第13讲 数列解答题 2022高考新题好题汇编

第13讲 数列解答题

一、解答题

1．（2021·山东高三专题练习）在①；②，；③，这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加解答.

问题：设数列的前项和为，___________，若，求数列的前项和.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一解答计分.

【答案】条件选择见解析；前项和为

【分析】

分别选①②③，根据等差数列的通项公式及求和公式，求得，得到，结合乘公比错位相减法，即可求得数列的前项和.

【详解】

若选①，

当时，；当时，，

又由当满足，所以，所以，

则，

所以

，

所以数列的前项和，

若选②，，

由，即，可得数列是等差数列，

设数列的公差为，则，解得，所以，

所以，

则，

所以

，

所以数列的前项和，

若选③，，

由，可得，所以，即，

又由，所以，所以，

所以，

则，

所以

，

所以数列的前项和.

【点睛】

错位相减法求解数列的前项和的分法：

（1）适用条件：若数列为等差数列，数列为等比数列，求解数列的前项和；

（2）注意事项：

①在写出和的表达式时，应注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出；

②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号；

③作差后，作差部分应用为的等比数列求和.

2．（2021·广东汕头市·高三一模）已知等比数列的前项和为，给出条件：

①；②，且．若___________________，请在这两个条件中选一个填入上面的横线上并解答.

（1）求的值及数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

【答案】条件选择见解析：（1），；（2）.

【分析】

（1）选条件①：方法一：令可得出，令，由得，两式作差得出，再由满足可求得的值，据此可得出数列的通项公式；

方法二：分别求得、、，求得等比数列的公比，可求得，再由满足在时的表达式可求得的值，据此可得出数列的通项公式；

选条件②：方法一：令，由得出，两式作差可得出，结合已知条件可知数列是公比为的等比数列，结合等比数列的通项公式可求得的通项公式，再由得出，可求得的值；

方法二：令可得出，令可得出，可知数列是公比为的等比数列，求出数列的通项公式，再由可求得实数的值；

（2）求得，利用裂项相消法可求得.

【详解】

（1）选条件①，

方法一：当时，；

当时，由得，

.

因为数列是等比数列，所以，即，

所以数列的通项公式为，；

方法二：当时，，

当时，，

当时，，

所以，等比数列的公比为，当时，.

满足，则，解得.

所以，；

选条件②，

方法一：当时，由可得，

两式相减得，即，

因为数列是等比数列，且，

所以数列的通项公式为，，

又当时，，解得；

方法二：当时，，

当时，，，

所以，等比数列的公比为，且，.

所以，解得；

（2）由（1）可知，，即

因此，.

【点睛】

方法点睛：数列求和的常用方法：

（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；

（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；

（3）对于型数列，利用分组求和法；

（4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和.

3．（2021·广东深圳市·高三一模）设数列的前n项和，满足，且.

（1）证明：数列为等差数列；

（2）求的通项公式.

【答案】（1）证明见解析；（2）

【分析】

（1）将两边同时取倒数在整理，根据等差数列的定义即可证明；

（2）由（1）求出，进而可得，当时，，再检验是否满足，进而可得的通项公式.

【详解】

（1）由可得，

即，

所以是以为首项，以为公差的等差数列，

（2）由（1）可得，即，

当时，，

当时，所以不满足，

所以，

【点睛】

方法点睛：

由数列前项和求通项公式时，一般根据求解，注意检验是否满足，不满足则需要分段.

4．（2021·广东广州市·高三一模）已知等差数列的前项和为，公差，是的等比中项，.

（1）求的通项公式；

（2）若数列满足，求.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）直接用等差数列的基本量解方程即可；

（2）先算出，然后运用累加法即可获解.

【详解】

（1）

是的等比中项

解得  （舍去）

（2）

据题意

两式相减得

所以有

以上9个式子相加得

【点睛】

本题求和运用了数列中得累加法，如果递推公式形式为: 或

则可利用累加法.

5．（2021·湖南高三三模）已知数列{an}满足，a2-a1=1.

（1）证明：数列是等比数列；

（2）若a1=，求数列{an}的通项公式.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】

（1）利用证得结论成立.

（2）利用累加法求得的通项公式.

【详解】

（1）依题意，所以，

故数列是首项为，公比为的等比数列，所以.

（2）由（1）得，所以，

所以

.

即.

6．（2021·全国高三专题练习）已知数列的前项和为，若()，且的最大值为25.

（1）求的值及通项公式；

（2）求数列的前项和.

【答案】（1），()；（2） .

【分析】

（1）由和 的最大值为25，可求得，从而有，再由 可求得通项公式；

（2）由（1）可得，然后利用错位相减法可求得结果

【详解】

解：（1）由题可得，

所以当为偶数时，，解得 ；

当为奇数时，，此时 无整数解.

综上可得：，.

①时，.

②当时，，

当时也成立.

综上可得：

所以，()

（2）

①

②

两式相减得：

则.

则.

7．（2021·广东揭阳市·高三一模）已知数列的前项和为，且满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）记，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）利用可得是以为首项，公比为的等比数列，即可求出；

（2）可得，再利用错位相减法可求.

【详解】

（1）令得，可得；

当时，与相减，可得.

所以是以为首项，公比为的等比数列.

故.

（2）利用对数的性质可得，

①.

②

两式相减①—②可得.

整理得.

【点睛】

方法点睛：数列求和的常用方法：

（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；

（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；

（3）对于结构，利用分组求和法；

（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.

8．（2021·广东梅州市·高三一模）已知数列满足，，数列满足，．

（1）证明数列为等比数列并求数列的通项公式；

（2）数列满足，求数列的前项和．

【答案】（1）证明见解析；()；（2）．

【分析】

（1）通过计算为定值可得答案；

（2）先求出数列的通项公式，代入，通过裂项相消法可求和．

【详解】

（1）∵当时，，                      

又∵，∴数列是首项为，公比为的等比数列，             

∴，

∴()；                        

（2）∵，

∴，                

当时，当时，                                

∴，

当时符合，∴，                                               

∴，                 

∴

．

【点睛】

方法点睛：证明数列是等比数列常用的方法：一是定义法，证明为常数)；二是等比中项法，证明.

关键点点睛：本题中的裂项，确定要裂项求和，要更多的关注分母的变化特点．

9．（2021·江苏常州市·高三一模）已知等比数列的各项均为整数，公比为q，且，数列中有连续四项在集合中，

（1）求q，并写出数列的一个通项公式；

（2）设数列的前n项和为，证明：数列中的任意连续三项按适当顺序排列后，可以成等差数列.

【答案】（1），；（2）证明见解析.

【分析】

（1）因为，且各项均为整数，所以连续四项为，故，不妨取，故；

（2）设等比数列的首项为，，再分n为奇数时和n为偶数时验证即可.

【详解】

（1）因为，且各项均为整数，所以连续四项为，

所以公比，取.

（2）由题意，，

所以当n为奇数时，，，

所以，

当n为偶数时，

，所以，

所以对中的任意连续三项，经顺序调整后可以构成等差数列.

【点睛】

本题考查等比数列的通项公式的求解，前项和公式，等差中项证明等差数列等，考查运算求解能力，分类讨论思想，是中档题.本题第二问解题的关键在于分n为奇数和n为偶数两种情况，并结合等差中项验证.

10．（2021·江苏盐城市·）设正项数列的前n项和为，.

（1）求数列的通项公式；

（2）求证：.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】

（1）先算，再化成递推式求解.

（2）带入化简，运用裂项相消法求和即可证明.

【详解】

（1）当时，由，得

因为正项数列，所以，所以

因为当时，

所以当时，

两式相减得

即

所以

因为数列的各项均正，所以

所以当时，

故数列是公差为1的等差数列

故数列的通项公式为

（2）因为

故

【点睛】

本题第二问考查的核心是裂项求和，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．

11．（2021·辽宁铁岭市·高三一模）已知数列的前项和为，且，．数列是公差大于0的等差数列，，且，，成等比数例．

（1）求数列和的通项公式；

（2）若，求．

【答案】（1），；（2）．

【分析】

（1）根据得到是公比为、首项为的等比数列， 即可求出，再根据，且，，成等比数列，得到方程，求出数列的通项公式．

（2）利用错位相减法求和即可；

【详解】

解：（1）∵，∴时，

两式相减得，

由得，

∴数列是公比的等比数列，首项，

所以数列的通项公式为，

又，，，，成等比得，

∴，∴公差，

数列的通项公式为．

（2）令，

，①

②

①－②得

∴．

【点睛】

数列求和的方法技巧

(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．

(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．

(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．

12．（2021·全国高三专题练习）已知正项数列的前项和为，且.

（1）求数列的通项公式;

（2）若，数列前项和为，求使的最小的正整数的值.

【答案】（1）；（2）8.

【分析】

（1）根据，利用数列通项与前n项和的关系求解；

（2）由（2）得，利用错位相减法求得，再根据的单调性，根据求解.

【详解】

（1）当时，由，

得，

两式相减得，

即

正项数列.

当时，

，

数列是以为首项，为公差的等差数列，

.

（2）由（1）知，

所以，

，

两式相减得：，

，

.

，

所以当时，单调递增，

当时，，

当时，，

使的最小的正整数的值为.

【点睛】

方法点睛：求数列的前n项和的方法

（1）公式法：①等差数列的前n项和公式，； ②等比数列的前n项和公式；

（2）分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．

（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．

（4）倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．

（5）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n项和用错位相减法求解.

（6）并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．

13．（2021·河南高三月考（文））已知各项均为正数的等差数列的公差为4，其前n项和为且为的等比中项

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和

【答案】（1）；（2）．

【分析】

法一：（1）将，和都表示成和的形式，代入等比中项，求出，进而求出通项公式；（2）代入数列的通项公式则，裂项相消求即可.法二：（1）利用前项和的性质，可得，代入等比中项可得，化简，再代入和，计算可得，从而求得通项公式；（2）同法一.

【详解】

解：（1）因为数列是公差为4的等差数列，

所以．

又，所以，即，

解得或（舍去），

所以．

（2）因为，

所以

．

法二：（1）因为数列是公差为4的等差数列，且为的等比中项，

所以，从而．

因为，所以，即，

解得，

所以．

（2）第二问解法同上．

【点睛】

易错点睛：本题考查裂项相消求和，要注意裂项时配凑的系数和消项时保留的项数.

14．（2021·全国高三专题练习）已知公比小于1的等比数列中，其前n项和为．

（1）求；

（2）求证：．

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】

（1）由已知，利用等比数列的性质列出关于公比的方程，求出公比，进而可得答案；

（2）利用等比数列的求和公式求出，再利用放缩法结合数列的单调性求解即可.

【详解】

（1）解：设等比数列的公比为q．

由得

解得或（舍去），

所以．

（2）证明：由（1）得，

所以．

因为在R上为减函数，且恒成立，

所以当，即时，，

所以．

【点睛】

方法点睛：等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.

15．（2021·全国高三专题练习（理））已知数列满足，.

（1）证明：数列为等差数列.

（2）求数列的前项和.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】

（1）将两边同时除以，即可证数列为等差数列；

（2）利用（1）的结论可以求出数列的通项公式，再利用乘公比错位相减求和.

【详解】

（1）依题，在两边同时除以，

得：，，故数列是以1为首项，1为公差的等差数列；

（2）由（1）得：，可得，

所以，

则数列的前项和①，

②，

①-②得：，

所以.

【点睛】

数列求和的方法技巧：

(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．

(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．

(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．

(4) 裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和.

16．（2021·湖南岳阳市·高三一模）已知数列满足，且点在函数的图象上．

（1）求证：是等比数列，并求的通项公式：

（2）若，数列的前n项和为，求证：．

【答案】（1）证明见解析；；（2）证明见解析．

【分析】

（1）由题意得，推得，即可证明是等比数列，然后结合等比数列的定义和通项公式即可求得结果；

（2）推得，由不等式的性质和等比数列的求和公式、数列的单调性，即可求证.

【详解】

（1）由点在函数的图象上，

可得，

所以，即，

也即，

由，所以，

所以是首项和公比均为的等比数列，

则，

所以；

（2），

所以，

．

【点睛】

方法点睛：证明数列为等比数列的常用方法：（1）定义法；（2）等比中项法；（3）通项法；（4）前n项和法.

17．（2021·江苏高三专题练习）由整数构成的等差数列满足.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若数列的通项公式为，将数列，的所有项按照“当n为奇数时，放在前面；当n为偶数时、放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列，，，，，，，，，……，求数列的前项和.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【分析】

（Ⅰ）设数列的公差为，根据题设条件，列出方程组，求得，即可求得数列的通项公式；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又由数列的通项公式为，根据题意，得到，结合等差、等比数列的求和公式，即可求解.

【详解】

（Ⅰ）由题意，设数列的公差为，

因为，可得，

整理得，即，解得或，

因为为整数数列，所以，

又由，可得，

所以数列的通项公式为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，数列的通项公式为，又由数列的通项公式为，

根据题意，新数列，，，，，，，，，……，

则

.

【点睛】

与数列的新定义有关的问题的求解策略：

1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；

2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.