2025高考数学专项讲义第05讲基本不等式(学生版+解析)

这是一份2025高考数学专项讲义第05讲基本不等式(学生版+解析)，共57页。学案主要包含了命题规律，备考策略，命题预测等内容，欢迎下载使用。

1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，具体视命题情况而定，本身知识点命题可变性多，学生易上手学习，但高考常作为载体和其他版块结合考查，难度不定，分值为5分左右
【备考策略】1.理解、掌握基本不等式及其推论，会使用应用条件：“一正，二定，三相等”
2.能正确处理常数“1”求最值
3.能用拼凑等思想合理使用基本不等式求最值
4.能熟练掌握基本不等式的应用，应用于函数和解析几何的求解过程中求最值
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般会结合条件等式考查拼凑思想来使用基本不等式求最值，或者和其他版块关联，难度中等偏上。
知识讲解
1．基本不等式
如果，那么（当且仅当 时取“=”）.
说明：
①对于非负数，我们把称为的 ，称为的 .
②我们把不等式称为基本不等式，我们也可以把基本不等式表述为：两个非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数.
③“当且仅当时取‘=’号”这句话的含义是：一方面是当 时，有；另一方面当 时，有.
④ 结构特点：和式与积式的关系.
2．基本不等式求最值
（1）设x，y为正数，若积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值 （简记为：积定和最小）.
（2）设x，y为正数，若和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2（简记为：和定积最大）.
3．几个重要不等式（含基本不等式链）
（1） （）；（2） （）；
（3） （）；（4） 或 （）；
（5）
考点一、直接用基本不等式求和或积的最值
1．（23-24高三上·河南信阳·阶段练习）已知，，且，则的最大值为（ ）
A．0B．1C．-1D．2
2．（2024·全国·模拟预测）若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
1．（2023·上海·模拟预测）已知正实数a、b满足，则的最大值为 ．
2．（2024·云南·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为 .
考点二、巧用“1”或常数关系求最值
1．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．4B．C．6D．
2．（2024·河南·三模）在中，角的对边分别为，若，则的最小值为 ．
1．（2024·安徽·三模）已知，且，则的最小值为（ ）
A．4B．C．D．
2．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知，，则的最小值为 .
3．（2024·江苏南通·二模）设，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．3
考点三、拼凑法求最值
1．（2024·山西临汾·三模）若，则的最小值是（ ）
A．1B．4C．D．
2．（2024高三·全国·专题练习）若函数在处取最小值，则 ．
3．（2024·江西赣州·二模）已知，则的最小值为 .
1．（2024·全国·模拟预测）已知，，且，则的最小值是 ．
2．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知实数，且，则的最小值是 ．
考点四、换元法求最值
1．（2022高三上·全国·专题练习）已知，求的最大值.
2．（2023·全国·模拟预测）已知，，，则的最大值为 ．
1．（2020·甘肃兰州·二模）设m，n为正数，且，则的最小值为 .
2．（2024·浙江·模拟预测）已知，，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
考点五、二次与二次（一次）的商式求最值
1．（2023高三·全国·专题练习）函数 的最大值为 .
2．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知实数，则的最大值为 ．
1．（22-23高三上·福建泉州·期中）函数在上的最大值为 ．
2．（2023高三·全国·专题练习）当时，求函数的最小值.
考点六、两次应用基本不等式求最值
1．（23-24高一上·上海徐汇·期中）若x，y，z均为正实数，则的最大值是 ．
2．（23-24高三下·重庆·阶段练习）对任意的正实数，满足，则的最小值为 .
1．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为 .
2．（2023·江西·一模）已知，，是正实数，且，则最小值为 .
考点七、条件等式变形求最值
1．（2024·安徽芜湖·模拟预测）若，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
2．（2024·四川德阳·模拟预测）已知正实数，，满足，则的最小值是 .
3．（2023·江西·二模）实数，，满足：，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
1．（2024·全国·模拟预测）已知，，且，则的最小值为 ．
2．（2024·浙江绍兴·三模）若，且，则的最小值是 ．
3．（22-23高三上·天津和平·阶段练习）已知正数满足，则的最小值是 ．
考点八、利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围
1．（23-24高三上·福建漳州·阶段练习）已知，恒成立，则实数的取值范围是 ．
2．（2023高一上·全国·专题练习）已知且，若恒成立，则实数的范围是 ．
3．（2023·广东湛江·二模）当，时，恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
1．（2024·江西·一模）已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ．
2．设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为 （ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三上·浙江宁波·期末）设实数x，y满足，，不等式恒成立，则实数k的最大值为（ ）
A．12B．24C．D．
考点九、利用基本不等式判断或证明不等式关系
1．（23-24高三上·江苏扬州·期末）若，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高三上·陕西榆林·阶段练习）已知正数满足.
(1)若，求的最小值；
(2)证明：.
3．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知为正数，且.证明：
(1)；
(2).
1．（2023·安徽蚌埠·模拟预测）已知实数满足且，则下列不等关系一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024高三·全国·专题练习）已知实数a，b，c满足．
(1)若，求证：；
(2)若a，b，，求证：．
3．（2024·青海·一模）已知正数满足．求证：
(1)；
(2)．
考点十、基本不等式多选题综合
1．（2024·全国·模拟预测）若实数a，b满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·河北保定·二模）已知，则（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．的最大值为2D．的最小值为
3．（2024·浙江·二模）已知正实数，且为自然数，则满足恒成立的可以是（ ）
A．B．
C．D．
1．（2024·全国·模拟预测）已知，且，则下列说法正确的是（ ）
A．有最小值4B．有最小值
C．有最小值D．的最小值为
2．（2024·广东广州·模拟预测）已知，且，则下列结论成立的是（ ）
A．B．
C．存在，使得D．
3．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知实数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
一、单选题
1．（2024·安徽·模拟预测）已知，，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．（2024·河南·模拟预测）已知点在以原点为圆心，半径的圆上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
二、多选题
3．（2024·全国·模拟预测）已知，，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·福建泉州·模拟预测）已知，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
5．（2024·上海奉贤·三模）若，则有最大值为 ．
6．（2024·河南商丘·模拟预测）若正数满足，则的最小值是 ．
7．（2024·天津·模拟预测）若，，且，则的最小值为
8．（2024·河南·模拟预测）已知向量，，若，则的取值范围为 ．
9．（2024高三·全国·专题练习）若实数满足则的最小值为 ．
10．（2024·广东·三模）设实数x、y、z、t满足不等式，则的最小值为 .
一、单选题
1．（2024·北京顺义·三模）设，，.若，，则最大值为（ ）
A．2B．C．1D．
2．（2024·江苏盐城·模拟预测）的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024高二下·湖南·学业考试）已知，，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
4．（2024·广西·模拟预测）已知，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
5．（2024·上海·三模）已知函数，若，，且，则的最小值是
6．（2024·河南信阳·模拟预测）若实数，满足，则 .
7．（2024·河北·三模）已知函数，若，则当取得最小值时， ．
8．（2024高三·全国·专题练习）已知正实数x，y满足，则的最小值为 ．
9．（23-24高三下·重庆·开学考试）已知实数满足，则的最大值为 ；的取值范围为 ．
三、解答题
10．（2024高三·全国·专题练习）设正实数满足，不等式恒成立，求的最大值．
1．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·全国·高考真题）（多选）若x，y满足，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
4．（2021·全国·高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2021·全国·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13B．12C．9D．6
6．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为 ．
7．（2020·山东·高考真题）（多选）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A．B．
C．D．
8．（2020·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为 ．
9．（2020·江苏·高考真题）已知，则的最小值是
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2024年新Ⅰ卷，第18题第一问,4分
基本不等式求范围
导数综合
2023年新Ⅰ卷，第22题第二问,8分
基本不等式求最值
圆锥曲线大题综合
2022年新Ⅰ卷，第18题第二问,6分
基本不等式求最值
正余弦定理解三角形
2022年新Ⅱ卷，第12题,5分
基本不等式求最值
三角换元及三角函数相关性质
2021年新Ⅰ卷，第5题,5分
基本不等式求最值
椭圆方程及其性质
2020年新Ⅰ卷，第20题第二问,6分
基本不等式求最值
空间向量及立体几何
2020年新Ⅱ卷，第12题,5分
基本不等式求最值
指对函数的性质及单调性
第05讲 基本不等式
（10类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，具体视命题情况而定，本身知识点命题可变性多，学生易上手学习，但高考常作为载体和其他版块结合考查，难度不定，分值为5分左右
【备考策略】1.理解、掌握基本不等式及其推论，会使用应用条件：“一正，二定，三相等”
2.能正确处理常数“1”求最值
3.能用拼凑等思想合理使用基本不等式求最值
4.能熟练掌握基本不等式的应用，应用于函数和解析几何的求解过程中求最值
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般会结合条件等式考查拼凑思想来使用基本不等式求最值，或者和其他版块关联，难度中等偏上。
知识讲解
1．基本不等式
如果，那么（当且仅当 时取“=”）.
说明：
①对于非负数，我们把称为的 ，称为的 .
②我们把不等式称为基本不等式，我们也可以把基本不等式表述为：两个非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数.
③“当且仅当时取‘=’号”这句话的含义是：一方面是当 时，有；另一方面当 时，有.
④ 结构特点：和式与积式的关系.
【答案】 算术平均数 几何平均数
2．基本不等式求最值
（1）设x，y为正数，若积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值 （简记为：积定和最小）.
（2）设x，y为正数，若和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2（简记为：和定积最大）.
【答案】2
3．几个重要不等式（含基本不等式链）
（1） （）；
（2） （）；
（3） （）；
（4） 或 （）；
（5）
【答案】 2
考点一、直接用基本不等式求和或积的最值
1．（23-24高三上·河南信阳·阶段练习）已知，，且，则的最大值为（ ）
A．0B．1C．-1D．2
【答案】B
【分析】根据基本不等式，求解即可得出答案.
【详解】因为，，
则由基本不等式可得，
所以有，
当且仅当时等号成立.
故选：B.
2．（2024·全国·模拟预测）若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，由基本不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】，
当且仅当且，即时等号成立，
故选：B.
1．（2023·上海·模拟预测）已知正实数a、b满足，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】由，代入即可得出答案.
【详解】，
当且仅当“”，即时取等，
所以的最大值为.
故答案为：
2．（2024·云南·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为 .
【答案】
【分析】根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由正数满足，可得，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：.
考点二、巧用“1”或常数关系求最值
1．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．4B．C．6D．
【答案】D
【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得.
【详解】因为，，且，
所以，
当且仅当，即，时取等号.
故选：D
2．（2024·河南·三模）在中，角的对边分别为，若，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】是的边长，所以它们是正数，利用乘“1”法结合基本不等式即可求解.
【详解】因为，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，故的最小值为．
故答案为：.
1．（2024·安徽·三模）已知，且，则的最小值为（ ）
A．4B．C．D．
【答案】D
【分析】由，可得，再利用基本不等式计算即可得.
【详解】，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：D.
2．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知，，则的最小值为 .
【答案】
【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得.
【详解】因为，，
所以
，
当且仅当，即，时取等号.
故答案为：
3．（2024·江苏南通·二模）设，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】C
【分析】由不等式“1”的代换求解即可.
【详解】因为，所以，
因为，，所以
.
当且仅当，即时取等.
故选：C.
考点三、拼凑法求最值
1．（2024·山西临汾·三模）若，则的最小值是（ ）
A．1B．4C．D．
【答案】D
【分析】根据基本不等式及“1”的妙用计算即可．
【详解】因为，所以，
则，
当且仅当，即时，等号成立，取得最小值，
故选：D．
2．（2024高三·全国·专题练习）若函数在处取最小值，则 ．
【答案】4
【分析】利用配凑法可得，结合基本不等式计算即可求解.
【详解】，
当且仅当即时取等号，
即时取最小值，故．
故答案为：4
3．（2024·江西赣州·二模）已知，则的最小值为 .
【答案】
【分析】依据条件结构特征利用分离常数法和配凑法思想对进行变形配凑，再结合基本不等式即可求解最小值.
【详解】由题，所以
，
当且仅当，即，即时等号成立.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于巧妙变形分离和配凑.
1．（2024·全国·模拟预测）已知，，且，则的最小值是 ．
【答案】/．
【分析】利用 “1”的巧用及基本不等式即可求解.
【详解】由，得，
因为，，
所以，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最小值是．
故答案为：．
2．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知实数，且，则的最小值是 ．
【答案】24
【分析】变形后，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值
【详解】因为，且，
所以，
所以
，
当且仅当，即，时等号成立，
故答案为：
考点四、换元法求最值
1．（2022高三上·全国·专题练习）已知，求的最大值.
【答案】
【分析】根据题意分别设，然后可求出，再化简，再结合基本不等式即可求解.
【详解】
设，则，
因此
因，当且仅当，即时取等号，
所以.
故的最大值为.
2．（2023·全国·模拟预测）已知，，，则的最大值为 ．
【答案】/
【分析】
通过换元，将分式变成整式，再通过“1”的代换和基本不等式求出即可.
【详解】令，，
则，，，，，所以，
所以
，
当且仅当，，即，时等号成立．
故答案为：
1．（2020·甘肃兰州·二模）设m，n为正数，且，则的最小值为 .
【答案】
【分析】令，则，可化为，利用基本不等式可求的最小值，从而可得所求的最小值.
【详解】令，则，且，，
又，
而，
当且仅当时等号成立，
故的最小值为.
故答案为：.
【点睛】本题考查多变量代数式的最值问题，一般可用基本不等式来求最值，但需要对原代数式化简变形以便出现和为定值或积为定值的形式，注意利用基本不等式求最值时要验证等号是否成立.
2．（2024·浙江·模拟预测）已知，，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先变形，化简后换元，转化为关于的式子，利用基本不等式求最值.
【详解】，
，
设，
则，
，
当，即，时等号成立，
所以的最大值为.
故选：D
考点五、二次与二次（一次）的商式求最值
1．（2023高三·全国·专题练习）函数 的最大值为 .
【答案】/
【分析】首先化简可得，由则可以利用基本不等式求最值即可.
【详解】因为，则，
所以
≤，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为.
故答案为：.
2．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知实数，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】化简整理后，将看成一个整理，利用基本不等式求最值即可.
【详解】
，
当且仅当，，即时，等号成立.
故答案为：
1．（22-23高三上·福建泉州·期中）函数在上的最大值为 ．
【答案】
【分析】令，则，则，利用基本不等式计算可得.
【详解】解：因为，，令，则，
则，
当且仅当，即时，等号成立．
故的最大值为．
故答案为：
2．（2023高三·全国·专题练习）当时，求函数的最小值.
【答案】
【分析】将函数变形成，再利用重要不等式即可求出结果.
【详解】因为，所以，
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以函数的最小值为.
考点六、两次应用基本不等式求最值
1．（23-24高一上·上海徐汇·期中）若x，y，z均为正实数，则的最大值是 ．
【答案】
【分析】
将拆开为，同时用两次均值不等式构造相同结构即可.
【详解】
，
所以，
当且仅当时取到等号，
故答案为：
2．（23-24高三下·重庆·阶段练习）对任意的正实数，满足，则的最小值为 .
【答案】
【分析】变形得到，利用两次基本不等式，求出最小值.
【详解】任意的正实数，满足，
由于为正实数，故由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
综上，的最小值为.
故答案为：
【点睛】利用基本不等式求解最值问题，方法灵活，式子不能直接使用基本不等式时，常常需要变形，比如凑项法，“1”的妙用，消元法，多次使用基本不等式等
1．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】利用可把放缩为即的形式，利用基本不等式可求后者的最小值.
【详解】因为，故.
又，
当且仅当，即时等号成立.
故的最小值为.
故答案为：.
2．（2023·江西·一模）已知，，是正实数，且，则最小值为 .
【答案】
【分析】由于，，是正实数，且，所以先结合基本不等式“1”的代换求的最小值，得，则，再根据基本不等式凑项法求的最小值，即可求得的最小值.
【详解】解：，由于，，是正实数，且，
所以
，当且仅当，即，所以时等号成立，
则的最小值为，所以，
当且仅当，即时等号成立，
则最小值为.
故答案为：.
考点七、条件等式变形求最值
1．（2024·安徽芜湖·模拟预测）若，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】D
【分析】将和两边放，然后两边同时除以，凑出，再用基本不等式即可.
【详解】因为，，两边同时除以，得到，
当且仅当即取“=”.
则，当且仅当取“=”.
两边取自然对数，则，当且仅当取“=”.
故的最小值为.
故选：D.
2．（2024·四川德阳·模拟预测）已知正实数，，满足，则的最小值是 .
【答案】
【分析】因式分解得到，变形后得到，利用基本不等式求出最小值.
【详解】因为为正实数，
故，
即，
，
当且仅当，即，此时，
所以的最小值为.
故答案为：
3．（2023·江西·二模）实数，，满足：，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】用立方和公式和完全平方公式将用与表示，再分离出，使用基本不等式求解即可.
【详解】∵，∴，
∴，∴，
∴，
∵，，令，则
易知与均不为且符号相同，∴，解得或.
（此时，可通过验证时，满足题意，，结合选项确定选项D正确.）
又∵，，，，
∴由基本不等式，，当且仅当时，等号成立，
∴，
又∵，
∴，（当时，），
∴解得，即，当且仅当时，等号成立.
∴综上所述，的取值范围是.
故选：D.
【点睛】易错点睛：本题若忽视中的与同号，直接使用基本不等式求解，就容易错解，而优先考虑与同号，并结合选项进行特值验证，则可以很轻松的选出正确选项.
1．（2024·全国·模拟预测）已知，，且，则的最小值为 ．
【答案】64
【分析】借助基本不等式计算即可得.
【详解】法一：因为，，所以，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立．
所以的最小值为64．
法二：因为，，，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立．
所以的最小值为64．
故答案为：64.
2．（2024·浙江绍兴·三模）若，且，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】由题意可借助、表示出，从而消去，再计算化简后结合基本不等式计算即可得.
【详解】由，则，
即
，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：.
3．（22-23高三上·天津和平·阶段练习）已知正数满足，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】根据题意，将等式化简变形，得到的表达式，根据表达式特征利用换元法构造函数，求导得出函数单调性即可得出最小值.
【详解】根据题意，由可得，
即
所以；
又因为均是正数，令，则
所以，
令，
则
当且仅当，即时，等号成立；
所以
所以的最小值为;
即当时，即时，等号成立.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：根据等式特征可知，利用基本不等式条件不明显，所以首先得出的表达式，根据可利用齐次式特征构造函数，再进行化简凑成基本不等式求解即可.
考点八、利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围
1．（23-24高三上·福建漳州·阶段练习）已知，恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】问题化为上，利用基本不等式求左侧最小值，注意取值条件，即可得参数范围.
【详解】由题设，只需上即可，
又，则，
当且仅当时等号成立，
所以，所求范围为.
故答案为：
2．（2023高一上·全国·专题练习）已知且，若恒成立，则实数的范围是 ．
【答案】
【分析】依题意得，利用基本不等式“1”的代换求出的最小值，即可得解.
【详解】因为且，若恒成立，则，
又
，
当且仅当，即，时等号成立，
所以，即实数的取值范围是．
故答案为：．
3．（2023·广东湛江·二模）当，时，恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将左侧分式的分子因式分解成的形式，再利用均值不等式的结论进行计算即可以得到结果.
【详解】当，时，，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为．
所以，即．
故选：A.
1．（2024·江西·一模）已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】
将变形为，利用均值不等式求的最小值即可求解.
【详解】因为，
所以
，
所以
，等号成立当且仅当，
所以，，
故实数a的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：解题关键是先得到，再进一步结合乘“1”法即可顺利得解.
2．设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为 （ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，求出的值，代入中化简，利用基本不等式求出结果.
【详解】设，则
所以

当且仅当即时取等号
所以的最小值是，则的最大值为.
故选A
【点睛】本题考查基本不等式，解题的关键是设，得出进行代换，属于偏难题目.
3．（23-24高三上·浙江宁波·期末）设实数x，y满足，，不等式恒成立，则实数k的最大值为（ ）
A．12B．24C．D．
【答案】B
【分析】令，不等式变形为，求出的最小值，从而得到实数的最大值.
【详解】，，变形为，
令，
则转化为
，即，
其中

当且仅当，即时取等号，可知.
故选：B
【点睛】思路点睛：不等式恒成立问题，先分离参数后，然后利用基本不等式求最值.
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
考点九、利用基本不等式判断或证明不等式关系
1．（23-24高三上·江苏扬州·期末）若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】应用对数运算性质及基本不等式判断各式的大小关系.
【详解】由，
而，则，所以，即，
由，则，即，
综上，.
故选：D
2．（23-24高三上·陕西榆林·阶段练习）已知正数满足.
(1)若，求的最小值；
(2)证明：.
【答案】(1)4
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意，得到，化简得到，结合基本不等式，即可求解；
（2）根据题意，得到，再由，即可得证.
【详解】（1）解：当时，可得，
所以，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.
（2）证明：因为，可得,
所以，
当且仅当时，等号成立，
因为，所以，
所以.
3．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知为正数，且.证明：
(1)；
(2).
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】
（1）由关于三个重要不等式左右分别相加，得到，结合题设条件推得代入即得；
（2）先证明三维的柯西不等式，再利用柯西不等式将左式化成，再构造不等式
，化简得到，代入条件即得.
【详解】（1）因为为正数，，
所以，
因为，
所以，当且仅当时等号成立，
所以.
（2）先证明三维的柯西不等式.
已知求证:
,当且仅当时取等号.
证明：设
①当，即时，不等式显然成立；
②当时，

∵对于任意实数，都有,当且仅当时取等号,
∴，即
∴,当且仅当时取等号.故得证.
由柯西不等式，得
，即.
因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故得：.
1．（2023·安徽蚌埠·模拟预测）已知实数满足且，则下列不等关系一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由不等式的性质判断A、B，根据基本不等式可判断C、D.
【详解】因为且，所以或，
对A：若，则，若，则，A错误；
对B：∵，，∴，B错误；
对C：由或，知且，∴，C正确；
对D：当时，有，从而
当，则且，∴，D错误.
故选：C
2．（2024高三·全国·专题练习）已知实数a，b，c满足．
(1)若，求证：；
(2)若a，b，，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意可得，又，结合基本不等式可得，化简求得，得证；
（2）法一，由已知条件得，同理可得，，三式相加得证；法二，根据已知条件可得，所以，利用柯西不等式求解证明.
【详解】（1）因为，所以．
因为，
所以，当且仅当时等号成立，
整理得，所以．
（2）解法一： 因为，且a，b，，
所以，，，所以，
同理可得，，
以上三式相加得，当且仅当时等号成立．
解法二：因为，且a，b，，
所以，，，且，
所以
，
当且仅当时等号成立．
3．（2024·青海·一模）已知正数满足．求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】
（1）根据，结合基本不等式，即可得证；
（2）由，结合基本不等式，即可得证.
【详解】（1）证明：因为正数满足，
由，当且仅当时，等号成立，
可得，
即，所以，当且仅当时，等号成立.
（2）证明：由
，
当且仅当，即，等号成立.
所以.
考点十、基本不等式多选题综合
1．（2024·全国·模拟预测）若实数a，b满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】根据不等式，结合已知等式变形可判断A，C，D；由可得，结合实数的性质即可判断B.
【详解】因为,当且仅当时等号成立，所以，A正确；
因为，所以，所以，B错误；
因为，当且仅当时等号成立，所以，C错误；
由整理，得，当且仅当时等号成立，
所以，D正确．
故选：AD．
2．（2024·河北保定·二模）已知，则（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．的最大值为2D．的最小值为
【答案】AC
【分析】借助基本不等式逐项判断即可得.
【详解】对A：由，得，所以，
当且仅当时取等号，故A正确；
对B：由，得，
所以，当且仅当时取等号，故B错误；
对C：由，得，
所以，当且仅当时取等号，故C正确；
对D：由，得，
所以，当且仅当时取等号，故D错误.
故选：AC.
3．（2024·浙江·二模）已知正实数，且为自然数，则满足恒成立的可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】将恒成立，转化为恒成立，再利用基本不等式得到，转化为恒成立，逐项判断.
【详解】解：因为正实数，且为自然数，
所以，
则恒成立，即恒成立，
两边同乘，则，
而，
，
当且仅当，即时，等号成立，
若恒成立，则恒成立，
A.当时，，不成立；
B.当时，，成立；
C.当时，，成立；
D.当时，，不成立，
故选：BC
1．（2024·全国·模拟预测）已知，且，则下列说法正确的是（ ）
A．有最小值4B．有最小值
C．有最小值D．的最小值为
【答案】ABD
【分析】利用基本不等式可判断各选项.
【详解】A选项：由，得，当且仅当，即，时取等号，故A选项正确；
B选项：，当且仅当，即，时取等号，故B选项正确；
C选项：由，得，
所以，
当且仅当，即，时取等号，故C选项错误；
D选项：由A的分析知且，时取等号，
所以，当且仅当，即，时取等号，故D选项正确；
故选：ABD．
2．（2024·广东广州·模拟预测）已知，且，则下列结论成立的是（ ）
A．B．
C．存在，使得D．
【答案】ABD
【分析】对于A，据已知条件即可证明；对于B，使用基本不等式即可证明；对于C，据已知条件即可否定；对于D，将条件变形为，再利用即可证明结论.
【详解】对于A，由及，得，所以，A正确.
对于B，由及，得，所以.同理可得.
又，所以，所以，B正确.
对于C，由及，得，所以，得，
所以，得，C错误.
对于D，由，得，所以.
因为，，所以，所以，D正确.
故选：ABD.
3．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知实数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】由已知条件，结合基本不等式计算即可判断AB；根据，结合基本不等式计算即可判断C；根据，基本不等式计算即可判断D.
【详解】A：由，得，
即，得，
解得，当且仅当时等号成立，故A错误；
B：由选项A的分析知，故B正确；
C：由，得，即，
所以，
得，当且仅当时等号成立，故C正确；
D：由，得，即，
所以，得，
当且仅当时等号成立，故D错误.
故选：BC
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
一、单选题
1．（2024·安徽·模拟预测）已知，，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解.
【详解】，，
当且仅当，即，时等号成立.
故选：B.
2．（2024·河南·模拟预测）已知点在以原点为圆心，半径的圆上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】D
【分析】由题可得点满足的圆方程，进而，然后利用基本不等式结合条件即得.
【详解】由题意可得点的坐标满足，所以，．
因此，
.
当且仅当时，即时取等号．
故选: D．
二、多选题
3．（2024·全国·模拟预测）已知，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】利用已知，求二元变量的最值，一般可用用消元法变为函数求最值，如，，当然也可以用均值不等式求最值，如，.
【详解】选项A：因为，，，所以，所以，故A正确．
选项B：，当且仅当时取等号，（利用基本不等式时注意取等号的条件）,故B正确．
选项C：，所以，当且仅当时取等号，故C错误．
选项D：，
当且仅当时取等号，（另解：，当且仅当时取等号）,故D正确．
故选:ABD.
4．（2024·福建泉州·模拟预测）已知，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】根据不等式的性质可判断A；取，可判断BC；根据基本不等式可判断D．
【详解】由题意，得，，，
对于A，，故A正确；
对于B，取，，则，故B错误；
对于C，取，，则，故C错误；
对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确．
故选：AD
三、填空题
5．（2024·上海奉贤·三模）若，则有最大值为 ．
【答案】/0.25
【分析】根据基本不等式即可求解.
【详解】因为，显然当时，取得最大值，所以，
当且仅当时等号成立，所以，
所以有最大值为.
故答案为：.
6．（2024·河南商丘·模拟预测）若正数满足，则的最小值是 ．
【答案】4
【分析】由基本不等式求解即可．
【详解】因为为正数，，
所以，即，当且仅当，即时，等号成立，
故答案为：4．
7．（2024·天津·模拟预测）若，，且，则的最小值为
【答案】
【分析】先对进行等式变形，利用把原式化简为，再利用均值不等式可得，然后由函数在区间上是单调递减，即可得到最小值为.
【详解】由，
因为，所以上式，
又因为，，由均值不等式得：，
利用函数在区间上是单调递减可知：
，
当且仅当时取到最小值.
故答案为：
8．（2024·河南·模拟预测）已知向量，，若，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据数量积的坐标表示得到，再利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可求出其范围.
【详解】因为，，，所以，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
所以的取值范围为.
故答案为：
9．（2024高三·全国·专题练习）若实数满足则的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据基本不等式求和式的最值即可得结论.
【详解】因为所以，
当且仅当，即且时等号成立，
故的最小值为.
故答案为：.
10．（2024·广东·三模）设实数x、y、z、t满足不等式，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】令，根据分母最大分子最小时分式的值最小可得，结合基本不等式和计算即可．
【详解】因为，所以,
所以，
当且仅当即时等号成立，
即的最小值为.
故答案为：.
一、单选题
1．（2024·北京顺义·三模）设，，.若，，则最大值为（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】C
【分析】先利用指、对数的关系利用表示，再利用基本不等式求最大值.
【详解】∵，，，，
∴，，
∴，
当且仅当，时取等号.
∴的最大值为1.
故选：C.
2．（2024·江苏盐城·模拟预测）的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分析知，将所求式子化为，结合基本不等式可得结果.
【详解】若取得最小值，则，
（当且仅当，即时取等号），
的最小值为.
故选：C.
3．（2024高二下·湖南·学业考试）已知，，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】C
【分析】根据“1”的变形技巧，利用均值不等式求最值即可得解.
【详解】因为，，
所以，即，
所以
，当且仅当，即时等号成立，
故.
故选：C
4．（2024·广西·模拟预测）已知，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先确定，再由基本不等式得到，从而求出的取值范围.
【详解】因为，，则，所以．
又，
即，即，解得，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
即的取值范围为.
故选：D．
二、填空题
5．（2024·上海·三模）已知函数，若，，且，则的最小值是
【答案】8
【分析】由函数奇偶性的定义可知为奇函数，根据单调性可知，然后结合基本不等式即可求解.
【详解】函数的定义域为，且，
所以为奇函数，又，所以函数单调递增，
又，所以，
所以，即，
所以，
当且仅当，即，，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
6．（2024·河南信阳·模拟预测）若实数，满足，则 .
【答案】
【分析】先利用对数的运算法则进行化简，，右边使用不等式，根据不等式的传递性，，换元后利用函数的单调性得，所以只能，再根据取等条件求出即可.
【详解】，
，即，
根据不等式得，，
令，所以，
因为，所以.
，，
所以，单调递增，单调递减，
所以，即，，
所以只能，即，
所以，当成立，即，
所以.
故答案为：.
7．（2024·河北·三模）已知函数，若，则当取得最小值时， ．
【答案】
【分析】根据题意，由条件可得，令，结合基本不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】由得，即，令，
则
当且仅当，即时，取得最小值，此时z也取得最小值．
故答案为：.
8．（2024高三·全国·专题练习）已知正实数x，y满足，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】配凑出，再利用基本不等式求最值.
【详解】由，
得，
即，得，
，，
，，，
，
当且仅当，即，时取等号，
此时，
的最小值为
故答案为：
9．（23-24高三下·重庆·开学考试）已知实数满足，则的最大值为 ；的取值范围为 ．
【答案】 1
【分析】第一空：直接由基本不等式即可求解；第二空：首先将目标式子化为关于的代数式，通过三角换元得的范围，进一步取到倒，结合对勾函数性质得，从而即可得解.
【详解】由题意，等号成立当且仅当，即的最大值为1；
由题意，
因为，所以设，
所以，
所以，
所以，
令，，所以，
又，
所以，
所以.
故答案为：1；.
【点睛】关键点点睛：第二空的关键是首先画出关于的代数式，并求出的范围，由此即可顺利得解.
三、解答题
10．（2024高三·全国·专题练习）设正实数满足，不等式恒成立，求的最大值．
【答案】
【分析】利用换元法，将不等式左边转化为 的表达式，再多次利用基本不等式求得其最小值，从而得解.
【详解】因为，，所以，，
令，，则，，，，
所以
，
当且仅当且且且，即，
即，时，等号成立，
又不等式恒成立，所以，即的最大值为.
1．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.
【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即，
对于选项AB：可得，即，
根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误；
对于选项D：例如，则，
可得，即，故D错误；
对于选项C：例如，则，
可得，即，故C错误，
故选：B.
2．（2022·全国·高考真题）（多选）若x，y满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．
【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；
由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；
因为变形可得，设，所以，因此
，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．
故选：BC．
3．（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将化成，再结合，即可求出；
（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出．
【详解】（1）因为，即，
而，所以；
（2）由（1）知，，所以，
而，
所以，即有，所以
所以
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
4．（2021·全国·高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．
【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；
对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；
对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．
5．（2021·全国·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13B．12C．9D．6
【答案】C
【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．
【详解】由题，，则，
所以（当且仅当时，等号成立）．
故选：C．
【点睛】
6．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】两次利用基本不等式即可求出.
【详解】，
，
当且仅当且，即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
7．（2020·山东·高考真题）（多选）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.
【详解】对于A，，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，所以，故B正确；
对于C，，
当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；
故选：ABD
【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.
8．（2020·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为 ．
【答案】4
【分析】根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解.
【详解】，,
，当且仅当=4时取等号，
结合,解得，或时，等号成立.
故答案为：
【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.
9．（2020·江苏·高考真题）已知，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】根据题设条件可得，可得，利用基本不等式即可求解.
【详解】∵
∴且
∴，当且仅当，即时取等号.
∴的最小值为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2024年新Ⅰ卷，第18题第一问,4分
基本不等式求范围
导数综合
2023年新Ⅰ卷，第22题第二问,8分
基本不等式求最值
圆锥曲线大题综合
2022年新Ⅰ卷，第18题第二问,6分
基本不等式求最值
正余弦定理解三角形
2022年新Ⅱ卷，第12题,5分
基本不等式求最值
三角换元及三角函数相关性质
2021年新Ⅰ卷，第5题,5分
基本不等式求最值
椭圆方程及其性质
2020年新Ⅰ卷，第20题第二问,6分
基本不等式求最值
空间向量及立体几何
2020年新Ⅱ卷，第12题,5分
基本不等式求最值
指对函数的性质及单调性