．若数列存在“点”，求正数的取值范围；
(3)若，数列的“点”的个数为，证明：．
5．（2024·浙江·模拟预测）定义:表示的整数部分，表示的小数部分，例如.数列满足其中.若存在，使得当时，恒成立，则称数为木来数.
(1)分别写出当时的值.
(2)证明:是木来数
(3)若为大于1的有理数.且.求证:为木
第05讲 新高考新结构命题下的
数列解答题综合训练
（15类核心考点精讲精练）
在新课标、新教材和新高考的“三新”背景下，高考改革又一次具有深度的向前推进。这不仅仅是一场考试形式的变革，更是对教育模式和教育理念的全面革新。
当前的高考试题设计，以“三维”减量增质为核心理念，力求在减少题目数量的同时，提升题目的质量和考查的深度。这具体体现在以下三个方面：
三考
题目设计着重考查学生的知识主干、学习能力和学科素养，确保试题能够全面、客观地反映学生的实际水平。
三重
强调对学生思维深度、创新精神和实际应用能力的考查，鼓励学生不拘泥于传统模式，展现个人的独特见解和创造力。
三突出
试题特别突出对学生思维过程、思维方法和创新能力的考查，通过精心设计的题目，引导学生深入思考和探索，培养逻辑思维和创新能力。
面对新高考新结构试卷的5个解答题，每个题目的考查焦点皆充满变数，无法提前预知。数列版块作为一个重要的考查领域，其身影可能悄然出现在第15题中，作为一道13分的题目，难度相对较为适中，易于学生入手。同样不能忽视的是，解三角形版块也可能被置于第18、19题这样的压轴大题中，此时的分值将提升至17分，挑战学生的解题能力和思维深度，难度自然相应加大。
面对如此多变的命题趋势，教师在教学备考过程中必须与时俱进。不仅要深入掌握不同题目位置可能涉及的知识点及其命题方式，更要能够灵活应对，根据试题的实际情况调整教学策略。本文基于新高考新结构试卷的特点，结合具体的导数解答题实例，旨在为广大师生提供一份详尽的导数解答题综合训练指南，以期在新高考中取得更好的成绩。
考点一、构造等差数列
1．（2024·河北衡水·三模）已知数列的前项和为，．
(1)证明：是等差数列；
(2)求数列的前项积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）根据与的关系化简，可得，由等差数列的定义得证；
（2）由（1）求出，再由累乘法求解.
【详解】（1）由，得．
所以，
即，整理得，
上式两边同时除以，得．
又，所以，即，
所以是首项为2，公差为1的等差数列．
（2）由（1）知，．
所以．
所以．
2．（2024·全国·模拟预测）已知正项数列满足，.
(1)求证：数列为等差数列；
(2)设，求数列的前n项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由题，利用累乘法即可求解，进而可得，进而可证等差；
（2）由（1）得，由裂项求和即可求解.
【详解】（1）由题可得，
所以当时，
，
易知满足，所以.
所以，
所以是首项为1，公差为1的等差数列.
（2）由（1）可得，
所以
.
所以.
3．（2024·陕西西安·模拟预测）已知数列的前项的积记为，且满足.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）分类讨论与两种情况，利用递推式求得与，从而得证；
（2）利用裂项相消法求解即可.
【详解】（1）因为，
当时，，即，易知，则，
当时，，所以，即，
故数列是以3为首项，2为公差的等差数列.
（2）由（1）得，
则，
所以.
4．（2024·湖南·模拟预测）已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用构造法，先求得，进而求得.
（2）利用裂项求和法求得.
【详解】（1）由得：，
∵，所以数列是首项为4，公差为2的等差数列，
所以，
所以；
（2），
所以
.
5．（2024·新疆·一模）非零数列满足，且．
(1)设，证明：数列是等差数列；
(2)设，求的前项和．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）对已知条件因式分解可得，根据等差数列定义可证；
（2）利用累乘法求得，然后由裂项相消法可得.
【详解】（1）由，
得对于恒成立，
所以，即，
所以，
而，故，
所以数列是以1为公差，为首项的等差数列.
（2）由（1）知，，即，
整理得，
由累乘法得，即，
又，所以，
则，
所以.
考点二、构造等比数列
1．（2024·四川成都·二模）已知数列的首项为3，且满足.
(1)求证：是等比数列；
(2)求数列的通项公式，并判断数列是否是等比数列.
【答案】(1)证明见解析
(2)，数列不是等比数列
【分析】（1）化简变形为，结合定义即可证明；
（2）由即可判断.
【详解】（1）由，，
得，又，
所以是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）得，，
所以
所以数列不是等比数列.
2．（2024·安徽合肥·模拟预测）设数列的前n项和为，已知，，．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)记，为数列的前n项和，求．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由得出，再计算，将代入，即可证明；
（2）由（1）得，得出为公比为的等比数列，根据等比数列的通项公式得出，代入，再裂项得，即可求得数列的前n项和．
【详解】（1）因为，
所以，即
所以
（为常数），
所以数列是等差数列．
（2）由（1）知，即.
所以，
所以为公比为的等比数列，
又，
所以，
因为，
所以，
所以数列的前项和为：
．
3．（2024·四川绵阳·模拟预测）设数列的前n项和为，．
(1)求证数列为等比数列，并求数列的通项公式．
(2)若数列的前m项和，求m的值，
【答案】(1)证明见解析，
(2)7
【分析】（1）利用数列中与的关系，得，可证明数列为等比数列，可求数列的通项公式．
（2）利用裂项相消求数列的前m项和，由求m的值.
【详解】（1）因为，所以当时，，解得．
当时，，则，
整理得，故，，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以．所以
（2），
数列的前m项和
，
则，则，则，解得，故m的值为7．
4．（2024·全国·模拟预测）记为数列的前项和，已知，．
(1)证明数列是等比数列，并求的通项公式；
(2)若，数列的最大项为，求的值．
【答案】(1)证明见解析，
(2)或
【分析】（1）由，两式相减可得，该式可化为，即可证明并求出数列的通项公式；
（2）由（1）求得，后，可作差比较大小，或者作商，进一步分析即可.
【详解】（1）因为，①
所以，②
②①，得，即，
所以，
又，所以，所以数列是首项为、公比为的等比数列．
所以，所以．
（2）由（1）知，，所以，．
解法一 ，
当时，，即；当时，，即；
当时，，即．所以，且，
所以数列的最大项为，故的值为或．
解法二 ，
令，解得；令，解得；令，解得．
因为，所以，且，
所以数列的最大项为，故的值为或．
5．（2024·全国·模拟预测）数列的前项和满足．
(1)令，求的通项公式；
(2)令，设的前项和为，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意，当时，解得，当时，，可得，当时，，即当时，，即可得解；
（2）由（1）知，，求和即可.
【详解】（1）因为，所以当时，，解得；
当时，，
两式相减得，即．
所以当时，，
即当时，，且，
所以是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以．
（2）由（1）知，
则，
所以
．
因为，所以．
考点三、等差数列前n顶和
1．（23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）等差数列 中，已知是其前项和，,求与
【答案】，.
【分析】先利用等差数列的前项和公式求出公差；再利用等差数列的通项公式求出，利用等差数列的前项和公式求出.
【详解】设等差数列 的公差为

，.
，
，即 ，解得.
，.
即，.
2．（23-24高三上·辽宁·阶段练习）记为等差数列的前项和，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，求得，进而得到数列的通项公式；
（2）由（1）得到数列为递增数列，且，得到或时，取得最小值，结合等差数列的求和公式，即可求解.
【详解】（1）解：设等差数列的公差为，
由，，可得，解得，
所以数列的通项公式为.
（2）解：由（1）知，可得数列为递增数列，且，
所以当时，；当时，；当时，，
所以，当或时，取得最小值，即，
所以，故的最小值为.
3．（23-24高二上·甘肃金昌·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求的最小值及取得最小值时n的值．
【答案】(1)
(2)当时，最小，最小值为-26
【分析】（1）根据等差数列的通项公式和求和公式列方程，解方程得到，，然后写通项即可；
（2）方法一：根据等差数列的性质求最小值即可；
方法二：根据前项和的函数性质求最小值.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，
由，，得，，解得，，
所以．
（2）方法一：由知是递增数列，
当时，；当时，．
所以，
所以当时，最小，最小值为．
方法二：，
又，所以当时，最小，最小值为-26.
4．（23-24高三上·辽宁朝阳·阶段练习）已知等差数列的前项和为，，.
(1)求的通项公式；
(2)求使成立的n的取值集合.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用公式法列方程组求得等差数列的首项和公差，从而得到数列的通项公式；（2）代入等差数列前n项和公式，列出关于n的不等式，解出n的取值范围，又因为n为正整数，从而得到n的取值集合.
【详解】（1）设等差数列的公差为.
因为，所以，则.①
又因为，所以，得，②
联立①②，解得，，
即数列的通项公式为.
（2）由（1）知，所以，即为，
当时，，解得（舍）或（舍）；
当时，，解得，所以，
所以满足条件的的取值集合为.
5．（2023·山西·模拟预测）已知等差数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，且，若，求的最小值.
【答案】(1)
(2)10
【分析】（1）设等差数列的公差为，然后利用公式构建基本量的方程求解即可.
（2）先将等差数列的通项代入,得到数列的通项,再求和,解不等式即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
则解得，
故.
（2）由（1）可得，则，
所以,则数列是是等差数列，
故.
因为，所以，所以，
所以或.
因为，所以的最小值是10.
考点四、等比数列前n项和
1．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知数列是等差数列，其前项和为，且，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前项和公式求解；
（2）分组求和方法求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，又，，
所以，解得，，
所以的通项公式.
（2）由（1）知，
所以
.
2．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知等比数列的公比，记其前项和为，且成等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)求的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差中项，结合等比数列基本量计算可得，进而可求解通项，
（2）根据等比求和公式得，即可由分组求和求解.
【详解】（1）因为成等差数列，所以，
得，即，解得，
所以.
（2）由（1）知，
所以，
则.
3．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）在数列中，且满足（且）．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）变形得到，得到结论；
（2）在（1）的基础上得到，进而利用分组求和可得.
【详解】（1）（且），
（且），
，
所以是首项为2，公比为2的等比数列．
（2）是首项为2，公比为2的等比数列，
，故，
.
4．（20-21高一下·贵州黔东南·阶段练习）已知等差数列的前项和为，且，.
(1)求的通项公式；
(2)若是等比数列，且，，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出等差数列的公差，利用等差数列的通项公式可求得数列的通项公式；
（2）求出等比数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式可求得.
【详解】（1）解：设等差数列的公差为，则，可得，
所以，，所以，.
（2）解：设等比数列的公比为，则，，
所以，，，
因此，.
5．（23-24高二上·北京·期中）已知数列是等比数列，满足，，数列满足，，设，且是等差数列.
(1)求数列和的通项公式；
(2)求的通项公式和前项和.
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）根据等差数列、等比数列定义求解；
（2）先写出数列的通项公式，再分组求和即可求解.
【详解】（1）设等比数列的公比为，
因为，，所以，即，
设等差数列公差为，
因为，，所以，即.
（2）因为，所以,
由（1）可得，
设前项和为，
.
考点五、裂项相消求和
1．（2024·全国·模拟预测）已知数列的各项均不小于1，前项和为是公差为1的等差数列．
(1)求数列的通项公式．
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）利用前项和与通项公式之间的关系判定是等差数列，再求通项公式即可.
（2）对需要求和的数列先进行化简，再利用裂项相消法求和即可.
【详解】（1）由，得．
因为是公差为1的等差数列，所以．
当时，．两式相减，得，
所以，又，所以，则，
所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以．
（2）由（1）可知，，则，
所以数列的前项和
．
2．（2024·山西临汾·二模）已知数列满足．
(1)计算，并求数列的通项公式；
(2)设数列满足，求数列的前项和．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）由，可得，可得，法一：可得为常数列，可求数列的通项公式；法二：可得，利用累乘法可求数列的通项公式；
（2）由（1）可得，进而由裂项相消法可求的前项和.
【详解】（1）由题可知，，
令，，得；
令，得．
由已知，
可得，
两式相减得．
解法一：
整理得：．又满足上式．从而对均成立．
因此为常数列，即有，故．
解法二：
整理得：．又满足上式．
故．
即．当时符合上式，故．
（2）由（1）可知，所以．
因此
=.
3．（2024·四川·模拟预测）已知为正项数列的前项和，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求的前10项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）已知与的关系求通项公式，用退位作差，再利用平方差公式进行化简，最后对时进行检验，得到数列是等差数列，从而写出通项公式；
（2）根据得到，观察数列通项公式特点，裂项，进而得到前10项和.
【详解】（1）由题意知：，即，
当时，，
两式相减，可得，
因为，可得．
又因为，当时，，即，
解得或（舍去），所以（符合），
从而，所以数列表示首项为3，公差为2的等差数列．
所以数列的通项公式为．
（2）由题意得，
所以
，
所以.
4．（2024·河北邯郸·二模）已知正项数列的前项和为，，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先求出，可证明数列为首项为，公差为的等差数列，得到，利用得到的通项公式；
（2）由（1）知，，化简可得，利用分组求和以及裂项相消即可求出数列的前项和.
【详解】（1）当时，由，即，解得：，
所以，则数列为首项为，公差为的等差数列；
所以，则，
当时，，
当时，满足条件，
所以的通项公式为
（2）由（1）知，，
所以，
故，
即
5．（23-24高二下·四川成都·期中）已知数列满足：（）．
(1)求数列的通项公式；
(2)设（），数列前项和为，试比较与的大小并证明．
【答案】(1)，（）
(2)，证明见解析
【分析】（1）结合前项和与通项公式的关系分和两种情况求解即可；
（2）先验证，再讨论时，，进而根据裂项求和法得.
【详解】（1）①，
（）②，
①－②得（），
∴（），
当时，，不满足上式，
∴，（）
（2）当时，，
，
当时，
，
∵，∴
综上所述，．
考点六、错位相减求和
1．（2024·浙江宁波·二模）已知等差数列的公差为2，记数列的前项和为且满足.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据通项与前项和之间的关系，作差可得，即可利用等比数列的定义求解，
（2）根据错位相减法求和以及分组求解，结合等差等比数列求和求解.
【详解】（1）时，，即.
又，也符合，
所以时，，即.
又，所以，
所以，所以数列成等比数列.
（2）由（1）易得.由可得，所以.
所以，
所以.
令，
则，
所以，
所以.
2．（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，关于的方程有两个相等的实数根．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由得到，再利用与的关系求解；
（2）由（1）得到，再利用错位相减法求解.
【详解】（1）解：因为关于的方程有两个相等的实数根，
所以，即，
当时，，
又当时，，符合上式，所以．
（2）由（1）得，
则，①
，②
①②得
，
，
故．
3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）记为数列的前项和．已知，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用前项和和通项公式之间的关系求解即可.
（2）利用错位相减法求和即可.
【详解】（1）当时，若，则，
两式相减得，
化简得，而，
故是以为首项，为公差的等差数列，
故，
（2）由上问得，
故，
，
两式相减得，
，
即，
所以，
故
4．（2024·四川凉山·二模）设等比数列的前n项和为，，．
(1)求；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)；
(2).
【分析】
（1）根据给定条件，求出数列的公比即可求出通项公式.
（2）由（1）求出，再利用错位相减法求和即得.
【详解】（1）设等比数列的公比为，由，得，
则，即，
而，因此，解得，
所以.
（2）
由（1）知，，则，
则，
于是，
两式相减得，
即.
5．（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，且满足（），数列满足．
(1)求，的通项公式．
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）根据题意，求得，得到是等比数列，得到，再由对数的运算性质，求得；
（2）由（1）得，分类讨论，结合乘公比错位相减求和，即可求解.
【详解】（1）解：当时，，所以，
因为，当时，可得，
两式相减，得，
所以，所以，
又因为，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，
所以．
（2）解:由（1）得，
当时，，
则，
两式相减得
，
所以，
当时，
，
综上可知，数列的前项和.
考点七、周期与类周期求和
1．（2023高三·全国·专题练习）已知数列满足，且，求数列的前2023项和S．
【答案】1013
【分析】先得到数列是周期为3的周期数列，然后将每连续三项合并在一起求和（并项求和法）.
【详解】因为，且，
所以，，，…，
由，
故数列是周期为3的周期数列，
所以
.
故答案为：1013.
2．（2023高三·全国·专题练习）已知数列满足（为实数），，求．
【答案】
【分析】考虑不动点方程，即，该方程无实数解，故该数列具有周期性，结合结构特点可以联想两角和的正切函数进行构造求解．
【详解】不动点方程，变形得到，方程无解，故该数列具有周期性，
可变形为．
结合，设（其中），
则，
∴，即．
∴，即，则数列的周期是6．
∵，
∴．
3．（2024·福建福州·模拟预测）已知数列中，，．
(1)证明：数列为常数列；
(2)求数列的前2024项和．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用和差角的余弦公式，结合构造法推理即可.
（2）由（1）求出数列的通项，再结合余弦函数的周期性，利用分组求和法求和即可.
【详解】（1）依题意，
，
则化为，
而，则，因此，
所以数列为常数列.
（2）由（1）知，，由，即是以6为周期的周期数列，令，
所以数列的前2024项和
.
4．（22-23高三上·贵州遵义·阶段练习）已知数列满足，，．
(1)求，，，并写出一个符合题意的的通项公式（不需要证明）；
(2)设，记为数列的前项和，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）代入求出，依次代入求出，看出数列的周期为3，写出通项公式；
（2）在第一问的基础上，写出的通项公式，并分组求和.
【详解】（1），，
，
可看出数列为周期为3的数列，故，
理由如下：为周期为3的数列，当时，，
当时，，当时，；
（2）由第一问可知：
，
则，
故
.
5．（22-23高三上·山东青岛·期中）已知正项数列满足，且，.
(1)已知，求的通项公式；
(2)求数列的前2023项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由可得，从而得到，进而得到是以为首项，公比为的等比数列，再根据等比数列的通项公式即可求解；
（2）由可得，从而有，得到数列偶数项具有周期性，最后根据分组求和即可.
【详解】（1），，
，，
即，，即，
是以为首项，公比为的等比数列，
.
（2），
又，
，，
，即，
，即数列偶数项具有周期性，
，
所以·
考点八、奇偶并项求和
1．（2024·福建莆田·二模）已知等差数列的前项和为，公差，且成等比数列，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意列式求，进而可得结果；
（2）根据题意利用分组求和法结合等差、等比数列求和公式运算求解.
【详解】（1）由题意可得：，即，
且，解得，
所以数列的通项公式.
（2）由（1）可得，
可得
，
所以.
2．（2024·河北石家庄·二模）已知数列满足
(1)写出;
(2)证明:数列为等比数列;
(3)若，求数列的前项和.
【答案】(1)，，
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由数列的递推式，分别令，2，3，计算可得所求值；
（2）推得，由等比数列的定义，可得证明；
（3）求得，，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．
【详解】（1）由
可得；；；
（2）证明：由题可得，
则数列是首项为1，公比为2的等比数列；
（3）由（2）可得，即，
，
，
前项和，
，
两式相减可得，
化简可得．
3．（2024·湖南·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且.等比数列是正项递增数列，且.
(1)求数列的通项和数列的通项；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)，
(2)（或）
【分析】（1）根据题意分别求出数列的首项和公差，以及数列的首项和公比，进而可得出答案；
（2）利用并项求和法求解即可.
【详解】（1）由题意，设等差数列的首项为，公差为，又，
所以解得，
故，
因为数列为各项为正的递增数列，设公比为，且，
因为，所以，得，
又，所以，即，又，
解得，从而，
所以；
（2）由（1）得，
所以，
所以数列的前项和为
（或）.
4．（2024·河南新乡·二模）已知数列满足，．
(1)记，证明数列是等比数列，并求的通项公式；
(2)求的前项和，并证明．
【答案】(1)证明见解析；.
(2)；证明见解析.
【分析】（1）结合递推公式利用等比数列的概念即可证明并求得通项公式；
（2）利用递推公式将用得前项和来表示，即，进而利用等比数列的前项和公式即可求解；令，并用可得单调性，从而即可证明.
【详解】（1）证明：由题意可知，，
所以数列是首项，公比为6的等比数列.
于是.
（2）由题意可知，，所以
.
又，
令，
，
所以数列单调递增，故，即.
5．（2023·山东·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，数列满足，设．
(1)求的通项公式，并证明：；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)；证明见解析
(2)
【分析】（1）求等差数列的基本量可得的通项公式，根据数列的迭代可得；
（2）构造法求出数列为等比数列且，用错位相减法可得.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
因为，可得，即，解得，
又因为，可得，所以，
由数列满足，可得，，，
所以，
因为，所以.
（2）解：由（1）可知，
因为，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，
所以，
所以，
则，
两式相减，可得
，
所以.
考点九、数列与不等式
1．（2024·河北秦皇岛·二模）已知等比数列的前项和为，且数列是公比为2的等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前n项和为，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）先求出数列的通项，再根据与的关系结合是等比数列，即可得解；
（2）利用裂项相消法求解即可.
【详解】（1）因为数列是公比为2的等比数列，
又，所以.
当时，由，得，
两式相减得，
又是等比数列，所以，所以，解得，
所以，当时上式成立，
所以；
（2）由（1）知，
所以
，
又，所以.
2．（2024·江苏·三模）设数列的前项的和为.
(1)若是公差为的等差数列，且成等比数列，求；
(2)若，求证：.
【答案】(1)或
(2)证明见解析
【分析】（1）由等差数列前n项和公式以及等比中项公式列出等量关系式并转化成首项和公差来表示即可求解.
（2）先由，进而由累乘法结合求出即可由得解.
【详解】（1）由题意知，故，
解得，所以或.
（2）因为①，所以②，
所以由②①得，，
所以时，，
所以由得，
所以，
显然也符合上式，所以，
所以.
3．（23-24高二下·福建福州·期中）记数列的前项和，．
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据，作差得到，结合等差数列的定义及通项公式计算可得；
（2）由（1）可得，利用裂项相消法求出，再结合函数的单调性证明即可.
【详解】（1）因为，
当时，，
则
，
故，即，
当时，有，即，
故是公差、首项均为的等差数列，故．
（2）由（1）得，
故，
则．
因为，故，
又在上单调递减，
故随的增大而增大，故，
综上，．
4．（23-24高二下·江西吉安·期末）已知为数列的前n项和，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列的前n项和，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由，可得：，两式相减化为：，利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）由，利用错位相减法即可得出．根据关于单调递增，即可证明结论．
【详解】（1），
，
两式相减，得，
，
又当时，，
为等比数列，公比为，
.
（2）设，
，则，
两式相减，得
化简得．
，，
，
，
关于单调递增，，
5．（2024·天津·模拟预测）数列是等差数列，其前n项和为，数列是等比数列，，，，，．
(1)求数列、的通项公式；
(2)的前n项和，求证：．
【答案】(1)，；
(2)证明见详解.
【分析】（1）记数列的公差为，数列的公比为，根据已知列方程组求解即可；
（2）根据错位相减法求和，记，判断其单调性即可得证.
【详解】（1）记数列的公差为，数列的公比为，，
由题知，，解得，所以.
由，解得或（舍去），所以.
（2）由（1）可知，
则，
，
两式相减得，
所以，
记，则，
所以单调递减，所以，且，
所以，即.
考点十、数列与极限、放缩
1．（2024·全国·模拟预测）已知数列的前n项和．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用和的关系，然后构造一个等比数列求解即可；
（2）利用进行放缩，然后用等比数列的求和公式求解即可.
【详解】（1）因为①．
令得，解得．
当时，②，
由①②得，
即
又，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
故，所以．
（2）因为，
当时，，
当时，
．
综上，．
2．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）已知数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)若，证明：的前项和.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）法一：利用已知数列得递推式再列出下一个递推式两式相减并化简即可判断为等差数列进而求出通项公式；
法二：利用已知数列得递推式两边除以结合数列恒等式以及裂项相消法，求得通项公式；
（2）先求得，并且推导出结合等比数列的求和公式以及不等式性质即可证明出结果.
【详解】（1）法一：由①
可得②
②−①，可得
整理可得，
即，则为等差数列.
又由①可得，，即所以公差，
法二：对两边同除以
可得，
即
设，则当时，
，
综上，，又 满足，
（2）证明：由可得，
，两边同除以，
可得，即，
3．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）考查与的关系，借助与的关系的解题步骤①，②，③检验的思想方法进行求解即可.
（2）先求出，再求和，当时对进行放缩变形即可求和证明出不等式.
【详解】（1）当时，；
当时，①，
②．
①②得，
因为不满足上式，所以.
（2）由（1），
因为，所以，
当时，；
当时，
，
综上，对任意的，.
4．（23-24高三上·河北·期末）设为数列的前项和，已知为等比数列，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，设，记为数列的前项和，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由，得，等比数列的首项为1公比为2，可得通项；
（2）由与的关系，求出的通项，通过放缩法证明不等式.
【详解】（1）为数列的前项和，，
则有，所以，等比数列的公比为2，
又，所以；
（2）证明：由（1）知，，当时，，
所以，所以，
则，
因此．
5．（2021·贵州贵阳·模拟预测）数列中，，，数列是公比为的等比数列.
（1）求使成立的的取值范围；
（2）若，求的表达式；
（3）若，求.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）根据等比数列的定义，由题中条件，得到，解，即可得出结果；
（2）根据题中条件，先得到是首项为，公比为的等比数列，进而可求出；
（3）由等比数列的求和公式，分别讨论，，三种情况，由无穷等比数列的极限，即可得出结果.
【详解】（1）是公比为的等比数列，且
由N)，有
解得
（2），，
，，
又
是首项为，公比为的等比数列，
（3）当时，，；
当时，，；
当时，即.
综上，.
【点睛】思路点睛：
求无穷等比数列前项和的极限时，一般需要利用分类讨论的方法，讨论公比的范围，根据等比数列的求和公式，以及极限的运算法则，即可求出结果.
考点十一、数列与参数综合
1．（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）当时，求得，当时，得到，两式相减化简得到，结合叠加法，即可求得数列的通项公式；
（2）由（1）得到，求得，
解法1：根据题意，转化为，结合，结合基本不等式，即可求解；
解法2：根据题意，转化为，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：当时，，解得，
当时，，
两式相减可得，，
则，
叠加可得，，则，
而时也符合题意，
所以数列的通项公式为．
（2）解：由（1）知，可得，
故；
解法1：由，可得，
即，即则，又由，
当且仅当时取等号，故实数的取值范围为．
解法2：由，
可得，
当，即时，，
则，故实数的取值范围为．
2．（2024·广东广州·模拟预测）已知数列的前项和为，数列是公差为的等差数列，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的通项公式可得，结合计算即可求解；
（2）由（1）可得，利用裂项相消求和法可得，则，结合基本不等式计算即可求解.
【详解】（1）由题意知：数列是公差为的等差数列，又，
所以，整理得：，
又当时，，
因为满足上式，所以，
故数列的通项公式为.
（2）由（1）知，可得，
故；
解法1：由，可得，
即，则，
又由，
当且仅当即时取等号，故实数的取值范围为.
解法2：由，
可得，
当，即时，，
则，故实数的取值范围为.
3．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列满足.
①求数列的前n项和；
②若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）利用数列的递推关系求的通项公式；
（2）①利用错位相减求和即可；②设，根据数列的单调性，分n为偶数、为奇数讨论可得答案.
【详解】（1）因为①，
当时，，当时，②，
得，即；因为符合，所以；
（2）①，由（1）知，所以，，
所以，两式相减得，
，
所以；
②，由①得，
设，则数列是递增数列.
当n为偶数时，恒成立，所以；
当n为奇数时，恒成立，所以即.
综上，的取值范围是.
4．（2024·江苏无锡·二模）已知正项数列的前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列的前项和.若对任意的恒成立，求k的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用公式，已知求即可；
（2）求出，后运用错位相减求出，后结合函数单调性可解．
【详解】（1）①，且，
当时，代入①得；
当时，.②
①-②得，整理得，
因为，所以，所以数列为等差数列，公差为1，所以.
（2），，③
，④
③-④得，
所以，所以，且，化简得，
令，所以，
所以的最大值为，所以.
所以的取值范围为.
5．（2024·天津·二模）设是等差数列，其前项和，是等比数列，且，，.
(1)求与的通项公式；
(2)设，求数列的前项和；
(3)若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
(3).
【分析】（1）结合等差数列的通项公式，求和公式以及等比数列的通项公式进行求解；
（2）可以采取分组求和的方式，即将奇数项与偶数项的和分开求解，再利用错位相减法以及裂项相消法分别求和；
（3）对于求参数的范围，一般可以采用分离参数的方法，对于求后面式子的最值，结合函数的单调性进行分析求解．
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由，，又，，，
由，，又，，，
，，
即，．
（2）当为奇数时，，
记，则有
，
，
得：
，
，
，
当为偶数时，，
记，
，
．
（3）由与恒成立，
可得恒成立，
恒成立，即求的最大值，
设，
，
单调递增，
又，
，
．
考点十二、数列与三角综合
1．（2022·江西赣州·一模）设正项数列的前项和为，已知.
(1)求的通项公式；
(2)记，是数列的前项和，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由可求得的值，令，由可得出，两式作差可推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列的通项公式；
（2）计算出，然后利用等差数列的求和公式可求得.
【详解】（1）解：当时，，所以，又，故；
当时，，而，两式相减得，
整理得，因为，所以，
故是以为公差的等差数列，从而.
（2）解：，
设
，其中，
所以.
2．（2024·浙江台州·二模）已知数列满足，.
(1)求（只需写出数值，不需要证明）；
(2)若数列的通项可以表示成的形式，求，.
【答案】(1)2
(2)，.
【分析】（1）先求出数列的周期，即可求出的值；
（2）法一：由，，得到，解方程即可求出，；法二：：因为的周期为3，可求出，再由可求出.
【详解】（1），，，，，……，
故数列的周期为3，.
（2）法一：由，，得到，
则，解得：，.
法二：因为的周期为3，所以
又由，则，即，
则，即，因为，
解得.
3．已知数列的通项公式
（1）求证：；
（2）设数列的前项和为，求证：．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析
【分析】（1）设，则，结合函数的单调性，即可证明，即．令，显然，即可得出．（2）由于，可得，由（1）知，再利用“裂项求和”即可得出．
【详解】证明：（1）设，,
则，令,
则，，且当时，，故在区间上递增，当时，在，故在区间上单调递减，又，因此在上，恒有即．
令，显然，故
（2）
由（1）知
=，因为单调递减，所以单调递增，当时，取最小值为，故
设，则，故函数在单调递减．
因此，即当时，恒有,
因为，所以
．
综上可得：
【点睛】裂项相消在使用过程中有一个很重要得特征，就是能把一个数列的每一项裂为两项的差，其本质就是两大类型类型一:型，通过拼凑法裂解成；类型二：通过有理化、对数的运算法则、阶乘和组合数公式直接裂项型；该类型的特点是需要熟悉无理型的特征，对数的运算法则和阶乘和组合数公式．无理型的特征是，分母为等差数列的连续两项的开方和，形如型，常见的有①；②对数运算本身可以裂解；③阶乘和组合数公式型要重点掌握和．
4．数列可以看作是定义在正整数集的特殊函数，具有函数的性质特征，有些周期性的数列和三角函数紧密相连.记数列2，，，2，，，2，，-1，…为，三角形式可以表达为，其中，，.
（1）记数列的前n项和为，求，，及；
（2）求数列的三角形式通项公式.
【答案】（1），，，；（2）.
【分析】（1）根据数列的周期性，可求，，；对进行分类讨论同时结合数列的周期性可求；
（2）把数列的前项代入，组成方程组求解.
【详解】（1）易知 ，
所以，
，
.
①当时，；
②当时，；
③当时，，
所以，.
（2）由（1）知数列周期为3，，所以，得，
由数列前三项，知，
由④-⑤，得，代入④式，得——⑦
由⑥⑦，得，，
由，知，又，得，
于是可求得，
所以.
5．已知函数，方程在上的解按从小到大的顺序排成数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，数列的前项和为，求的表达式．
【答案】（Ⅰ）． （Ⅱ）．
【详解】试题分析：（Ⅰ）化简函数得到,由及得即，方程在的解从小到大依次排列构成首项为，公差为的等差数列．
（Ⅱ）由于，所以利用“裂项相消法”求和即得．
试题解析：（Ⅰ）, 2分
由及得∴ 4分
方程在的解从小到大依次排列构成首项为，
公差为的等差数列∴． 6分
（Ⅱ） 8分
， 10分
．
13分
考点：1．和差倍半的三角函数；2．三角函数的图象和性质；3．等差数列的通项公式；4．“裂项相消法”．
考点十三、数列与概率综合
1．（23-24高三上·广东广州·阶段练习）某商场拟在周末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：该游戏进行10轮，若在10轮游戏中，参与者获胜5次就送2000元礼券，并且游戏结束：否则继续游戏，直至10轮结束．已知该游戏第一次获胜的概率是，若上一次获胜则下一次获胜的概率也是，若上一次失败则下一次成功的概率是．记消费者甲第次获胜的概率为，数列的前项和，且的实际意义为前次游戏中平均获胜的次数．
(1)求消费者甲第2次获胜的概率；
(2)证明：为等比数列；并估计要获得礼券，平均至少要玩几轮游戏才可能获奖．
【答案】(1)
(2)详见解析
【分析】（1）应用全概率公式计算可得出；
（2）计算得出，结合等比数列的定义可证得结论成立；再结合分组求和计算判断最少轮数即可.
【详解】（1）
（2）
,
,
,
为等比数列, 且公比为；.
,
因为单调递增，
当n为奇数时， ，所以得获奖至少要玩9轮.
当n为偶数时，，得奖至少要玩10轮，
所以平均至少要玩9轮才可能获奖.
2．（2024·全国·模拟预测）某商场为促销设计了一项回馈客户的抽奖活动，抽奖规则是：有放回地从装有大小相同的4个红球和2个黑球的袋中任意抽取一个，若第一次抽到红球则奖励40元的奖券，抽到黑球则奖励20元的奖券；第二次开始，每一次抽到红球则奖券数额是上一次奖券数额的2倍，抽到黑球则奖励20元的奖券．记顾客甲第n次抽奖所得的奖券数额的数学期望为．
(1)求及的分布列；
(2)写出与的递推关系式，并证明为等比数列；
(3)若顾客甲一共有6次抽奖机会，求该顾客所得的所有奖券数额的期望值．（参考数据：）
【答案】(1)，分布列见解析
(2)，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据题意，直接求出和的可能取值，计算出概率，由期望公式求出；列出的分布列即可；
（2）根据条件，得到，化简可得，再由等比数列的定义证明即可；
（3）代入（2）结论求出即可.
【详解】（1）依题意知，抽到一个红球的概率为，抽到一个黑球的概率为，
显然的值为20，40，则，，所以，
又的值为20，40，80，则，，，
所以的分布列为
（2）依题意，当时，甲第次抽到红球所得的奖券数额为，对应概率为，
抽到黑球所得的奖券数额为20元，对应概率为，
因此当时，，
则，即，
又，
故数列是首项为、公比为的等比数列．
（3）由（2）得，即，
所以顾客甲抽奖6次，所得奖券数额的期望为．
3．（2023高三·全国·专题练习）某工厂在2020年的“减员增效”中对部分人员实行分流，规定分流人员第一年可以到原单位领取工资的100％，从第二年起，以后每年只能在原单位按上一年工资的领取工资．该厂根据分流人员的技术特长，计划创办新的经济实体，该经济实体预计第一年属投资阶段，第二年每人可获得b元收入，从第三年起每人每年的收入可在上一年的基础上递增50％，如果某人分流前工资收入为每年a元，分流后进入新经济实体，第n年的收入为元．
(1)求的通项公式．
(2)当时，这个人哪一年的收入最少？最少为多少？
(3)当时，是否一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入？
【答案】(1)
(2)这个人第三年的收入最少，为元
(3)当时，这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入
【分析】（1）根据题意得到时，，进而得到数列的通项公式；
（2）由时，，结合基本不等式，即可求解；
（3）由时，，结合基本不等式的等号成立的条件，即可得到结论.
【详解】（1）解：由题意得，当时，，
当时，，
所以
（2）解：由，当时，，
当且仅当，上式的等号成立，即，解得，
所以这个人第三年的收入最少，最小值为元．
（3）解：当时，
，
当且仅当且，上式等号成立，
因此，等号不能取到，
当时，这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入．
4．（23-24高二下·陕西西安·期末）某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会.已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为．记该顾客第次摸球抽中奖品的概率为．
(1)求的值；
(2)探究数列的通项公式，并求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程．
【答案】(1)，
(2)，第二次，证明见解析
【分析】（1）根据全概率公式即可求解.
（2）根据全概率公式分析得，再对分奇偶求解.
【详解】（1）记该顾客第次摸球抽中奖品为事件，依题意，，．
.
（2）因为，
所以，
所以，
所以，
又因为，则，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
故．
证明：当n为奇数时，，
当n为偶数时，，则随着n的增大而减小，
所以，．
综上，该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大.
5．（2024·山东泰安·模拟预测）在足球比赛中，有时需通过点球决定胜负．
(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将(也称为守门员)也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数的分布列和期望；
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外人中的 人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外人中的人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第次传球之前球在甲脚下的概率为，易知．
① 试证明：为等比数列；
② 设第次传球之前球在乙脚下的概率为，比较与的大小．
【答案】(1)分布列见解析，数学期望为；
(2)①证明见解析；②.
【分析】（1）解法一：由题意可得，然后根据二项分布的概率公式求解概率，从而可求出分布列和期望；解法二：的所有可能取值为，且在一次扑球中，扑到点球的概率，然后分别求出各自对应的概率，从而可求出分布列和期望；
（2）①由题意可得第次传球之前球在甲脚下的概率为，第次传球之前球不在甲脚下的概率为，则，化简变形后可证得结论；②分别表示出，化简后与比较大小可得结论.
【详解】（1）解法一：依题意可得，门将每次可以扑到点球的概率为，
门将在前三次扑到点球的个数可能的取值为
易知，
所以
故的分布列为：
所以的数学期望．
解法二：的所有可能取值为
在一次扑球中，扑到点球的概率，
所以

所以的分布列如下：
所以的数学期望：
（2）①第次传球之前球在甲脚下的概率为，
则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为，
第次传球之前球不在甲脚下的概率为，
则
即，又，
所以是以为首项，公比为的等比数列．
②由①可知，所以，
所以，
故．
【点睛】关键点点睛：此题考查二项分布的分布列和期望，考查等比数列的证明，第（2）问解题的关键是根据题意用表示出，考查理解能力和计算能力，属于较难题.
考点十四、数列与导数综合
1．已知函数．
（1）若，求a的值；
（2）设m为整数，且对于任意正整数n，，求m的最小值．
【答案】（1）；（2）．
【详解】试题分析：（1）由原函数与导函数的关系可得x=a是在的唯一最小值点，列方程解得；
（2）由题意结合（1）的结论对不等式进行放缩，求得，结合可知实数的最小值为.
试题解析：（1）的定义域为.
①若，因为，所以不满足题意；
②若，由知，当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增，故x=a是在的唯一最小值点.
由于，所以当且仅当a=1时，.故a=1.
（2）由（1）知当时，.
令得.从而
.
故.
而，所以的最小值为.
【名师点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出.本专题在高考中的命题方向及命题角度：从高考来看，对导数的应用的考查主要有以下几个角度：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．
2．（2022·全国·高考真题）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，，求a的取值范围；
(3)设，证明：．
【答案】(1)的减区间为，增区间为.
(2)
(3)见解析
【分析】（1）求出，讨论其符号后可得的单调性.
（2）设，求出，先讨论时题设中的不等式不成立，再就结合放缩法讨论符号，最后就结合放缩法讨论的范围后可得参数的取值范围.
（3）由（2）可得对任意的恒成立，从而可得对任意的恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.
【详解】（1）当时，，则，
当时，，当时，，
故的减区间为，增区间为.
（2）设，则，
又，设，
则，
若，则，
因为为连续不间断函数，
故存在，使得，总有，
故在为增函数，故，
故在为增函数，故，与题设矛盾.
若，则，
下证：对任意，总有成立，
证明：设，故，
故在上为减函数，故即成立.
由上述不等式有，
故总成立，即在上为减函数，
所以.
当时，有，
所以在上为减函数，所以.
综上，.
（3）取，则，总有成立，
令，则，
故即对任意的恒成立.
所以对任意的，有，
整理得到：，
故
，
故不等式成立.
【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.
3．已知函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明:；
（3）试比较与 ，并证明你的结论．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）求得，对的范围分类讨论即可求得的单调性．
（2）将转化成，证明恒成立，利用导数求得，问题得证．
（3）由（2）可得：，整理得：，所以，整理得：
利用即可得：，问题得解．
【详解】（1）函数的定义域为：，
①当时，，所以在上单调递增
②当时，令，解得 ．
当时，，所以， 所以在上单调递减；
当时，，所以，所以在上单调递增．
综上，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）当 时，，要证明，
即证，即证：.
设，则 ，令得，.
当时，，当时，.
所以为极大值点，且在处取得最大值．
所以，即．故.
（3）证明：（当且仅当时等号成立），即,
则有+
,
故：+
【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性及利用导数求函数的最值，还考查了分类思想及转化思想，考查放缩法证明不等式，还考查了裂项求和方法，考查计算能力，属于难题．
4．（22-23高二下·四川成都·期末）已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若恒成立，求的取值范围；
(3)若数列满足，记为数列的前项和．证明：．
【答案】(1)的单调递减区间为，单调递增区间为．
(2)．
(3)证明见解析
【分析】（1）求导，即可根据导函数的正负即可求解，
（2）根据题意可得，即可由导数结合分类讨论求解最值，进一步将问题转化为，构造函数，求导即可求解最值求解，
（3）根据（2）的求解可得不等式和，即可根据，得，由累加法以及裂项求和即可求证.
【详解】（1）当时，，
故当单调递减；
当单调递增．
综上，的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）由题意，．
①当时，在单调递减，
由，不合题意；
②当时，在单调递减，单调递增．
由恒成立，得．
即．
令，
恒成立，
所以在单调递减，且．
故当，符合题意，
当，不合题意．
综上，的取值范围为．
（3）由，
得，且．
由（2）可知，令，有可得，
令可得即．
由得即．
两边取对数得，由上述不等式得
于是，
所以．
当时，，不等式成立；
当时，
．即当时，不等式成立．
综上，得证．
【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
5．（2024·广西来宾·模拟预测）已知数列满足：，，其中为数列的前n项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)设m为正整数，若存在首项为1且公比为正数的等比数列（），对任意正整数k，当时，都有成立，求m的最大值．
【答案】(1)
(2)5
【分析】（1）由题意利用递推关系式讨论可得数列是等差数列，据此即可确定其通项公式；
（2）求出，将原问题进行等价转化，构造函数，结合导函数研究函数的性质即可求得的最大值．
【详解】（1）因为，所以，
由，得，则，，
由，得，
当时，由，得，
故
整理得，
所以数列是等差数列，且首项为，公差为，
所以；
（2）由（1）知，,
因为数列为首项为1且公比为正数的等比数列，设公比为q，所以，，
因为，所以，其中，2，3，…，m．
当时，有；
当，3，，m时，有．
设（），则，
令，得，列表如下：
因为，所以．
所以，故，故，
令（），则，
令，则，
当时，，即，
∴在上单调递减，
即时，，则，
下面求解不等式，
化简得，
令，则，
由得，，∴在上单调递减，
又由于，，
∴存在使得，所以，
∴m的最大值为5．
【点睛】方法点睛：等差数列的三种判定方法：
（1）定义法：（常数）数列为等差数列；
（2）等差中项法：数列为等差数列；
（3）通项公式法：（、为常数，）数列为等差数列.
但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法.
考点十五、数列与新定义综合
1．（2024·全国·模拟预测）约数，又称因数.它的定义如下：若整数除以整数所得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数.设正整数共有个正约数，即为，.
(1)若，求的值；
(2)当时，若为等比数列，求正整数；
(3)记，证明：.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据约数的定义确定约数的个数即可；
（2）结合约数的定义可得，结合等比数列的定义推出，由此确定，
（3）先证明，再证明，结合裂项相消法证明结论.
【详解】（1）时，因为，
所以为8的所有正约数，故.
（2）由题意可知.
因为，依题意可知，所以，
化简可得，所以.
因为，所以，因此可知是完全平方数.
由于是整数的最小非1因子，是的因子，且，所以，
所以可写为，
经检验该关系满足条件，
所以.
（3）由题意知，
所以.
因为，
所以
.
因为，所以.
所以.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据约数定义分析其性质，抓住，，，以及为质数即可求解.
2．（2024·江苏泰州·模拟预测）数列的前n项和为，若存在正整数r，t，且，使得，同时则称数列为“数列”．
(1)若首项为3，公差为d的等差数列是“数列”，求d的值；
(2)已知数列为等比数列，公比为q．
①若数列为“数列”，，求q的值；
②若数列为“数列”，，求证：r为奇数，t为偶数．
【答案】(1)；
(2)①或；②证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件及“数列”的定义，列出方程组并求解即得.
（2）①由数列为“数列”可得，再由，即可求出结果；②根据数列为“数列”可得，构造函数，再按均为偶数；为偶数，为奇数；均为奇数分类，结合导数的方法进行处理，推理即得.
【详解】（1）由首项为，公差为的等差数列是“数列”，得，
即，解得，
所以d的值是.
（2）①由数列为“数列”，得，而数列为等比数列，公比为q，
当时，无解，则，，整理得，
而，则当时，；当时，，
所以或.
②由数列为“数列”， 得，而数列为等比数列，公比为q，
又，则，整理得，
当均为偶数时，由，得，有，不符合题意；
当为偶数，为奇数时，，不符合题意；
当均为奇数时，，令，
求导得，
令，，求导得，
当时，，当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增，，
即，因此函数在上单调递增，即，不符合题意，
所以为奇数，为偶数.
【点睛】易错点睛：等比数列公比q不确定，其前n项和直接用公式处理问题，漏掉对的讨论.
3．（2024·江苏盐城·模拟预测）在数列的第项与第项之间插入个1，称为变换．数列通过变换所得数列记为，数列通过变换所得数列记为，以此类推，数列通过变换所得数列记为（其中）．
(1)已知等比数列的首项为1，项数为，其前项和为，若，求数列的项数；
(2)若数列的项数为3，的项数记为．
①当时，试用表示；
②求证：．
【答案】(1)36
(2)①；②证明见解析
【分析】（1）设等比数列的公比为，由，利用等比数列通项公式与前项和公式求出，由变换的定义求数列的项数；
（2）由变换的定义，得与的递推关系，利用放缩结合对数的运算证明不等式.
【详解】（1）设等比数列的公比为，显然，
由，得，解得.
故数列有8项，经过1次变换后的项数为，
即的项数为36.
（2）①由的项数为，则当时，，
所以
②因数列是一个3项的数列，所以，
由，所以，
于是，则有
所以，得，即，
所以.
，，于是，
则有，可得，有，即，
所以，
综上所述，．
【点睛】方法点睛： “新定义”型问题，需要读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决!
4．（2024·重庆开州·模拟预测）设有穷数列的项数为，若正整数满足：，则称为数列的“点”．
(1)若，求数列的“点”；
(2)已知有穷等比数列的公比为，前项和为．若数列存在“点”，求正数的取值范围；
(3)若，数列的“点”的个数为，证明：．
【答案】(1)3，5
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）由通项公式写出数列的各项，根据数列的“点”定义确定结论；
（2）利用等比数列求和公式求，由条件可得存在，使得，解不等式可得的范围，再对所得结果加以验证即可，
（3）先证明若，则，结论成立，再证明若存在，使得，则数列存在“点”， 数列的 “点” 由小到大依次为，结合关系完成证明.
【详解】（1）因为
所以，
所以数列 的 “ 点” 为 3，5 ，
（2）依题意，，
因为数列存在 “点”，
所以存在 ，使得 ，
所以，
即.
因为，所以，所以，
又随的增大而增大，
所以当时，取最大值，
所以，又，所以.
当时，有，
所以数列存在 “点”，
所以的取值范围为，
（3）①若，则数列不存在 “点”，即.
由得，，所以，
②若存在，使得. 下证数列有 “点”.
证明: 若，则2是数列的 “点”;
若，因为存在，使得，
所以设数列中第1个小于的项为，
则，所以是数列的第1个 “点”.
综上，数列存在 “点”.
不妨设数列的 “点” 由小到大依次为，
则是中第1个小于的项，
故，因为 ，
所以，所以，所以
所以
所以.
综上，，得证.
【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
5．（2024·浙江·模拟预测）定义:表示的整数部分，表示的小数部分，例如.数列满足其中.若存在，使得当时，恒成立，则称数为木来数.
(1)分别写出当时的值.
(2)证明:是木来数
(3)若为大于1的有理数.且.求证:为木来数
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题意直接计算即可；
（2）根据定义先计算，利用得出，根据同样的方法计算即可证明；
（3）先设且互质，利用定义判定不是整数时，有，再用反证法判定数列中存在整数即可证明.
【详解】（1）当时，，同理，
当时，，同理；
（2）当时，即，则，
由于，所以，
所以，则，所以，
由于，所以，则
，
由此知对恒成立.
可知当时，为木来数；
（3）设且互质，
可知与均不为整数时，有，
显然，
且此时为正整数，又互质，则，
故，
下面用反证法说明数列中存在整数.
由为有理数可知，也为有理数.
则，推出，与假设矛盾.
因此为木来数.
【点睛】思路点睛：第二问利用“木来数”定义结合可推出，同理推出即可证明结论；第三问，利用数列且互质，利用数的互质，先证明与均不为整数时有，再用反证法证明数列中存在整数
20
40
80
P
0
1
2
3
0
1
2
3
x
单调递增
极大值
单调递减